Übungen zur Kristallographie/Kristallchemie Nr. 13 Musterlösung

Aufgabe 1 (3 Punkte)
Übungen zur Kristallographie/Kristallchemie
Nr. 13
Musterlösung
a) Die Bindungen sollten länger [0.5P] sein, weil 6 statt 4 O-Atome das Si koordinieren und diese mehr Platz
benötigen [1P]
b) Al und Si sind im Periodensystem benachbart, haben somit fast die gleiche Elektronenzahl und sind folglich
mit Röntgendiffraktion nicht unterscheidbar [1P]. Alternative Methoden sind z. B. Neutronenstreuung,
Festkörper-NMR und IR-Spektroskopie. [0.5P]
Aufgabe 2 (4 Punkte)
a) innenzentriertes Gitter, kubisches Kristallsystem, 41-Schraubenachse || [100], a-Gleitspiegelebene ⊥ [100],
3-zählige Drehinversionsachse || [111], 2-zählige Drehachse || [110], d-Gleitspiegelebene ⊥ [110] [2P]
b) Allgemeine Formel für die Dichteberechnung:
Z ·M
ρ =
VEZ ·NA
Almandin:
Z = 8
M = 3·55.845+2·26.982+3·28.085+12·15.999 = 497.74g/mol
VEZ = a 3 = 11.526 3 = 1531.2Å
⇒ ρ =
8·497.74
1531.2·6.022·10 23 = 4.3184·10−24 g/Å 3 = 4.3184g/cm 3 = 4318.4kg/m 3 [2P]
Aufgabe 3 (2 Punkte)
[0.5P] für erste Zeile, erste Spalte und Diagonale
je [0.5P] für Kombination aus xy, xz und yz
⊗ 1 2x 2y 2z
1 1 2x 2y 2z
2x 2x 1 2z 2y
2y 2y 2z 1 2x
2z 2z 2y 2x 1
Aufgabe 4 (4 Punkte)
a) Allgemeine Summenformel für Granate: A [8]
3 B[6] 2 [Z[4] O4]3 [1P]
Angepasste Summenformel von MgSiO3: Mg [8]
3 (Mg,Si)[6] 2 [Si[4] O4]3 [1P]
b) [2P]
Kationenplatz A: Koordinationszahl 8, besetzt von 3 Mg-Kationen
Kationenplatz B: Koordinationszahl 6, besetzt von jeweils einem Mg- und Si-Kation
Kationenplatz Z: Koordinaitionszahl 4, besetzt von 3 Si-Kationen
1

Aufgabe 5 (3 Punkte)
a)
1
d 2 hkl
1
d 2 211
1
d 2 211
= h2
a
= 22
6.5
b) θ = arcsin λ
k2 l2
+ + 2 b2 c2 8.2
7 2
12 12
+ + 2 2
=0.13 ⇒ d211 = 2.8Å [1.5P]
2d211
Aufgabe 6 (4 Punkte)
Fhkl =
N
[fi ·(exp[2π · i( h· xi)])]
i=1
Ausführliche Rechnung:
= arcsin 1.54
2·2.8 = arcsin0.28 = 16◦ [1.5P]
Fhk =fA ·[exp(2π · i(hxA1 +kyA1))+exp(2π · i(hxA2 +kyA2))]
+fB ·[exp(2π · i(hxB1 +kyB1))+exp(2π · i(hxB2 +kyB2))]
Anwendung der Eulerschen Formel:
Fhk =fA ·[cos(2π(hxA1 +kyA1))+isin(2π(hxA1 +kyA1))+cos(2π(hxA2 +kyA2)+isin(2π(hxA2 +kyA2))]
+fB ·[cos(2π(hxB1 +kyB1))+isin(2π(hxB1 +kyB1))+cos(2π(hxB2 +kyB2)+isin(2π(hxB2 +kyB2))]
F50 =fA ·[cos(2·π ·5·0.1)+isin(2·π ·5·0.1)+cos(2·π ·5·0.9)+isin(2·π ·5·0.9)]
+fB ·[cos(2·π ·5·0.2)+isin(2·π ·5·0.2)+cos(2·π ·5·0.8)+isin(2·π ·5·0.8)]
=fA ·[cos(π)+isin(π)+cos(9·π)+isin(9·π)]+fB ·[cos(2·π)+isin(2·π)+cos(8·π)+isin(8·π)]
=fA ·[−1+0−1+0]+fB ·[1+0+1+0]
=−2fA +2fB
Die Koordinaten A1 und A2 sowie B1 und B2 sind über eine Inversion verknüpft. Daher kann man auch direkt
eine abgekürzte Rechnung durchführen, da die cos-Terme zusammengefasst werden können und die sin-Terme
wegfallen:
Fhk =2fA ·cos(2π(hxA1 +kyA1))+2fB ·cos(2π(hxB1 +kyB1))
F50 =2fA ·cos(2·π ·5·0.1)+2fB ·cos(2·π ·5·0.2)
=2fAcos(π)+2fB cos(2·π)
=−2fA +2fB [1P]
F05 =2fA ·cos(2·π ·5·0.2)+2fB ·cos(2·π ·5·0.7)
=2fAcos(2·π)+2fB cos(7·π)
=2fA −2fB [1P]
F55 =2fA ·cos(2·π(5·0.1+5·0.2))+2fB ·cos(2·π(5·0.2+5·0.7))
=2fAcos(3·π)+2fB cos(9·π)
=−2fA −2fB [1P]
F510 =2fA ·cos(2·π(5·0.1+10·0.2)+2fB ·cos(2·π(5·0.2+10·0.7)
=2fAcos(5·π)+2fB cos(16·π)
=−2fA +2fB [1P]
2