QT Teil 1 - MPG Trier

Inhalt 

Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments 

Joachim Lillig 

1 Doppelspaltexperiment mit klassischen Objekten ..................................................... 32 

2 Doppelspaltexperiment mit Quantenobjekten – 

Phänomene, die klassisch nicht zu beschreiben sind ................................................. 34 

2.1 Doppelspaltexperiment mit Elektronen .................................................................. 34 

2.1.1 Einzelne Elektronen – geringe Intensität ....................................................... 34 

2.1.2 Hohe Intensität .................................................................................................. 34 

2.1.3 Doppelspaltexperiment mit WelcherWegInfo.............................................. 35 

2.1.4 Teilchencharakter des Lichts (Photonen) ...................................................... 35 

2.2 Doppelspaltexperiment mit Photonen .................................................................... 36 

2.3 Doppelspaltexperiment mit verschränkten Objekten – Doppeldoppelspalt..... 36 

3 Antworten der Quantentheorie ........................................................................................ 37 

3.1 Eine Rechengröße ψ ................................................................................................... 37 

3.1.1 Grundprinzipien – Rechenregeln für Amplituden ...................................... 37 

3.1.2 Unschärferelation .............................................................................................. 42 

3.2 Wellenfunktionen ....................................................................................................... 45 

3.3 Zustandsvektoren ....................................................................................................... 48 

3.3.1 Doppelspaltexperiment mit Messung des Spaltdurchgangs...................... 49 

3.3.2 Übungsaufgaben ............................................................................................... 51 

3.3.3 Übliche Herleitung von p = h/λ ist nur heuristisch/propädeutisch.......... 54 

3.3.4 Dualismus?......................................................................................................... 55 

3.3.5 Anhang: Axiome der Quantentheorie und Schrödingergleichung ............. 57 

3.4 Information .................................................................................................................. 62 

3.4.1 Doppeldoppelspalt und Verschränkungen................................................... 62 

3.4.2 Quantenradierer ................................................................................................ 64 

3.4.3 Anhang: Bellsche Ungleichung ....................................................................... 65 

3.5 Unklassisch und unverzichtbar ................................................................................ 67 

4 Literatur .............................................................................................................................. 68 

Interpretationen der Quantentheorie 31

Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments Joachim Lillig 

1 Doppelspaltexperiment mit klassischen Objekten 

Versuchsaufbau des Doppelspaltexperimentes 

– In einer Quelle werden Objekte (Teilchen oder 

Wellen) identisch präpariert, 

– auf einem geeigneten Schirm werden sie registriert; 

– zwischen Quelle und Schirm passieren sie einen 

Doppelspalt. 

Präparierung – Doppelspalt – 

Registrierung 

Klassisch sind die registrierten Objekte dieselben wie 

die präparierten, sie bewegen sich auf Bahnen von 

der Quelle zum Detektor. 

In der Quantentheorie werden Objekte präpariert, 

Detektoren sprechen an; es bleibt offen, wie die Objekte 

zum Schirm gelangen und ob überhaupt dieselben 

Objekte registriert werden. 

Zunächst erinnern wir uns an Resultate des Doppelspaltexperiments 

mit klassischen Objekten. Es werden 

die Beobachtungen herausgestellt, die beim 

Doppelspaltexperiment mit Quantenobjekten von 

Bedeutung sind. 

Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen 

– Klassische Korpuskel kommen stückweise (diskret), 

sie sind lokalisierbar. 

– Als Maß der Intensität gilt die Teilchenanzahl, die 

durch 

N12 (x) = N1 (x) + N2 (x) 

beschrieben wird, wobei N ( x), N (x), N (x) die 

1 2 12 

Anzahl der Teilchen an der Stelle x bei offenem 

Spalt 1, bei offenem Spalt 2 bzw. bei zwei offenen 

Spalten angeben. 

– Das bedeutet, dass die Korpuskel entweder durch 

Spalt 1 oder durch Spalt 2 gehen, also nicht interferenzfähig 

sind. 

– Bei geringer Intensität entsteht ein zufälliges 

Punktemuster, bei Wiederholungen ergeben sich 

andere Verteilungen; bei hoher Intensität sind 

stets dieselben Muster zu erkennen. 

32 Interpretationen der Quantentheorie

Joachim Lillig Fachliches Potential des Doppelspaltexperiments 

– Die relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeit 

aufgefasst werden, sie sind additiv: 

P12 = P1 + P2 . 

In der Quantentheorie wird P durch |ψ| 2 ersetzt; 

dann ist 

|ψ12 | 2 = |ψ1 | 2 + |ψ2 | 2 . 

Doppelspaltexperiment mit klassischen Wellen 

– Bei Wellen ist jede beliebige Größe möglich (kontinuierlich), 

Wellen sind nicht lokalisierbar. 

– Gemessen wird die Intensität, für die 

I 12 =I 1 +I 2 +2 I 1 I 2 cos δ , 

insbesondere I 12 ≠ I 1 + I 2 gilt. 

– Der Term 2 I I cos δ ist ein Maß für die Abwei- 

1 2 

chung vom Teilchenverhalten und heißt Interferenzterm. 

Wellen gehen gleichzeitig durch beide 

Spalte, sie sind interferenzfähig. 

– Sowohl bei geringer als auch bei hoher Intensität 

entsteht stets dasselbe Interferenzmuster. 

– Mathematisch vorteilhaft ist eine Größe ψ mit 

ψ ~ I bzw. |ψ| 2 ~ I . Der Vorteil von ψ liegt in 

der Additivität: 

ψ12 = ψ1 + ψ2 . 

Insbesondere ist |ψ12 | 2 = |ψ1 + ψ2 | 2 , aber 

|ψ | 12 2 ≠ |ψ | 1 2 + |ψ | 2 2 . 



2 Doppelspaltexperiment mit Quantenobjekten – 

Phänomene, die klassisch nicht zu beschreiben sind 

2.1 Doppelspaltexperiment mit Elektronen 

2.1.1 Einzelne Elektronen – geringe Intensität 

Im Unterricht werden Elektronen zunächst durch die 

Korpuskeltheorie beschrieben, daher wird erwartet 

und auch beobachtet, dass sie wie klassische Teilchen 

stückweise ankommen, an genau einer Stelle 

des Schirms registriert werden, zufällige Punktemuster 

liefern, die als Wahrscheinlichkeitsverteilung 

aufgefasst werden können. 

In dieser klassischen Betrachtung bleibt unverstanden, 

dass die Intensitätskurve breiter statt schmaler 

wird, wenn man die Spaltbreite verringert. 

2.1.2 Hohe Intensität 

– Klassisch nicht zu verstehen ist die Beobachtung 

eines Interferenzmusters, also die Beobachtung 

von Wellenphänomenen bei Teilchen. 

– Das beobachtbare Wellenmuster ist unerklärbar, 

wenn man annimmt, dass der präparierte Anfangsimpuls 

auch hinter dem Doppelspalt vorliegt. 

Der Messapparat muss den Impulswert verändert 

haben, die neuen Impulswerte können 

nicht vorausgesagt werden. 



2.1.3 Doppelspaltexperiment mit WelcherWegInfo 

Schließen eines Spaltes 

Beim Doppelspaltexperiment kann nicht entschieden 

werden, durch welchen Spalt das Elektron gegangen 

ist. Möchte man diese Information haben, so muss 

eine Ortsmessung durchgeführt werden, am einfachsten 

durch das Schließen eines Spaltes. Abwechselndes 

Zuhalten eines Spaltes führt aber zu einem 

Korpuskelbild, die Interferenz ist verschwunden. 

Beobachtung mit Licht 

Statt einen Spalt zu schließen, kann die Spaltpassage der Elektronen durch Licht beobachtet 

werden, wozu hinter dem Doppelspalt zwei Lichtdetektoren aufgestellt werden. 

Klassisch unverständlich ist die Beobachtung, dass bei hinreichend langwelligem Licht 

das Interferenzmuster erhalten bleibt, bei kurzwelligem Licht aber verschwindet. 

Das Experiment wird interessanter, wenn jeweils nur ein Elektron in der Apparatur ist. 

Es ist möglich, dass einige Elektronen nicht vom Licht getroffen werden. Daher markiere 

die Auftrefforte beispielsweise 

1. rot, wenn Lichtdetektor 1 angesprochen hat, 

2. gelb, wenn Lichtdetektor 2 angesprochen hat, 

3. blau, wenn kein Lichtdetektor angesprochen hat. 

Die roten und gelben Punkte liefern ein Teilchenmuster, die blauen ein Wellenmuster. 

Es ist nicht möglich, ein Elektron, das zum Interferenzbild beiträgt, einem der beiden 

Spalte zuzuordnen. 

2.1.4 Teilchencharakter des Lichts (Photonen) 

Im letzten Versuch setzen wir eine ideale Lichtregistrierung 

voraus, was durch sehr viele kleinste 

nebeneinander aufgereihte Lichtdetektoren erreicht 

werden könnte. 

Bei hoher Lichtintensität sprechen alle Detektoren 

an, die Zeiger schlagen stark aus. 

Bei geringer Lichtintensität sollten nach der klassischen Vorstellung Licht als Welle immer 

noch alle Detektoren ansprechen und der Zeigerausschlag zurückgehen; stattdessen 

sprechen nicht alle an, bei geringster Lichtintensität genau einer, und der Zeigerausschlag 

bleibt konstant. Die beste Erklärung: 

Licht verhält sich teilchenhaft. Es kommt stückweise in Portionen und ist lokalisierbar; die 

Portionen heißen Lichtquanten bzw. Photonen. 

Diese Teilchenphänomene bei Wellen bleiben klassisch unverstanden. 



2.2 Doppelspaltexperiment mit Photonen 

Zum Teilchencharakter der Strahlung führte im letzten Abschnitt das Doppelspaltexperiment 

mit Elektronen, die durch Photonen beobachtet wurden. Der Teilchencharakter 

wird natürlich auch beim Doppelspaltexperiment mit Licht beobachtet, wenn die Intensität 

so gering gehalten wird, dass sich jeweils nur ein Photon in der Messapparatur 

befindet, und genau eine Stelle auf dem Schirm aufleuchtet: Licht geringster Intensität 

ist lokalisierbar. 

Die Information, welchen Spalt das (Laser-)Licht passiert, kann beispielsweise dadurch 

erhalten werden, dass die Spalte durch senkrecht zueinander orientierte Polarisationsfolien 

überklebt werden (Licht wird markiert) [vgl. Beitrag von Wolfram Mai in diesem 

Heft]; dann verschwindet aber das Interferenzmuster. 

Bringt man nun zwischen den markierten Doppelspalt und den Schirm einen zu den 

Folien diagonal stehenden Polarisator, der die Spaltinformation innerhalb des Versuchsaufbaus 

löscht (Quantenradierer), so erscheint wieder das Interferenzmuster. 

2.3 Doppelspaltexperiment mit verschränkten Objekten – Doppeldoppelspalt 

Seit ein paar Jahren ist es möglich, Photonen durch einen Downkonverter (einen Spezialkristall) 

in ein Paar von Photonen doppelter Wellenlänge aufzuspalten, z. B. ein UV- 

Photon in zwei optische Photonen. Ein solches Photonenpaar werde durch einen 

Doppeldoppelspalt geschickt: 

Quelle 

Zwilling 1 Zwilling 2 

Downkonverter 

Schirm 1 Schirm 2 

Folgende Beobachtungen bleiben unverstanden: 

– Sowohl bei Schirm 1 als auch bei Schirm 2 entstehen Teilchenmuster. 

– Eine Koinzidenzmessung [vgl. Beitrag von Wolfram Mai] an beiden Schirmen führt zu 

einem Interferenzmuster. 



3 Antworten der Quantentheorie 

Eine physikalische Theorie ist ein mathematischer Formalismus, dessen Symbole interpretiert 

und Objekten der Natur zugeordnet werden müssen. 

Natur 

Realität 

Physikalische Phänomene 

Im Folgenden soll der Formalismus in drei Versionen angesprochen werden. 

1. Rechengröße ψ 

2. Wellenfunktion ψ 

3. Zustandsvektor |ψ> 

Um Interferenzen und Superpositionen zu beschreiben, bieten die klassischen Theorien 

die beiden Konzepte Welle und Vektor an. Zuvor wird mit einer Rechengröße ψ hantiert, 

die wir nicht weiter interpretieren, von der wir lediglich gewisse Verhaltensweisen 

erwarten. Jede Sichtweise erweitert auf ihre Art das Verständnis der Quantentheorie. 

3.1 Eine Rechengröße ψ 

Zuordnungen 

Interpretationen 

Physik 

Mathematik 

Formalismus 

3.1.1 Grundprinzipien – Rechenregeln für Amplituden 

Beim Doppelspaltexperiment mit klassischen Objekten hat sich eine Rechengröße ψ mit 

ψ ~ I als vorteilhaft erwiesen. Bei klassischen Wellen ist ψ additiv, bei klassischen 

Teilchen ist |ψ| 2 additiv und wird in diesem Fall als Auftreffwahrscheinlichkeit verstanden. 

Ganz und gar unklassisch wird es, wenn wir beide Eigenschaften zusammen von derselben 

Rechengröße ψ erwarten: 

– ψ soll additiv sein, wenn die Wege einzelner Quanten ununterscheidbar sind, wenn 

es also nicht möglich ist zu erfahren, welches der möglichen Ereignisse eintreten 

wird; in diesem Falle offenbaren die Quanten Wellencharakter; 

– |ψ| 2 soll additiv sein, wenn sich die Wege unterscheiden lassen, wenn es also möglich 

ist zu erfahren, welches der möglichen Ereignisse eintreten wird; in diesem Falle 

offenbaren die Quanten teilchenförmiges Verhalten. 



Nach Richard P. Feynman: Vorlesungen über Physik, Band III, Quantentheorie formulieren 

wir für die Quantentheorie die 

Grundprinzipien 

Regel 1: 

Additivität der 

Amplituden 

(1. Pfadregel) 

Regel 2: 

Multiplikativität der 

Amplituden 

(2. Pfadregel) 

Regel 3: 

Wahrscheinlichkeitsinterpretation 

Regel 4: 

Additivität der 

Wahrscheinlichkeiten 

Wenn ein Ereignis auf mehrere verschiedene Weisen 

auftreten kann, ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude 

für das Ereignis die Summe der Wahrscheinlichkeitsamplituden 

jeder einzelnen betrachteten 

Möglichkeit: 

ψ (x) = ψ1 (x) + ψ2 (x) . 

Es gibt Interferenz. 

Wird ein Ereignis in Teilereignisse zerlegt, so sind 

die zugehörigen Amplituden zu multiplizieren. 

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das 

Quadrat des Absolutbetrages der Wahrscheinlichkeitsamplitude: 

P (x) = |ψ (x)| 2 = ψ* (x) · ψ (x) . 

Erlaubt das Experiment eine Entscheidung, welche 

Alternative gewählt wurde, dann ist die 

Wahrscheinlichkeit additiv: 

P = P1 + P2 bzw. |ψ| 2 = |ψ1 | 2 + |ψ2 | 2 . 

Die Interferenz geht verloren. 



Nach diesen Grundprinzipien lässt sich nun auch auf Schulniveau das Doppelspaltexperiment 

durchrechnen, allerdings wird benutzt, dass ψ (x) eine komplexe Zahl ist 

und dass |ψ (x)| 2 = ψ∗ (x) · ψ (x) gilt. Es werden zwei Möglichkeiten vorgestellt: 

1. Möglichkeit 

Berechnet wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein 

Quant am Ort x des Schirms registriert wird: 

P12 (x) = |ψ12 (x)| 2 

Regel 3 

= |(ψ 1 + ψ 2 ) (x)| 2 

Regel 1 

= (ψ1 * (x) + ψ2 * (x)) · (ψ1 (x) + ψ2 (x)) 

= |ψ1 (x)| 2 + |ψ2 (x)| 2 + ψ1 * (x) ψ2 (x) + 

ψ2 * (x) ψ1 (x) 

= |ψ (x)| 1 2 + |ψ (x)| 2 2 + 2 Re (ψ * (x) ψ (x)) 

1 2 

2 Re (ψ1 * (x) ψ2 (x)) heißt Interferenzterm. 

Entscheidend ist die Anwendung von Regel 1, die 

dann anzuwenden ist, wenn beide Spalte offen sind 

und keine Entscheidung möglich ist, ob das Quant 

Spalt 1 oder Spalt 2 passiert hat. Es tritt Interferenz 

auf. 

Hat man dagegen WelcherSpaltInfo, so ist statt Regel 

1 die Regel 4 anzuwenden, und es folgt 

P (x) = P (x) + P (x) 

12 1 2 

Regel 4 

= |ψ1 (x)| 2 + |ψ2 (x)| 2 , 

Regel 3 

der Interferenzterm ist 0, die Einzelintensitäten sind 

zu addieren, beobachtet wird ein Teilchenbild. 

Interferenzterm ≠ 0 

Interferenzterm = 0 




Die folgende (sehr empfehlenswerte) Rechnung stammt von Richard Feynman: 

Die Amplituden, dass ein Elektron an der Stelle x registriert wird und dabei durch Spalt 

1 bzw. Spalt 2 gegangen ist, seien 

ψ (x) bzw. ψ (x) . 

1 2 

Wird der Spaltdurchgang der Elektronen mit Licht beobachtet, so sei die Amplitude, 

dass ein Elektron durch Spalt 1 geht und gleichzeitig ein Photon in Detektor 1 registriert 

wird, 

a ψ (x) (a komplex), (Regel 2) 

1 

denn nach Regel 2 müssen die beiden Amplituden multipliziert werden. 

Bei einem nicht ganz idealen Messapparat besteht aber auch die Möglichkeit, dass ein 

Photon in Detektor 1 nachgewiesen wird, wenn das Elektron Spalt 2 passiert hat; diese 

Amplitude sei 

b ψ (x) . 2 

Die Gesamtamplitude, dass ein Elektron an der Stelle x und ein Photon in Detektor 1 

ankommen, ist dann nach Regel 1 

a ψ1 (x) + b ψ2 (x) . (Regel 1) 

Analog ist die Gesamtamplitude, dass ein Elektron bei x ankommt und Photonendetektor 

2 anspricht, aus Symmetriegründen 

a ψ2 (x) + b ψ1 (x) . 

Nach Regel 4 müssen von diesen beiden (experimentell unterscheidbaren) Möglichkeiten 

die Wahrscheinlichkeiten addiert werden, so dass das Experiment durch 

|a ψ (x) + b ψ (x)| 1 2 2 + |a ψ (x) + b ψ (x)| 2 1 2 (Regel 4) 

beschrieben werden kann. 

Interessant sind zwei Spezialfälle: 

Ist die Lichtmessung ideal, dann spricht Detektor 1 nur an, wenn das Elektron Spalt 1 

passiert hat, demnach ist b = 0, damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 

|a ψ1 (x)| 2 + |a ψ2 (x)| 2 : keine Interferenz. 

Ist die Wellenlänge des Lichts zu groß (größer als der Spaltabstand), streut ein mit dem 

Elektron wechselwirkendes Photon mit gleicher Wahrscheinlichkeit in Detektor 1 wie in 

Detektor 2, d. h. es gilt a = b, damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit in diesem Falle 

|a ψ1 (x) + a ψ2 (x)| 2 + |a ψ2 (x) + a ψ1 (x)| 2 = 2 |a| 2 · |ψ1 (x) + ψ2 (x)| 2 : Interferenz. 



Bewertung der Version Rechengröße ψ 

+ die teilchenhafte Additivität von |ψ| 2 und die wellenhafte Additivität von ψ werden 

von derselben Rechengröße gefordert und so auf wunderbare und einfache, aber 

brutale Weise vereint; 

+ Formalismus und Interpretation sind gut zu trennen; 

+ ohne großen formalen Aufwand können bereits sehr gute Rechenergebnisse erzielt 

werden; 

– ψ wird nicht veranschaulicht oder weiter interpretiert und bleibt unverstanden. 

Anmerkungen 

Nach den makroskopischen Erfahrungen, die durch die klassische Physik beschrieben 

werden, sind Teilchen- und Wellenvorstellungen nicht vereinbar, sie sind nicht einmal 

komplementär, sondern konträr. Die Quantentheorie ist deshalb unklassisch und zunächst 

unvorstellbar, weil dieselbe Rechengröße ψ gleichzeitig Teilchen- und Wellencharakter 

beschreiben soll. Bei Quanten sind Teilchen- und Wellenvorstellung 

zusammenzudenken. Vermittelt werden diese Verbindungen durch die Plancksche Konstante 

h, aber auch durch die Bornsche Wahrscheinlichkeitsdeutung: Stochastisches vereint 

Körniges und Welliges. 

So vereint die Quantentheorie die drei großen klassischen Standbeine, die Teilchen 

beschreibende klassische Mechanik, die Wellen und Felder beschreibende klassische 

Elektrodynamik, beides kausale Theorien, und die statistische Thermodynamik. Nach 

unseren Erfahrungen sind alle drei Theorien nicht miteinander vereinbar, daher entsprechen 

Quanten nicht unseren mesokosmisch geprägten Erfahrungen. 

Da für Quanten keine empirischen Modelle zur Verfügung stehen, müssen mathematische 

Modelle herangezogen werden. In der Quantentheorie werden Mechanik, Elektrodynamik 

und Thermodynamik mathematisch vereint. Und das macht die Quantentheorie 

unvorstellbar und in höchstem Maße abstrakt, denn ψ beschreibt nun eine mathematische 

Welle; es interferieren nicht physikalische Objekte, sondern mathematische 

Rechengrößen. 



3.1.2 Unschärferelation 

Heisenbergsche 

Unschärferelation 

Der Vorzug dieser Betrachtung liegt 

darin, dass p der Photonenimpuls ist, 

nicht der Elektronenimpuls; so kann 

die in Misskredit geratene Einzelspaltherleitung 

der Heisenbergschen Unschärferelation 

umgangen werden. 

Doppelspaltexperiment mit Licht 

In der Durchrechnung des Doppelspaltexperiments 

wurden die Spezialfälle b = 0 und b = a betrachtet; 

offenbar hängt b mit der Größe der Wellenlänge des 

Lichts zusammen. In jedem Falle stellt die Beobachtung 

der Elektronen hinter dem Doppelspalt mit Hilfe 

von Licht eine energetische Störung dar; das Photon 

überträgt den Impuls p = hk = h/λ oder einen 

Teil davon auf das Elektron und ändert so die 

Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Verringerung 

der Störung wird erreicht, indem der Impuls verkleinert 

wird, das heißt aber in der Quantentheorie, dass 

die Wellenlänge λ größer wird. 

Wenn λ zu groß ist, können die beiden Spalte optisch 

nicht mehr getrennt werden, und es zeigt sich wieder 

das Interferenzmuster. 

Entweder beobachtet man das Interferenzbild und 

weiß nicht, durch welchen Spalt das Elektron ging, 

oder man kennt den Spalt und kann das Interferenzbild 

nicht beobachten. 

Es ist unmöglich, einen Apparat zu entwickeln, der 

feststellt, durch welches Loch das Elektron geht, ohne 

dass er gleichzeitig die Elektronen so weit beeinträchtigt, 

dass das Interferenzbild zerstört wird. 

Quantitative Betrachtung 

Wenn der Impuls des Lichts teilweise oder ganz 

übertragen wird, ist größenordnungsmäßig p ≈ ∆p. 

Für Licht, das die Spalte optisch trennen kann, gilt 

λ ≈ Spaltabstand ≈ ∆x . 

Aus p = h/λ bzw. p · λ = h folgt ∆p · ∆x ≈ h . 



Doppelspaltexperiment ohne Licht 

Wenn die Elektronen auf einen Anfangsimpuls präpariert 

sind, so ist die beobachtbare Streuung am 

Schirm unter der klassischen Annahme, dass dieser 

Anfangsimpuls auch hinter dem Schirm vorliegt, 

nicht verständlich. Daher muss sich dieser Wert hinter 

dem Spalt verändert haben; der Impuls kann unterschiedliche 

Werte annehmen, die nicht vorausgesagt 

werden können. 

Heisenbergsche Unschärferelation: 

Je besser die Ortskenntnis (Spaltbreite), desto ungenauer die Impulsvorhersage (Streumuster 

breiter). 

Allgemeiner: 

Quantenobjekte können nicht in einen Zustand gebracht werden, in dem sie gleichzeitig einen 

Ort und einen Impuls haben. 

Anmerkungen 

– Die in der Heisenbergschen Unschärferelation vorkommenden Terme ∆x und ∆p sind 

Standardabweichungen und werden auch Unschärfen genannt. In der klassischen 

Physik wird angenommen, dass zu jedem Zeitpunkt im Prinzip ∆x = 0 und ∆p = 0 

gilt, nur Unzulänglichkeiten der Messapparate führen zu ∆x · ∆p > 0, jedoch 

∆x · ∆p → 0. Idealerweise ordnet man jeder Größe zu jedem Zeitpunkt genau einen 

Wert zu, wodurch Größen Funktionen der Zeit werden. 

In der Quantentheorie gilt unmittelbar nach einer Ortsmessung ∆x = 0, die Unschärfe 

wächst dann zu ∆x > 0 an, dem zu beschreibenden Objekt kann dann kein eindeutiger 

Ortswert mehr zugeordnet werden, zu einem Zeitpunkt gehören viele Ortswerte. 

Ort ist keine Funktion der Zeit mehr, bleibt aber Beobachtungsgröße in dem Sinne, 

dass eine Ortsmessung zu genau einem Ortswert führt. Zur Abgrenzung des klassischen 

Begriffs Größe wird das Wort Observable benutzt. 

– Beide oben vorgestellten Formulierungen der Heisenbergschen Unschärferelation sind 

äußerst vorsichtig gefasst. Die erste Formulierung ist auch dann korrekt, wenn die 

Messung ohne Wechselwirkung geschieht. Die zweite Formulierung betont, dass die 

Heisenbergschen Unschärferelation sich auf die Zukunft, nicht auf die Vergangenheit 

bezieht (das Zukünftige steckt in den auftretenden Unschärfen, die Wahrscheinlichkeiten 

voraussetzen; Vergangenes ist faktisch und hat stets Wahrscheinlichkeit 1). 

– In der Quantentheorie haben Ort und Impuls keine gemeinsamen Basisvektoren, 

daher gibt es keinen Zustand mit gleichzeitig bestimmtem Orts- und Impulswert, 

weder vor noch während noch nach einer Messung. Da nach Einstein die Theorie 

entscheidet, was gemessen wird, kann ein Zustand mit Ort und Impuls niemals 

beobachtet werden. Die Umkehrung „Wenn nicht beobachtbar, dann nicht existent“ ist 

nicht begründet [Weizsäcker, 1985]. 



– Der Theorie nach ist es unerheblich, ob die Beobachtung hinter dem Spalt mit oder 

ohne Wechselwirkung geschieht. Die gleichzeitige Unbestimmtheit von Ort und Impuls 

wird also nicht erst durch den Messprozess erzeugt. 

– Die Heisenbergsche Unschärferelation folgt aus dem Operatorformalismus (bzw. wird 

axiomatisch gefordert), also aus der Theorie und ist nicht experimentell ableitbar. 

Das Doppelspaltexperiment mit oder ohne Spaltbeobachtung ist im Einklang mit der 

Heisenbergschen Unschärferelation. 

– Bei dem Versuch, Quanten zu lokalisieren, ihren Raumbereich immer mehr einzuengen, 

muss immer mehr Impuls und Energie aufgewendet werden, die schließlich 

ausreicht, die nach der Heisenbergschen Unschärferelation im Vakuum ständig entstehenden 

und vergehenden virtuellen Teilchen zum Leben zu erwecken, d. h. zu realen 

Teilchen werden zu lassen. Derartige Erzeugungen und Vernichtungen von Teilchen 

sind nach der nichtrelativistischen Quantenmechanik nicht möglich. 

– Dass man in der Quantentheorie einem Objekt von zwei komplementären Eigenschaften 

nicht gleichzeitig feste Werte zuschreiben kann, erläutert Gesche Pospiech an 

folgendem skurrilem Bild: 

Ein Bauer hat eine Herde mit weißen und schwarzen Kühen und weißen und schwarzen 

Pferden. Diese möchte er jetzt zählen. Er treibt alle Tiere durch ein Doppel-Gatter: Links 

können nur die Kühe, rechts nur die Pferde hindurch gehen. In einem zweiten Schritt bringt 

er die Pferde unwiderruflich weg und sortiert danach die Kühe der Farbe nach, um eine Herde 

mit weißen Kühen zu erhalten. Nun möchte er sich vergewissern, dass er richtig sortiert hat, 

schaut nach, indem er die weißen Kühe wieder durch das Doppel-Gatter schickt, und entdeckt 

plötzlich Pferde darunter. 

Interpretiert man Kuh als ein auf den Anfangsimpuls p 0 präpariertes Elektron, Pferd als Elektronen mit 

anderen Impulsen und die beiden Spalte als schwarz und weiß, so entspricht eine weiße Kuh einem 

durch einen fixierten Spalt gegangenen Elektron, und eine Kontrolle bedeutet erneute Impulsmessung 

dieses Elektrons, wobei dann auch andere Impulse als p 0 festgestellt werden. 



3.2 Wellenfunktionen 

harmonische Welle 

Viele Elektronen liefern ein Interferenzmuster, das 

wie in der klassischen Wellenlehre beschrieben werden 

kann: Sieht man die beiden Spalte als punktförmig 

an und ordnet den einzelnen Elektronenstrahlen 

komplexwertige Wellen 

ψ1 = a0 ei(α – δ/2) bzw. ψ2 = a0 ei(α + δ/2) 

zu, so folgt für den Gesamtstrahl 

ψ = ψ + ψ = a e 1 2 0 i(α – δ/2) + a ei(α + δ/2) 

0 

=a 0 e –i δ/2 +e +i δ/2 =2a 0 cos δ 

2 ei α . 

Hierbei ist δ die Phasendifferenz zwischen den Strahlen 

der beiden Spalte. 

Wegen I ~ |ψ| 2 ist die Intensität proportional zum 

Quadrat der Amplitude, also I = 4|a0 | 2 cos2 (δ/2) . 

(Die Überlagerung durch die Einzelspaltbilder liefert 

eine nach außen abnehmende Intensität gemäß 

2 

a =I0 0 

sin ϕ 

2 

ϕ 

2 

Interpretationen der Quantentheorie 45 

2 

, 

wobei I 0 die Intensität des zentralen Maximums und 

ϕ die Phasendifferenz zwischen den Randstrahlen jedes 

einzelnen Spaltes bedeuten.) 

Mit diesem Wellenansatz kann aber die Lokalisierbarkeit 

von Einzelelektronen (bzw. Einzelphotonen) 

nicht beschrieben werden. Daher versucht man einen 

Wellenpaketansatz: 

ψ (x,t) = a e k i αx,t (k) ∞ 

dk 

–∞ 

= a e k i(kx– ωt) ∞ 

dk 

–∞ 

.


Wellenpaket 

Jeder einzelne harmonische Anteil ak ei(kx – ωt) besitzt 

die eindeutig bestimmte Wellenzahl k = 2π/λ und 

die eindeutig bestimmte Frequenz ω = 2π · f. Wechselt 

man nun gemäß der Quantentheorie mittels 

p = hk = h/λ und W = hω = hf zum Teilchenbild (die 

Plancksche Konstante h koppelt Teilchen- und 

Wellenvorstellungen), so besitzen die harmonischen 

Komponenten eindeutige Werte für Impuls und Energie. 

Andererseits ist der harmonische Anteil unendlich 

ausgebreitet und hat daher keinen Ort. 

Dagegen setzt sich das Wellenpaket ψ (x,t) aus vielen 

verschiedenen Wellenzahlen und Frequenzen zusammen 

und hat weder eine Wellenzahl noch eine 

Frequenz, und daher weder Impuls noch Energie; 

ferner ist es nicht auf einen Raumpunkt begrenzt 

und hat daher auch keinen Ort. 

Da in einem Wellenpaket die Teilwellen unterschiedliche 

Phasengeschwindigkeiten (cϕ = ω/k) haben, 

müssen die Teilwellen auseinander laufen. Durch 

dieses Zerfließen ist aber eine rein wellentheoretische 

Beschreibung der Mikroobjekte zum Scheitern verurteilt: 

Selbst wenn ein Teilchen zu einem Zeitpunkt 

(nach einer Messung) sehr gut lokalisiert ist, ist es 

nach kurzer Zeit räumlich verschmiert (Verdopplung 

des Raumgebiets bei Elektronen in 10 –16 s); dies ist 

bisher nie beobachtet worden. Ortsmessungen liefern 

stets einen genauen Ort. Ohne Messung kann wegen 

∆x > 0 und ∆p > 0 weder ein Orts- noch ein Impulswert 

zugeordnet werden. 

Bei Elektronen müssten auch deren Ladungen verschmieren, 

und innerhalb der Ladungswolke müssten 

Bereiche auftreten, die eine kleinere Ladung als 

die Elektronenladung e – besitzen und die sich elektrisch 

abstoßen müssten, beides ist ebenfalls noch nie 

beobachtet worden. Weiterhin bleibt völlig unklar, 

ob in einer Elektronenwolke ein Teilchen oder mehrere 

verschmiert sind. Das Zerfließen des Wellenpakets 

beschreibt eine noch nie beobachtete Instabilität 

des Elektrons. 



Anmerkungen 

Ein freies Teilchen wird durch die harmonische Welle ψ (x,t) = a · ei α (x,t) beschrieben. 

Dabei heißen a Amplitude und α Phase. 

Relevant für Messungen ist |ψ| 2 , das als Wahrscheinlichkeit interpretiert wird. Hierbei 

spielt wegen |eiα | = 1 die Phase keine Rolle mehr, für die Wahrscheinlichkeit ist nur 

der Amplitudenanteil maßgebend. Man nennt daher ψ (x) auch Wahrscheinlichkeitsamplitude. 

Bewertung der Version ψ als Wellenpaket 

+ diese Version entspricht der geschichtlichen Entwicklung, der Entstehung der 

Wellenmechanik aus der Materiewellentheorie (unter Hinzuziehen der Wahrscheinlichkeitsinterpretation); 

+ je nach Konzept des Unterrichts über die vorher behandelte klassische Wellenlehre 

kann daran angeknüpft werden; 

+ Wellenpakete sind der Vorstellung nach sehr anschaulich, wodurch ein gutes Verständnis 

des Zerfließens eines Zustandes und damit der inneren Dynamik, die sich 

nach der Schrödingergleichung ohne äußere Einwirkung vollzieht, und ein gutes Verständnis 

der Heisenbergschen Unschärferelation erreicht werden kann; 

– es besteht die Gefahr, dass die Vorstellung von Elektronen oder Photonen als Welle 

suggeriert wird; 

– der Formalismus ist sehr bis zu anspruchsvoll. 



3.3 Zustandsvektoren 

Das Konzept der Wellenfunktion ist zu eng, beispielsweise 

– setzt steigende Genauigkeit einer Ortsmessung nach ψ = ψ (x,t) bereits genaue Ortsund 

Zeitpunktmessung voraus, wozu nach der Heisenbergschen Unschärferelation 

großer Impuls und große Energie nötig sind. 

Wenn die Energie größer als die doppelte Elektronenruheenergie ist, werden ein 

Elektron-Positron-Paar erzeugt [(γ + e – → e – + (e – + e + )]. Solche Prozesse lassen sich 

mit Wellenfunktionen nicht mehr beschreiben (in der nichtrelativistischen Quantentheorie 

gilt nämlich Teilchenerhaltung). 

– Beim β-Zerfall n0 → p + + e – + ν ist der Anfangszustand eine Wellenfunktion ψ , der 

e n 

Endzustand aber ein Tripel von Wellenfunktionen: 

– Der Spin eines Elektrons kann die Werte +1/2 oder –1/2 annehmen, dazu ist ein 

ψ1 (x,t) 

Paar von Wellenfunktionen 

ψ2 (x,t) nötig. 

Eine allgemeine, abstraktere Formulierung der Quantenmechanik gelingt mit dem Konzept 

des Zustandsraums (mathematisch ein Hilbertraum), das elegante Erweiterungsmöglichkeiten 

zulässt. 

Am folgenden Beispiel soll das Vorgehen erläutert werden, wie zunächst der Hilbertraum 

als Erzeugnis der Basisvektoren (= Eigenzustände) gebildet wird und über die 

Messwerte dann ein geeigneter Operator gefunden werden kann. Es ist ersichtlich, dass 

Messergebnisse immer Eigenwerte sein müssen und dass das System nach einer Messung 

immer in einem Eigenzustand ist. 

Ist umgekehrt der Operator bekannt (und mit ihm der Hilbertraum), so können Eigenzustände 

und mögliche Messwerte aus ihm berechnet werden. 

48 Interpretationen der Quantentheorie 

ψ p + 

ψ e – 

ψ νe 

.


3.3.1 Doppelspaltexperiment mit Messung des Spaltdurchgangs (durch Licht) 

Nach der Messung haben entweder Detektor 1 oder Detektor 2 angesprochen. Um mit 

den beiden zugehörigen Messwerten 

Elektron durch Spalt 1 bzw. Elektron durch Spalt 2 

rechnen zu können, werden ihnen die reellen Zahlen λ bzw. µ zugeordnet. 

Zu diesen Messwerten gehören zwei Zustände, in denen das System nach der Messung 

sein kann, nämlich 

|Registrierung in Detektor 1, Durchgang durch Spalt 1, Spalte offen, Präparierung auf p0 >, 

|Registrierung in Detektor 2, Durchgang durch Spalt 2, Spalte offen, Präparierung auf p >. 0 

Es ist für Schülerinnen und Schüler sehr hilfreich, die Zustände anfangs verbal und 

ausführlich zu beschreiben. Danach kann man in allen Zuständen gleiche Versuchsbedingungen 

bzw. Texte der Einfachheit halber (ohne Informationsverlust) weglassen, die 

Zustände nach der Registrierung heißen dann einfach |1> und |2>. 

Der zum Experiment geeignete Zustandsraum (Hilbertraum) ist dann das Erzeugnis von 

|1> und |2>, ein beliebiger Zustand hat die Form 

|ψ> = a1 |1> + a2 |2> für komplexe Zahlen a1 und a2 . 

Der Hilbertraum ist zweidimensional. Er enthält alle möglichen Zustände, die das 

Doppelspaltexperiment mit Licht beschreiben, beispielsweise ist für a = 1 und a = 0 

1 2 

der Zustand |1> präpariert, ein Zustand, der nach der Messung vorliegen kann. In 

diesem Fall muss nach dem Grundprinzip aller empirischen Wissenschaften, der Wiederholbarkeit 

einer Messung, dieser Zustand wieder gemessen werden. Daher bleiben 

der Zustand |1> und entsprechend der Zustand |2> erhalten. 

Bzgl. der Basis |1> und |2> sind a1 und a2 die Koordinaten von |ψ>, und diese Koordinaten 

sind – wie aus der Linearen Algebra bekannt ist – die Projektionen von |ψ> auf 

die Basiszustände |1> und |2>, die sich mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen lassen: 

= + a2 |2>)= a1 + a2 = a1 · 1 + a2 · 0 = a1 , 

analog = a2 . 

Das Skalarprodukt (Schema ) beschreibt den Übergang vom Zustand 

|ψ> in den Zustand |1>. Entsprechend zu ψ (x) bei den Wellenfunktionen heißt 

die komplexe Zahl Wahrscheinlichkeitsamplitude. 

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude = a1 ist die Amplitude des Anteils von |1> in |ψ> 

bzw. die Amplitude, dass das Elektron vom Zustand |ψ> in den Zustand |1> übergeht. 

Ein beliebiger Zustand |ψ> = a1 |1> + a2 |2> besitzt dann die Amplitudendarstellung 

|ψ> = |1> + |2> . 

Ganz allgemein wird der Übergang zwischen Zuständen durch Operatoren beschrieben 

(denkt man an Wellenfunktionen, so sind die Operatoren Funktionen von Funktionen, 

daher der Name Operator). Ein zum Experiment passender Operator Ô soll jedem 

möglichen präparierten Zustand einen gemessenen Zustand zuordnen, insbesondere 

wegen der Wiederholbarkeit einer Messung den Basiszuständen |1> und |2> sich 



selbst (s. o.). Weiterhin soll Ô die Messwerte liefern. Daher fordern wir von Ô die 

Eigenschaft 

Ô |1> = λ |1> , Ô |2> = µ |2> . 

Offenbar sind |1> und |2> Eigenvektoren mit den Eigenwerten λ und µ. 

Die Wirkung des Operators auf einen beliebigen Zustand |ψ> folgt dann aus der geforderten 

Linearität: 

Ô |ψ> = Ô (|1> + |2> ) = Ô |1> + Ô |2> 

= λ |1> + µ |2> . 

Das Weglassen von |ψ> führt zu 

Ô = λ |1> · λ · · µ · liefert neben den 

Messwerten λ und µ mit |a1 | 2 = || 2 und |a2 | 2 = || 2 auch die Wahrscheinlichkeiten 

für das Eintreten dieser Messwerte und für den Übergang von dem 

Zustand |ψ> in einen Eigenzustand |1> oder |2>. 

Der bei einer Messung stattfindende Übergang in einen Eigenzustand heißt Quantensprung 

und wird mathematisch durch die Projektion auf den Basiszustand beschrieben: 

|ψ>| → |1> bzw. |ψ>| → |2> . 

Beispiel: 

|2> 

α 

|1> 

Für die Koordinaten a1 = cos α und a2 = sin α heißt 

der Zustand 

|ψ> = cos α |1> + sin α |2> . 

Die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von |ψ> 

nach |1> ist 

|| 2 = |cos α + sin α | 2 

= |cos α · 1 + sin α · 0| 2 = cos2 α ; 

analog || 2 = sin2 α . 

Eben haben wir aus Eigenvektoren und Eigenwerten den Operator erzeugt. Umgekehrt 

können zu einem gegebenen Operator 

Ô = |1> λ µ ≠ 0 

muss Ô|ψ> = α |ψ> gelten, also 

λ |1> + µ |2> = α |1> + α |2> . 

Daraus ergeben sich wegen der linearen Unabhängigkeit von |1> und |2> die Beziehungen 

(λ – α) = 0 und (µ – α) = 0 . 



Da es zwei Eigenwerte geben muss, ist α = λ und α = µ nicht möglich, daher ist entweder 

= 0 oder = 0 . 

Im Falle = 0 ist α = µ, also |ψ> = |2> , d. h. die Vektoren |ψ> und |2> 

sind linear abhängig, kennzeichnen also denselben Zustand. Da |ψ> Eigenvektor ist, ist 

es auch |2>; der zugehörige Eigenwert ist α = µ. Im Falle = 0 kann geschlossen 

werden, dass |1> Eigenvektor ist. 

Ganz allgemein gehört zu den Messwerten λ1 , λ2 , … und den zugehörigen Eigenzuständen 

|ϕ1 >, |ϕ2 >, … der Operator Â = ∑ |ϕj > λj liefert einen Impulswert p, 

deshalb ist 

P ψ = h 

i 

d 

ψ =pψ . 

dx 

Diese Differentialgleichung hat die Lösung 

das Impulsspektrum ist kontinuierlich. 

ψ (x) = a e i 

h px . ψ ist Lösung für alle reellen p, 

3.3.2 Übungsaufgaben 

Es folgen weitere Übungsbeispiele, die dem Umgang mit dem Zustandsvektor dienen. 

Um die Kopenhagener Auffassung [vgl. Beitrag Interpretationen von Joachim Lillig in 

diesem Heft], erst Messung liefert eine Eigenschaft bzw. eine Realität, nachvollziehen 

zu können, sollte man die Zustandsvektoren zunächst in ganz ausführlicher Art verbalisieren, 

der Einfluss des Aufbaus der Messung wird deutlicher. 

Beispiel 1: Messung, ob das System im Zustand |durch Spalt 1> 

Nun interessiert nur, ob das System nach der Messung in einem bestimmten Zustand ist 

oder nicht, beispielsweise im Zustand |durch Spalt 1>; es handelt sich um eine Ja-Nein- 

Entscheidung. 

Wie im Beispiel vorher könnte man mit den Eigenvektoren |1> und |2> arbeiten; deutlicher 

ist die Darstellung 

|ja> : = |Registrierung in Detektor 1, Spalte offen, Präparierung auf p0 >, 

|nein> : = |keine Registrierung in Detektor 1, Spalte offen, Präparierung auf p >; 

0 



dann hat ein allgemeiner Zustand die Form 

|ψ> = a1 |ja> + a2 |nein> = |ja> + |nein> . 

Der passende Operator ist nun der Projektionsoperator mit 

P |ja> = |ja> und P |nein> = |0>. 

Damit gilt allgemein 

P |ψ> = P |ja> + P |nein> = |ja> , demnach P = |ja> 1 0 = |ja> = 1 · |ja> und 

P |nein> = |ja> = 0 |ja> = |0> = 0 |nein> . 

Offenbar lässt sich jeder Operator aus Projektionsoperatoren generieren. 

Beispiel 2: Ein Spalt geschlossen: Einfachspaltexperiment 

Das Doppelspaltexperiment wird zu einem Einfachspaltexperiment, indem ein Spalt 

verschlossen wird. Das Elektron muss nun den offenen Spalt passieren, es gibt nur 

einen einzigen Eigenzustand 

|D> : = |Durchgang durch den offenen Spalt, Präparierung auf p0 > 

mit einem einzigen Messwert λ. Der zugehörige Hilbertraum ist das Erzeugnis von |D> 

und hat die Dimension 1. 

Ein beliebiges Element des Hilbertraums hat die Form |ψ> = a |D>, wobei a = a 

= die Übergangsamplitude darstellt. 

Der passende Operator muss Ô |D> = λ |D> erfüllen, also ist Ô |ψ> = Ô a |D> = 

λ |D> , was Ô = |D> λ 0) steht, identisch und können 

deshalb vereinfachend weggelassen werden (hierbei 

Quelle Spalt Schirm 

wird das Doppelspaltexperiment als zweidimensionales 

Problem betrachtet mit Schirm parallel zur x- 



Achse, Ausbreitung längs y-Achse); mit dieser Vereinbarung beschreibt man einen Zustand 

vereinfacht als 

|x> = |Registrierung an der Stelle x, beide Spalte offen, Präparierung auf p0 >. 

Der Hilbertraum ist das Erzeugnis aller Zustände |x>, ein beliebiger Zustand hat dann 

die Form 

|ψ> = a1 |x1 > + a2 |x2 > + … 

ist die Amplitude, 

dass das Elektron mit Anfangsimpuls p bei x registriert wird, 

0 

dass das Elektron vom Zustand |ψ> in den Zustand |x> übergeht, 

dass das Elektron im Zustand |ψ> einen Anteil des Zustandes |x> besitzt, der durch 

die komplexe Zahl beschrieben wird. 

Es ist 

∞ 

= a dx’ 

x’ 

–∞ 

Damit erhält |ψ> die Form 

∞ 

= a δ (x – x’)dx’ =a x’ x 

–∞ 

∞ 

|ψ>= a |x> dx 

x 

–∞ 


. 

∞ 

= |x>dx 

–∞ 

Ist das Elektron nach der Präparierung bereits im Eigenzustand |x>, d. h. |ψ> = |x>, 

dann wird dieser Zustand durch die Messung nicht verändert und liefert dasselbe 

Messergebnis (Wiederholbarkeit der Messung), mit anderen Worten, der gesuchte Ortsoperator 

muss Ô |x> = x · |x> erfüllen. Daher ist Q = x · ein geeigneter Operator. 

Allgemein ist 

∞ 

Q |ψ>=Q |x> dx 

–∞ 

∞ 

Q = |x>· x · dx= x|x>dx 

–∞ 

. 

oder 

Bewertung der Version ψ als Zustandsvektor 

+ Interpretationen werden gut vorbereitet und verständlicher; 

+ der Bedeutungswandel einiger klassischer Begriffe wie Raumzeit-Einbettung oder 

physikalisches Objekt wird deutlich; 

+ Paradoxien wie die Schrödinger-Katze oder EPR-Experimente können erläutert und 

vermieden werden; 

– der Formalismus ist anspruchsvoll.


3.3.3 Übliche Herleitung von p = h/λ ist nur heuristisch/propädeutisch 

Hat man die Sprechweise der Zustandsvektoren parat, 

so lässt sich beispielsweise gut verstehen, dass 

die Teilchen- und Wellenbild koppelnden Beziehungen 

W = hf = hω und p = h/λ = hk nicht hergeleitet 

werden können. 

t0 < t1 Zeitpunkt 

λ (t Im Unterricht wird in der Regel nach üblichem Sche- 

1 ) Wellenlänge 

p = p (t ) ≠ p , p , p , … ma ermittelt: Sind p der Impulswert der Präparation 

0 1 2 3 

p (t und λ die am Schirm ermittelte Wellenlänge, so füh- 

1 ) ??? Impuls 

ren die Beobachtungen zu einer Proportionalität 

λ ~ 1/p mit dem Proportionalitätsfaktor h. 

Trotz des klassisch einwandfreien Vorgehens wird in der Literatur von heuristischen 

oder propädeutischen Betrachtungen gesprochen und davon, dass der Versuch nicht als 

Herleitung verstanden werden darf; in der Regel wird man dann mit dieser Anmerkung 

allein gelassen. Wieso ist dieses Vorgehen propädeutisch und darf nicht als Herleitung 

verstanden werden? 

Eine genauere Analyse zeigt, dass der Impuls p = p (t ) zur Zeit t präpariert, die 

0 0 

Wellenlänge λ = λ (t ) hingegen zu einem späteren Zeitpunkt t > t festgestellt wird. 

1 1 0 

Eine Impulsmessung nach dem Spaltdurchgang lieferte aber unterschiedliche Impulswerte. 

Wenn nun hinter dem Spalt dem Elektron kein eindeutiger Impulswert zugeordnet 

werden kann, ist völlig unklar, welcher Impuls dem durch Messung eindeutig bestimmten 

λ gemäß h/p entsprechen soll. 

Die im Versuch ermittelte Beziehung p (t ) = h/λ (t ) ist wegen t ≠ t kaum zu halten; in 

0 1 0 1 

p (t ) = h/λ (t ) ist völlig unklar, was p (t ) bedeutet! 

1 1 1 

Die Problematik löst sich auf, wenn wir unser Wissen über Zustandsvektoren einbringen 

und bedenken, dass alle Zustände |ψ>, |p> oder |x> in demselben Hilbertraum 

liegen und in derselben Basis darzustellen sind; eine Aufspaltung beim Doppelspaltexperiment 

in 

Präparierung auf p – Spaltdurchgang – Registrierung am Schirm, 

0 

insbesondere mit einer Beschreibung, die diesen drei Versuchsbestandteilen je eigene 

Zustandsvektoren wie |p0 >, |D> oder |x> zuordnet, womöglich noch aus verschiedenen 

Hilberträumen, ist nicht gestattet. Jeder Zustand beschreibt alles, von der Präparierung 

über den Spaltdurchgang bis zur Registrierung. Daher ist eine Trennung in der 

Quantentheorie nicht zulässig. Raumzeitpunkte zwischen Präparierung und Registrierung 

werden in der Quantentheorie überhaupt nicht erwähnt. 

Mit anderen Worten, die Beziehung p = h/λ bzw. λ = h/p ist zu jedem Zeitpunkt, d. h. 

sowohl vor als auch hinter dem Spalt, entweder richtig oder falsch, daher kann sie nicht 

durch das Experiment hergeleitet, sondern muss axiomatisch gefordert werden. 

[In der Schule lässt sich die Einsicht in die Beziehung p = h/λ experimentell nicht am Doppelspaltexperiment, 

sondern an der Elektronenbeugung gewinnen. Die Elektronen werden auf die Spannung U 

präpariert, die über den Energiesatz theoretisch in den Impuls p umgerechnet wird; am Schirm werden 

Ringe beobachtet, deren Radien r gemessen werden, und diese Ringe werden theoretisch als Wellenmuster 

gedeutet und führen so zu einer Wellenlänge λ. Eine Auswertung ist mit p = h/λ im Einklang.] 



3.3.4 Dualismus? 

In strengem Sinne besagt der Welle-Teilchen-Dualismus, dass ein Elektron sich entweder 

als Teilchen oder als Welle zeigt, aber nie als beides gleichzeitig. 

Beim Doppelspaltexperiment zeigt ein Einzelelektron aber 

– einerseits nie ein Interferenzmuster, ist also niemals eine Welle; 

– andererseits muss jedes einzelne Elektron wissen, ob 2 Spalte oder 1 Spalt geöffnet 

sind [auch beim Einzelspalt muss ein Elektron wissen, dass nicht noch ein zweiter 

offener Spalt in der Nähe ist]. 

Demnach zeigt jedes einzelne Elektron gleichzeitig Teilchen- und Wellencharakter. In 

diesem Sinne gibt es keinen Dualismus. 

Vergleich 

Zylinder von oben von der Seite 

Stecke Zylinder in Kreisbox Rechteckbox 

Zylinder zeigt Kreischarakter Rechteckcharakter 

In Schulbüchern findet man häufig die Auffassung vor, dass ein Elektron sich 

– bei der Ausbreitung wie eine Welle, 

– bei einer Wechselwirkung wie ein Teilchen 

verhält. In diesem Sinne wird von Dualismus gesprochen. 



Bedenken 

Wer sich dieser Schulbuchauffassung anschließt, sollte bedenken: 

– In der Quantentheorie gibt es keine Differenzierung Teilchen – Welle, Objekte der 

Quantentheorie sind Quanten. 

– In der Quantentheorie gibt es keine Zerlegung in Präparation – Ausbreitung – Spaltdurchgang 

– Registrierung, wie die Zustandsbeschreibung 

|x> = |Registrierung bei x, beide Spalte offen, Präparierung auf p0 > 

besagt, unter Anderem werden Raumpunkte zwischen Präparierung und Registrierung 

nicht erwähnt. 

– Während der Ausbreitung wird nicht beobachtet! Woher stammt dann das Wissen 

über ein Wellenverhalten? 

– Wellenartig ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, nicht das Teilchen. 

– Wechselwirkung geschieht bei der Registrierung am Schirm, dort wird bei der Lokalisierung 

zwar Teilchenverhalten, insgesamt aber ein Wellenmuster beobachtet. 

– Der Spaltdurchgang verändert das Muster am Schirm, daher spricht man auch von 

einer Wechselwirkung mit dem Spalt. Diese ist nur wellentheoretisch verständlich, 

denn bei teilchenhaftem Verhalten passierte das Elektron entweder Spalt 1 oder Spalt 

2, im Gegensatz zur Beobachtung müsste das Teilchenmuster registriert werden. 

– Beim Doppelspaltexperiment mit Spaltbeobachtung zeigt sich kein Interferenz-, sondern 

ein Teilchenmuster. Ist die Ausbreitung dennoch wellenartig? 

Vorschlag 

In der Quantentheorie werden Teilchen- und Wellenbild zusammen gedacht, was jeglicher 

makroskopischen Erfahrung widerspricht. Der in der Vorphase der Quantentheorie 

eingeführte Dualismus ist eigentlich längst überwunden und sollte meiner Meinung 

nach nicht mehr im Unterricht erwähnt werden, es sei denn aus historischen Gründen. 

(Stichhaltigste Begründung: In der heute grundlegendsten Theorie, der Quantenfeldtheorie, gibt es keinen 

Dualismus.) 



3.3.5 Anhang: Axiome der Quantentheorie und Schrödingergleichung 

Axiome der Quantentheorie 

Physik ist 

– interpretierter Formalismus, 

– die Theorie der Zustände und Zustandsänderungen und 

– die Theorie des Messens. 

Ein zu beschreibendes physikalisches System (bestehend aus Teilchen und/oder Feldern) 

befindet sich in Zuständen, die durch Messwerte von gleichzeitig messbaren 

Observablen festgelegt sind. 

Dem Zustand, dem physikalischen System und den Observablen müssen nun Symbole 

in einem mathematischen Formalismus zugeordnet werden. Die mathematische Theorie 

liefert neue mathematische Ergebnisse, die in der Natur zu interpretieren sind. 

Zuordnungen der Quantentheorie 

1. Zustand ↔ Vektor, insbesondere Wellenfunktion 

(garantiert Superpositionsprinzip, damit Interferenzbild); 

physikalisches System ↔ Hilbertraum 

komplexer Vektorraum (Superpositionsprinzip) 

vollständig (Cauchyfolgen konvergieren) 

es gibt ein hermitisches, positiv definites Skalarprodukt 

(garantiert Normierbarkeit, Orthogonalisierbarkeit) 

abzählbare Basis 

2. Observable ↔ Operator 

Daraus erwachsen die beiden Axiome der Quantentheorie: 

1. Postulat der Quantentheorie: Zustandsaxiom 

Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch einen normierten Vektor 

aus einem Hilbertraum repräsentiert. 

Physikalisches Prinzip (Axiom der zeitlichen Entwicklung – innere Dynamik): 

ψ genügt der Schrödingergleichung 

ih ∂|ψ> 

∂t 

=H|ψ> . 



2. Postulat der Quantentheorie: Observablenaxiom 

Die Messgrößen/Observablen des physikalischen Systems werden durch hermitische 

Operatoren repräsentiert. 

Die Eigenvektoren dieses Operators spannen im Hilbertraum eine orthonormierte 

Basis auf (Vollständigkeitsaxiom). 

Physikalische Prinzipien: 

1. Die einzig möglichen Messwerte sind die Eigenwerte des zur Observablen gehörenden 

Operators. 

2. Nach der Messung befindet sich das System in dem zu dem Eigenwert gehörenden 

Eigenzustand (Reduktion des Wellenpakets / Quantensprung). 

3. Die Absolutquadrate || 2 beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass bei 

einer Messung ein Zustand |ψ> in den Zustand |ϕ> übergeht. 

Kommentare 

– Die Zustände eines physikalischen Systems ändern sich auf zwei Arten: 

1. ohne äußere Einwirkung, deterministisch gemäß der Schrödingergleichung (vgl. 

Zerfließen eines Wellenpakets) (Dynamik I) (vgl. Beitrag von Rolf Seibel-Schüürmann 

in diesem Heft); 

2. akausal durch eine Messung, mathematisch beschrieben durch Operatoren und 

eine unstetige Projektion (Dynamik II). 

– Das Zustandsaxiom der Quantentheorie entspricht der Struktur nach anderen Zustandsaxiomen 

der klassischen Physik, jedoch entspricht ψ keinem Element der Realität. 

Zum Observablenaxiom gibt es in der klassischen Physik kein Pendant, weil 

dort Messapparate die Messwerte prinzipiell nicht ändern. 

– Um das Observablenaxiom besser zu verstehen, betrachten wir den prinzipiellen 

Aufbau der Messung eines Mikroobjekts: 

Phänomenebene 

beispielsweise 

Mathematische Ebene 

Präparierung Apparat Registrierung 

auf Impulswert p 0 Doppelspalt Ortswert x 

am Schirm 

Zustand |ψ> Operator Â 

Zustand |ϕ> 



Anmerkungen zu Messung 

(vgl. Beitrag von Rolf Seibel-Schüürmann in diesem Heft) 

– Ein (klassisches) physikalisches System wird quantisiert, indem den Observablen geeignete 

Operatoren zugeordnet werden. Mit Hilfe dieser Operatoren sollen alle 

Messwerte theoretisch vorhergesagt werden. Dieses ehrgeizige Programm ist in der 

Quantentheorie aufgegeben worden. Es stellt sich nämlich heraus, dass Messwerte 

statistisch streuen und z. B. beim Doppelspalt Wellenmuster bilden. Die Auswahl 

eines Wertes aus dem Spektrum ist bis heute durch Nichts zu beeinflussen, in der 

Quantentheorie wird sie als zufällig angenommen. So besteht die Aufgabe darin, alle 

Messwerte, die auftreten können, zu finden und die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, 

mit der die einzelnen Messwerte eintreten können. Dies ist mit Hilfe von |ψ> 

und Â möglich. 

– Da Messwerte reell sind, muss der lineare Operator Â hermitisch sein. 

– Ist das System nach der Präparierung im Zustand |ψ> und nach der Registrierung 

im Zustand |ϕ>, wobei der Messwert λ festgestellt worden ist, dann wird dies mathematisch 

durch Â |ψ> = λ |ϕ> wiedergegeben. Wird nun die Messung sofort 

wiederholt, so wird nach dem Axiom der Reproduzierbarkeit einer Messung wiederum 

der Wert λ gemessen, d. h. Â|ϕ> = λ|ϕ>. Folglich ist λ Eigenwert des Operators 

und |ϕ> Eigenvektor. So können nach einer Messung nur Eigenzustände als Zustände 

auftreten, und Messwerte sind stets Eigenwerte. Ein Eigenzustand wird durch eine 

Messung nicht verändert; ist |ψ> kein Eigenzustand, dann ist offen, in welchen 

Eigenzustand das System durch die Messung übergeht. 

– Sind |ϕj > die Eigenvektoren des Operators, so bilden sie eine Basis des Hilbertraums, 

und der präparierte Zustand |ψ> lässt sich als Linearkombination dieser Basis darstellen: 

|ψ> = ∑ aj |ϕj > . 

Die Messung wird nach dem 2. Prinzip im Observablenaxiom durch eine unstetige 

Projektion von |ψ> auf den registrierten Eigenzustand |ϕj > beschrieben. 

Bis heute werden alle Versuchsergebnisse durch diese akausale Zustandsreduktion korrekt 

beschrieben, die Reduktion bleibt physikalisch jedoch unverstanden und ist durch 

das Observablenaxiom in der Quantentheorie ausgeklammert. In diesem Sinne ist die 

Quantentheorie unvollständig und kann daher nicht als endgültige Theorie gelten. Die 

Quantentheorie ermöglicht Aussagen über die Messergebnisse, man weiß aber nicht, 

wie sie zustande kommen. 

Die Axiome der Quantentheorie sind nicht ganz aus der Luft gegriffen, sie sind aus den 

Forderungen der Zeitsymmetrie (impliziert die Energieerhaltung), der Ortssymmetrie 

(impliziert die Impulserhaltung) und der Richtungssymmetrie (impliziert die Drehimpulserhaltung) 

herzuleiten. Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeitsinterpretation 

eine Konsequenz und keine Zusatzannahme. 



Schrödingergleichung 

Die Schrödingergleichung ist eine Bewegungsgleichung und beschreibt, wie und dass 

sich ein Zustand ohne äußere Einwirkungen in Raum und Zeit deterministisch ändert. 


Wir suchen nach einer Differentialgleichung, die sehr einfache Lösungen für ein freies 

Teilchen liefert: 

ψ (x,t) = a ei (k x – ω t) mit p = hk, W = hω . 

Dazu müssen die individuellen Parameter ω und k eliminiert werden. Dabei ist ω eine 

Funktion in k, wie der Ansatz aus der Energiedarstellung ergibt: 

Einerseits ist im Teilchenbild Wkin = mv2 /2, andererseits im Wellenbild W = hf = hω. 

Einsetzen liefert die Beziehung 

ω = W 

h 

mv2 

= 

2h = m2v 2 

p2 

= 

2hm 2hm = h2k 2 

= 

h 

2hm 2m k2 . 

Damit gilt für die ebene Welle ψ (x,t) = a 

i kx– 

h 

e 2m k2t . 

Um eine allgemeine Grundgleichung zu erhalten, muss noch der Parameter k eliminiert 

werden; dazu bilde die Ableitungen 

∂ψ 

∂t 

Es folgt 

= –i h 

2m k2 ψ (x,t) und 

∂ψ 

∂t 

=i h 

2m 

∂ 2 ψ 

∂x 2 

In die üblichere Schreibweise 

tial V leichter einbringen: 

ih ∂ψ 

∂t 

h2 

= – ∆ +V ψ =Hψ . 

2m 

∂ 2 ψ 

∂x 2 =ik 2 ψ (x,t) . 

als Schrödingergleichung für freie Teilchen. 

ih ∂ψ 

∂t 

= – h2 

2m 

∂ 2 ψ h2 

= – ∆ψ lässt sich ein äußeres Poten- 

2 

∂x 2m 



Bei der Schrödingergleichung ist ∂ψ/∂t ~ ∂ 2 ψ/∂x 2 , in der klassischen Wellengleichung 

dagegen ∂ 2 ψ/∂t 2 ~ ∂ 2 ψ/∂x 2 . Klassische Wellen s (x,t) = a e i(kx – ckt) und ψ erhalten beide 

in der zweiten räumlichen Ableitung ∂ 2 /∂x 2 den Faktor k 2 . Diesen Faktor k 2 erhält man 

im klassischen Fall wegen ω ~ k (ω/k = c p = v = c) erst durch die zweite zeitliche 

Ableitung ∂ 2 /∂t 2 , im Falle der Materiewelle ψ wegen ω ~ k 2 bereits durch die erste 

zeitliche Ableitung ∂/∂t. Demnach ist die Schrödingergleichung keine klassische Wellengleichung. 

Und in der ersten zeitlichen Ableitung bleibt im Faktor ih die imaginäre Einheit i stehen, 

die im klassischen Fall in der zweiten zeitlichen Ableitung wegen i2 = –1 nicht 

mehr vorkommt. So ist die Schrödingergleichung wesentlich komplex. 

Auch die Lösungen sind wesentlich komplex: Ein freies Teilchen wird durch ψ (x,t) = 

a ei(kx – ωt) beschrieben. Frequenz ω, Wellenzahl k und damit Energie und Impuls sind 

eindeutig bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte P (x,t) = |ψ (x,t)| 2 = |a| 2 ist konstant 

und unabhängig von x, so ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen anzutreffen, 

überall gleich, hinsichtlich der Lage besteht eine große Ungewissheit. 

Würde hierbei ψ durch eine reelle Sinuswelle beschrieben werden, so änderte sich das 

Betragsquadrat von Punkt zu Punkt, P (x,t) wäre nicht konstant. Daher muss ψ komplexwertig 

sein. 


Die Schrödingergleichung entspricht dem Energiesatz der klassischen Mechanik: 

W = p2 /(2m) + V . 

Der Energiesatz soll mit der Wellenfunktion ψ (x,t) = a ei(kx – ωt) in Einklang gebracht 

werden; W wird beschrieben durch die Anzahl der Schwingungen, p durch die Anzahl 

der Wellen, und zwar W = hω bzw. p = hk. Eingesetzt: 

hω = h2k 2 

+V . 

2m 

ω und k2 erhält man durch die 1. zeitliche bzw. die 2. räumliche Ableitung 

ω = i ∂ψ 

ψ ∂t und k 2 = – 1 ∂ 

ψ 

2 ψ 

. 2 

∂x 

Einsetzen und mit ψ multiplizieren ergibt die Schrödingergleichung 

ih ∂ψ h2 

= – ∆ +V ψ =Hψ . 

∂t 2m 

Vergleich mit dem Energiesatz liefert zusätzlich die Operatoren 

P = h ∂ 

i ∂x und W = – h2 ∂ 

2m 

2 

∂ 

=ih 2 

∂x ∂t . 

Es ist Aufgabe der Quantenmechanik, diese Schrödingergleichung für wichtige Potentiale 

V zu lösen; exakte Lösungen sind nur in wenigen Fällen möglich, etwa für ein lineares 

Potential oder für ein Coulombpotential. 



3.4 Information 

3.4.1 Doppeldoppelspalt und Verschränkungen 

Werden zwei unabhängige Quantensysteme durch ψ1 und ψ2 beschrieben, so kann das 

Gesamtsystem durch den Produktzustand ψ1⊗ψ2 im Produkt der Hilberträume beschrieben 

werden. Sind die Systeme nicht unabhängig voneinander, so spricht man von 

Korrelationen oder Verschränkungen. Wegen der Korrelationen enthält der Produktraum 

zu viele Zustände. Die durch ein Herausdividieren der Korrelationen entstehende Verkleinerung 

(Tensorprodukt) hat zur Folge, dass die Zustände des Gesamtsystems nicht 

mehr in Produkte der Teilsysteme zu zerlegen sind, den Teilsystemen können dann der 

Theorie nach keine einzelnen Zustandsfunktionen mehr zugeordnet werden. 

Unabhängig von ihrer Entfernung sind die beiden räumlich getrennten Teilsysteme 

durch Phasenbeziehungen (die es in der klassischen Physik nicht gibt) gekoppelt und 

werden durch eine Wellenfunktion bzw. einen Zustandsvektor beschrieben. Der 

Gesamtzustand ψ stellt einen nichtlokalen Zustand dar. 

Wie die Experimente, die die Bellsche Ungleichung (vgl. Kapitel 3.4.3) verletzen, zeigen, 

sind verschränkte Zustände keine formale Sache, sondern eine reale Eigenschaft der 

Natur. 

Beispiele 

– Zweiteilchensysteme wie Moleküle oder das H-Atom; 

– Messungen von Makrosystemen; 

– Teilchen mit gemeinsamem Ursprung wie Elektron und Positron nach einer Paarbildung 

oder Zwillingsphotonen bei EPR-Experimenten. 

Doppelspalt und Doppeldoppelspalt 

(vgl. Beitrag von Wolfram Mai in diesem Heft) 

Quelle 

Zwilling 1 Zwilling 2 

Downkonverter 

Schirm 1 Schirm 2 



Beim Doppeldoppelspalt werden Zwillingsphotonen erzeugt, die verschränkt sind und 

daher nur ein Quantensystem bilden, ein Diphoton. Dieser eine Zustand enthält die 

Verschränktheit und so den quantentheoretischen Holismus. Eine Messung an nur einem 

Teilsystem bedeutet stets Messung des ganzen Systems, zwischen den Zwillingen 

gibt es keine Informationsübertragungen oder vermittelnde Felder und daher auch keinen 

Widerspruch zur Relativitätstheorie, nach der Informationen und Wirkungen sich 

nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. 

Eine Messung des Spaltdurchgangs im linken Aufbau ist daher gleichzeitig eine Messung 

im rechten Teil, Spaltmessung links impliziert WelcherSpaltInfo rechts, nach der 

Quantentheorie gibt es daher kein Interferenzmuster (Regel 4 der Grundprinzipien). 

Das Aufstellen von Spaltdetektoren (wie Polarisationsfolien im Spalt) ist jedoch nicht 

nötig, die Androhung genügt, potentielles Wissen reicht. Daher ist auch ohne solche 

Informanten keine Interferenz zu beobachten. 

Das heißt, dass ψ nicht nur reale Informationen enthält, sondern alle Informationen, die 

man möglicherweise erhalten könnte. 

So ist ψ ein vollständiger Wissenskatalog, die Quantentheorie ist in diesem Sinn vollständig, 

ψ beschreibt nicht nur, was ist, sondern auch, was sein könnte. 

Positioniert man am linken Schirm an einer fixierten Stelle einen Detektor, so kann man 

am rechten Schirm Interferenz feststellen, wenn man dort einen Detektor am Schirm 

entlang führt und Koinzidenzen protokolliert, ob beide Detektoren also gleichzeitig 

ansprechen. 

In diesem Sinne liefern beide Schirme zusammen Interferenz, die Einzelschirme nicht. 



3.4.2 Quantenradierer 

mit 

Folie 

diagonal 

Beim Doppelspaltexperiment sind wir zur Überzeugung 

gelangt, dass das bloße Vorhandensein eines 

WelcherSpaltDetektors ein Interferenzmuster verhindert, 

unabhängig davon, ob die Spaltinformation abgefragt 

wird. Beim EPR-Doppelspalt reicht bereits 

die Androhung, man könnte in einem Teil des 

Versuchsaufbaus einen Spaltmarkierer anbringen. 

Beim normalen Doppelspaltexperiment mit Photonen 

kann man zur Spaltmarkierung beispielsweise 

waagerecht und senkrecht ausgerichtete Polarisationsfolien 

in die einzelnen Spaltöffnungen anbringen. 

Stellt man nun zwischen markierten Doppelspalt 

und Schirm einen diagonal ausgerichteten Polarisator, 

so wird die Spaltinformation gelöscht und es 

erscheint wieder das Interferenzmuster (nach Regel 1 

der Grundprinzipien). 

Entscheidend ist allein, ob die gewonnene Information 

über die Spaltpassage aus dem beobachteten System 

heraus und zum Beobachter gelangen kann. 

Löscht man durch den Einbau eines Quantenradierers 

die WelcherSpaltInfo noch innerhalb des Systems 

wieder aus, so erscheint erneut das Interferenzmuster. 

Die Interpretation des Messvorgangs als irreduzible 

Störung des Objekts ist nicht mehr haltbar, 

es handelt sich stattdessen um einen reversiblen 

Informationsgewinn. 

Wird die hinzugewonnene Information (Spaltdurchgang 

– Teilchencharakter) noch innerhalb der Versuchsanordnung 

wieder gelöscht, wird der Wellencharakter 

in Form der Interferenz wieder messbar. 

Doppeldoppelspalt mit Quantenradierer 

Beklebt man in einem Doppeldoppelspaltaufbau nur 

den linken Doppelspalt mit waagerechten und senkrechten 

Polarisationsfolien, der rechte Doppelspalt 

wird nicht markiert, so erhält man nach Regel 4 der 

Grundprinzipien links und rechts keine Interferenz; 

bringt man nun links zwischen markierten Doppelspalt 

und Schirm zusätzlich eine diagonale Polarisationsfolie 

als Quantenradierer, so erhält man nach 

Regel 1 der Grundprinzipien links wiederum Interferenz, 

rechts aber keine. Beide Schirme zusammen 

(Koinzidenzmessung) liefern wiederum Interferenz. 



3.4.3 Anhang: Bellsche Ungleichung 

(vgl. Beitrag von Wolfram Mai in diesem Heft) 

Die mengentheoretische Beziehung 

W V 

B 

⊇ 

W V 

B 

W ∩ V (W ∩ B) ∪ 

(V ∩ B) 

ist trivial. In Zeilingerscher Verbalisierung: 

Die Anzahl der weiblichen Vorzugsschülerinnen ist kleiner oder gleich der Summe der weiblichen 

Brillenträger und der Anzahl der Vorzugsschüler, die keine Brille tragen: 

N (W,V) ≤ N (W,B) + N (V,B) . 

Und dies entspricht dem Inhalt der Bellschen Ungleichung! Trickreich ist bei der Beschreibung 

von zwei Eigenschaften W und V die Hinzunahme einer dritten Eigenschaft 

B. Wir übersetzen in die Situation von polarisierten Zwillingsphotonen: 

Detektor 1 1. Polarisator 2. Polarisator Detektor 2 

2-Photonen-Quelle 

W V 

Es sollen zwei Eigenschaften (Polarisationsrichtungen α und β) beobachtet werden, 

weshalb Paare identischer Zwillinge gewählt werden müssen; hierzu wird eine dritte 

Eigenschaft (Polarisationsrichtung γ) hinzu gezogen. 

Beobachtung: Bei parallelen Polarisatoren (α = β) sprechen die Detektoren 1 und 2 stets 

gleichzeitig an (Koinzidenzen), bei orthogonalen (α ⊥ β) nie. 

Klassische Erklärungsversuche 

1. Hypothese: Die beiden Photonen werden mit der gleichen Polarisation emittiert, die 

Polarisationsrichtung variiert von Photonen- zu Photonenpaar. 


B


Diese Hypothese widerspricht dem Experiment, denn bei orthogonalen Polarisatoren 

müssten von den zu diesen diagonal (45°) polarisierten Paaren die einzelnen Photonen 

mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 unabhängig voneinander passieren, es müssten also 

manchmal beide Detektoren klicken, was nie geschieht. Folglich besitzen die Photonen 

keine Polarisatonsrichtung. 

2. Hypothese: In einer Instruktionsliste sei festgelegt, ob die Photonen einen in eine 

bestimmte Richtung orientierten Polarisationsfilter passieren oder nicht (dies entspräche 

der Annahme verborgener Parameter). 

Nun bezeichne N (α,β) die Anzahl der Photonenpaare, die bei α-Stellung des ersten 

Polarisators und bei β-Stellung des zweiten beide Detektoren klicken lassen; nach Bellscher 

Idee führe eine dritte Polarisationsrichtung γ ein, und wir erhalten die Abschätzung 

N (α,β) ≤ N (α,γ) + N (β,γ) , 

wobei N (b,γ) die Anzahl der Photonenpaare ist, bei denen Detektor 1 bei β-Stellung des 

1. Polarisators klickt und Detektor 2 bei γ-Stellung des 2. Polarisators nicht klickt. 

Nach Division durch die Anzahl N aller Photonenpaare, die bei parallelen Polarisatoren 

beide Detektoren passieren, also 

N(α,β) 

N 

≤ N(α,γ) 

N 

+ N(β,γ) 

N 

, (*) 

erreicht man den Übergang zu Wahrscheinlichkeiten. Diese Ungleichung muss nun jede 

Theorie mit verborgenen Parametern erfüllen. 

In der Quantentheorie (vgl. Beispiel in 3.3.1) werden 

die Wahrscheinlichkeiten durch die Quadrate cos2 und sin2 beschrieben, das Argument ist die Differenz 

der Stellungen der Polarisatoren 1 und 2. 

sin α 

α 

cos α 

Setzt man diese quantentheoretischen Wahrscheinlichkeiten 

in die Bellsche Ungleichung (*) ein, so folgt 

die Beziehung 

cos2 (β – α) ≤ cos2 (γ – α) + sin2 (γ – β) . (**) 

Für α = 0°, β = 30° und γ = 60° folgt der Widerspruch 

3/4 ≤ 1/4 + 1/4 . 

Alle lokalen Theorien mit verborgenen Parametern genügen der Bellschen Ungleichung, 

die Quantentheorie erfüllt gemäß (**) diese Ungleichung nicht. Experimentelle Befunde 

widerlegen für Quanten die Bellsche Ungleichung und bestätigen die Quantentheorie, 

damit ist auch die zweite Hypothese nicht haltbar. 

So erhalten Photonen in der Quelle weder eine Polarisationsrichtung noch gibt es eine 

durch verborgene (unmessbare) Parameter festgelegte Instruktionsliste für ein Verhalten 

der Photonen, wenn sie Polarisatoren begegnen sollten. Nach Bohr wird erst im 

Moment der Messung die Realität der Polarisation erzeugt, und zwar am ganzen System 

Diphoton, d. h. beide Einzelphotonen erhalten gleichzeitig dieselbe Polarisationsrichtung, 

ohne dass ein dazwischen liegendes Feld dies vermitteln müsste. 



3.5 Unklassisch und unverzichtbar 

Wir stellen noch einmal Merkmale aus dem Mikrobereich zusammen, die klassisch 

unverständlich bleiben, auf die die Quantentheorie aber nicht verzichten kann. 

– Nachdem nicht ψ, aber |ψ| 2 messtechnisch relevant ist, könnte man die Meinung 

vertreten, ganz auf ψ verzichten zu können. Für |ψ| 2 kann es aber keine Schrödingergleichung 

geben, da die Entwicklungen von Quanten nicht vorhergesagt werden 

können. Deshalb müssen in der Schrödingergleichung zusätzliche Parameter enthalten 

sein, die bei einer Messung verloren gehen, das sind die Phasen. Die Quantentheorie 

muss mit mathematischen Objekten hantieren, die solche Phasen enthalten 

und die der Schrödingergleichung genügen, und das tut ψ, nicht aber |ψ| 2 . 

– Mit Hilfe der Operatoren und der Zustandsvektoren sollen in einer Theorie alle 

Messresultate theoretisch vorhergesagt werden. Dieses ehrgeizige Programm ist in 

der Quantentheorie aufgegeben worden. Es stellt sich nämlich heraus, dass 

Messwerte statistisch streuen und Wellenmuster bilden. So besteht die Aufgabe darin, 

alle Messwerte, die auftreten können, zu finden und die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, 

mit der die einzelnen Messwerte eintreten können. 

– Die Quantentheorie ist wesentlich komplex. 

a) Die Schrödingersche Grundgleichung enthält den Faktor i. 

b) Für die Lösung ψ (x,t) = a ei(kx – ωt) des freien Teilchens ist die Wahrscheinlichkeitsdichte 

P (x,t) = |ψ (x,t)| 2 = |a| 2 konstant und unabhängig von x. So ist die 

Wahrscheinlichkeit, das Teilchen anzutreffen, überall gleich. Wäre ψ eine reelle 

Sinuswelle, so änderte sich das Betragsquadrat von Punkt zu Punkt, P (x,t) wäre 

nicht konstant. Daher muss ψ komplexwertig sein. 

– Superpositionen sind nicht messbar, aber sie existieren: 

Beim Doppelspaltexperiment existiert vor der Regi- 

Sp 2 

strierung ein quantenmechanischer Zustand, der die 

beiden Möglichkeiten, entweder durch Spalt 1 oder 

durch Spalt 2 zu gehen, als Superposition mit gleicher 

Wahrscheinlichkeit enthält. 

Solche Überlagerungen existieren, denn andernfalls 

gäbe es nur die beiden Zustände 

Sp 1 

|durch Spalt 1> oder |durch Spalt 2> . 

Nach dem Prinzip der Wiederholbarkeit einer Messung 

müsste ein Elektron im Zustand |durch Spalt 1> 

den Spalt 1 passieren, ein Elektron im Zustand 

|durch Spalt 2> den Spalt 2. 

Dann würde die Wahrscheinlichkeitsverteilung 

durch I + I beschrieben werden, ein Teilchenbild 

1 2 

müsste entstehen, was der Beobachtung widerspricht. 



– Quantensprung 

Im Messprozess wird eine der beiden Möglichkeiten |durch Spalt 1> oder |durch 

Spalt 2> zur Realität, die Superposition wird in nicht deterministischer Weise zerstört. 

Man spricht 

– vom Kollaps der Wellenfunktion, 

– von der Reduktion des Zustandsvektors oder 

– vom Quantensprung. 

– Indeterminismus 

Weil bis heute nicht beeinflusst werden kann, welche der Möglichkeiten realisiert 

wird, und weil eine physikalische Interpretation des Messprozesses nicht gelungen 

ist, kann auf den Quantensprung nicht verzichtet werden. 

Die unstetige Änderung bei der Messung ist eine unausweichliche Konsequenz der 

Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ. Diese Reduktion wird nicht mehr durch die 

stetige Schrödingergleichung beschrieben und bewirkt so einen Indeterminismus in 

der Quantentheorie. Die zentrale Frage ist, wie dieser Vorgang zustande kommt bzw. 

wodurch er bewirkt wird. 

– Heisenbergsche Unschärferelation 

Quanten können nicht immer gleichzeitig feste Werte von zwei Eigenschaften zugeordnet 

werden. 

4 Literatur 

Die Literatur findet sich am Ende des Beitrages Interpretationen und Quantenphilosophie 

von Joachim Lillig in diesem Heft auf Seite 159.

QT Teil 1 - MPG Trier

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