III.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung

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N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik Die allgemeine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung (III.4) wird dann zu φ(x) = ap e −ip·x/ + b ∗ p eip·x/ c d3p . (III.7) (2π) 3 2Ep Wenn ap und bp für jeden Wert von p unabhängig voneinander sind, dann ist das Skalarfeld φ(x) komplexwertig, entsprechend zwei reellen Freiheitsgraden. Ein solches Feld beschreibt z.B. geladene Pionen π ± . Dagegen ist φ(x) reellwertig wenn ap = bp für jeden p, entsprechend einem einzigen Freiheitsgrad: die beschreibt z.B. neutrale Pionen π 0 . III.2.2 Teilchen-Interpretation der Klein–Gordon-Wellenfunktion Sucht man jetzt nach einer speziellen Lösung, die ein einziges Teilchen mit Masse m und Impuls q beschreibt, so trifft man auf eine Schwierigkeit. In der Tat führen die natürlichen Versuche ap ∝ δ (3) (p − q) oder bp ∝ δ (3) (p − q) jeweils zu Lösungen φ(t, x) ∝ e −iE q t/+iq·x/ oder φ(t, x) ∝ e iE q t/−iq·x/ . Die Letztere könnte aber auch ein Teilchen mit negativer Energie −Eq und Impuls −q beschreiben, was unannehmbar ist: wenn Teilchen mit negativer Energie existieren, dann kann man immer die Energie des Universums durch die Erzeugung neuer Teilchen reduzieren, und das Universum wird unstabil. Dieses Problem lässt sich anders betrachten. Sei φ(x) eine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung. Definiert man dann einen Viererstrom durch20 j µ i ∗ µ µ ∗ KG (x) ≡ φ(x) ∂ φ(x) − φ(x)∂ φ(x) 2m cρKG(t, x) ≡ , (III.8) jKG(t, x) so findet man + ∇ · jKG(t, x) = 0, (III.9) entsprechend einer Kontinuitätsgleichung: damit prüft man einfach nach, dass ρKG(t, x) d 3 Erhaltungsgröße ist. x eine ∂µj µ KG (x) = ∂ρKG(t, x) ∂t Beweis der Gl. (III.9)... Aufgabe 9! In Anlehnung am nicht-relativistischen Fall möchte man ρKG(t, x) bzw. jKG(t, x) als eine Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte interpretieren. 21 Im Fall einer ebenen Welle φ(x) = N e ∓ip·x/ findet man aber j µ KG (x) = ±|N |2 p µ /m. Eine Lösung in e ip·x/ — d.h. mit negativer Energie — hat somit ρKG < 0, was für eine Wahrscheinlichkeitsdichte nicht gelten kann. Diese Lösungen mit negativer Energie — die man nicht einfach wegwerfen darf, da e ip·x/ eine ebenso gültige Lösung wie e −ip·x/ ist — haben historisch viel Verwirrung verursacht. 20 Der Faktor /2m wurde eingeführt in Ähnlichkeit mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte jSchr. = i ψ ∗ ∇ψ − ψ ∗ ∇ψ 2m der Schrödinger-Gleichung. 21 µ Tatsächlich sollte j KG durch c geteilt werden, um die passenden Einheiten für eine solche Interpretation zu erhalten. Die Einheiten der Schrödinger- und der Klein–Gordon-Wellenfunktion sind nicht die gleichen, vgl. Bemerkung am Ende des Abschn. III.3.2. III. Klein–Gordon-Gleichung 26
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik Die triviale Gleichung e +iE p t/ = e −iE p(−t)/ deutet eine mögliche problemlose Deutung der Lösungen mit negativer Energie an, die auf Stückelberg and Feynman zurückgeht. Somit wird in dieser Feynman–Stückelberg-Interpretation ein Teilchen mit negativer Energie (e +iE p t/ ) als ein Teilchen mit positiver Energie, das rückwärts in der Zeit propagiert, interpretiert. In einem zweiten Schritt wird das Letztere als ein Antiteilchen mit positiver Energie, das sich vorwärts in der Zeit bewegt, angesehen. Bildlich lässt sich die Äquivalenz zwischen Teilchen, die vorwärts in Zeit propagieren, und deren Antiteilchen, die rückwärts propagieren, so darstellen: ✲t Teilchen Antiteilchen ∼= ¦ Um die anscheinende Willkür dieser Interpretation etwa zu begründen, wird jetzt die korrekte Beschreibung von Teilchen und Antiteilchen, basierend auf Quantenfeldern, jetzt eingeführt. III.3 Zweite Quantisierung der freien Klein–Gordon-Gleichung In diesem Abschnitt wird der Übergang von einer Wellenfunktion- zu einer quantenfeldtheoretischen Beschreibung skizziert. III.3.1 Zweite Quantisierung Ersetzt man in die Lösung (III.7) der Klein–Gordon-Gleichung die klassischen Zahlen ap, bp ∈ C durch Operatoren âp, ˆ bp eines noch unspezifizierten Hilbert-Raums mit den einfachen Vertauschungs- relationen âp, â † (3) q = δ (p − q), sowie âp, âq = ˆbp, ˆ bq = âp, ˆbq so wird die Wellenfunktion φ(x) zu einem Feldoperator ˆφ(x) = âp e −ip·x/ + ˆb † ˆbp, ˆb † (3) q = δ (p − q) (III.10a) = âp, ˆb † q = · · · = 0, (III.10b) c d 3 p p eip·x/ (2π) 32Ep . (III.11a) Dieses Ersetzen von kommutierenden Zahlen mit nicht-kommutierenden Operatoren wird als zweite Quantisierung bezeichnet. Die Kommutatoren (III.10) ähneln stark den Vertauschungsrelationen der bei der Quantisierung des harmonischen Oszillators eingeführten Leiteroperatoren â und â † . Somit werden jetzt die âp und als Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperatoren bezeichnet. ˆ bp bzw. die â † p und ˆ b † p Der zu ˆ φ(x) hermitesch konjungierte Operator lautet ˆφ(x) † = â † c d 3 p p eip·x/ + ˆbp e −ip·x/ (2π) 32Ep Definiert man einen zum Feldoperator ˆ φ(x) kanonisch konjugierten Operator durch ˆπ(x) ≡ 1 c ∂0 ˆ φ(x) † = i c â † p eip·x/ − ˆbp e −ip·x/ Ep d3p (2π) 32Ep . (III.11b) , (III.12) so führen die verschiedenen Vertauschungsrelationen (III.10) zum Kommutator ˆφ(t, x), ˆπ(t, y) = i δ (3) (x − y). (III.13) Hier sollen die Felder zur gleichen Zeit betrachtet werden. Diese Relation ist ähnlich dem kanonischen Kommutator [ˆx, ˆpx] = i der Quantenmechanik. Beweis der Relation (III.13)... stellt eine gute Aufgabe dar! III. Klein–Gordon-Gleichung 27
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