Reihe III - Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek

XXVIII einleitung
Das Zurückhalten von allgemeinen Lösungsmethoden galt nicht in bezug auf das
allgemeinste, aus geometrischer Sicht wohl auch unbefriedigendste Lösungsverfahren von
Differentialgleichungen: die formale Potenzreihenmethode. Sie wurde sowohl im Briefwechsel
mit L’Hospital (N. 128) als auch in einem Aufsatz der Acta eruditorum von April
1693 (S. 178–180) öffentlich gemacht. In Analogie zu Leibniz’ Vorgehen bei Quadraturen,
wo er den Integranden in eine Potenzreihe entwickelte und diese anschließend gliedweise
integrierte, war Leibniz schon früh auf die Idee gekommen, auch Differentialgleichungen
beliebiger Ordnung durch den Ansatz der Lösung als formale Potenzreihe zu integrieren.
Dazu wurden die formale Potenzreihe und ihre Ableitungen in die gegebene Differentialgleichung
eingesetzt und anschließend die unbekannten Parameter mittels Koeffizientenvergleich
rekursiv bestimmt. Die wesentlichen Nachteile dieses Verfahrens waren auch
Leibniz bewußt: man konnte die Lösung in der Regel nur approximativ, nämlich durch
endlich viele Reihenglieder bestimmen. Die Natur der Lösungskurve und damit deren
geometrische Konstruktion blieben meistens unbekannt. Schließlich waren ohne eine erneute
Anwendung des rechnerisch bisweilen sehr aufwendigen Verfahrens keine weiteren
Lösungen zu ermitteln.
Von großer Wichtigkeit für das Leibnizsche Mathematikverständnis war die Diskussion
u. a. mit Huygens über die verschiedenen Darstellungsformen von (ebenen) Kurven.
Die Griechen hatten sich dazu vorwiegend der geometrischen Konstruktion bedient.
R. Descartes führte algebraische Größen und (endliche) Gleichungen mit diesen Größen
zur Kennzeichnug von Kurven ein. Die solcherart darstellbaren Kurven nannte man geometrisch
und unterschied sie von mechanischen Kurven, die ausschließlich durch mechanische
Bewegungen erzeugt werden konnten (z. B. Rollkurven). Leibniz fügte diesen Darstellungsformen
gleich drei weitere hinzu: die Darstellung von Kurven durch ” unendliche
Gleichungen‘‘ (d. i. Potenzreihen), durch Exponentialgleichungen und durch Differentialoder
Integralgleichungen. Kurven, die nur durch diese drei Gleichungsarten darstellbar
waren, nannte er transzendente Kurven, mit dem gleichen Namen belegte er auch die
dazugehörigen Gleichungen. Die Exponentialgleichungen, bei denen die Variablen im
Exponenten auftraten, zog Leibniz allen anderen transzendenten Gleichungen vor, weil
sie ihm — da sie endlich waren — wesentlich einfacher als Potenzreihen und wesentlich
aussagekräftiger als Differentialgleichungen zu sein schienen. Im Hinblick auf den
Umgang mit Exponentialgleichungen hatte Leibniz allerdings viele seiner mathematisch
gebildeten Zeitgenossen überschätzt. So scheiterte Bodenhausen bereits beim einfachen
Logarithmieren der Zinseszinsformel (N. 49). Dem Geometer Huygens wollte der Sinn