QT Teil 1 - MPG Trier
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Inhalt<br />
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Joachim Lillig<br />
1 Doppelspaltexperiment mit klassischen Objekten ..................................................... 32<br />
2 Doppelspaltexperiment mit Quantenobjekten –<br />
Phänomene, die klassisch nicht zu beschreiben sind ................................................. 34<br />
2.1 Doppelspaltexperiment mit Elektronen .................................................................. 34<br />
2.1.1 Einzelne Elektronen – geringe Intensität ....................................................... 34<br />
2.1.2 Hohe Intensität .................................................................................................. 34<br />
2.1.3 Doppelspaltexperiment mit WelcherWegInfo.............................................. 35<br />
2.1.4 <strong>Teil</strong>chencharakter des Lichts (Photonen) ...................................................... 35<br />
2.2 Doppelspaltexperiment mit Photonen .................................................................... 36<br />
2.3 Doppelspaltexperiment mit verschränkten Objekten – Doppeldoppelspalt..... 36<br />
3 Antworten der Quantentheorie ........................................................................................ 37<br />
3.1 Eine Rechengröße ψ ................................................................................................... 37<br />
3.1.1 Grundprinzipien – Rechenregeln für Amplituden ...................................... 37<br />
3.1.2 Unschärferelation .............................................................................................. 42<br />
3.2 Wellenfunktionen ....................................................................................................... 45<br />
3.3 Zustandsvektoren ....................................................................................................... 48<br />
3.3.1 Doppelspaltexperiment mit Messung des Spaltdurchgangs...................... 49<br />
3.3.2 Übungsaufgaben ............................................................................................... 51<br />
3.3.3 Übliche Herleitung von p = h/λ ist nur heuristisch/propädeutisch.......... 54<br />
3.3.4 Dualismus?......................................................................................................... 55<br />
3.3.5 Anhang: Axiome der Quantentheorie und Schrödingergleichung ............. 57<br />
3.4 Information .................................................................................................................. 62<br />
3.4.1 Doppeldoppelspalt und Verschränkungen................................................... 62<br />
3.4.2 Quantenradierer ................................................................................................ 64<br />
3.4.3 Anhang: Bellsche Ungleichung ....................................................................... 65<br />
3.5 Unklassisch und unverzichtbar ................................................................................ 67<br />
4 Literatur .............................................................................................................................. 68<br />
Interpretationen der Quantentheorie 31
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
1 Doppelspaltexperiment mit klassischen Objekten<br />
Versuchsaufbau des Doppelspaltexperimentes<br />
– In einer Quelle werden Objekte (<strong>Teil</strong>chen oder<br />
Wellen) identisch präpariert,<br />
– auf einem geeigneten Schirm werden sie registriert;<br />
– zwischen Quelle und Schirm passieren sie einen<br />
Doppelspalt.<br />
Präparierung – Doppelspalt –<br />
Registrierung<br />
Klassisch sind die registrierten Objekte dieselben wie<br />
die präparierten, sie bewegen sich auf Bahnen von<br />
der Quelle zum Detektor.<br />
In der Quantentheorie werden Objekte präpariert,<br />
Detektoren sprechen an; es bleibt offen, wie die Objekte<br />
zum Schirm gelangen und ob überhaupt dieselben<br />
Objekte registriert werden.<br />
Zunächst erinnern wir uns an Resultate des Doppelspaltexperiments<br />
mit klassischen Objekten. Es werden<br />
die Beobachtungen herausgestellt, die beim<br />
Doppelspaltexperiment mit Quantenobjekten von<br />
Bedeutung sind.<br />
Doppelspaltexperiment mit klassischen <strong>Teil</strong>chen<br />
– Klassische Korpuskel kommen stückweise (diskret),<br />
sie sind lokalisierbar.<br />
– Als Maß der Intensität gilt die <strong>Teil</strong>chenanzahl, die<br />
durch<br />
N12 (x) = N1 (x) + N2 (x)<br />
beschrieben wird, wobei N ( x), N (x), N (x) die<br />
1 2 12<br />
Anzahl der <strong>Teil</strong>chen an der Stelle x bei offenem<br />
Spalt 1, bei offenem Spalt 2 bzw. bei zwei offenen<br />
Spalten angeben.<br />
– Das bedeutet, dass die Korpuskel entweder durch<br />
Spalt 1 oder durch Spalt 2 gehen, also nicht interferenzfähig<br />
sind.<br />
– Bei geringer Intensität entsteht ein zufälliges<br />
Punktemuster, bei Wiederholungen ergeben sich<br />
andere Verteilungen; bei hoher Intensität sind<br />
stets dieselben Muster zu erkennen.<br />
32 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
– Die relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeit<br />
aufgefasst werden, sie sind additiv:<br />
P12 = P1 + P2 .<br />
In der Quantentheorie wird P durch |ψ| 2 ersetzt;<br />
dann ist<br />
|ψ12 | 2 = |ψ1 | 2 + |ψ2 | 2 .<br />
Doppelspaltexperiment mit klassischen Wellen<br />
– Bei Wellen ist jede beliebige Größe möglich (kontinuierlich),<br />
Wellen sind nicht lokalisierbar.<br />
– Gemessen wird die Intensität, für die<br />
I 12 =I 1 +I 2 +2 I 1 I 2 cos δ ,<br />
insbesondere I 12 ≠ I 1 + I 2 gilt.<br />
– Der Term 2 I I cos δ ist ein Maß für die Abwei-<br />
1 2<br />
chung vom <strong>Teil</strong>chenverhalten und heißt Interferenzterm.<br />
Wellen gehen gleichzeitig durch beide<br />
Spalte, sie sind interferenzfähig.<br />
– Sowohl bei geringer als auch bei hoher Intensität<br />
entsteht stets dasselbe Interferenzmuster.<br />
– Mathematisch vorteilhaft ist eine Größe ψ mit<br />
ψ ~ I bzw. |ψ| 2 ~ I . Der Vorteil von ψ liegt in<br />
der Additivität:<br />
ψ12 = ψ1 + ψ2 .<br />
Insbesondere ist |ψ12 | 2 = |ψ1 + ψ2 | 2 , aber<br />
|ψ | 12 2 ≠ |ψ | 1 2 + |ψ | 2 2 .<br />
Interpretationen der Quantentheorie 33
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
2 Doppelspaltexperiment mit Quantenobjekten –<br />
Phänomene, die klassisch nicht zu beschreiben sind<br />
2.1 Doppelspaltexperiment mit Elektronen<br />
2.1.1 Einzelne Elektronen – geringe Intensität<br />
Im Unterricht werden Elektronen zunächst durch die<br />
Korpuskeltheorie beschrieben, daher wird erwartet<br />
und auch beobachtet, dass sie wie klassische <strong>Teil</strong>chen<br />
stückweise ankommen, an genau einer Stelle<br />
des Schirms registriert werden, zufällige Punktemuster<br />
liefern, die als Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />
aufgefasst werden können.<br />
In dieser klassischen Betrachtung bleibt unverstanden,<br />
dass die Intensitätskurve breiter statt schmaler<br />
wird, wenn man die Spaltbreite verringert.<br />
2.1.2 Hohe Intensität<br />
– Klassisch nicht zu verstehen ist die Beobachtung<br />
eines Interferenzmusters, also die Beobachtung<br />
von Wellenphänomenen bei <strong>Teil</strong>chen.<br />
– Das beobachtbare Wellenmuster ist unerklärbar,<br />
wenn man annimmt, dass der präparierte Anfangsimpuls<br />
auch hinter dem Doppelspalt vorliegt.<br />
Der Messapparat muss den Impulswert verändert<br />
haben, die neuen Impulswerte können<br />
nicht vorausgesagt werden.<br />
34 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
2.1.3 Doppelspaltexperiment mit WelcherWegInfo<br />
Schließen eines Spaltes<br />
Beim Doppelspaltexperiment kann nicht entschieden<br />
werden, durch welchen Spalt das Elektron gegangen<br />
ist. Möchte man diese Information haben, so muss<br />
eine Ortsmessung durchgeführt werden, am einfachsten<br />
durch das Schließen eines Spaltes. Abwechselndes<br />
Zuhalten eines Spaltes führt aber zu einem<br />
Korpuskelbild, die Interferenz ist verschwunden.<br />
Beobachtung mit Licht<br />
Statt einen Spalt zu schließen, kann die Spaltpassage der Elektronen durch Licht beobachtet<br />
werden, wozu hinter dem Doppelspalt zwei Lichtdetektoren aufgestellt werden.<br />
Klassisch unverständlich ist die Beobachtung, dass bei hinreichend langwelligem Licht<br />
das Interferenzmuster erhalten bleibt, bei kurzwelligem Licht aber verschwindet.<br />
Das Experiment wird interessanter, wenn jeweils nur ein Elektron in der Apparatur ist.<br />
Es ist möglich, dass einige Elektronen nicht vom Licht getroffen werden. Daher markiere<br />
die Auftrefforte beispielsweise<br />
1. rot, wenn Lichtdetektor 1 angesprochen hat,<br />
2. gelb, wenn Lichtdetektor 2 angesprochen hat,<br />
3. blau, wenn kein Lichtdetektor angesprochen hat.<br />
Die roten und gelben Punkte liefern ein <strong>Teil</strong>chenmuster, die blauen ein Wellenmuster.<br />
Es ist nicht möglich, ein Elektron, das zum Interferenzbild beiträgt, einem der beiden<br />
Spalte zuzuordnen.<br />
2.1.4 <strong>Teil</strong>chencharakter des Lichts (Photonen)<br />
Im letzten Versuch setzen wir eine ideale Lichtregistrierung<br />
voraus, was durch sehr viele kleinste<br />
nebeneinander aufgereihte Lichtdetektoren erreicht<br />
werden könnte.<br />
Bei hoher Lichtintensität sprechen alle Detektoren<br />
an, die Zeiger schlagen stark aus.<br />
Bei geringer Lichtintensität sollten nach der klassischen Vorstellung Licht als Welle immer<br />
noch alle Detektoren ansprechen und der Zeigerausschlag zurückgehen; stattdessen<br />
sprechen nicht alle an, bei geringster Lichtintensität genau einer, und der Zeigerausschlag<br />
bleibt konstant. Die beste Erklärung:<br />
Licht verhält sich teilchenhaft. Es kommt stückweise in Portionen und ist lokalisierbar; die<br />
Portionen heißen Lichtquanten bzw. Photonen.<br />
Diese <strong>Teil</strong>chenphänomene bei Wellen bleiben klassisch unverstanden.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 35
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
2.2 Doppelspaltexperiment mit Photonen<br />
Zum <strong>Teil</strong>chencharakter der Strahlung führte im letzten Abschnitt das Doppelspaltexperiment<br />
mit Elektronen, die durch Photonen beobachtet wurden. Der <strong>Teil</strong>chencharakter<br />
wird natürlich auch beim Doppelspaltexperiment mit Licht beobachtet, wenn die Intensität<br />
so gering gehalten wird, dass sich jeweils nur ein Photon in der Messapparatur<br />
befindet, und genau eine Stelle auf dem Schirm aufleuchtet: Licht geringster Intensität<br />
ist lokalisierbar.<br />
Die Information, welchen Spalt das (Laser-)Licht passiert, kann beispielsweise dadurch<br />
erhalten werden, dass die Spalte durch senkrecht zueinander orientierte Polarisationsfolien<br />
überklebt werden (Licht wird markiert) [vgl. Beitrag von Wolfram Mai in diesem<br />
Heft]; dann verschwindet aber das Interferenzmuster.<br />
Bringt man nun zwischen den markierten Doppelspalt und den Schirm einen zu den<br />
Folien diagonal stehenden Polarisator, der die Spaltinformation innerhalb des Versuchsaufbaus<br />
löscht (Quantenradierer), so erscheint wieder das Interferenzmuster.<br />
2.3 Doppelspaltexperiment mit verschränkten Objekten – Doppeldoppelspalt<br />
Seit ein paar Jahren ist es möglich, Photonen durch einen Downkonverter (einen Spezialkristall)<br />
in ein Paar von Photonen doppelter Wellenlänge aufzuspalten, z. B. ein UV-<br />
Photon in zwei optische Photonen. Ein solches Photonenpaar werde durch einen<br />
Doppeldoppelspalt geschickt:<br />
Quelle<br />
Zwilling 1 Zwilling 2<br />
Downkonverter<br />
Schirm 1 Schirm 2<br />
Folgende Beobachtungen bleiben unverstanden:<br />
– Sowohl bei Schirm 1 als auch bei Schirm 2 entstehen <strong>Teil</strong>chenmuster.<br />
– Eine Koinzidenzmessung [vgl. Beitrag von Wolfram Mai] an beiden Schirmen führt zu<br />
einem Interferenzmuster.<br />
36 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
3 Antworten der Quantentheorie<br />
Eine physikalische Theorie ist ein mathematischer Formalismus, dessen Symbole interpretiert<br />
und Objekten der Natur zugeordnet werden müssen.<br />
Natur<br />
Realität<br />
Physikalische Phänomene<br />
Im Folgenden soll der Formalismus in drei Versionen angesprochen werden.<br />
1. Rechengröße ψ<br />
2. Wellenfunktion ψ<br />
3. Zustandsvektor |ψ><br />
Um Interferenzen und Superpositionen zu beschreiben, bieten die klassischen Theorien<br />
die beiden Konzepte Welle und Vektor an. Zuvor wird mit einer Rechengröße ψ hantiert,<br />
die wir nicht weiter interpretieren, von der wir lediglich gewisse Verhaltensweisen<br />
erwarten. Jede Sichtweise erweitert auf ihre Art das Verständnis der Quantentheorie.<br />
3.1 Eine Rechengröße ψ<br />
Zuordnungen<br />
Interpretationen<br />
Physik<br />
Mathematik<br />
Formalismus<br />
3.1.1 Grundprinzipien – Rechenregeln für Amplituden<br />
Beim Doppelspaltexperiment mit klassischen Objekten hat sich eine Rechengröße ψ mit<br />
ψ ~ I als vorteilhaft erwiesen. Bei klassischen Wellen ist ψ additiv, bei klassischen<br />
<strong>Teil</strong>chen ist |ψ| 2 additiv und wird in diesem Fall als Auftreffwahrscheinlichkeit verstanden.<br />
Ganz und gar unklassisch wird es, wenn wir beide Eigenschaften zusammen von derselben<br />
Rechengröße ψ erwarten:<br />
– ψ soll additiv sein, wenn die Wege einzelner Quanten ununterscheidbar sind, wenn<br />
es also nicht möglich ist zu erfahren, welches der möglichen Ereignisse eintreten<br />
wird; in diesem Falle offenbaren die Quanten Wellencharakter;<br />
– |ψ| 2 soll additiv sein, wenn sich die Wege unterscheiden lassen, wenn es also möglich<br />
ist zu erfahren, welches der möglichen Ereignisse eintreten wird; in diesem Falle<br />
offenbaren die Quanten teilchenförmiges Verhalten.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 37
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
Nach Richard P. Feynman: Vorlesungen über Physik, Band III, Quantentheorie formulieren<br />
wir für die Quantentheorie die<br />
Grundprinzipien<br />
Regel 1:<br />
Additivität der<br />
Amplituden<br />
(1. Pfadregel)<br />
Regel 2:<br />
Multiplikativität der<br />
Amplituden<br />
(2. Pfadregel)<br />
Regel 3:<br />
Wahrscheinlichkeitsinterpretation<br />
Regel 4:<br />
Additivität der<br />
Wahrscheinlichkeiten<br />
Wenn ein Ereignis auf mehrere verschiedene Weisen<br />
auftreten kann, ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude<br />
für das Ereignis die Summe der Wahrscheinlichkeitsamplituden<br />
jeder einzelnen betrachteten<br />
Möglichkeit:<br />
ψ (x) = ψ1 (x) + ψ2 (x) .<br />
Es gibt Interferenz.<br />
Wird ein Ereignis in <strong>Teil</strong>ereignisse zerlegt, so sind<br />
die zugehörigen Amplituden zu multiplizieren.<br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das<br />
Quadrat des Absolutbetrages der Wahrscheinlichkeitsamplitude:<br />
P (x) = |ψ (x)| 2 = ψ* (x) · ψ (x) .<br />
Erlaubt das Experiment eine Entscheidung, welche<br />
Alternative gewählt wurde, dann ist die<br />
Wahrscheinlichkeit additiv:<br />
P = P1 + P2 bzw. |ψ| 2 = |ψ1 | 2 + |ψ2 | 2 .<br />
Die Interferenz geht verloren.<br />
38 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Nach diesen Grundprinzipien lässt sich nun auch auf Schulniveau das Doppelspaltexperiment<br />
durchrechnen, allerdings wird benutzt, dass ψ (x) eine komplexe Zahl ist<br />
und dass |ψ (x)| 2 = ψ∗ (x) · ψ (x) gilt. Es werden zwei Möglichkeiten vorgestellt:<br />
1. Möglichkeit<br />
Berechnet wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein<br />
Quant am Ort x des Schirms registriert wird:<br />
P12 (x) = |ψ12 (x)| 2<br />
Regel 3<br />
= |(ψ 1 + ψ 2 ) (x)| 2<br />
Regel 1<br />
= (ψ1 * (x) + ψ2 * (x)) · (ψ1 (x) + ψ2 (x))<br />
= |ψ1 (x)| 2 + |ψ2 (x)| 2 + ψ1 * (x) ψ2 (x) +<br />
ψ2 * (x) ψ1 (x)<br />
= |ψ (x)| 1 2 + |ψ (x)| 2 2 + 2 Re (ψ * (x) ψ (x))<br />
1 2<br />
2 Re (ψ1 * (x) ψ2 (x)) heißt Interferenzterm.<br />
Entscheidend ist die Anwendung von Regel 1, die<br />
dann anzuwenden ist, wenn beide Spalte offen sind<br />
und keine Entscheidung möglich ist, ob das Quant<br />
Spalt 1 oder Spalt 2 passiert hat. Es tritt Interferenz<br />
auf.<br />
Hat man dagegen WelcherSpaltInfo, so ist statt Regel<br />
1 die Regel 4 anzuwenden, und es folgt<br />
P (x) = P (x) + P (x)<br />
12 1 2<br />
Regel 4<br />
= |ψ1 (x)| 2 + |ψ2 (x)| 2 ,<br />
Regel 3<br />
der Interferenzterm ist 0, die Einzelintensitäten sind<br />
zu addieren, beobachtet wird ein <strong>Teil</strong>chenbild.<br />
Interferenzterm ≠ 0<br />
Interferenzterm = 0<br />
Interpretationen der Quantentheorie 39
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
2. Möglichkeit<br />
Die folgende (sehr empfehlenswerte) Rechnung stammt von Richard Feynman:<br />
Die Amplituden, dass ein Elektron an der Stelle x registriert wird und dabei durch Spalt<br />
1 bzw. Spalt 2 gegangen ist, seien<br />
ψ (x) bzw. ψ (x) .<br />
1 2<br />
Wird der Spaltdurchgang der Elektronen mit Licht beobachtet, so sei die Amplitude,<br />
dass ein Elektron durch Spalt 1 geht und gleichzeitig ein Photon in Detektor 1 registriert<br />
wird,<br />
a ψ (x) (a komplex), (Regel 2)<br />
1<br />
denn nach Regel 2 müssen die beiden Amplituden multipliziert werden.<br />
Bei einem nicht ganz idealen Messapparat besteht aber auch die Möglichkeit, dass ein<br />
Photon in Detektor 1 nachgewiesen wird, wenn das Elektron Spalt 2 passiert hat; diese<br />
Amplitude sei<br />
b ψ (x) . 2<br />
Die Gesamtamplitude, dass ein Elektron an der Stelle x und ein Photon in Detektor 1<br />
ankommen, ist dann nach Regel 1<br />
a ψ1 (x) + b ψ2 (x) . (Regel 1)<br />
Analog ist die Gesamtamplitude, dass ein Elektron bei x ankommt und Photonendetektor<br />
2 anspricht, aus Symmetriegründen<br />
a ψ2 (x) + b ψ1 (x) .<br />
Nach Regel 4 müssen von diesen beiden (experimentell unterscheidbaren) Möglichkeiten<br />
die Wahrscheinlichkeiten addiert werden, so dass das Experiment durch<br />
|a ψ (x) + b ψ (x)| 1 2 2 + |a ψ (x) + b ψ (x)| 2 1 2 (Regel 4)<br />
beschrieben werden kann.<br />
Interessant sind zwei Spezialfälle:<br />
Ist die Lichtmessung ideal, dann spricht Detektor 1 nur an, wenn das Elektron Spalt 1<br />
passiert hat, demnach ist b = 0, damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit<br />
|a ψ1 (x)| 2 + |a ψ2 (x)| 2 : keine Interferenz.<br />
Ist die Wellenlänge des Lichts zu groß (größer als der Spaltabstand), streut ein mit dem<br />
Elektron wechselwirkendes Photon mit gleicher Wahrscheinlichkeit in Detektor 1 wie in<br />
Detektor 2, d. h. es gilt a = b, damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit in diesem Falle<br />
|a ψ1 (x) + a ψ2 (x)| 2 + |a ψ2 (x) + a ψ1 (x)| 2 = 2 |a| 2 · |ψ1 (x) + ψ2 (x)| 2 : Interferenz.<br />
40 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Bewertung der Version Rechengröße ψ<br />
+ die teilchenhafte Additivität von |ψ| 2 und die wellenhafte Additivität von ψ werden<br />
von derselben Rechengröße gefordert und so auf wunderbare und einfache, aber<br />
brutale Weise vereint;<br />
+ Formalismus und Interpretation sind gut zu trennen;<br />
+ ohne großen formalen Aufwand können bereits sehr gute Rechenergebnisse erzielt<br />
werden;<br />
– ψ wird nicht veranschaulicht oder weiter interpretiert und bleibt unverstanden.<br />
Anmerkungen<br />
Nach den makroskopischen Erfahrungen, die durch die klassische Physik beschrieben<br />
werden, sind <strong>Teil</strong>chen- und Wellenvorstellungen nicht vereinbar, sie sind nicht einmal<br />
komplementär, sondern konträr. Die Quantentheorie ist deshalb unklassisch und zunächst<br />
unvorstellbar, weil dieselbe Rechengröße ψ gleichzeitig <strong>Teil</strong>chen- und Wellencharakter<br />
beschreiben soll. Bei Quanten sind <strong>Teil</strong>chen- und Wellenvorstellung<br />
zusammenzudenken. Vermittelt werden diese Verbindungen durch die Plancksche Konstante<br />
h, aber auch durch die Bornsche Wahrscheinlichkeitsdeutung: Stochastisches vereint<br />
Körniges und Welliges.<br />
So vereint die Quantentheorie die drei großen klassischen Standbeine, die <strong>Teil</strong>chen<br />
beschreibende klassische Mechanik, die Wellen und Felder beschreibende klassische<br />
Elektrodynamik, beides kausale Theorien, und die statistische Thermodynamik. Nach<br />
unseren Erfahrungen sind alle drei Theorien nicht miteinander vereinbar, daher entsprechen<br />
Quanten nicht unseren mesokosmisch geprägten Erfahrungen.<br />
Da für Quanten keine empirischen Modelle zur Verfügung stehen, müssen mathematische<br />
Modelle herangezogen werden. In der Quantentheorie werden Mechanik, Elektrodynamik<br />
und Thermodynamik mathematisch vereint. Und das macht die Quantentheorie<br />
unvorstellbar und in höchstem Maße abstrakt, denn ψ beschreibt nun eine mathematische<br />
Welle; es interferieren nicht physikalische Objekte, sondern mathematische<br />
Rechengrößen.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 41
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
3.1.2 Unschärferelation<br />
Heisenbergsche<br />
Unschärferelation<br />
Der Vorzug dieser Betrachtung liegt<br />
darin, dass p der Photonenimpuls ist,<br />
nicht der Elektronenimpuls; so kann<br />
die in Misskredit geratene Einzelspaltherleitung<br />
der Heisenbergschen Unschärferelation<br />
umgangen werden.<br />
Doppelspaltexperiment mit Licht<br />
In der Durchrechnung des Doppelspaltexperiments<br />
wurden die Spezialfälle b = 0 und b = a betrachtet;<br />
offenbar hängt b mit der Größe der Wellenlänge des<br />
Lichts zusammen. In jedem Falle stellt die Beobachtung<br />
der Elektronen hinter dem Doppelspalt mit Hilfe<br />
von Licht eine energetische Störung dar; das Photon<br />
überträgt den Impuls p = hk = h/λ oder einen<br />
<strong>Teil</strong> davon auf das Elektron und ändert so die<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Verringerung<br />
der Störung wird erreicht, indem der Impuls verkleinert<br />
wird, das heißt aber in der Quantentheorie, dass<br />
die Wellenlänge λ größer wird.<br />
Wenn λ zu groß ist, können die beiden Spalte optisch<br />
nicht mehr getrennt werden, und es zeigt sich wieder<br />
das Interferenzmuster.<br />
Entweder beobachtet man das Interferenzbild und<br />
weiß nicht, durch welchen Spalt das Elektron ging,<br />
oder man kennt den Spalt und kann das Interferenzbild<br />
nicht beobachten.<br />
Es ist unmöglich, einen Apparat zu entwickeln, der<br />
feststellt, durch welches Loch das Elektron geht, ohne<br />
dass er gleichzeitig die Elektronen so weit beeinträchtigt,<br />
dass das Interferenzbild zerstört wird.<br />
Quantitative Betrachtung<br />
Wenn der Impuls des Lichts teilweise oder ganz<br />
übertragen wird, ist größenordnungsmäßig p ≈ ∆p.<br />
Für Licht, das die Spalte optisch trennen kann, gilt<br />
λ ≈ Spaltabstand ≈ ∆x .<br />
Aus p = h/λ bzw. p · λ = h folgt ∆p · ∆x ≈ h .<br />
42 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Doppelspaltexperiment ohne Licht<br />
Wenn die Elektronen auf einen Anfangsimpuls präpariert<br />
sind, so ist die beobachtbare Streuung am<br />
Schirm unter der klassischen Annahme, dass dieser<br />
Anfangsimpuls auch hinter dem Schirm vorliegt,<br />
nicht verständlich. Daher muss sich dieser Wert hinter<br />
dem Spalt verändert haben; der Impuls kann unterschiedliche<br />
Werte annehmen, die nicht vorausgesagt<br />
werden können.<br />
Heisenbergsche Unschärferelation:<br />
Je besser die Ortskenntnis (Spaltbreite), desto ungenauer die Impulsvorhersage (Streumuster<br />
breiter).<br />
Allgemeiner:<br />
Quantenobjekte können nicht in einen Zustand gebracht werden, in dem sie gleichzeitig einen<br />
Ort und einen Impuls haben.<br />
Anmerkungen<br />
– Die in der Heisenbergschen Unschärferelation vorkommenden Terme ∆x und ∆p sind<br />
Standardabweichungen und werden auch Unschärfen genannt. In der klassischen<br />
Physik wird angenommen, dass zu jedem Zeitpunkt im Prinzip ∆x = 0 und ∆p = 0<br />
gilt, nur Unzulänglichkeiten der Messapparate führen zu ∆x · ∆p > 0, jedoch<br />
∆x · ∆p → 0. Idealerweise ordnet man jeder Größe zu jedem Zeitpunkt genau einen<br />
Wert zu, wodurch Größen Funktionen der Zeit werden.<br />
In der Quantentheorie gilt unmittelbar nach einer Ortsmessung ∆x = 0, die Unschärfe<br />
wächst dann zu ∆x > 0 an, dem zu beschreibenden Objekt kann dann kein eindeutiger<br />
Ortswert mehr zugeordnet werden, zu einem Zeitpunkt gehören viele Ortswerte.<br />
Ort ist keine Funktion der Zeit mehr, bleibt aber Beobachtungsgröße in dem Sinne,<br />
dass eine Ortsmessung zu genau einem Ortswert führt. Zur Abgrenzung des klassischen<br />
Begriffs Größe wird das Wort Observable benutzt.<br />
– Beide oben vorgestellten Formulierungen der Heisenbergschen Unschärferelation sind<br />
äußerst vorsichtig gefasst. Die erste Formulierung ist auch dann korrekt, wenn die<br />
Messung ohne Wechselwirkung geschieht. Die zweite Formulierung betont, dass die<br />
Heisenbergschen Unschärferelation sich auf die Zukunft, nicht auf die Vergangenheit<br />
bezieht (das Zukünftige steckt in den auftretenden Unschärfen, die Wahrscheinlichkeiten<br />
voraussetzen; Vergangenes ist faktisch und hat stets Wahrscheinlichkeit 1).<br />
– In der Quantentheorie haben Ort und Impuls keine gemeinsamen Basisvektoren,<br />
daher gibt es keinen Zustand mit gleichzeitig bestimmtem Orts- und Impulswert,<br />
weder vor noch während noch nach einer Messung. Da nach Einstein die Theorie<br />
entscheidet, was gemessen wird, kann ein Zustand mit Ort und Impuls niemals<br />
beobachtet werden. Die Umkehrung „Wenn nicht beobachtbar, dann nicht existent“ ist<br />
nicht begründet [Weizsäcker, 1985].<br />
Interpretationen der Quantentheorie 43
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
– Der Theorie nach ist es unerheblich, ob die Beobachtung hinter dem Spalt mit oder<br />
ohne Wechselwirkung geschieht. Die gleichzeitige Unbestimmtheit von Ort und Impuls<br />
wird also nicht erst durch den Messprozess erzeugt.<br />
– Die Heisenbergsche Unschärferelation folgt aus dem Operatorformalismus (bzw. wird<br />
axiomatisch gefordert), also aus der Theorie und ist nicht experimentell ableitbar.<br />
Das Doppelspaltexperiment mit oder ohne Spaltbeobachtung ist im Einklang mit der<br />
Heisenbergschen Unschärferelation.<br />
– Bei dem Versuch, Quanten zu lokalisieren, ihren Raumbereich immer mehr einzuengen,<br />
muss immer mehr Impuls und Energie aufgewendet werden, die schließlich<br />
ausreicht, die nach der Heisenbergschen Unschärferelation im Vakuum ständig entstehenden<br />
und vergehenden virtuellen <strong>Teil</strong>chen zum Leben zu erwecken, d. h. zu realen<br />
<strong>Teil</strong>chen werden zu lassen. Derartige Erzeugungen und Vernichtungen von <strong>Teil</strong>chen<br />
sind nach der nichtrelativistischen Quantenmechanik nicht möglich.<br />
– Dass man in der Quantentheorie einem Objekt von zwei komplementären Eigenschaften<br />
nicht gleichzeitig feste Werte zuschreiben kann, erläutert Gesche Pospiech an<br />
folgendem skurrilem Bild:<br />
Ein Bauer hat eine Herde mit weißen und schwarzen Kühen und weißen und schwarzen<br />
Pferden. Diese möchte er jetzt zählen. Er treibt alle Tiere durch ein Doppel-Gatter: Links<br />
können nur die Kühe, rechts nur die Pferde hindurch gehen. In einem zweiten Schritt bringt<br />
er die Pferde unwiderruflich weg und sortiert danach die Kühe der Farbe nach, um eine Herde<br />
mit weißen Kühen zu erhalten. Nun möchte er sich vergewissern, dass er richtig sortiert hat,<br />
schaut nach, indem er die weißen Kühe wieder durch das Doppel-Gatter schickt, und entdeckt<br />
plötzlich Pferde darunter.<br />
Interpretiert man Kuh als ein auf den Anfangsimpuls p 0 präpariertes Elektron, Pferd als Elektronen mit<br />
anderen Impulsen und die beiden Spalte als schwarz und weiß, so entspricht eine weiße Kuh einem<br />
durch einen fixierten Spalt gegangenen Elektron, und eine Kontrolle bedeutet erneute Impulsmessung<br />
dieses Elektrons, wobei dann auch andere Impulse als p 0 festgestellt werden.<br />
44 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
3.2 Wellenfunktionen<br />
harmonische Welle<br />
Viele Elektronen liefern ein Interferenzmuster, das<br />
wie in der klassischen Wellenlehre beschrieben werden<br />
kann: Sieht man die beiden Spalte als punktförmig<br />
an und ordnet den einzelnen Elektronenstrahlen<br />
komplexwertige Wellen<br />
ψ1 = a0 ei(α – δ/2) bzw. ψ2 = a0 ei(α + δ/2)<br />
zu, so folgt für den Gesamtstrahl<br />
ψ = ψ + ψ = a e 1 2 0 i(α – δ/2) + a ei(α + δ/2)<br />
0<br />
=a 0 e –i δ/2 +e +i δ/2 =2a 0 cos δ<br />
2 ei α .<br />
Hierbei ist δ die Phasendifferenz zwischen den Strahlen<br />
der beiden Spalte.<br />
Wegen I ~ |ψ| 2 ist die Intensität proportional zum<br />
Quadrat der Amplitude, also I = 4|a0 | 2 cos2 (δ/2) .<br />
(Die Überlagerung durch die Einzelspaltbilder liefert<br />
eine nach außen abnehmende Intensität gemäß<br />
2<br />
a =I0 0<br />
sin ϕ<br />
2<br />
ϕ<br />
2<br />
Interpretationen der Quantentheorie 45<br />
2<br />
,<br />
wobei I 0 die Intensität des zentralen Maximums und<br />
ϕ die Phasendifferenz zwischen den Randstrahlen jedes<br />
einzelnen Spaltes bedeuten.)<br />
Mit diesem Wellenansatz kann aber die Lokalisierbarkeit<br />
von Einzelelektronen (bzw. Einzelphotonen)<br />
nicht beschrieben werden. Daher versucht man einen<br />
Wellenpaketansatz:<br />
ψ (x,t) = a e k i αx,t (k) ∞<br />
dk<br />
–∞<br />
= a e k i(kx– ωt) ∞<br />
dk<br />
–∞<br />
.
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
Wellenpaket<br />
Jeder einzelne harmonische Anteil ak ei(kx – ωt) besitzt<br />
die eindeutig bestimmte Wellenzahl k = 2π/λ und<br />
die eindeutig bestimmte Frequenz ω = 2π · f. Wechselt<br />
man nun gemäß der Quantentheorie mittels<br />
p = hk = h/λ und W = hω = hf zum <strong>Teil</strong>chenbild (die<br />
Plancksche Konstante h koppelt <strong>Teil</strong>chen- und<br />
Wellenvorstellungen), so besitzen die harmonischen<br />
Komponenten eindeutige Werte für Impuls und Energie.<br />
Andererseits ist der harmonische Anteil unendlich<br />
ausgebreitet und hat daher keinen Ort.<br />
Dagegen setzt sich das Wellenpaket ψ (x,t) aus vielen<br />
verschiedenen Wellenzahlen und Frequenzen zusammen<br />
und hat weder eine Wellenzahl noch eine<br />
Frequenz, und daher weder Impuls noch Energie;<br />
ferner ist es nicht auf einen Raumpunkt begrenzt<br />
und hat daher auch keinen Ort.<br />
Da in einem Wellenpaket die <strong>Teil</strong>wellen unterschiedliche<br />
Phasengeschwindigkeiten (cϕ = ω/k) haben,<br />
müssen die <strong>Teil</strong>wellen auseinander laufen. Durch<br />
dieses Zerfließen ist aber eine rein wellentheoretische<br />
Beschreibung der Mikroobjekte zum Scheitern verurteilt:<br />
Selbst wenn ein <strong>Teil</strong>chen zu einem Zeitpunkt<br />
(nach einer Messung) sehr gut lokalisiert ist, ist es<br />
nach kurzer Zeit räumlich verschmiert (Verdopplung<br />
des Raumgebiets bei Elektronen in 10 –16 s); dies ist<br />
bisher nie beobachtet worden. Ortsmessungen liefern<br />
stets einen genauen Ort. Ohne Messung kann wegen<br />
∆x > 0 und ∆p > 0 weder ein Orts- noch ein Impulswert<br />
zugeordnet werden.<br />
Bei Elektronen müssten auch deren Ladungen verschmieren,<br />
und innerhalb der Ladungswolke müssten<br />
Bereiche auftreten, die eine kleinere Ladung als<br />
die Elektronenladung e – besitzen und die sich elektrisch<br />
abstoßen müssten, beides ist ebenfalls noch nie<br />
beobachtet worden. Weiterhin bleibt völlig unklar,<br />
ob in einer Elektronenwolke ein <strong>Teil</strong>chen oder mehrere<br />
verschmiert sind. Das Zerfließen des Wellenpakets<br />
beschreibt eine noch nie beobachtete Instabilität<br />
des Elektrons.<br />
46 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Anmerkungen<br />
Ein freies <strong>Teil</strong>chen wird durch die harmonische Welle ψ (x,t) = a · ei α (x,t) beschrieben.<br />
Dabei heißen a Amplitude und α Phase.<br />
Relevant für Messungen ist |ψ| 2 , das als Wahrscheinlichkeit interpretiert wird. Hierbei<br />
spielt wegen |eiα | = 1 die Phase keine Rolle mehr, für die Wahrscheinlichkeit ist nur<br />
der Amplitudenanteil maßgebend. Man nennt daher ψ (x) auch Wahrscheinlichkeitsamplitude.<br />
Bewertung der Version ψ als Wellenpaket<br />
+ diese Version entspricht der geschichtlichen Entwicklung, der Entstehung der<br />
Wellenmechanik aus der Materiewellentheorie (unter Hinzuziehen der Wahrscheinlichkeitsinterpretation);<br />
+ je nach Konzept des Unterrichts über die vorher behandelte klassische Wellenlehre<br />
kann daran angeknüpft werden;<br />
+ Wellenpakete sind der Vorstellung nach sehr anschaulich, wodurch ein gutes Verständnis<br />
des Zerfließens eines Zustandes und damit der inneren Dynamik, die sich<br />
nach der Schrödingergleichung ohne äußere Einwirkung vollzieht, und ein gutes Verständnis<br />
der Heisenbergschen Unschärferelation erreicht werden kann;<br />
– es besteht die Gefahr, dass die Vorstellung von Elektronen oder Photonen als Welle<br />
suggeriert wird;<br />
– der Formalismus ist sehr bis zu anspruchsvoll.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 47
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
3.3 Zustandsvektoren<br />
Das Konzept der Wellenfunktion ist zu eng, beispielsweise<br />
– setzt steigende Genauigkeit einer Ortsmessung nach ψ = ψ (x,t) bereits genaue Ortsund<br />
Zeitpunktmessung voraus, wozu nach der Heisenbergschen Unschärferelation<br />
großer Impuls und große Energie nötig sind.<br />
Wenn die Energie größer als die doppelte Elektronenruheenergie ist, werden ein<br />
Elektron-Positron-Paar erzeugt [(γ + e – → e – + (e – + e + )]. Solche Prozesse lassen sich<br />
mit Wellenfunktionen nicht mehr beschreiben (in der nichtrelativistischen Quantentheorie<br />
gilt nämlich <strong>Teil</strong>chenerhaltung).<br />
– Beim β-Zerfall n0 → p + + e – + ν ist der Anfangszustand eine Wellenfunktion ψ , der<br />
e n<br />
Endzustand aber ein Tripel von Wellenfunktionen:<br />
– Der Spin eines Elektrons kann die Werte +1/2 oder –1/2 annehmen, dazu ist ein<br />
ψ1 (x,t)<br />
Paar von Wellenfunktionen<br />
ψ2 (x,t) nötig.<br />
Eine allgemeine, abstraktere Formulierung der Quantenmechanik gelingt mit dem Konzept<br />
des Zustandsraums (mathematisch ein Hilbertraum), das elegante Erweiterungsmöglichkeiten<br />
zulässt.<br />
Am folgenden Beispiel soll das Vorgehen erläutert werden, wie zunächst der Hilbertraum<br />
als Erzeugnis der Basisvektoren (= Eigenzustände) gebildet wird und über die<br />
Messwerte dann ein geeigneter Operator gefunden werden kann. Es ist ersichtlich, dass<br />
Messergebnisse immer Eigenwerte sein müssen und dass das System nach einer Messung<br />
immer in einem Eigenzustand ist.<br />
Ist umgekehrt der Operator bekannt (und mit ihm der Hilbertraum), so können Eigenzustände<br />
und mögliche Messwerte aus ihm berechnet werden.<br />
48 Interpretationen der Quantentheorie<br />
ψ p +<br />
ψ e –<br />
ψ νe<br />
.
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
3.3.1 Doppelspaltexperiment mit Messung des Spaltdurchgangs (durch Licht)<br />
Nach der Messung haben entweder Detektor 1 oder Detektor 2 angesprochen. Um mit<br />
den beiden zugehörigen Messwerten<br />
Elektron durch Spalt 1 bzw. Elektron durch Spalt 2<br />
rechnen zu können, werden ihnen die reellen Zahlen λ bzw. µ zugeordnet.<br />
Zu diesen Messwerten gehören zwei Zustände, in denen das System nach der Messung<br />
sein kann, nämlich<br />
|Registrierung in Detektor 1, Durchgang durch Spalt 1, Spalte offen, Präparierung auf p0 >,<br />
|Registrierung in Detektor 2, Durchgang durch Spalt 2, Spalte offen, Präparierung auf p >. 0<br />
Es ist für Schülerinnen und Schüler sehr hilfreich, die Zustände anfangs verbal und<br />
ausführlich zu beschreiben. Danach kann man in allen Zuständen gleiche Versuchsbedingungen<br />
bzw. Texte der Einfachheit halber (ohne Informationsverlust) weglassen, die<br />
Zustände nach der Registrierung heißen dann einfach |1> und |2>.<br />
Der zum Experiment geeignete Zustandsraum (Hilbertraum) ist dann das Erzeugnis von<br />
|1> und |2>, ein beliebiger Zustand hat die Form<br />
|ψ> = a1 |1> + a2 |2> für komplexe Zahlen a1 und a2 .<br />
Der Hilbertraum ist zweidimensional. Er enthält alle möglichen Zustände, die das<br />
Doppelspaltexperiment mit Licht beschreiben, beispielsweise ist für a = 1 und a = 0<br />
1 2<br />
der Zustand |1> präpariert, ein Zustand, der nach der Messung vorliegen kann. In<br />
diesem Fall muss nach dem Grundprinzip aller empirischen Wissenschaften, der Wiederholbarkeit<br />
einer Messung, dieser Zustand wieder gemessen werden. Daher bleiben<br />
der Zustand |1> und entsprechend der Zustand |2> erhalten.<br />
Bzgl. der Basis |1> und |2> sind a1 und a2 die Koordinaten von |ψ>, und diese Koordinaten<br />
sind – wie aus der Linearen Algebra bekannt ist – die Projektionen von |ψ> auf<br />
die Basiszustände |1> und |2>, die sich mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen lassen:<br />
= + a2 |2>)= a1 + a2 = a1 · 1 + a2 · 0 = a1 ,<br />
analog = a2 .<br />
Das Skalarprodukt (Schema ) beschreibt den Übergang vom Zustand<br />
|ψ> in den Zustand |1>. Entsprechend zu ψ (x) bei den Wellenfunktionen heißt<br />
die komplexe Zahl Wahrscheinlichkeitsamplitude.<br />
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude = a1 ist die Amplitude des Anteils von |1> in |ψ><br />
bzw. die Amplitude, dass das Elektron vom Zustand |ψ> in den Zustand |1> übergeht.<br />
Ein beliebiger Zustand |ψ> = a1 |1> + a2 |2> besitzt dann die Amplitudendarstellung<br />
|ψ> = |1> + |2> .<br />
Ganz allgemein wird der Übergang zwischen Zuständen durch Operatoren beschrieben<br />
(denkt man an Wellenfunktionen, so sind die Operatoren Funktionen von Funktionen,<br />
daher der Name Operator). Ein zum Experiment passender Operator Ô soll jedem<br />
möglichen präparierten Zustand einen gemessenen Zustand zuordnen, insbesondere<br />
wegen der Wiederholbarkeit einer Messung den Basiszuständen |1> und |2> sich<br />
Interpretationen der Quantentheorie 49
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
selbst (s. o.). Weiterhin soll Ô die Messwerte liefern. Daher fordern wir von Ô die<br />
Eigenschaft<br />
Ô |1> = λ |1> , Ô |2> = µ |2> .<br />
Offenbar sind |1> und |2> Eigenvektoren mit den Eigenwerten λ und µ.<br />
Die Wirkung des Operators auf einen beliebigen Zustand |ψ> folgt dann aus der geforderten<br />
Linearität:<br />
Ô |ψ> = Ô (|1> + |2> ) = Ô |1> + Ô |2> <br />
= λ |1> + µ |2> .<br />
Das Weglassen von |ψ> führt zu<br />
Ô = λ |1> · λ · · µ · liefert neben den<br />
Messwerten λ und µ mit |a1 | 2 = || 2 und |a2 | 2 = || 2 auch die Wahrscheinlichkeiten<br />
für das Eintreten dieser Messwerte und für den Übergang von dem<br />
Zustand |ψ> in einen Eigenzustand |1> oder |2>.<br />
Der bei einer Messung stattfindende Übergang in einen Eigenzustand heißt Quantensprung<br />
und wird mathematisch durch die Projektion auf den Basiszustand beschrieben:<br />
|ψ>| → |1> bzw. |ψ>| → |2> .<br />
Beispiel:<br />
|2><br />
α<br />
|1><br />
Für die Koordinaten a1 = cos α und a2 = sin α heißt<br />
der Zustand<br />
|ψ> = cos α |1> + sin α |2> .<br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von |ψ><br />
nach |1> ist<br />
|| 2 = |cos α + sin α | 2<br />
= |cos α · 1 + sin α · 0| 2 = cos2 α ;<br />
analog || 2 = sin2 α .<br />
Eben haben wir aus Eigenvektoren und Eigenwerten den Operator erzeugt. Umgekehrt<br />
können zu einem gegebenen Operator<br />
Ô = |1> λ µ ≠ 0<br />
muss Ô|ψ> = α |ψ> gelten, also<br />
λ |1> + µ |2> = α |1> + α |2> .<br />
Daraus ergeben sich wegen der linearen Unabhängigkeit von |1> und |2> die Beziehungen<br />
(λ – α) = 0 und (µ – α) = 0 .<br />
50 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Da es zwei Eigenwerte geben muss, ist α = λ und α = µ nicht möglich, daher ist entweder<br />
= 0 oder = 0 .<br />
Im Falle = 0 ist α = µ, also |ψ> = |2> , d. h. die Vektoren |ψ> und |2><br />
sind linear abhängig, kennzeichnen also denselben Zustand. Da |ψ> Eigenvektor ist, ist<br />
es auch |2>; der zugehörige Eigenwert ist α = µ. Im Falle = 0 kann geschlossen<br />
werden, dass |1> Eigenvektor ist.<br />
Ganz allgemein gehört zu den Messwerten λ1 , λ2 , … und den zugehörigen Eigenzuständen<br />
|ϕ1 >, |ϕ2 >, … der Operator  = ∑ |ϕj > λj liefert einen Impulswert p,<br />
deshalb ist<br />
P ψ = h<br />
i<br />
d<br />
ψ =pψ .<br />
dx<br />
Diese Differentialgleichung hat die Lösung<br />
das Impulsspektrum ist kontinuierlich.<br />
ψ (x) = a e i<br />
h px . ψ ist Lösung für alle reellen p,<br />
3.3.2 Übungsaufgaben<br />
Es folgen weitere Übungsbeispiele, die dem Umgang mit dem Zustandsvektor dienen.<br />
Um die Kopenhagener Auffassung [vgl. Beitrag Interpretationen von Joachim Lillig in<br />
diesem Heft], erst Messung liefert eine Eigenschaft bzw. eine Realität, nachvollziehen<br />
zu können, sollte man die Zustandsvektoren zunächst in ganz ausführlicher Art verbalisieren,<br />
der Einfluss des Aufbaus der Messung wird deutlicher.<br />
Beispiel 1: Messung, ob das System im Zustand |durch Spalt 1><br />
Nun interessiert nur, ob das System nach der Messung in einem bestimmten Zustand ist<br />
oder nicht, beispielsweise im Zustand |durch Spalt 1>; es handelt sich um eine Ja-Nein-<br />
Entscheidung.<br />
Wie im Beispiel vorher könnte man mit den Eigenvektoren |1> und |2> arbeiten; deutlicher<br />
ist die Darstellung<br />
|ja> : = |Registrierung in Detektor 1, Spalte offen, Präparierung auf p0 >,<br />
|nein> : = |keine Registrierung in Detektor 1, Spalte offen, Präparierung auf p >;<br />
0<br />
Interpretationen der Quantentheorie 51
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
dann hat ein allgemeiner Zustand die Form<br />
|ψ> = a1 |ja> + a2 |nein> = |ja> + |nein> .<br />
Der passende Operator ist nun der Projektionsoperator mit<br />
P |ja> = |ja> und P |nein> = |0>.<br />
Damit gilt allgemein<br />
P |ψ> = P |ja> + P |nein> = |ja> , demnach P = |ja> 1 0 = |ja> = 1 · |ja> und<br />
P |nein> = |ja> = 0 |ja> = |0> = 0 |nein> .<br />
Offenbar lässt sich jeder Operator aus Projektionsoperatoren generieren.<br />
Beispiel 2: Ein Spalt geschlossen: Einfachspaltexperiment<br />
Das Doppelspaltexperiment wird zu einem Einfachspaltexperiment, indem ein Spalt<br />
verschlossen wird. Das Elektron muss nun den offenen Spalt passieren, es gibt nur<br />
einen einzigen Eigenzustand<br />
|D> : = |Durchgang durch den offenen Spalt, Präparierung auf p0 ><br />
mit einem einzigen Messwert λ. Der zugehörige Hilbertraum ist das Erzeugnis von |D><br />
und hat die Dimension 1.<br />
Ein beliebiges Element des Hilbertraums hat die Form |ψ> = a |D>, wobei a = a <br />
= die Übergangsamplitude darstellt.<br />
Der passende Operator muss Ô |D> = λ |D> erfüllen, also ist Ô |ψ> = Ô a |D> =<br />
λ |D> , was Ô = |D> λ 0) steht, identisch und können<br />
deshalb vereinfachend weggelassen werden (hierbei<br />
Quelle Spalt Schirm<br />
wird das Doppelspaltexperiment als zweidimensionales<br />
Problem betrachtet mit Schirm parallel zur x-<br />
52 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Achse, Ausbreitung längs y-Achse); mit dieser Vereinbarung beschreibt man einen Zustand<br />
vereinfacht als<br />
|x> = |Registrierung an der Stelle x, beide Spalte offen, Präparierung auf p0 >.<br />
Der Hilbertraum ist das Erzeugnis aller Zustände |x>, ein beliebiger Zustand hat dann<br />
die Form<br />
|ψ> = a1 |x1 > + a2 |x2 > + …<br />
ist die Amplitude,<br />
dass das Elektron mit Anfangsimpuls p bei x registriert wird,<br />
0<br />
dass das Elektron vom Zustand |ψ> in den Zustand |x> übergeht,<br />
dass das Elektron im Zustand |ψ> einen Anteil des Zustandes |x> besitzt, der durch<br />
die komplexe Zahl beschrieben wird.<br />
Es ist<br />
∞<br />
= a dx’<br />
x’<br />
–∞<br />
Damit erhält |ψ> die Form<br />
∞<br />
= a δ (x – x’)dx’ =a x’ x<br />
–∞<br />
∞<br />
|ψ>= a |x> dx<br />
x<br />
–∞<br />
Interpretationen der Quantentheorie 53<br />
.<br />
∞<br />
= |x>dx<br />
–∞<br />
Ist das Elektron nach der Präparierung bereits im Eigenzustand |x>, d. h. |ψ> = |x>,<br />
dann wird dieser Zustand durch die Messung nicht verändert und liefert dasselbe<br />
Messergebnis (Wiederholbarkeit der Messung), mit anderen Worten, der gesuchte Ortsoperator<br />
muss Ô |x> = x · |x> erfüllen. Daher ist Q = x · ein geeigneter Operator.<br />
Allgemein ist<br />
∞<br />
Q |ψ>=Q |x> dx<br />
–∞<br />
∞<br />
Q = |x>· x · dx= x|x>dx<br />
–∞<br />
.<br />
oder<br />
Bewertung der Version ψ als Zustandsvektor<br />
+ Interpretationen werden gut vorbereitet und verständlicher;<br />
+ der Bedeutungswandel einiger klassischer Begriffe wie Raumzeit-Einbettung oder<br />
physikalisches Objekt wird deutlich;<br />
+ Paradoxien wie die Schrödinger-Katze oder EPR-Experimente können erläutert und<br />
vermieden werden;<br />
– der Formalismus ist anspruchsvoll.
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
3.3.3 Übliche Herleitung von p = h/λ ist nur heuristisch/propädeutisch<br />
Hat man die Sprechweise der Zustandsvektoren parat,<br />
so lässt sich beispielsweise gut verstehen, dass<br />
die <strong>Teil</strong>chen- und Wellenbild koppelnden Beziehungen<br />
W = hf = hω und p = h/λ = hk nicht hergeleitet<br />
werden können.<br />
t0 < t1 Zeitpunkt<br />
λ (t Im Unterricht wird in der Regel nach üblichem Sche-<br />
1 ) Wellenlänge<br />
p = p (t ) ≠ p , p , p , … ma ermittelt: Sind p der Impulswert der Präparation<br />
0 1 2 3<br />
p (t und λ die am Schirm ermittelte Wellenlänge, so füh-<br />
1 ) ??? Impuls<br />
ren die Beobachtungen zu einer Proportionalität<br />
λ ~ 1/p mit dem Proportionalitätsfaktor h.<br />
Trotz des klassisch einwandfreien Vorgehens wird in der Literatur von heuristischen<br />
oder propädeutischen Betrachtungen gesprochen und davon, dass der Versuch nicht als<br />
Herleitung verstanden werden darf; in der Regel wird man dann mit dieser Anmerkung<br />
allein gelassen. Wieso ist dieses Vorgehen propädeutisch und darf nicht als Herleitung<br />
verstanden werden?<br />
Eine genauere Analyse zeigt, dass der Impuls p = p (t ) zur Zeit t präpariert, die<br />
0 0<br />
Wellenlänge λ = λ (t ) hingegen zu einem späteren Zeitpunkt t > t festgestellt wird.<br />
1 1 0<br />
Eine Impulsmessung nach dem Spaltdurchgang lieferte aber unterschiedliche Impulswerte.<br />
Wenn nun hinter dem Spalt dem Elektron kein eindeutiger Impulswert zugeordnet<br />
werden kann, ist völlig unklar, welcher Impuls dem durch Messung eindeutig bestimmten<br />
λ gemäß h/p entsprechen soll.<br />
Die im Versuch ermittelte Beziehung p (t ) = h/λ (t ) ist wegen t ≠ t kaum zu halten; in<br />
0 1 0 1<br />
p (t ) = h/λ (t ) ist völlig unklar, was p (t ) bedeutet!<br />
1 1 1<br />
Die Problematik löst sich auf, wenn wir unser Wissen über Zustandsvektoren einbringen<br />
und bedenken, dass alle Zustände |ψ>, |p> oder |x> in demselben Hilbertraum<br />
liegen und in derselben Basis darzustellen sind; eine Aufspaltung beim Doppelspaltexperiment<br />
in<br />
Präparierung auf p – Spaltdurchgang – Registrierung am Schirm,<br />
0<br />
insbesondere mit einer Beschreibung, die diesen drei Versuchsbestandteilen je eigene<br />
Zustandsvektoren wie |p0 >, |D> oder |x> zuordnet, womöglich noch aus verschiedenen<br />
Hilberträumen, ist nicht gestattet. Jeder Zustand beschreibt alles, von der Präparierung<br />
über den Spaltdurchgang bis zur Registrierung. Daher ist eine Trennung in der<br />
Quantentheorie nicht zulässig. Raumzeitpunkte zwischen Präparierung und Registrierung<br />
werden in der Quantentheorie überhaupt nicht erwähnt.<br />
Mit anderen Worten, die Beziehung p = h/λ bzw. λ = h/p ist zu jedem Zeitpunkt, d. h.<br />
sowohl vor als auch hinter dem Spalt, entweder richtig oder falsch, daher kann sie nicht<br />
durch das Experiment hergeleitet, sondern muss axiomatisch gefordert werden.<br />
[In der Schule lässt sich die Einsicht in die Beziehung p = h/λ experimentell nicht am Doppelspaltexperiment,<br />
sondern an der Elektronenbeugung gewinnen. Die Elektronen werden auf die Spannung U<br />
präpariert, die über den Energiesatz theoretisch in den Impuls p umgerechnet wird; am Schirm werden<br />
Ringe beobachtet, deren Radien r gemessen werden, und diese Ringe werden theoretisch als Wellenmuster<br />
gedeutet und führen so zu einer Wellenlänge λ. Eine Auswertung ist mit p = h/λ im Einklang.]<br />
54 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
3.3.4 Dualismus?<br />
In strengem Sinne besagt der Welle-<strong>Teil</strong>chen-Dualismus, dass ein Elektron sich entweder<br />
als <strong>Teil</strong>chen oder als Welle zeigt, aber nie als beides gleichzeitig.<br />
Beim Doppelspaltexperiment zeigt ein Einzelelektron aber<br />
– einerseits nie ein Interferenzmuster, ist also niemals eine Welle;<br />
– andererseits muss jedes einzelne Elektron wissen, ob 2 Spalte oder 1 Spalt geöffnet<br />
sind [auch beim Einzelspalt muss ein Elektron wissen, dass nicht noch ein zweiter<br />
offener Spalt in der Nähe ist].<br />
Demnach zeigt jedes einzelne Elektron gleichzeitig <strong>Teil</strong>chen- und Wellencharakter. In<br />
diesem Sinne gibt es keinen Dualismus.<br />
Vergleich<br />
Zylinder von oben von der Seite<br />
Stecke Zylinder in Kreisbox Rechteckbox<br />
Zylinder zeigt Kreischarakter Rechteckcharakter<br />
In Schulbüchern findet man häufig die Auffassung vor, dass ein Elektron sich<br />
– bei der Ausbreitung wie eine Welle,<br />
– bei einer Wechselwirkung wie ein <strong>Teil</strong>chen<br />
verhält. In diesem Sinne wird von Dualismus gesprochen.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 55
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
Bedenken<br />
Wer sich dieser Schulbuchauffassung anschließt, sollte bedenken:<br />
– In der Quantentheorie gibt es keine Differenzierung <strong>Teil</strong>chen – Welle, Objekte der<br />
Quantentheorie sind Quanten.<br />
– In der Quantentheorie gibt es keine Zerlegung in Präparation – Ausbreitung – Spaltdurchgang<br />
– Registrierung, wie die Zustandsbeschreibung<br />
|x> = |Registrierung bei x, beide Spalte offen, Präparierung auf p0 ><br />
besagt, unter Anderem werden Raumpunkte zwischen Präparierung und Registrierung<br />
nicht erwähnt.<br />
– Während der Ausbreitung wird nicht beobachtet! Woher stammt dann das Wissen<br />
über ein Wellenverhalten?<br />
– Wellenartig ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, nicht das <strong>Teil</strong>chen.<br />
– Wechselwirkung geschieht bei der Registrierung am Schirm, dort wird bei der Lokalisierung<br />
zwar <strong>Teil</strong>chenverhalten, insgesamt aber ein Wellenmuster beobachtet.<br />
– Der Spaltdurchgang verändert das Muster am Schirm, daher spricht man auch von<br />
einer Wechselwirkung mit dem Spalt. Diese ist nur wellentheoretisch verständlich,<br />
denn bei teilchenhaftem Verhalten passierte das Elektron entweder Spalt 1 oder Spalt<br />
2, im Gegensatz zur Beobachtung müsste das <strong>Teil</strong>chenmuster registriert werden.<br />
– Beim Doppelspaltexperiment mit Spaltbeobachtung zeigt sich kein Interferenz-, sondern<br />
ein <strong>Teil</strong>chenmuster. Ist die Ausbreitung dennoch wellenartig?<br />
Vorschlag<br />
In der Quantentheorie werden <strong>Teil</strong>chen- und Wellenbild zusammen gedacht, was jeglicher<br />
makroskopischen Erfahrung widerspricht. Der in der Vorphase der Quantentheorie<br />
eingeführte Dualismus ist eigentlich längst überwunden und sollte meiner Meinung<br />
nach nicht mehr im Unterricht erwähnt werden, es sei denn aus historischen Gründen.<br />
(Stichhaltigste Begründung: In der heute grundlegendsten Theorie, der Quantenfeldtheorie, gibt es keinen<br />
Dualismus.)<br />
56 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
3.3.5 Anhang: Axiome der Quantentheorie und Schrödingergleichung<br />
Axiome der Quantentheorie<br />
Physik ist<br />
– interpretierter Formalismus,<br />
– die Theorie der Zustände und Zustandsänderungen und<br />
– die Theorie des Messens.<br />
Ein zu beschreibendes physikalisches System (bestehend aus <strong>Teil</strong>chen und/oder Feldern)<br />
befindet sich in Zuständen, die durch Messwerte von gleichzeitig messbaren<br />
Observablen festgelegt sind.<br />
Dem Zustand, dem physikalischen System und den Observablen müssen nun Symbole<br />
in einem mathematischen Formalismus zugeordnet werden. Die mathematische Theorie<br />
liefert neue mathematische Ergebnisse, die in der Natur zu interpretieren sind.<br />
Zuordnungen der Quantentheorie<br />
1. Zustand ↔ Vektor, insbesondere Wellenfunktion<br />
(garantiert Superpositionsprinzip, damit Interferenzbild);<br />
physikalisches System ↔ Hilbertraum<br />
komplexer Vektorraum (Superpositionsprinzip)<br />
vollständig (Cauchyfolgen konvergieren)<br />
es gibt ein hermitisches, positiv definites Skalarprodukt<br />
(garantiert Normierbarkeit, Orthogonalisierbarkeit)<br />
abzählbare Basis<br />
2. Observable ↔ Operator<br />
Daraus erwachsen die beiden Axiome der Quantentheorie:<br />
1. Postulat der Quantentheorie: Zustandsaxiom<br />
Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch einen normierten Vektor<br />
aus einem Hilbertraum repräsentiert.<br />
Physikalisches Prinzip (Axiom der zeitlichen Entwicklung – innere Dynamik):<br />
ψ genügt der Schrödingergleichung<br />
ih ∂|ψ><br />
∂t<br />
=H|ψ> .<br />
Interpretationen der Quantentheorie 57
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
2. Postulat der Quantentheorie: Observablenaxiom<br />
Die Messgrößen/Observablen des physikalischen Systems werden durch hermitische<br />
Operatoren repräsentiert.<br />
Die Eigenvektoren dieses Operators spannen im Hilbertraum eine orthonormierte<br />
Basis auf (Vollständigkeitsaxiom).<br />
Physikalische Prinzipien:<br />
1. Die einzig möglichen Messwerte sind die Eigenwerte des zur Observablen gehörenden<br />
Operators.<br />
2. Nach der Messung befindet sich das System in dem zu dem Eigenwert gehörenden<br />
Eigenzustand (Reduktion des Wellenpakets / Quantensprung).<br />
3. Die Absolutquadrate || 2 beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass bei<br />
einer Messung ein Zustand |ψ> in den Zustand |ϕ> übergeht.<br />
Kommentare<br />
– Die Zustände eines physikalischen Systems ändern sich auf zwei Arten:<br />
1. ohne äußere Einwirkung, deterministisch gemäß der Schrödingergleichung (vgl.<br />
Zerfließen eines Wellenpakets) (Dynamik I) (vgl. Beitrag von Rolf Seibel-Schüürmann<br />
in diesem Heft);<br />
2. akausal durch eine Messung, mathematisch beschrieben durch Operatoren und<br />
eine unstetige Projektion (Dynamik II).<br />
– Das Zustandsaxiom der Quantentheorie entspricht der Struktur nach anderen Zustandsaxiomen<br />
der klassischen Physik, jedoch entspricht ψ keinem Element der Realität.<br />
Zum Observablenaxiom gibt es in der klassischen Physik kein Pendant, weil<br />
dort Messapparate die Messwerte prinzipiell nicht ändern.<br />
– Um das Observablenaxiom besser zu verstehen, betrachten wir den prinzipiellen<br />
Aufbau der Messung eines Mikroobjekts:<br />
Phänomenebene<br />
beispielsweise<br />
Mathematische Ebene<br />
Präparierung Apparat Registrierung<br />
auf Impulswert p 0 Doppelspalt Ortswert x<br />
am Schirm<br />
Zustand |ψ> Operator Â<br />
Zustand |ϕ><br />
58 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Anmerkungen zu Messung<br />
(vgl. Beitrag von Rolf Seibel-Schüürmann in diesem Heft)<br />
– Ein (klassisches) physikalisches System wird quantisiert, indem den Observablen geeignete<br />
Operatoren zugeordnet werden. Mit Hilfe dieser Operatoren sollen alle<br />
Messwerte theoretisch vorhergesagt werden. Dieses ehrgeizige Programm ist in der<br />
Quantentheorie aufgegeben worden. Es stellt sich nämlich heraus, dass Messwerte<br />
statistisch streuen und z. B. beim Doppelspalt Wellenmuster bilden. Die Auswahl<br />
eines Wertes aus dem Spektrum ist bis heute durch Nichts zu beeinflussen, in der<br />
Quantentheorie wird sie als zufällig angenommen. So besteht die Aufgabe darin, alle<br />
Messwerte, die auftreten können, zu finden und die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen,<br />
mit der die einzelnen Messwerte eintreten können. Dies ist mit Hilfe von |ψ><br />
und  möglich.<br />
– Da Messwerte reell sind, muss der lineare Operator  hermitisch sein.<br />
– Ist das System nach der Präparierung im Zustand |ψ> und nach der Registrierung<br />
im Zustand |ϕ>, wobei der Messwert λ festgestellt worden ist, dann wird dies mathematisch<br />
durch  |ψ> = λ |ϕ> wiedergegeben. Wird nun die Messung sofort<br />
wiederholt, so wird nach dem Axiom der Reproduzierbarkeit einer Messung wiederum<br />
der Wert λ gemessen, d. h. Â|ϕ> = λ|ϕ>. Folglich ist λ Eigenwert des Operators<br />
und |ϕ> Eigenvektor. So können nach einer Messung nur Eigenzustände als Zustände<br />
auftreten, und Messwerte sind stets Eigenwerte. Ein Eigenzustand wird durch eine<br />
Messung nicht verändert; ist |ψ> kein Eigenzustand, dann ist offen, in welchen<br />
Eigenzustand das System durch die Messung übergeht.<br />
– Sind |ϕj > die Eigenvektoren des Operators, so bilden sie eine Basis des Hilbertraums,<br />
und der präparierte Zustand |ψ> lässt sich als Linearkombination dieser Basis darstellen:<br />
|ψ> = ∑ aj |ϕj > .<br />
Die Messung wird nach dem 2. Prinzip im Observablenaxiom durch eine unstetige<br />
Projektion von |ψ> auf den registrierten Eigenzustand |ϕj > beschrieben.<br />
Bis heute werden alle Versuchsergebnisse durch diese akausale Zustandsreduktion korrekt<br />
beschrieben, die Reduktion bleibt physikalisch jedoch unverstanden und ist durch<br />
das Observablenaxiom in der Quantentheorie ausgeklammert. In diesem Sinne ist die<br />
Quantentheorie unvollständig und kann daher nicht als endgültige Theorie gelten. Die<br />
Quantentheorie ermöglicht Aussagen über die Messergebnisse, man weiß aber nicht,<br />
wie sie zustande kommen.<br />
Die Axiome der Quantentheorie sind nicht ganz aus der Luft gegriffen, sie sind aus den<br />
Forderungen der Zeitsymmetrie (impliziert die Energieerhaltung), der Ortssymmetrie<br />
(impliziert die Impulserhaltung) und der Richtungssymmetrie (impliziert die Drehimpulserhaltung)<br />
herzuleiten. Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeitsinterpretation<br />
eine Konsequenz und keine Zusatzannahme.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 59
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
Schrödingergleichung<br />
Die Schrödingergleichung ist eine Bewegungsgleichung und beschreibt, wie und dass<br />
sich ein Zustand ohne äußere Einwirkungen in Raum und Zeit deterministisch ändert.<br />
1. Möglichkeit<br />
Wir suchen nach einer Differentialgleichung, die sehr einfache Lösungen für ein freies<br />
<strong>Teil</strong>chen liefert:<br />
ψ (x,t) = a ei (k x – ω t) mit p = hk, W = hω .<br />
Dazu müssen die individuellen Parameter ω und k eliminiert werden. Dabei ist ω eine<br />
Funktion in k, wie der Ansatz aus der Energiedarstellung ergibt:<br />
Einerseits ist im <strong>Teil</strong>chenbild Wkin = mv2 /2, andererseits im Wellenbild W = hf = hω.<br />
Einsetzen liefert die Beziehung<br />
ω = W<br />
h<br />
mv2<br />
=<br />
2h = m2v 2<br />
p2<br />
=<br />
2hm 2hm = h2k 2<br />
=<br />
h<br />
2hm 2m k2 .<br />
Damit gilt für die ebene Welle ψ (x,t) = a<br />
i kx–<br />
h<br />
e 2m k2t .<br />
Um eine allgemeine Grundgleichung zu erhalten, muss noch der Parameter k eliminiert<br />
werden; dazu bilde die Ableitungen<br />
∂ψ<br />
∂t<br />
Es folgt<br />
= –i h<br />
2m k2 ψ (x,t) und<br />
∂ψ<br />
∂t<br />
=i h<br />
2m<br />
∂ 2 ψ<br />
∂x 2<br />
In die üblichere Schreibweise<br />
tial V leichter einbringen:<br />
ih ∂ψ<br />
∂t<br />
h2<br />
= – ∆ +V ψ =Hψ .<br />
2m<br />
∂ 2 ψ<br />
∂x 2 =ik 2 ψ (x,t) .<br />
als Schrödingergleichung für freie <strong>Teil</strong>chen.<br />
ih ∂ψ<br />
∂t<br />
= – h2<br />
2m<br />
∂ 2 ψ h2<br />
= – ∆ψ lässt sich ein äußeres Poten-<br />
2<br />
∂x 2m<br />
60 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Bei der Schrödingergleichung ist ∂ψ/∂t ~ ∂ 2 ψ/∂x 2 , in der klassischen Wellengleichung<br />
dagegen ∂ 2 ψ/∂t 2 ~ ∂ 2 ψ/∂x 2 . Klassische Wellen s (x,t) = a e i(kx – ckt) und ψ erhalten beide<br />
in der zweiten räumlichen Ableitung ∂ 2 /∂x 2 den Faktor k 2 . Diesen Faktor k 2 erhält man<br />
im klassischen Fall wegen ω ~ k (ω/k = c p = v = c) erst durch die zweite zeitliche<br />
Ableitung ∂ 2 /∂t 2 , im Falle der Materiewelle ψ wegen ω ~ k 2 bereits durch die erste<br />
zeitliche Ableitung ∂/∂t. Demnach ist die Schrödingergleichung keine klassische Wellengleichung.<br />
Und in der ersten zeitlichen Ableitung bleibt im Faktor ih die imaginäre Einheit i stehen,<br />
die im klassischen Fall in der zweiten zeitlichen Ableitung wegen i2 = –1 nicht<br />
mehr vorkommt. So ist die Schrödingergleichung wesentlich komplex.<br />
Auch die Lösungen sind wesentlich komplex: Ein freies <strong>Teil</strong>chen wird durch ψ (x,t) =<br />
a ei(kx – ωt) beschrieben. Frequenz ω, Wellenzahl k und damit Energie und Impuls sind<br />
eindeutig bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte P (x,t) = |ψ (x,t)| 2 = |a| 2 ist konstant<br />
und unabhängig von x, so ist die Wahrscheinlichkeit, das <strong>Teil</strong>chen anzutreffen,<br />
überall gleich, hinsichtlich der Lage besteht eine große Ungewissheit.<br />
Würde hierbei ψ durch eine reelle Sinuswelle beschrieben werden, so änderte sich das<br />
Betragsquadrat von Punkt zu Punkt, P (x,t) wäre nicht konstant. Daher muss ψ komplexwertig<br />
sein.<br />
2. Möglichkeit<br />
Die Schrödingergleichung entspricht dem Energiesatz der klassischen Mechanik:<br />
W = p2 /(2m) + V .<br />
Der Energiesatz soll mit der Wellenfunktion ψ (x,t) = a ei(kx – ωt) in Einklang gebracht<br />
werden; W wird beschrieben durch die Anzahl der Schwingungen, p durch die Anzahl<br />
der Wellen, und zwar W = hω bzw. p = hk. Eingesetzt:<br />
hω = h2k 2<br />
+V .<br />
2m<br />
ω und k2 erhält man durch die 1. zeitliche bzw. die 2. räumliche Ableitung<br />
ω = i ∂ψ<br />
ψ ∂t und k 2 = – 1 ∂<br />
ψ<br />
2 ψ<br />
. 2<br />
∂x<br />
Einsetzen und mit ψ multiplizieren ergibt die Schrödingergleichung<br />
ih ∂ψ h2<br />
= – ∆ +V ψ =Hψ .<br />
∂t 2m<br />
Vergleich mit dem Energiesatz liefert zusätzlich die Operatoren<br />
P = h ∂<br />
i ∂x und W = – h2 ∂<br />
2m<br />
2<br />
∂<br />
=ih 2<br />
∂x ∂t .<br />
Es ist Aufgabe der Quantenmechanik, diese Schrödingergleichung für wichtige Potentiale<br />
V zu lösen; exakte Lösungen sind nur in wenigen Fällen möglich, etwa für ein lineares<br />
Potential oder für ein Coulombpotential.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 61
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
3.4 Information<br />
3.4.1 Doppeldoppelspalt und Verschränkungen<br />
Werden zwei unabhängige Quantensysteme durch ψ1 und ψ2 beschrieben, so kann das<br />
Gesamtsystem durch den Produktzustand ψ1⊗ψ2 im Produkt der Hilberträume beschrieben<br />
werden. Sind die Systeme nicht unabhängig voneinander, so spricht man von<br />
Korrelationen oder Verschränkungen. Wegen der Korrelationen enthält der Produktraum<br />
zu viele Zustände. Die durch ein Herausdividieren der Korrelationen entstehende Verkleinerung<br />
(Tensorprodukt) hat zur Folge, dass die Zustände des Gesamtsystems nicht<br />
mehr in Produkte der <strong>Teil</strong>systeme zu zerlegen sind, den <strong>Teil</strong>systemen können dann der<br />
Theorie nach keine einzelnen Zustandsfunktionen mehr zugeordnet werden.<br />
Unabhängig von ihrer Entfernung sind die beiden räumlich getrennten <strong>Teil</strong>systeme<br />
durch Phasenbeziehungen (die es in der klassischen Physik nicht gibt) gekoppelt und<br />
werden durch eine Wellenfunktion bzw. einen Zustandsvektor beschrieben. Der<br />
Gesamtzustand ψ stellt einen nichtlokalen Zustand dar.<br />
Wie die Experimente, die die Bellsche Ungleichung (vgl. Kapitel 3.4.3) verletzen, zeigen,<br />
sind verschränkte Zustände keine formale Sache, sondern eine reale Eigenschaft der<br />
Natur.<br />
Beispiele<br />
– Zweiteilchensysteme wie Moleküle oder das H-Atom;<br />
– Messungen von Makrosystemen;<br />
– <strong>Teil</strong>chen mit gemeinsamem Ursprung wie Elektron und Positron nach einer Paarbildung<br />
oder Zwillingsphotonen bei EPR-Experimenten.<br />
Doppelspalt und Doppeldoppelspalt<br />
(vgl. Beitrag von Wolfram Mai in diesem Heft)<br />
Quelle<br />
Zwilling 1 Zwilling 2<br />
Downkonverter<br />
Schirm 1 Schirm 2<br />
62 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
Beim Doppeldoppelspalt werden Zwillingsphotonen erzeugt, die verschränkt sind und<br />
daher nur ein Quantensystem bilden, ein Diphoton. Dieser eine Zustand enthält die<br />
Verschränktheit und so den quantentheoretischen Holismus. Eine Messung an nur einem<br />
<strong>Teil</strong>system bedeutet stets Messung des ganzen Systems, zwischen den Zwillingen<br />
gibt es keine Informationsübertragungen oder vermittelnde Felder und daher auch keinen<br />
Widerspruch zur Relativitätstheorie, nach der Informationen und Wirkungen sich<br />
nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können.<br />
Eine Messung des Spaltdurchgangs im linken Aufbau ist daher gleichzeitig eine Messung<br />
im rechten <strong>Teil</strong>, Spaltmessung links impliziert WelcherSpaltInfo rechts, nach der<br />
Quantentheorie gibt es daher kein Interferenzmuster (Regel 4 der Grundprinzipien).<br />
Das Aufstellen von Spaltdetektoren (wie Polarisationsfolien im Spalt) ist jedoch nicht<br />
nötig, die Androhung genügt, potentielles Wissen reicht. Daher ist auch ohne solche<br />
Informanten keine Interferenz zu beobachten.<br />
Das heißt, dass ψ nicht nur reale Informationen enthält, sondern alle Informationen, die<br />
man möglicherweise erhalten könnte.<br />
So ist ψ ein vollständiger Wissenskatalog, die Quantentheorie ist in diesem Sinn vollständig,<br />
ψ beschreibt nicht nur, was ist, sondern auch, was sein könnte.<br />
Positioniert man am linken Schirm an einer fixierten Stelle einen Detektor, so kann man<br />
am rechten Schirm Interferenz feststellen, wenn man dort einen Detektor am Schirm<br />
entlang führt und Koinzidenzen protokolliert, ob beide Detektoren also gleichzeitig<br />
ansprechen.<br />
In diesem Sinne liefern beide Schirme zusammen Interferenz, die Einzelschirme nicht.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 63
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
3.4.2 Quantenradierer<br />
mit<br />
Folie<br />
diagonal<br />
Beim Doppelspaltexperiment sind wir zur Überzeugung<br />
gelangt, dass das bloße Vorhandensein eines<br />
WelcherSpaltDetektors ein Interferenzmuster verhindert,<br />
unabhängig davon, ob die Spaltinformation abgefragt<br />
wird. Beim EPR-Doppelspalt reicht bereits<br />
die Androhung, man könnte in einem <strong>Teil</strong> des<br />
Versuchsaufbaus einen Spaltmarkierer anbringen.<br />
Beim normalen Doppelspaltexperiment mit Photonen<br />
kann man zur Spaltmarkierung beispielsweise<br />
waagerecht und senkrecht ausgerichtete Polarisationsfolien<br />
in die einzelnen Spaltöffnungen anbringen.<br />
Stellt man nun zwischen markierten Doppelspalt<br />
und Schirm einen diagonal ausgerichteten Polarisator,<br />
so wird die Spaltinformation gelöscht und es<br />
erscheint wieder das Interferenzmuster (nach Regel 1<br />
der Grundprinzipien).<br />
Entscheidend ist allein, ob die gewonnene Information<br />
über die Spaltpassage aus dem beobachteten System<br />
heraus und zum Beobachter gelangen kann.<br />
Löscht man durch den Einbau eines Quantenradierers<br />
die WelcherSpaltInfo noch innerhalb des Systems<br />
wieder aus, so erscheint erneut das Interferenzmuster.<br />
Die Interpretation des Messvorgangs als irreduzible<br />
Störung des Objekts ist nicht mehr haltbar,<br />
es handelt sich stattdessen um einen reversiblen<br />
Informationsgewinn.<br />
Wird die hinzugewonnene Information (Spaltdurchgang<br />
– <strong>Teil</strong>chencharakter) noch innerhalb der Versuchsanordnung<br />
wieder gelöscht, wird der Wellencharakter<br />
in Form der Interferenz wieder messbar.<br />
Doppeldoppelspalt mit Quantenradierer<br />
Beklebt man in einem Doppeldoppelspaltaufbau nur<br />
den linken Doppelspalt mit waagerechten und senkrechten<br />
Polarisationsfolien, der rechte Doppelspalt<br />
wird nicht markiert, so erhält man nach Regel 4 der<br />
Grundprinzipien links und rechts keine Interferenz;<br />
bringt man nun links zwischen markierten Doppelspalt<br />
und Schirm zusätzlich eine diagonale Polarisationsfolie<br />
als Quantenradierer, so erhält man nach<br />
Regel 1 der Grundprinzipien links wiederum Interferenz,<br />
rechts aber keine. Beide Schirme zusammen<br />
(Koinzidenzmessung) liefern wiederum Interferenz.<br />
64 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
3.4.3 Anhang: Bellsche Ungleichung<br />
(vgl. Beitrag von Wolfram Mai in diesem Heft)<br />
Die mengentheoretische Beziehung<br />
W V<br />
B<br />
⊇<br />
W V<br />
B<br />
W ∩ V (W ∩ B) ∪<br />
(V ∩ B)<br />
ist trivial. In Zeilingerscher Verbalisierung:<br />
Die Anzahl der weiblichen Vorzugsschülerinnen ist kleiner oder gleich der Summe der weiblichen<br />
Brillenträger und der Anzahl der Vorzugsschüler, die keine Brille tragen:<br />
N (W,V) ≤ N (W,B) + N (V,B) .<br />
Und dies entspricht dem Inhalt der Bellschen Ungleichung! Trickreich ist bei der Beschreibung<br />
von zwei Eigenschaften W und V die Hinzunahme einer dritten Eigenschaft<br />
B. Wir übersetzen in die Situation von polarisierten Zwillingsphotonen:<br />
Detektor 1 1. Polarisator 2. Polarisator Detektor 2<br />
2-Photonen-Quelle<br />
W V<br />
Es sollen zwei Eigenschaften (Polarisationsrichtungen α und β) beobachtet werden,<br />
weshalb Paare identischer Zwillinge gewählt werden müssen; hierzu wird eine dritte<br />
Eigenschaft (Polarisationsrichtung γ) hinzu gezogen.<br />
Beobachtung: Bei parallelen Polarisatoren (α = β) sprechen die Detektoren 1 und 2 stets<br />
gleichzeitig an (Koinzidenzen), bei orthogonalen (α ⊥ β) nie.<br />
Klassische Erklärungsversuche<br />
1. Hypothese: Die beiden Photonen werden mit der gleichen Polarisation emittiert, die<br />
Polarisationsrichtung variiert von Photonen- zu Photonenpaar.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 65<br />
B
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
Diese Hypothese widerspricht dem Experiment, denn bei orthogonalen Polarisatoren<br />
müssten von den zu diesen diagonal (45°) polarisierten Paaren die einzelnen Photonen<br />
mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 unabhängig voneinander passieren, es müssten also<br />
manchmal beide Detektoren klicken, was nie geschieht. Folglich besitzen die Photonen<br />
keine Polarisatonsrichtung.<br />
2. Hypothese: In einer Instruktionsliste sei festgelegt, ob die Photonen einen in eine<br />
bestimmte Richtung orientierten Polarisationsfilter passieren oder nicht (dies entspräche<br />
der Annahme verborgener Parameter).<br />
Nun bezeichne N (α,β) die Anzahl der Photonenpaare, die bei α-Stellung des ersten<br />
Polarisators und bei β-Stellung des zweiten beide Detektoren klicken lassen; nach Bellscher<br />
Idee führe eine dritte Polarisationsrichtung γ ein, und wir erhalten die Abschätzung<br />
N (α,β) ≤ N (α,γ) + N (β,γ) ,<br />
wobei N (b,γ) die Anzahl der Photonenpaare ist, bei denen Detektor 1 bei β-Stellung des<br />
1. Polarisators klickt und Detektor 2 bei γ-Stellung des 2. Polarisators nicht klickt.<br />
Nach Division durch die Anzahl N aller Photonenpaare, die bei parallelen Polarisatoren<br />
beide Detektoren passieren, also<br />
N(α,β)<br />
N<br />
≤ N(α,γ)<br />
N<br />
+ N(β,γ)<br />
N<br />
, (*)<br />
erreicht man den Übergang zu Wahrscheinlichkeiten. Diese Ungleichung muss nun jede<br />
Theorie mit verborgenen Parametern erfüllen.<br />
In der Quantentheorie (vgl. Beispiel in 3.3.1) werden<br />
die Wahrscheinlichkeiten durch die Quadrate cos2 und sin2 beschrieben, das Argument ist die Differenz<br />
der Stellungen der Polarisatoren 1 und 2.<br />
sin α<br />
α<br />
cos α<br />
Setzt man diese quantentheoretischen Wahrscheinlichkeiten<br />
in die Bellsche Ungleichung (*) ein, so folgt<br />
die Beziehung<br />
cos2 (β – α) ≤ cos2 (γ – α) + sin2 (γ – β) . (**)<br />
Für α = 0°, β = 30° und γ = 60° folgt der Widerspruch<br />
3/4 ≤ 1/4 + 1/4 .<br />
Alle lokalen Theorien mit verborgenen Parametern genügen der Bellschen Ungleichung,<br />
die Quantentheorie erfüllt gemäß (**) diese Ungleichung nicht. Experimentelle Befunde<br />
widerlegen für Quanten die Bellsche Ungleichung und bestätigen die Quantentheorie,<br />
damit ist auch die zweite Hypothese nicht haltbar.<br />
So erhalten Photonen in der Quelle weder eine Polarisationsrichtung noch gibt es eine<br />
durch verborgene (unmessbare) Parameter festgelegte Instruktionsliste für ein Verhalten<br />
der Photonen, wenn sie Polarisatoren begegnen sollten. Nach Bohr wird erst im<br />
Moment der Messung die Realität der Polarisation erzeugt, und zwar am ganzen System<br />
Diphoton, d. h. beide Einzelphotonen erhalten gleichzeitig dieselbe Polarisationsrichtung,<br />
ohne dass ein dazwischen liegendes Feld dies vermitteln müsste.<br />
66 Interpretationen der Quantentheorie
Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments<br />
3.5 Unklassisch und unverzichtbar<br />
Wir stellen noch einmal Merkmale aus dem Mikrobereich zusammen, die klassisch<br />
unverständlich bleiben, auf die die Quantentheorie aber nicht verzichten kann.<br />
– Nachdem nicht ψ, aber |ψ| 2 messtechnisch relevant ist, könnte man die Meinung<br />
vertreten, ganz auf ψ verzichten zu können. Für |ψ| 2 kann es aber keine Schrödingergleichung<br />
geben, da die Entwicklungen von Quanten nicht vorhergesagt werden<br />
können. Deshalb müssen in der Schrödingergleichung zusätzliche Parameter enthalten<br />
sein, die bei einer Messung verloren gehen, das sind die Phasen. Die Quantentheorie<br />
muss mit mathematischen Objekten hantieren, die solche Phasen enthalten<br />
und die der Schrödingergleichung genügen, und das tut ψ, nicht aber |ψ| 2 .<br />
– Mit Hilfe der Operatoren und der Zustandsvektoren sollen in einer Theorie alle<br />
Messresultate theoretisch vorhergesagt werden. Dieses ehrgeizige Programm ist in<br />
der Quantentheorie aufgegeben worden. Es stellt sich nämlich heraus, dass<br />
Messwerte statistisch streuen und Wellenmuster bilden. So besteht die Aufgabe darin,<br />
alle Messwerte, die auftreten können, zu finden und die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen,<br />
mit der die einzelnen Messwerte eintreten können.<br />
– Die Quantentheorie ist wesentlich komplex.<br />
a) Die Schrödingersche Grundgleichung enthält den Faktor i.<br />
b) Für die Lösung ψ (x,t) = a ei(kx – ωt) des freien <strong>Teil</strong>chens ist die Wahrscheinlichkeitsdichte<br />
P (x,t) = |ψ (x,t)| 2 = |a| 2 konstant und unabhängig von x. So ist die<br />
Wahrscheinlichkeit, das <strong>Teil</strong>chen anzutreffen, überall gleich. Wäre ψ eine reelle<br />
Sinuswelle, so änderte sich das Betragsquadrat von Punkt zu Punkt, P (x,t) wäre<br />
nicht konstant. Daher muss ψ komplexwertig sein.<br />
– Superpositionen sind nicht messbar, aber sie existieren:<br />
Beim Doppelspaltexperiment existiert vor der Regi-<br />
Sp 2<br />
strierung ein quantenmechanischer Zustand, der die<br />
beiden Möglichkeiten, entweder durch Spalt 1 oder<br />
durch Spalt 2 zu gehen, als Superposition mit gleicher<br />
Wahrscheinlichkeit enthält.<br />
Solche Überlagerungen existieren, denn andernfalls<br />
gäbe es nur die beiden Zustände<br />
Sp 1<br />
|durch Spalt 1> oder |durch Spalt 2> .<br />
Nach dem Prinzip der Wiederholbarkeit einer Messung<br />
müsste ein Elektron im Zustand |durch Spalt 1><br />
den Spalt 1 passieren, ein Elektron im Zustand<br />
|durch Spalt 2> den Spalt 2.<br />
Dann würde die Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />
durch I + I beschrieben werden, ein <strong>Teil</strong>chenbild<br />
1 2<br />
müsste entstehen, was der Beobachtung widerspricht.<br />
Interpretationen der Quantentheorie 67
Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig<br />
– Quantensprung<br />
Im Messprozess wird eine der beiden Möglichkeiten |durch Spalt 1> oder |durch<br />
Spalt 2> zur Realität, die Superposition wird in nicht deterministischer Weise zerstört.<br />
Man spricht<br />
– vom Kollaps der Wellenfunktion,<br />
– von der Reduktion des Zustandsvektors oder<br />
– vom Quantensprung.<br />
– Indeterminismus<br />
Weil bis heute nicht beeinflusst werden kann, welche der Möglichkeiten realisiert<br />
wird, und weil eine physikalische Interpretation des Messprozesses nicht gelungen<br />
ist, kann auf den Quantensprung nicht verzichtet werden.<br />
Die unstetige Änderung bei der Messung ist eine unausweichliche Konsequenz der<br />
Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ. Diese Reduktion wird nicht mehr durch die<br />
stetige Schrödingergleichung beschrieben und bewirkt so einen Indeterminismus in<br />
der Quantentheorie. Die zentrale Frage ist, wie dieser Vorgang zustande kommt bzw.<br />
wodurch er bewirkt wird.<br />
– Heisenbergsche Unschärferelation<br />
Quanten können nicht immer gleichzeitig feste Werte von zwei Eigenschaften zugeordnet<br />
werden.<br />
4 Literatur<br />
Die Literatur findet sich am Ende des Beitrages Interpretationen und Quantenphilosophie<br />
von Joachim Lillig in diesem Heft auf Seite 159.<br />
68 Interpretationen der Quantentheorie