Wiederholung: SRT

N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik
∗ Einige Autoren benutzen, statt der hier verwendeten (+, −, −, −) Signatur für den metrischen
Tensor (I.22a), der entgegengesetzten Konvention (−, +, +, +).
I.2.2 Lorentz-Transformationen
Sei eine lineare Transformation der Koordinaten x µ der Form
oder äquivalent in Matrixform
x µ → x ′µ = Λ µ νx ν , (I.24a)
X → X ′ = ΛX, (I.24b)
mit Λ der Matrix, deren Matrixelement (µ, ν) Λ µ ν ist.
Die Transformation Λ wird Lorentz-Transformation genannt, wenn sie das Linienelement (I.22b)
invariant lässt. Somit muss für jede infinitesimale Verschiebung dX, entsprechend einer transformierten
Verschiebung dX ′ , die Identität
dX T η dX = dX ′ T η dX ′
gelten. Aus der Linearität der Transformation Λ folgt dX ′ = Λ dX, so dass diese Gleichung äquivalent
zur Bedingung
ist. Mithilfe der Matrixelemente lautet dies 12
η = Λ T ηΛ (I.25a)
ηµν = Λ ρ µ ηρσΛ σ ν. (I.25b)
Bildet man die Determinante der Gl. (I.25a), so erhält man sofort det Λ = ±1. Infolgedessen
bleibt das 4-Volumenelement d 4 x ≡ dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 invariant unter Lorentz-Transformationen, da
es sich transformiert gemäß
d 4 x → d 4 x ′ = det Λ d 4 x. (I.26)
Die Lorentz-Transformationen formen eine Gruppe, die sog. Lorentz-Gruppe (oder manchmal
homogene Lorentz-Gruppe), die hiernach als L bezeichnet wird. 13
Die Transformationen mit Determinante +1, die eigentlichen Lorentz-Transformationen, bilden
eine Teilgruppe L+, die eigentliche Lorentz-Gruppe. 13 Darüber hinaus werden die Transformationen
mit Λ0 0 > 0 orthochron gennant; diese bilden auch eine Gruppe, L ↑
+ . Je nach den Vorzeichen der
Determinante det Λ und der Komponente Λ0 0 erhält man die vier Zusammenhangskomponenten
L ↑
+ , L↓+
, L↑−
und L↓−
der Lorentz-Gruppe.
Bemerkungen:
∗ In der Tat bleibt das Linienelement (I.21) invariant nicht nur unter der Lorentz-Transformationen,
sondern allgemeiner unter den linearen Transformationen der Poincaré-Gruppe (oder inhomogene
Lorentz-Gruppe), d.h. der Form
x µ → x ′µ = Λ µ νx ν + a µ . (I.27)
Die Transformationen mit Λ = 14 und a µ beliebig sind offensichtlich die Raumzeit-Translationen.
∗ Aus Gl. (I.24a) folgt Λ µ ν = ∂x′µ
.
∂xν 12 Λ ρ µ ist das Element (ρ, µ) der Matrixdarstellung von Λ, und also das Element (µ, ρ) von Λ T . Manchmal findet
man die Notation Λµ ρ anstatt Λ ρ µ. Jedenfalls bleibt der Zeilenindex solcher Lorentz-Transformationen oben, der
Spaltenindex unten.
13 Eine alternative Bezeichnung ist O(1,3); dementsprechend wird der Minkowski-Raum auch als R 1+3 bezeichnet,
die eigentliche Lorentz-Gruppe als SO(1,3), und die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe als SO+(1,3).
I. Spezielle Relativitätstheorie 14