Logarithmus - Abendgymnasium

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Logarithmus
Steht bei einer Gleichung die Variable nicht in der Basis, sondern im Exponenten,
so handelt es sich bei solch einer Gleichung um eine Exponentialgleichung.
Um Exponentialgleichungen lösen zu können, führt man den Logarithmus ein:
Beispiele:
a = b
Basis
⇒ x = log
x
8 = 2 ⇒ x = log2
8 = 3
x
5 = 3 ⇒ x log3
5 1,
465 = =
Exponent
> 0
a ; x ∈IR
; b∈IR
≠ 1 ; a∈IR
x > 0
b
lies: Logarithmus von a zur Basis b
Merksatz zum Logarithmus:
Der Logarithmus einer Zahl a bezüglich einer Basis b ist die Zahl,
mit der man die Basis b potenzieren muss, um die Zahl a zu erhalten.
1. logb 1=
0,
da b 1
0 =
2. logb b = 1 , da b b
1 =
Logarithmengesetze
logb a
x
3. b = a ,
aus b = a folgt : x = log a
a
4. log b a ,
b =
5. ( x y)
= log x + log y
logb b
b
da b
da aus log x = a folgt : x = b
b
⋅ (Funktionalgleichung)
x
6. logb = logb
x - logb
y
y
1
7. logb = - logb
x
x
r
8. x =
r ⋅ log x
logb b
a

Ausnahmen:
• Die Basis eines Exponentialterms darf nicht negativ sein,
da z.B. ( ) x 1
− 2 für x = nicht definiert wäre,
2
denn
1
2
(− 2)
ergäbe den nicht definierten Wurzelterm ( − 2)
= − 2 .
• Die Basis eines Exponentialterms darf nicht Null sein,
x
da die Gleichung a = 0 für positive x-Werte nur für a = 0 unendlich viele
Lösungen hätte.
−2
1 1
Außerdem wäre z.B. 0 = = nicht definiert.
2
0 0
• Die Basis eines Exponentialterms darf nicht 1 sein, da 1 1
x = für alle x ∈ IR .
Sonderfälle:
• Wenn die Basis bei einer Exponentialgleichung den Wert 10 hat, d.h. b = 10,
dann wird die Basis beim Logarithmus nicht hingeschrieben:
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x
a = 10 ⇒ x = log10
a = log a =
Wird beim Logarithmus keine Basis angegeben und nur kurz log oder lg
geschrieben, dann handelt es sich um den dekadischen Logarithmus oder den
Logarithmus zur Basis 10.
• Wenn es sich bei der Basis einer Exponentialgleichung um die Eulersche Zahl
e handelt, mit e ≈ 2,
7182818285...
,
dann wird die Basis beim Logarithmus ebenfalls nicht hingeschrieben und statt
log wird nur kurz ln geschrieben:
x
a = e ⇒ x = loge
a = ln a
lg a
Bei ln handelt es sich um den „logarithmus naturalis“ oder den natürlichen
Logarithmus zur Basis e.
1
2