Reihe III - Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek

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8 leibniz an heinrich oldenburg, 18./28. November 1676 N. II
fieri potest aut debet, nam ex hoc valore ipsius z invento potest tolli alterutra indeterminatarum
x vel y, et inveniri relatio ipsius z ad solam remanentem. Tollamus y et
quaeramus relationem z ad x. Tollemus autem y ex inventa aequatione ope datae aequationis
nam ex data aequatione fiet y aequ. −ax2 − dx − f
, ex inventa fiet y aequ.
by + cx + e
2ax+d−cxz−ez
2bz−c ponendo compendii causa −ax2 − dx − f aequ. p et cx + e aequ. q et
2ax + d − cxz − ez aequ. r et 2bz − c aequ. s, habebimus duos ipsius y valores, unum, y
aequ.
quos duos valores inter se aequando fiet ps aequ. bry+qr, et
p
by+q
alterum y aequ. r
s
ex hac aequatione novum habebimus valorem, y aequ. ps−qr
br , quem aequando praecedenti
y aequ. r
s habebitur aequatio in qua sublata est litera y nempe ps2 aequ. br 2 + qrs et
10 in locum literarum p, q, r, s, substituendo valores assumtos, aequationemque ordinando
prodibit:
3b 2 c 2 x 2 z 2 + 6bcexz 2 − 12abcx 2 z + 4ab 2 x 2 + 3be 2 z 2
4ab 2 .... + 4b 2 d ... − c 3
... + 3ac 2 .. + 4b 2 f ..
− 8abexz + 4abdx − 4bdez + bd 2
15 − 4bcd .. + 2ace . − ce 2
− 3c
. + cde
2 e .. + 2c 2 d . − 4bcf . + fc 2
⎫
⎪⎬
aequ. 0
⎪⎭
quae est aequatio quaesita exprimens relationem z ad solum x, quae novissima est, neque
ab ulla litera amplius purgari potest. Idem optarim fieri in sequenti gradu, assumta
aequatione: gx3 +hy3 +lx2y+mxy2 +ax3 +bx2 20
+cxy+dx+ey+f aequ. 0, eodemque modo
quaerendo ipius z ad x relationem. Quod si in aliquot gradibus quousque commodum,
continuaretur, haberemus Tabulam tangentium analyticam usus maximi tum ad alia
multa tum ad meam aequationum per series resolutionem1 .
1 〈In L auf dem Rande:〉 rectius initio scripsissem a + bx + cy + dxy + ex 2 + fy 2
4 aequ.: Hier muss z durch −z ersetzt werden. 11 prodibit: Diese Gleichung enthält (außer dem
oben erwähnten Vorzeichenfehler für z) einen prinzipiellen Fehler und drei Abschreibefehler. Leibniz hat
offensichtlich statt −ps 2 + br 2 + qrs = 0 die Gleichung −ps 2 + br 2 − qrs = 0 berechnet. Die Schreibfehler
betreffen 4ab 2 x 2 statt 4a 2 bx 2 und −(4bcd + 3c 2 e)xz statt −(8bcd + 2c 2 e)xz. In der Handschrift LH
XXXV 13,1 Bl. 227 mit der nachträglichen Überschrift Xbr 1676 figura quadranda comparatur cum
alterius differentiis knüpft Leibniz an diese (falsche) Gleichung an und prüft, ob durch Nullsetzen der
Koeffizienten von x 2 z 2 , xz 2 und x 2 z eine Reduktion auf die Hyperbelquadratur zu erreichen ist. Ferner
wird versucht, das hier beschriebene Verfahren für Gleichungen höheren Grades durchzuführen.
19 aequatione: ax 3 + bx 2 Schreibfehler für ax 2 + by 2 .