Fachbereich Mathematik - GSI

Struktur:
χ 2 Bio(glatt)( N) =
+
i∈OAR
mit χ 2 Bio(glatt)
Di pre − Di Bio(ana) ( 2 N)
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − Di Bio(ana) ( 2 N)
∆D 2 max
·
3.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
1 1
+ · tanh a · D
2 2 i Bio(ana)( N) − D i
max
: Rp
≥0 → R≥0. Bei einem hinreichend großen a > 0 gilt dann:
,
(3.23)
χ 2 Bio(ana)( N) ≈ χ 2 Bio(glatt)( N) . (3.24)
Es ist offensichtlich, dass je größer der Parameter a > 0 gewählt wird, desto besser
ist die Approximation in (3.24).
Die χ2 Bio(glatt) -Funktion ist glatt, da sie ausschließlich aus glatten Teilen besteht.
Eine Komposition von glatten Funktionen induziert wiederum eine glatte Funktion.
Daher kann mindestens davon ausgegangen werden, dass die χ2 Bio(glatt) -Funktion
stetig-differenzierbar ist, also dass mindestens
und damit
χ 2 Bio(glatt) ∈ C 1 ( N) (3.25)
∇χ 2 Bio(glatt) ∈ C 0 ( N) p
(3.26)
gilt. Die Bedingungen (3.25) und (3.26) sind mathematisch ausreichend für die im
folgenden stattfindende Herleitung und Diskussion der KKT-Bedingungen.
3.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
In der Optimierung spielen die notwendigen Optimalitätsbedingungen eine bedeutende
Rolle. Notwendige Optimalitätsbedingungen sind Kriterien, die notwendigerweise
von einem lokal optimalen Punkt NOpt erfüllt werden müssen.
Bei der unrestringierten Optimierung ist die notwendige Optimalitätsbedingung
erster Ordnung einfach. Diese ist nichts weiter, als das ein lokal optimaler Punkt
NOpt stationär 6 sein muss, also dass folgendes gilt:
∇χ 2 ( NOpt) = 0 . (3.27)
Für die restringierte Optimierung kann die notwendige Optimalitätsbedingung erster
Ordnung aus (3.27) nicht einfach so übernommen werden. Der Grund ist, dass bei
der restringierten Optimierung lokal optimale Punkte nicht notwendigerweise (3.27)
6 Mit Stationarität ist der geometrisch anschauliche Fall gemeint, dass in einem Punkt die Tangenten
in alle möglichen Richtungen keine Steigung haben.
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