Fachanforderungen Mathematik - Klaus-Groth-Schule

Ministerium
für Bildung und Kultur
des Landes Schleswig-Holstein
Fachanforderungen Mathematik
Gymnasien Sekundarstufe I

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Grafik und Druck: bdrops GmbH Werbeagentur, Werftbahnstraße 8, 24143 Kiel
Kiel, Juni 2011
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Vorwort
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Die Stärkung der schulischen Eigenverantwortung, die den Schulen weitgehende
Gestaltungsmöglichkeiten im Bereich der Lern- und Unterrichtsorganisation einräumt,
erfordert klare Rahmenbedingungen, um bei aller Verschiedenheit der Unterrichtsangebote
die Vergleichbarkeit der Anforderungen zu sichern. Diese Rahmenbedingungen
werden für die Kernfächer Deutsch, Mathematik und Englisch in den
vorliegenden Fachanforderungen für die Sekundarstufe I des Gymnasiums formuliert.
Sie legen verbindliche Kerninhalte und Wissensbestände fest, die am Ende der
Sekundarstufe I am Gymnasium erreicht sein müssen, und definieren einen verbindlichen
Rahmen für die Arbeit der Fachschaften und Schulen. Sie führen damit zu
mehr Transparenz und Vergleichbarkeit und schaffen zugleich mehr Sicherheit und
Verlässlichkeit für Eltern, Schülerinnen und Schüler.
Darüber hinaus erfüllen die Fachanforderungen für die Sekundarstufe I des Gymnasiums
eine doppelte Funktion:
Sie tragen zu einer Entlastung und Konsolidierung des achtjährigen Bildungsgangs
bei und sichern zugleich die Parallelität von G8- und G9-Bildungsgängen mit identischer
Oberstufe durch einheitliche Rahmenbedingungen in der Sekundarstufe I ab.
Insgesamt dienen sie dazu, die Einheitlichkeit des gymnasialen Bildungsgangs bei
gleichzeitiger Flexibilität zu wahren.
An der Erstellung der Fachanforderungen waren unter der Leitung der Fachaufsichten
des Ministeriums für Bildung und Kultur (MBK) Lehrkräfte aus den Schulen
sowie Studienleiterinnen und Studienleiter des Instituts für Qualitätsentwicklung an
Schulen Schleswig-Holstein (IQSH) beteiligt. In die Erarbeitung wurden schulinterne
Fachcurricula aus den Schulen und die Expertise von Schulleiterinnen und Schulleitern,
Fachkonferenzvorsitzenden, Lehrkräften sowie Verbänden und Vertretern der
Wissenschaft einbezogen. Ihnen allen gilt unser herzlicher Dank.
Dr. Claudia Langer
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
4
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Fachliche Konkretisierungen - Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Leitidee 1: Zahl und Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Leitidee 2: Messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Leitidee 3: Raum und Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Leitidee 4: Funktionaler Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Leitidee 5: Daten und Zufall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Schriftliche Leistungsnachweise im Mathematikunterricht der
Sek. I Gymnasium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Einleitung
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Die vorliegenden Fachanforderungen für die Sekundarstufe I am Gymnasium verfolgen
das Ziel, auf der Basis der Bildungsstandards der KMK verbindliche Kerninhalte
und Wissensbestände für die Sekundarstufe I am Gymnasium festzulegen.
Die Fachanforderungen sichern die Anschlussfähigkeit an die Oberstufe und gelten
sowohl für den acht- wie den neunjährigen Bildungsgang. Sie bilden eine Schnittstelle
zwischen Bildungsstandards, Lehrplan und schulinternem Fachcurriculum
(vergleiche folgende Grafik).
Bildungsstandards
Lehrplan
Fachanforderungen
Sek. I / Gym
schulinternes
Fachcurriculum
Fachanforderungen
Abitur
Die Bildungsstandards der KMK für den Mittleren Schulabschluss sind die Grundlage
der Fachanforderungen. In allen drei Kernfächern orientieren sich die Fachanforderungen
an den Kompetenzerwartungen der Bildungsstandards und spezifizieren
diese im Hinblick auf die gemeinsame Oberstufe durch entsprechende Kerninhalte
und Wissensbestände. Die Fachanforderungen legen fest, was die Schülerinnen und
Schüler am Ende der Sekundarstufe I wissen und können sollen.
Die Fachanforderungen knüpfen an die Orientierungshilfen G8 an, gehen aber in
der Verbindlichkeit der Vorgaben über diese hinaus. Durch die Verbindlichkeit sowohl
im Hinblick auf formulierte Kompetenzen als auch auf deren Verknüpfung mit Inhalten,
anhand derer die Kompetenzen erworben werden sollen, schaffen die Fachanforderungen
mehr Transparenz, Verlässlichkeit und Vergleichbarkeit sowie eine
verbindliche Grundlage für den weiteren Unterricht in einer gemeinsamen Oberstufe.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
6
Die Lehrpläne behalten weiterhin ihre Gültigkeit im Hinblick auf didaktische Prinzipien
und das Spektrum von Kompetenzen und Lerninhalten eines Faches. In
Ergänzung zu den Lehrplänen, die für alle Schularten gelten, machen die Fachanforderungen
für das Gymnasium verbindliche Vorgaben bezüglich der Unterrichts-
inhalte, die - im Hinblick auf die zu erwartenden Kompetenzen - konkretisiert und
gegebenenfalls aktualisiert werden.
Die Fachanforderungen sind kein Ersatz für schulinterne Fachcurricula, sondern
bilden durch verbindliche Vorgaben einen Rahmen für die Fachkonferenzarbeit. In
den Fachanforderungen sind die Inhalte nicht einzelnen Jahrgangsstufen zugeordnet,
weil eine solche Zuordnung neben pädagogischen und didaktischen Abwägungen
sowohl vom acht- bzw. neunjährigen Bildungsgang als auch von der Ausgestaltung
der Kontingentstundentafel an der Schule abhängt.
Im Zentrum der schulischen Arbeit stehen weiterhin schulinterne Fachcurricula zur
Konkretisierung der Kerninhalte sowie zur Festlegung des kumulativen Aufbaus von
Kompetenzen über die einzelnen Jahrgangsstufen hinweg. In den schulinternen
Fachcurricula können schulspezifische Gegebenheiten berücksichtigt werden. Zur
unterrichtlichen Umsetzung der Rahmenvorgaben der Fachanforderungen können
die in den Orientierungshilfen enthaltenen Hinweise und Beispiele weiterhin genutzt
werden.
Die vorliegenden Fachanforderungen für die Sekundarstufe I sind in Bezug auf
Aufgabenarten und Operatoren auf die Fachanforderungen für die Abiturprüfung
abgestimmt, um eine adäquate Vorbereitung auf die Arbeit in der Oberstufe zu gewährleisten.
Die Fachanforderungen sind in der Orientierung an den Bildungsstandards ein Baustein
kompetenzorientierten Unterrichts. Als verbindliche Grundlage für die Inhalte
schulinterner Fachcurricula tragen sie zu einer stärkeren Transparenz der Leistungsanforderungen
in der Sekundarstufe I des Gymnasiums bei.

Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Fachliche Konkretisierungen - Mathematik
Die Fachanforderungen Mathematik legen unverzichtbare mathematische Grundkenntnisse
und Kompetenzen für das Ende der Sekundarstufe I am Gymnasium fest
und sichern zugleich die Anschlussfähigkeit an die Oberstufe. Sie gelten sowohl für
den acht- wie den neunjährigen Bildungsgang, denn beide Bildungsgänge bereiten
gleichermaßen auf die gymnasiale Oberstufe und das Abitur vor.
Die Fachanforderungen stellen ein Bindeglied zwischen inhaltlichen Vorgaben der
Lehrpläne und den Kompetenzbereichen der Bildungsstandards dar. Sie orientieren
sich dabei an den Orientierungshilfen des IQSH für das Fach Mathematik aus dem
Jahre 2008, greifen die Tabellen für die fünf Leitideen der Bildungsstandards auf und
konkretisieren diese inhaltlich für das Gymnasium.
Dabei werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen der Bildungsstandards
unter Verwendung geeigneter Operatoren mit den dort ebenfalls formulierten
Leitideen der Mathematik in Verbindung gebracht (Spalte 1 jeder Tabelle). Weiterhin
weisen die Fachanforderungen Inhalte des Lehrplans als verbindlich zu unterrichten
aus (Spalte 2), zum Teil verbunden mit Erläuterungen zur erwarteten Durchdringungstiefe
oder mit Hinweisen auf mögliche Verknüpfung zu anderen Bereichen (Spalte 3).
Zur Festlegung dieser unverzichtbaren Inhalte ist die zweite Spalte detailliert ausgeführt.
Hier nicht genannte Themen können von den Fachschaften in ihrem schulinternen
Fachcurriculum zusätzlich berücksichtigt werden.
Ziel ist es, mit den Fachanforderungen einen sehr eng gefassten und unverzichtbaren
Kernbereich des Mathematikunterrichts verbindlich festzulegen, dessen
einzelne Elemente didaktisch stimmig in Beziehung zueinander stehen. Aus diesem
Grunde werden bestimmte Lehrplaninhalte nicht mehr verbindlich für den Unterricht
vorgeschrieben (siehe Anhang). Durch die Minderung der Stofffülle steht mehr Zeit
zur Verfügung für die Förderung der in den Bildungsstandards formulierten allgemeinen
mathematischen Kompetenzen (K1 Mathematisch argumentieren; K2 Probleme
mathematisch lösen; K3 Mathematisch modellieren; K4 Mathematische Darstellungen
verwenden; K5 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen; K6 Kommunizieren). Ferner haben die Fachschaften durch
die deutliche zeitliche Entlastung die Möglichkeit, eigene Schwerpunkte in ihrem
schulinternen Fachcurriculum zu setzen.
Ziel des Unterrichts ist es, unter Bezug auf die Leitideen einen Fokus auf die allgemeinen
mathematischen Kompetenzen zu setzen, das mathematische Grundverständnis
stärker zu fördern und den flexiblen und vernetzten Einsatz der Mathematik
im Alltag zu vergegenwärtigen. Die im Zentrum der Mathematik stehenden Methoden
und die Sprache der Mathematik erhalten einen ihrer Bedeutung entsprechenden
Stellenwert, wenn es beispielsweise stärker um Fragen geht wie „Was
sind Funktionen? Wozu braucht man sie? Wie werden sie charakterisiert? Was hat
der Graph mit dem Lösen von Gleichungen zu tun?“ oder um Grundprinzipien zum
Lösen von Gleichungen bzw. Gleichungssystemen statt um langwieriges Lösen komplizierter
Bruchgleichungen.
Bildungsstandards, Lehrplan und Fachanforderungen können den unterschiedlichen
örtlichen Gegebenheiten wie der Ausgestaltung der Kontingentstundentafel, Lehrbuch,
Softwareausstattung, Förderkonzept usw. nicht im Detail gerecht werden.
Aufgabe des schulinternen Fachcurriculums ist es, konkrete und verbindliche Ab-
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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sprachen zu treffen unter anderem über den Umfang und die Verteilung verbindlicher
sowie vertiefender und ergänzender Inhalte, das Anspruchsniveau, den Aufbau
allgemeiner mathematischer Kompetenzen in den Jahrgangsstufen, didaktische
Konzepte, fachsprachliche Bezeichnungen, Medien, Lernmaterialien, Leistungsbeurteilung
und Operatoren in Aufgabenstellungen. Durch schulinterne Absprachen kann
ein Bruch beim Übertreten in die nächste Jahrgangsstufe vermieden werden. Die
Weiterentwicklung des schulinternen Fachcurriculums bleibt deshalb eine ständige
gemeinsame Aufgabe der Fachschaft.
Die Fachanforderungen definieren einen verbindlichen Rahmen für die Arbeit der
Fachschaften und der Schulen. Sie schaffen zugleich Sicherheit bei Eltern und
Schülerinnen und Schülern, welche Kompetenzen und Kenntnisse beim Eintritt in die
Oberstufe vorausgesetzt, erwartet und verlangt werden können.
In diesem Sinne unterstützen die vorliegenden Fachanforderungen die an vielen
Schulen bereits begonnene Entwicklung hin zu einem kompetenzorientierten Mathematikunterricht,
in dem die Schülerinnen und Schüler in den hier festgelegten
Inhaltsbereichen mathematische Kompetenzen entwickeln, stärken und in komplexen
Situationen flexibel vernetzen können.

Leitidee 1: Zahl und Operationen
Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- wenden einfache zahlen-
theoretische Kenntnisse
an
- stellen Zahlen auf verschiedene
Weisen
situationsgerecht dar und
wechseln zwischen
diesen Darstellungs-
formen
- erkennen die Notwendigkeit
von Zahlbereichserweiterungen
- führen Grundrechenarten
in den jeweiligen Zahlenbereichen
durch
- berechnen Terme
- beschreiben Terme mit
Hilfe von Fachausdrücken
- nutzen Überschlagstech-
niken und Rechenvorteile
- nutzen den Taschenrech-
ner situationsgerecht
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Teiler und Vielfache
- gemeinsame Teiler und
gemeinsame Vielfache
- Teilbarkeitsregeln
- Primzahlen
- Primfaktorzerlegung
Natürliche Zahlen:
- Zahlenstrahl, Anordnung
- Stellenwerttafel
- Runden
Rationale Zahlen:
- Bruch/Bruchzahl
- Erweitern und Kürzen
- Bruchzahlen als Größen,
Anteile und Operatoren
- abbrechende und einfache
periodische Dezimal-
brüche
- Stellenwerttafel
- Runden
- Prozentsatz
- Ganze Zahlen
- Betrag, Vorzeichen
- Zahlengerade, Anordnung
Reelle Zahlen:
- nicht-abbrechende, nichtperiodische
Dezimalzahlen
als irrationale Zahlen
- Quadratwurzeln als sym-
bolische Schreibweise für
bestimmte reelle Zahlen
- Zahlengerade, Anordnung
- Kopfrechnen
- schriftliche Rechen-
verfahren
- schrittweise Berechnung
von Termen unter Beachtung
der Vorrangregeln
- Umformen von Termen
mit Hilfe der Klammer-
regeln, Assoziativgesetz,
Kommutativgesetz, Distri-
butivgesetz
- Überschlagsrechnungen
- sinnvolles Runden
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Anmerkungen
und Hinweise
Es ist nicht notwendig, der
Bruchrechnung eine Unterrichtseinheit
zur Zahlentheorie
vorzuschalten.
Es sollte in der Fachschaft
diskutiert werden, ob als
erste Zahlbereichserweiterung
die positiven Bruchzahlen
oder die ganzen
Zahlen thematisiert werden.
Bei der Einführung irrationaler
Zahlen kann mit
wenigen einfachen Beispielen
der Grundgedanke der
Approximation verdeutlicht
werden.
Das prinzipielle Verständnis
der Rechenregeln und das
Verständnis für die Struktur
von Termen sollte im Vordergrund
stehen.
Es sollten Näherungswerte
für erwartete Ergebnisse
durch Schätzen und Überschlagen
ermittelt und zur
Kontrolle von Ergebnissen
eingesetzt werden.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- ziehen die Prozent- und
Zinsrechnung zur Lösung
realitätsnaher Probleme
heran
- stellen Terme situations-
gerecht auf, formen sie
mit Hilfe von Rechenge-
setzen um und interpretie-
ren sie
- stellen aus inner- und
außermathematischen
Situationen Gleichungen,
Ungleichungen und Glei-
chungssysteme auf, lösen
sie und interpretieren ihre
Lösungsmenge
- modellieren mit geeig-
neten Gleichungen
Realsi tuationen
- begründen Rechenge-
setze für Potenzen und
wenden diese an
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Grundwert, Prozentwert,
Prozentsatz
- Kapital, Zinsen, Zinssatz,
Zinseszins
- Einführung von Variablen
- Aufstellen von Termen
- gleichwertige Terme
- Termumformungen
- Multiplikation von Sum-
men, Faktorisieren
- Binomische Formeln,
quadratische Ergänzung
- Gleichungen, Äquivalenz-
umformungen, Lösung(en)
von Gleichungen
- lineare Gleichungen
- einfache Ungleichungen
- quadratische Gleichungen
(quadratische Ergänzung,
Faktorisierung)
- lineare Gleichungssys-
teme mit zwei Variablen
- mindestens zwei der vier
Lösungsverfahren linearer
Gleichungssysteme (Ein-
setzungsverfahren, Gleich-
setzungsverfahren, Addi-
tionsverfahren, graphische
Lösung)
- über- und unterbestimmte
Systeme
- Exponentialgleichungen
(Logarithmus)
- Potenz, Basis, Exponent,
Potenzwert
- Potenzgesetze
- negative und gebrochene
Exponenten
- wissenschaftliche Schreib-
weise
Anmerkungen
und Hinweise
Die Prozentrechnung stellt
eine Anwendung der bekannten
Berechnung von
Bruchteilen (Prozentwerten)
durch Multiplikation des
Ganzen (Grundwertes) mit
dem Anteil (Prozentsatz) dar.
Das Aufstellen und Interpretieren
von Termen sollte
einen Schwerpunkt bilden.
Graphische Darstellungen
dienen der Veranschaulichung
der Lösung von Gleichungen
und Gleichungssystemen.
Das Lösen von
quadratischen Gleichungen
sollte zum Beispiel erst nach
der Betrachtung von quadratischen
Funktionen erfolgen.
Logarithmen sollen nur als
Notation für die Lösungen
von Exponentialgleichungen
eingeführt werden.

Leitidee 2: Messen
Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- stellen Größen dar und
operieren mit diesen
Größen in Anwendungs-
bezügen
- wählen Einheiten von
Größen situationsgerecht
aus
- zeichnen Strecken und
Winkel und schätzen und
messen deren Größen
- nutzen das Koordinaten-
system zur Darstellung
von verschiedenen
Objekten
- schätzen, messen und
berechnen Umfänge und
Flächeninhalte von
ebenen Figuren
- schätzen, messen und
berechnen Oberflächen-
inhalte und Volumina von
räumlichen Figuren
- ermitteln mit Hilfe von
geometrischen Sätzen
bzw. Konstruktionen
Streckenlängen und
Winkelgrößen in ebenen
und räumlichen Figuren
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Länge
- Masse
- Zeit
- Geld
- Flächeninhalte
- Volumina
- sachgerechter Umgang
mit dem Geodreieck
- Achse
- Quadrant
- Koordinaten
- Rechteck
- Dreieck
- besondere Vierecke
(siehe „großes Haus der
Vierecke“)
- Kreis, Kreiszahl π
- zusammengesetzte ebene
Figuren
- Quader
- Würfel
- Prisma
- Zylinder
- Pyramide
- Kegel
- Kugel
- zusammengesetzte
Körper
- Winkelsätze
- Satz des Thales
- Kongruenzsätze
- Dreieckskonstruktionen
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Anmerkungen
und Hinweise
Das formale Berechnen von
Flächeninhalten sollte ausführlich
durch das Auslegen
von Flächen mit Einheitsflächen
und das Erarbeiten
geeigneter Abzählschemata
vorbereitet werden.
Analog sollte bei Volumina
vorgegangen werden.
In Bezug auf das Messen
und Zeichnen von Objekten
ist auf einen korrekten Umgang
mit dem Geodreieck zu
achten.
Die frühe Einführung aller
vier Quadranten kann propädeutisch
für die Zahlbereichserweiterung
genutzt
werden.
Hier sollten die verschiedenen,
auch approximativen
Methoden zur Längen-,
Flächeninhalts- und Volumenmessung
thematisiert
und angewendet werden. Es
bietet sich der Einsatz eines
Tabellenkalkulationsprogramms
an.
Anhand dieser Thematik
kann der Umgang mit Variablen
in Termen geschult
werden.
Fehlende Längen und Winkelgrößen
in Figuren werden
entweder durch Erschließen
und Rechnen oder durch
Konstruieren und Messen
ermittelt.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- berechnen Streckenlän-
gen und Winkelgrößen
in ebenen und räumlichen
Figuren mit Hilfe der trigo-
nometrischen Bezie-
hungen, Ähnlichkeitsbe-
ziehungen und des Satzes
des Pythagoras
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Sinus
- Cosinus
- Tangens
- Sinussatz
- Cosinussatz
- Strahlensätze
- Satz des Pythagoras
Anmerkungen
und Hinweise
Hier steht die rechnerische
Bestimmung von fehlenden
Längen und Winkelgrößen in
Figuren im Vordergrund.

Leitidee 3: Raum und Form
Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- beschreiben ebene und
räumliche Situationen mit
geometrischen Begriffen
- benennen und charakteri-
sieren Dreiecke und
Figuren aus dem „kleinen
Haus der Vierecke“
- charakterisieren
ausge wählte Körper
- zeichnen und interpretie-
ren Netze und Schräg-
bilder
- führen geometrische
Konstruktionen sorgfältig
per Hand durch
- konstruieren Figuren aus
gegebenen Stücken
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Punkt
- Strecke
- Gerade
- Winkel
- Abstand
- Kreis
- Achsensymmetrie
- parallel und orthogonal
- gleichschenkliges Dreieck,
gleichseitiges Dreieck,
rechtwinkliges Dreieck
- Quadrat
- Raute
- Rechteck
- Parallelogramm
- Quader
- Würfel
- Prisma
- Pyramide
- Kegel
- Zylinder
- Kugel
- Grundkonstruktionen mit
Zirkel und Lineal
- zusammengesetzte Kon-
struktionen: Mittelsenk-
rechte, Winkelhalbierende
- Dreieckkonstruktionen:
SSS, SWS, WSW, SSW
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Anmerkungen
und Hinweise
Es sollten auch die Beziehungen
der Objekte zueinander
geometrisch und
begrifflich herausgearbeitet
werden.
Es bietet sich an, das räumliche
Vorstellungsvermögen
durch das Anfertigen von
Modellen zu fördern.
Die Kongruenzgeometrie
liefert konstruktiv fehlende
Längen und Winkelgrößen in
Figuren.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- nutzen ein dynamisches
Geometriesystem
- formulieren elementar-
geometrische Sätze und
nutzen diese für Begrün-
dungen und Konstrukti-
onen
- führen an ausgewählten
Beispielen geometrische
Beweise
- benennen und charakte-
risieren ebene Figuren aus
dem „großen Haus der
Vierecke“ und unter-
scheiden definierende und
abgeleitete Eigenschaften
- formulieren den Ähnlich-
keitssatz für Dreiecke und
formulieren die Strahlen-
sätze
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Basisobjekte
- abhängige Objekte
- Nebenwinkelsatz
- Scheitelwinkelsatz
- Stufenwinkelsatz
- Wechselwinkelsatz
- Winkelsummensatz für
n-Ecke
- Kongruenzsätze für
Dreiecke
- Basiswinkelsatz
- Satz des Thales
- Quadrat
- Raute
- Rechteck
- Parallelogramm
- Trapez
- Drachen
- Ähnlichkeitssatz für
Dreiecke
- Strahlensätze
Anmerkungen
und Hinweise
Der Einsatz eines dynamischen
Geometriesystems
(DGS) fördert ein vertieftes
Nachdenken über Konstruktionen.
Es kann auch genutzt
werden, um optional den
Zusammenhang zwischen
Winkelhalbierender, Inkreismittelpunkt,Mittelsenkrechte
und Umkreismittelpunkt
zu visualisieren.
Der Unterschied zwischen
Äquivalenzaussagen und
Wenn-Dann-Beziehungen
sollte deutlich werden.
Aus gegebenen Voraussetzungen
sollen über
mehrschrittige Argumentationsketten
Behauptungen
bewiesen werden.
Zusammenhänge zwischen
den Viereckstypen können
mit den Eigenschaften begründet
werden.
Das „große Haus der
Vierecke“ bietet zahlreiche
Anlässe für kurze Beweise
mit ähnlicher Struktur und
eröffnet damit die Chance,
Beweisstrategien zu thematisieren.
Die zentrische Streckung
muss nicht behandelt werden,
sie ist keine Voraussetzung
für die Strahlensätze.
Wichtig ist der Begriff der
Ähnlichkeit von Dreiecken,
mit dem sich die Strahlensätze
schnell begründen
lassen.

Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- formulieren und begrün-
den den Satz des Pytha-
goras und seine Umkeh-
rung und führen an
ausgewählten Beispielen
Berechnungen durch
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Satz des Pythagoras und
seine Umkehrung
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Anmerkungen
und Hinweise
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Leitidee 4: Funktionaler Zusammenhang
Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- operieren intuitiv mit ein-
fachen Zuordnungen
- erkennen und charakteri-
sieren Zuordnungen
zwischen Objekten in
Tabellen, Diagrammen
und Texten
- lösen einfache und kom-
plexe Sachprobleme
- wechseln situationsge-
recht zwischen den
Darstellungsformen
Tabelle, Graph, Diagramm
und Text
- zeichnen und interpretieren
einfache Diagramme
und Graphen
- nutzen ein Tabellenkalkulationsprogramm
- charakterisieren numerische
Zuordnungen anhand
qualitativer Eigenschaften
des Graphen
- identifizieren und charakterisieren
spezielle Funktionen
- verstehen das Lösen von
Gleichungen als Nullstellenbestimmung
von geeigneten
Funktionen und
umgekehrt
- lösen graphische Probleme
durch Lösen und
Aufstellen von Gleichungen
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Maßstab
- Kreisdiagramme
- Zuordnungen, auch nicht-
numerische
- wachsende Funktionen
- fallende Funktionen
- proportionale Funktionen
- antiproportionale Funkti-
onen
- Dreisatz, Produktgleich-
heit, Quotientengleichheit,
Proportionalitätsfaktor
- Diagramme
- Graph im
Koordinatensystem
lineare Funktionen:
- Gerade
- lineares Wachstum
- Steigung, Steigungs-
dreieck
- Achsenschnittpunkte
- Funktionsgleichung
Anmerkungen
und Hinweise
Der Zuordnungsbegriff kann
insbesondere im Zusammenhang
mit den Leitideen
„Zahl“ und „Daten und
Zufall“ vorbereitet werden.
Beim Darstellen von mathematischen
Sachverhalten mit
Tabellen kann ein intuitiver
Zuordnungsbegriff genutzt
werden.
Die Vielfalt der Beispiele
sollte nicht durch einen zu
schnellen Übergang auf
proportionale, lineare und
antiproportionale Zuordnun-
gen reduziert werden. Dem
erhöhten Abstraktionsgrad
sollte hier Rechnung getragen
werden.
Graphen sollen sowohl per
Hand als auch computerunterstützt
erstellt werden.
Es bietet sich an,
die Funktionalgleichungen
(z.B. f(x + 1) = f(x) + m
bei linearen Funktionen
f(x) = m · x + b) sowohl in
Tabellen als auch in graphischen
Darstellungen zu
visualisieren.
Die Bedeutung des Proportionalitätsfaktors
sollte im
Zusammenhang mit Anwendungsaufgabenhervorgehoben
werden, um das
Verständnis des Steigungsbegriffes
zu erleichtern.

Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- wechseln situations-
gerecht zwischen den
Darstellungsformen,
Tabelle, Graph, Text und
Term
- modellieren mit allen
Funktionsklassen Real-
situationen
Verbindliche Themen
und Inhalte
quadratische Funktionen:
- Parabel
- Symmetrie
- Scheitelpunkt
- Achsenschnittpunkte
- Normalform
- Scheitelpunktsform
- faktorisierte Form
- Bedeutung der verschie-
denen Parameter in den
Funktionstermen
Exponentialfunktionen:
- Graphen
- exponentielles Wachstum
- Funktionalgleichung
- Monotonie
- Achsenschnittpunkt
- Verdoppelungszeit, Halb-
wertszeit
- asymptotisches Verhalten
Sinus-Funktionen:
- Graphen
- periodische Vorgänge
- Projektion am Einheits-
kreis
- Bedeutungen der Parame-
ter a, b und c in der Funk-
tionsgleichung
f(x) = a · sin (b·x+c)
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Anmerkungen
und Hinweise
Speziell bei der Exponentialfunktion
f(x) = c · a x sollte
die Funktionalgleichung
f(x + 1) = f(x) · a in Analogie
zur Dreisatzrechnung mit
Operatoren an Tabellen verdeutlicht
werden.
Logarithmen sollen nur als
Notation für die Lösungen
von Exponentialgleichungen
eingeführt werden; es ist
keine Behandlung der Logarithmusfunktion
intendiert.
Der Einsatz des Computers
bietet sich an, um den Zusammenhang
zwischen der
algebraischen Darstellung
und dem Graphen deutlich
zu machen.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Leitidee 5: Daten und Zufall
Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- nehmen Daten auf und
werten diese aus
- lösen einfache kombinatorische
Probleme
- planen Zufallsexperimente,
beschreiben sie, führen
sie durch und werten sie
aus
- stellen Ergebnisse von Zu-
fallsexperimenten gra-
phisch dar
- sagen begründet erwarte-
te absolute Häufigkeiten
vorher
- erklären an einem Beispiel
den Unterschied zwischen
der relativen Häufigkeit
und der Wahrscheinlichkeit
eines Ergebnisses
- unterscheiden zwischen
Ergebnis und Ereignis und
berechnen die Wahrscheinlichkeit
von Ereig-
nissen
Verbindliche Themen
und Inhalte
- Strichliste
- absolute Häufigkeit
- Säulendiagramm
Anmerkungen
und Hinweise
Zur Vertiefung ist es möglich,
Balkendiagramme und
Bilddiagramme zu behandeln.
- Baumdiagramm Permutationen und Kombinationen
können behandelt
werden, ohne die Fachbegriffe
einzuführen.
- Zufallsexperiment
- Versuch
- Ergebnis
- Ergebnismenge
- Häufigkeitstabelle
- arithmetischer Mittelwert
- relative Häufigkeit
- Kreisdiagramm
- Histogramm
- Prozentsatz
- Wahrscheinlichkeit
- Ereignis
- Gegenereignis
- Additionsregel
Zur Beschreibung eines Zufallsexperiments
gehört die
Anzahl und Art der Versuche
und die Ergebnismenge.
Die Zufallsexperimente
liefern Daten, die mit den
bekannten Verfahren ausgewertet
werden.
Die Beobachtung der
Entwicklung der relativen
Häufigkeiten bei einer
Steigerung der Anzahl der
Versuche liefert einen
Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit.
Die Simulation von Zufallsexperimenten
mit Hilfe
eines Tabellenkalkulationsprogramms
ermöglicht die
Durchführung und Auswertung
von Zufallsexperimenten
mit einer großen
Anzahl von Versuchen und
damit eine Annäherung an
die Wahrscheinlichkeit.
Eine zu starke Formalisierung
in der Unterscheidung
von Ergebnissen und
Ereignissen soll vermieden
werden. Es geht darum, das
Grundverständnis zu fördern.

Inhaltsbezogene
Kompetenzen
Die Schülerinnen
und Schüler
- beurteilen, ob ein Zufallsexperiment
ein Laplace-
Experiment ist
- ermitteln Wahrscheinlichkeiten
von Ereignissen bei
Laplace-Experimenten
durch theoretische Über-
legungen
- planen zweistufige Zu-
fallsexperimente, führen
sie durch und werten sie
aus
- berechnen Wahrschein-
lichkeiten von Ereignissen
mit Hilfe der Pfadregeln
Verbindliche Themen
und Inhalte
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Anmerkungen
und Hinweise
- Laplace-Experiment Es sollten auch Nicht-
Laplace-Experimente (z.B.
Werfen einer Reißzwecke)
im Unterricht durchgeführt
werden, um den Unterschied
zu verdeutlichen.
- zweistufiges
Zufallsexperiment
- Additions- und
Multiplikationsregel
Eine Erweiterungsmöglichkeit
ist die Behandlung
einfacher Bernoulli-Experimente.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Schriftliche Leistungsnachweise
im Mathematikunterricht der Sek. I Gymnasium
Aufgabenarten
Entsprechend den in diesen Fachanforderungen formulierten Zielen ist bei Leistungsnachweisen
in Form von Klassenarbeiten zu gewährleisten, dass die allgemeinen
mathematischen Kompetenzen angemessen berücksichtigt werden. Dazu gehört
u.a. auch das Verfassen von Texten, z.B. zum Beschreiben oder zum Begründen
eines mathematischen Sachverhalts oder das Bearbeiten komplexer Aufgabenstellungen,
die Aspekte mehrerer Leitideen beinhalten.
In die Klassenarbeit müssen ebenfalls die drei Anforderungsbereiche I (Reproduktion),
II (Herstellung von Zusammenhängen und Übertragung des Gelernten auf neue
Situationen) und III (Reflexion, Transfer und Verallgemeinerung) einen angemessenen
Eingang finden.
Im schulinternen Fachcurriculum werden gemeinsame Grundsätze für die Gestaltung
der Klassenarbeiten festgelegt. Diese können u.a. auch Fragen zur inhaltlichen
Vernetzung verschiedener Leitideen, zur Einbeziehung länger zurückliegender Unterrichtseinheiten
oder zur Gestaltung eines kurzen Teils ohne Taschenrechnernutzung
einbeziehen.
Zur Formulierung der Aufgaben sind vorzugsweise die unten aufgeführten Operatoren
zu verwenden. Diese orientieren sich an den Operatoren des Zentralabiturs
und wurden für Beispiele der Sekundarstufe I interpretiert. Sie dienen damit zugleich
der Vorbereitung auf die Oberstufe.
Umfang und Dauer
Klassenarbeiten in der Sekundarstufe I dauern 45 bis 90 Minuten.
Grundsätze über den Umfang und die Anzahl der Arbeiten unterschiedlicher Dauer
in den jeweiligen Jahrgangsstufen werden von der Fachkonferenz im Rahmen der
rechtlichen Vorgaben (siehe Klassenarbeitserlass) festgelegt.
Bewertung
Die Transparenz der Bewertungskriterien ist durchgängiges Prinzip der Leistungsmessung.
Die Fachkonferenz legt daher Grundsätze für eine Bewertungsskala von
Klassenarbeiten fest. Dabei sind u.a. folgende Aspekte zu berücksichtigen: Verteilung
der erreichbaren Punkte auf die Anforderungsbereiche, Zuordnung von Notenstufen
zum Prozentsatz der erreichten Punktzahl, Gewichtung von Aufgabenteilen,
die sich auf länger zurückliegende Unterrichtsinhalte beziehen und der Überprüfung
von Basiswissen dienen.
Alternative Leistungsnachweise
Alternative Leistungsnachweise entsprechen im Arbeitsumfang einer Klassenarbeit
(inklusive Vor- und Nachbereitung). Sie bieten noch stärker als Klassenarbeiten die
Möglichkeit, die Anwendung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen zu
fördern und zu fordern.
Die Fachkonferenz berät und beschließt, welche nach dem Lehrplan möglichen
Unterrichtsbeiträge (z.B. Präsentation, Referat, Portfolio) neben Klassenarbeiten als
Leistungsnachweise herangezogen werden. Sie legt formale (z.B. Aufbau, Struktur)
und inhaltliche Anforderungen für alternative Leistungsnachweise fest und berücksichtigt
dabei wie in Klassenarbeiten alle drei Anforderungsbereiche (Reproduktion,
Herstellung von Zusammenhängen, Transfer).

Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Dies schließt beispielsweise die Zusammenfassung mehrerer Tests, die nicht alle
drei Anforderungsbereiche abdecken, zu einem alternativen Leistungsnachweis aus.
Die Fachkonferenz einigt sich ferner auf Beurteilungskriterien. Die Erstellung von
Bewertungsbögen, die die Kriterien transparent beschreiben, wird empfohlen.
Operatoren
Operatoren Beschreibungen Beispiele
Angeben,
nennen
Die erfragten Objekte
werden ohne Erläuterungen
genannt.
Begründen Ein angegebener Sachverhalt
wird auf Gesetzmäßigkeiten
oder Kausalzusammenhänge
zurückgeführt.
Hierbei sind Regeln und mathematische
Beziehungen zu
nutzen.
Berechnen Ergebnisse werden von
einem Ansatz ausgehend
durch Rechenoperationen
gewonnen.
Beschreiben Sachverhalte oder Verfahren
werden in Textform unter
Verwendung der Fachsprache
in vollständigen Sätzen
dargestellt.
Bestimmen,
ermitteln
Es wird ein Ergebnis ermittelt,
wobei der Lösungsweg
dokumentiert und Zwischenergebnisse
im Sinne einer
Interpretation kommentiert
werden.
Beurteilen Zu einem Sachverhalt wird
ein selbstständiges Urteil
unter Verwendung von Fachwissen
und Fachmethoden
formuliert.
Beweisen,
widerlegen
Beweise werden unter
Verwendung von bekannten
mathematischen Sätzen,
logischer Schlüsse und Äquivalenzumformungen
geführt.
Die verwendeten Variablen
werden eingeführt.
Falsche Behauptungen werden
unter anderem durch
Gegenbeispiele widerlegt.
Gib die Lösungsmenge der
Gleichung x 2 - 4 = 0 an.
Begründe, warum eine
quadratische Gleichung
höchstens zwei Lösungen
haben kann.
Berechne den Flächeninhalt
eines Rechtecks mit den
Seitenlängen 5 cm und
7 cm.
Beschreibe, wie man einen
auf zwei Stellen genauen
Näherungswert für π bestimmen
kann.
Bestimme dasjenige Rechteck
mit dem Umfang
20 cm, welches den größten
Flächeninhalt hat.
Beurteile, ob das Spiel fair
ist.
Beweise:
Wenn sich in einem Viereck
die Diagonalen halbieren,
dann sind die gegenüberliegenden
Seiten parallel
zueinander.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Operatoren Beschreibungen Beispiele
Entscheiden Unter mehreren Alternativen
wird begründet eine ausgewählt.
Erläutern Ein Sachverhalt wird beschrieben
und in ausgewählten
Aspekten oder anhand
von Beispielen erklärt.
Erstellen Zu einem Sachverhalt wird
eine mathematische Darstellung
in fachlich korrekter,
meist vorgegebener Form
angefertigt.
Herleiten Die Entstehung oder Ableitung
eines gegebenen Sachverhalts
wird dargestellt.
Interpretieren Die Ergebnisse einer mathematischen
Überlegung
rückübersetzen auf das
ursprüngliche Problem.
Skizzieren Die wesentlichen Eigenschaften
eines Objektes
werden graphisch - in der
Regel ohne Berücksichtigung
eines Maßstabs -
dargestellt.
Untersuchen Sachverhalte werden durch
bestimmte, fachlich
übliche Kriterien dargestellt.
Dabei kommt es in der Regel
zu Fallunterscheidungen.
Vergleichen Nach vorgegebenen oder
selbst gewählten Gesichtspunkten
werden Gemeinsamkeiten,
Ähnlichkeiten
und Unterschiede ermittelt
und dargestellt.
Entscheide, welche der folgenden
Geradengleichungen
die abgebildete Gerade
beschreibt.
Erläutere den Zusammenhang
zwischen den Parametern
a, u und v in der
Parabelgleichung
f(x) = a(x-u)² + v und der
Lage der zugehörigen Parabel
im Koordinatensystem.
Erläutere den fachlichen
Zusammenhang der Begriffe
rationale Zahlen, irrationale
Zahlen und reelle Zahlen.
Erstelle zu dem durchgeführten
Zufallsexperiment
eine Häufigkeitstabelle.
Leite die Gleichung für den
Flächeninhalt des Trapezes
her.
Berechne die Nullstellen der
quadratischen Funktion und
interpretiere das Ergebnis.
Skizziere das in der Aufgabe
beschriebene Grundstück.
Untersuche, in wie viele
Gebiete drei Geraden die
Zeichenebene zerlegen
können.
Ein lineares Gleichungs-
system wird mit dem Gleichsetzungsverfahren
und dem
Einsetzungsverfahren gelöst.
Vergleiche die beiden
Lösungsverfahren.

Operatoren Beschreibungen Beispiele
Zeichnen,
graphisch darstellen
Zeigen,
nachweisen
Ein Sachverhalt wird – meist
maßstabsgetreu – exakt
graphisch wiedergegeben.
Eine Aussage oder ein Sachverhalt
wird nach gültigen
Schlussregeln, Berechnungen,
Herleitungen oder
logischen Begründungen
bestätigt.
Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
Zeichne den Graphen der
Funktion.
Zeige, dass das Dreieck
gleichschenklig ist.
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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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Anhang
Themen des Lehrplans, die nicht mehr verbindlich unterrichtet werden müssen
Leitidee 1: Zahl und Operationen
römische Zahldarstellung
Stellenwertsystem mit anderer Basis als 10
gemischt-periodische Dezimalbrüche
lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen
reduzierte Anzahl der Lösungsverfahren für Gleichungssysteme
Näherungsverfahren (z.B. Heron-Verfahren)
Bruchterme und Bruchgleichungen
Ungleichungssysteme
lineares Optimieren
Wurzelgleichungen
Leitidee 2: Messen
Eigenschaften zentrischer Streckungen
Katheten- und Höhensatz am rechtwinkligen Dreieck
Leitidee 3: Raum und Form
Punktsymmetrie
Viereckskonstruktionen
Umfangswinkelsatz, Mittelpunktswinkelsatz
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
Höhenschnittpunkt
Inkreismittelpunkt, Umkreismittelpunkt
geometrische Abbildungen und deren Eigenschaften
(u.a. Spiegelung, Drehung, Verschiebung, zentrische Streckung)
Leitidee 4: Funktionaler Zusammenhang
Potenzfunktionen
Wurzelfunktionen
Umkehrfunktionen
Cosinusfunktion
Tangensfunktion
Logarithmusfunktionen
Leitidee 5: Daten und Zufall
Median (Zentralwert)
Balkendiagramme
Standardabweichung
Bernoulli-Experimente

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Fachanforderungen Sek. I Gymnasien – Mathematik
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