Reihe III - Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek
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N. 41 leibniz an christiaan huygens, 5. Oktober 1691 185 Itaque EL, non minus quam (G)L poterit vocari dy, et ob triangula T BG et GLE similia, fiet T B ad BG ut GL ad LE seu t : y :: dx : dy, idque ipsum est quod diximus subtangentialem t, esse ad ordinatam y ut dx elementum abscissae ad dy elementum ordinatae, et quia proinde t : y = dx : dy fiet t = ydx : dy qui est generalis valor subtangentialis. Et hunc conjungendo cum speciali valore quem natura problematis offert, 5 pervenitur ad aequationem differentialem, quam ubi convertere licet in summatricem puram, habetur reductio problematis tangentium inversi ad Quadraturas. Quae reductio ut intelligatur melius ostendam (quod momenti est maximi) Q u a n d o c u n q u e p r o p r i e t a s t a n g e n t i u m d a t a e x h i b e t v a l o - r e m s u b t a n g e n t i a l i s p e r s o l a m (ex indeterminatis) a b s c i s s a m v e l 10 p e r s o l a m o r d i n a t a m , p r o b l e m a r e d u c i t u r a d Q u a d r a t u r a s. Ponamus enim t dari per x, utique quia t = ydx : dy fiet dy : y = dx : t adeoque dy : y = dx : t. Jam dy : y pendet ex quadratura Hyperbolae et dx : t etiam pendet ex aliqua quadratura ejus nempe figurae cujus ordinata 1 : t, posito nempe pro t poni ejus valorem per x[.] Itaque res reducta est ad quadraturas. Exempli causa si esset 15 xx, et ita curva proposita haberetur ex quadratura t = 1 : x fieret dy : y = xdx= 1 2 Hyperbolae. Si esset t = 1 : √ 1 − xx fieret dy : y = dx √ 1 − xx, atque ita curva quaesita haberetur ex supposita quadratura tam circuli quam hyperbolae. Similiter si t detur per y, quia t = ydx : dy fiet dx = dy t : y, adeoque x = dy t : y. Quod si jam ex problemate detur valor ipsius t per y, intelligi poterit cujusnam figurae 20 quadratura sit opus, nam ponamus esse t = y fiet x = dy id est x = y et linea quaesita est recta; si sit t = yy, fiet x = dy · y seu x = yy : 2 et linea quaesita est Parabola. Si t = y 3 fiet x = dyyy seu x = y 3 : 3, et linea est parabola Cubica. Si t sit constans verb. gr. si t = 1 fiet 1 x = , dy : y adeoque linea quaesita pendet ex quadratura Hyperbolae. Si 1 x = , dy : y . . . ex quadratura Hyperbolae 〈in l wohl von Huygens’ Hand unterstrichen, dazu am Rande von Huygens’ Hand:〉 A 10 (ex indeterminatis) erg. L 13 = dx : t (1) Est autem dy : y nihil aliud qvam logarithmus ipsius y, ut patet ex qvadratura Hyperbolae, (2) Jam dy : y pendet ex qvadratura Hyperbolae | [et nihil aliud est qvam logarithmus ipsius y] gestr. | L 14 ordinata est dx : t l, korr. Lil 16 f. et ita curva . . . hyperbolae erg. L 20 cujusnam (1) curvae (2) figurae L 22 et linea . . . parabola erg. L 23 et linea . . . Cubica erg. L 24–186,1 qvaesita (1) est ipsa Logarithmica. (2) pendet ex qvadratura Hyperbolae | [imo est ipsa Logarithmica] gestr. | Si t L
186 leibniz an christiaan huygens, 5. Oktober 1691 N. 41 t sit irrationalis res itidem procedet, nam si ponatur t = y √ 1 − yy, fiet2 x = dy √ 1 − yy adeoque linea quaesita pendet ex quadratura Circuli. Sed si valor ipsius t detur per x et y simul, tunc non semper facile est problema reducere ad Quadraturas, infiniti tamen sunt casus, ubi res procedit. Et generaliter hoc 5 pronuntiari potest: Q u a n d o c u n q u e v a l o r s u b t a n g e n t i a l i s t e s t p r o d u c t u m e x d u a b u s q u a n t i t a t i b u s s e u f o r m u l i s , q u a r u m u n a d a t u r p e r s o l a m (i n d e t e r m i n a t a r u m ) a b s c i s s a m x , a l - t e r a p e r s o l a m (i n d e t e r m i n a t a r u m ) o r d i n a t a m y , t u n c 10 p r o b l e m a r e d u c i t u r a d q u a d r a t u r a s. Exempli causa si sit t = xy, seu factum ex x in y, fiet xy = ydx : dy, seu dy = dx : x seu3 y = dx : x quod pendet ex quadratura Hyperbolae. Si sit t = y : x seu factum ex y in 1 : x fiet y : x = ydx : dy seu dy = xdx seu y = xdx seu y = xx : 2 quae est aequatio ad Parabolam. Si sit t = x : y seu factum ex x in 1 : y fiet x : y = ydx : dy seu xdy = yydx seu dy : yy = dx : x seu dy : yy = dx : x quae datur ex quadratura Hyperbolae, nam dy : yy d a t u r 15 a b s o l u t e 4 , nihil aliud enim est quam quadratura Hyperboloeidis secundi gradus. Sic si sit t = y : √ 1 − xx seu factum ex y in 1 : √ 1 − xx, fiet y : √ 1 − xx = ydx : dy, seu fiet dy = dx √ 1 − xx seu y = dx √ 1 − xx quae pendet ex quadratura Circuli. 5 Ad hanc jam classem revocatur et Curva mihi proposita, cujus Subtangentialis rectae valor praescriptus erat6 t (1) = yy √ aa − xx : ax. Nam quia semper est t (2) 20 = ydx : dy, fiet y √ aa − xx : ax (3) = dx : dy per 1 et 2. Sit a (4) = 1. Ergo ex 3 et 4 fit ydy (5) = dxx : 2 x = dy √ 1 − yy 〈in l wohl von Huygens’ Hand unterstrichen, dazu am Rande von Huygens’ Hand:〉 3 y = dx : x . . . ex quadratura 〈in l wohl von Huygens’ Hand unterstrichen, dazu am Rande von Huygens’ Hand:〉 / A non convenit cum 〈– –〉 ad A 4 〈In l am Rande von Huygens’ Hand:〉 absolute, hoc est ob datam quadraturam hujus hyperboloidis 5 〈In l daneben von Huygens’ Hand:〉 est eadem quae supra ad . 6 yy 〈In l am Rande von Huygens’ Hand:〉 fit enim t ex a in √ aa−xx x 18 mihi proposita: vgl. N. 8, S. 57.
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186 leibniz an christiaan huygens, 5. Oktober 1691 N. 41<br />
t sit irrationalis res itidem procedet, nam si ponatur t = y √ 1 − yy, fiet2 x = dy √ 1 − yy<br />
adeoque linea quaesita pendet ex quadratura Circuli.<br />
Sed si valor ipsius t detur per x et y simul, tunc non semper facile est problema<br />
reducere ad Quadraturas, infiniti tamen sunt casus, ubi res procedit. Et generaliter hoc<br />
5 pronuntiari potest: Q u a n d o c u n q u e v a l o r s u b t a n g e n t i a l i s t e s t<br />
p r o d u c t u m e x d u a b u s q u a n t i t a t i b u s s e u f o r m u l i s , q u a r u m<br />
u n a d a t u r p e r s o l a m (i n d e t e r m i n a t a r u m ) a b s c i s s a m x , a l -<br />
t e r a p e r s o l a m (i n d e t e r m i n a t a r u m ) o r d i n a t a m y , t u n c<br />
10<br />
p r o b l e m a r e d u c i t u r a d q u a d r a t u r a s. Exempli causa si sit t = xy,<br />
seu factum ex x in y, fiet xy = ydx : dy, seu dy = dx : x seu3 y = dx : x quod pendet<br />
ex quadratura Hyperbolae. Si sit t = y : x seu factum ex y in 1 : x fiet y : x = ydx : dy<br />
seu dy = xdx seu y = xdx seu y = xx : 2 quae est aequatio ad Parabolam. Si sit<br />
t = x : y seu factum ex x in 1 : y fiet x : y = ydx : dy seu xdy = yydx seu dy : yy = dx : x<br />
seu dy : yy = dx : x quae datur ex quadratura Hyperbolae, nam dy : yy d a t u r<br />
15 a b s o l u t e 4 , nihil aliud enim est quam quadratura Hyperboloeidis secundi gradus. Sic<br />
si sit t = y : √ 1 − xx seu factum ex y in 1 : √ 1 − xx, fiet y : √ 1 − xx = ydx : dy, seu<br />
fiet dy = dx √ 1 − xx seu y = dx √ 1 − xx quae pendet ex quadratura Circuli. 5<br />
Ad hanc jam classem revocatur et Curva mihi proposita, cujus Subtangentialis rectae<br />
valor praescriptus erat6 t (1)<br />
= yy √ aa − xx : ax. Nam quia semper est t (2)<br />
20<br />
= ydx : dy, fiet<br />
y √ aa − xx : ax (3)<br />
= dx : dy per 1 et 2. Sit a (4)<br />
= 1. Ergo ex 3 et 4 fit ydy (5)<br />
= dxx :<br />
2 x = dy √ 1 − yy 〈in l wohl von Huygens’ Hand unterstrichen, dazu am Rande<br />
von Huygens’ Hand:〉 <br />
3 y = dx : x . . . ex quadratura 〈in l wohl von Huygens’ Hand unterstrichen, dazu<br />
am Rande von Huygens’ Hand:〉 / A non convenit cum 〈– –〉 ad A<br />
4 〈In l am Rande von Huygens’ Hand:〉 absolute, hoc est ob datam quadraturam<br />
hujus hyperboloidis<br />
5 〈In l daneben von Huygens’ Hand:〉 est eadem quae supra ad .<br />
6 yy<br />
〈In l am Rande von Huygens’ Hand:〉 fit enim t ex a in √ aa−xx<br />
x<br />
18 mihi proposita: vgl. N. 8, S. 57.
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