Kinematik/Rotation

Winkelmessung
• Alle Winkelmaße in der Ebene (Ebene Winkel) beruhen auf Kreisteilungen.
• Alte Winkeleinheit: Durch Teilung des Vollkreises mit 360 Radien, erhält man
zwischen zwei benachbarten Radien die Winkeleinheit 1 Grad (1°).
- Dieses Gradmaß entspricht unserer Vorstellungswelt.
- Winkel von 90°, 45° oder auch 30° sind gut abschätzbar.
• Gelenkwinkelangaben in der Medizin erfolgen nach der
Neutral-Null-Methode:
- Alle Winkel werden ausgehend von der Grundstellung
(Aufrechte Haltung,
Kopf geradeaus, Blick nach vorn,
Arme seitlich herabhängend, Daumen ventral,
Füße parallel) angegeben.
• Für Berechnungen (die in der Regel im Dezimalsystem erfolgen) verwendet man
praktischer Weise das Bogenmaß.
Dabei wird der Kreisumfang in Längen des zugehörigen Radius geteilt (1 rad).
• Ausgehend vom Kreisumfang U = 2πr ergeben sich beim Einheitskreis (r = 1) die
Äquivalenzen: 360° ⇔ 2π; 180° ⇔π; 90° ⇔π/2; 45° ⇔π/4 ; 30° ⇔π/6. 03.06.2004 Physik/Biomechanik - 3. Kinematik/Rotation 1

)
30°
⇒ x
Umrechnungen
Grad- in Bogenmaß
180°
⇒ π
)
30°
x
=
180°
π
) 30°
1
x = ⋅π
= π
180°
6
Bogen- in Gradmaß
0,
52
⇒ x°
π ⇒180°
0,
52 x°
=
π 180°
0,
52
x°
= ⋅180°
= 30°
π
03.06.2004 Physik/Biomechanik - 3. Kinematik/Rotation 2

Übungen zum Winkelschätzen:
Winkelmaß
180°
Bogenmaß
π = 3,14
03.06.2004 Physik/Biomechanik - 3. Kinematik/Rotation 3

Kinematik - Äquivalenz der Größen
Translation
(rechtwinklige Koordinaten)
Ort,
Weg
Zeit
Geschwindigkeit
Beschleunigung
x; y; z; s
[mm; m; km]
t
[ms; s; h]
v
[m/s; km/h]
a Tra
[m/s²]
Abstand (Radius),
Winkel
Winkelgeschwindigkeit
Drehzahl,
Bewegungsfrequenz
Winkelbeschleunigung
ω
[°/s; 1/s; U/min]
a Rot; α
[°/s²; 1/s²]
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Zeit
Rotation
(Winkelkoordinaten)
r [m]
ϕ [°; Bogenmaß]
t
[s]

Gleichförmige Kreisbewegung
Winkelgeschwindigkeit: ω = konstant
Die Bahn, entlang derer sich ein Körper
bei einer ebenen Kreisbewegung bewegt,
lässt sich sehr einfach mit einem Vektor
beschreiben.
Dieser Vektor hat nur eine zeitabhängige, nichtkonstante Komponente.
Der Winkel ϕ ist eine Funktion der Zeit.
r
⎛cosϕ(
t)
⎞ r ⎛cos(
ϖ ⋅t)
⎞
R(
t)
= r ⋅⎜
⎟ → R(
t)
= r ⋅⎜
⎟
⎝sinϕ(
t)
⎠ ⎝ sin( ϖ ⋅t)
⎠
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Geschwindigkeit
• Zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 (t1 < t2) hat der Körper
seine Lage so verändert, wie es der Vektor ∆t beschreibt.
• Die zeitbezogene Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit
• Die Geschwindigkeit ist ein Vektor.
1
0,5
0
-0,5
-1
r
dR
dt
r ⎛−
sin( ϖ ⋅t)
⎞
= v(
t)
= r ⋅ϖ
⋅⎜
⎟
⎝ cos( ϖ ⋅t)
⎠
Vx Vy
90°
0 90 180 270 360
Der Geschwindigkeitsvektor
verläuft in jedem Punkt der
Kreisbahn tangential!
= r ⋅ϖ
03.06.2004 Physik/Biomechanik - 3. Kinematik/Rotation 6
v B
Der Betrag der
Bahngeschwindigkeit ist bei der
gleichförmigen Kreisbewegung
(ω = konst.) zwar konstant, aber
die Richtung ändert sich ständig!

dv
dt
=
Beschleunigung
r
2 ⎛ −sin(
ϖ ⋅t)
⎞
a(
t)
= r ⋅ϖ
⋅⎜
⎟
⎝−
cos( ϖ ⋅t)
⎠
Die zeitbezogene Änderung der
Geschwindigkeit ist die Beschleunigung.
Sie ergibt sich aus der vektoriellen
Differenz der Geschwindigkeitsvektoren
∆v zum Zeitpunkt t 2 und t 1.
Der Beschleunigungsvektor ist bei
gleichförmiger Kreisbewegung dem
Betrag nach konstant und verläuft in
jedem Punkt der Kreisbahn in radialer
Richtung zum Drehpunkt!
a radial
2
= r ⋅ϖ
Die gleichförmige Kreisbewegung ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung!
Diese Beschleunigung ist Ursache für die bekannte Radial- bzw. Fliehkraft.
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Wie groß ist die auf das Schultergelenk wirkende Fliehkraft
beim Armkreisen mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit
von einer Umdrehung pro Sekunde ?
Masse Länge
Oberarm 2,7% der KM 30cm
Unterarm 1,6% der KM 25cm
Faust 0,6% der KM 10cm
Oberarm Unterarm
Hand
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03.06.2004 Physik/Biomechanik - 3. Kinematik/Rotation 9
Lösung
Lösung
Hand
Hand
RUnterarm
Unterarm
ROberarm
Oberarm
Hand
Unterarm
Oberarm
a
m
a
m
a
m
F
F
F
F
F
r
v
r
r
r
r
r
r
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
( ) ( )
²
²
1
²
²
1
²
²
1
²
1
2
2
7
,
23
5
,
39
6
,
0
8
,
16
5
,
39
43
,
0
92
,
5
5
,
39
15
,
0
5
,
39
2
360
²
²
:
s
m
s
Hand
s
m
s
Unterarm
s
m
s
Oberarm
s
R
m
a
m
a
m
a
s
s
r
a
hleunigung
Radialbesc
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
=
°
=
⋅
=
r
r
r
π
ω
ω
kg
m
kg
m
kg
m
kg
e
Körpermass
Hand
Unterarm
Oberarm
36
,
0
04
,
1
755
,
1
65
:
=
=
=
N
N
N
N
F
kg
kg
kg
F s
m
s
m
s
m
4
,
36
5
,
8
5
,
17
4
,
10
7
,
23
36
,
0
8
,
16
04
,
1
92
,
5
755
,
1 ²
²
²
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
r
r

Beispielaufgabe / Rotation
Welche Winkelgeschwindigkeit hat
die Tretkurbel (l = 18cm) am Fahrrad
bei einer Drehzahl von
A) 60 U/min B) 90 U/min und C) 120 U/min?
D) Wie groß ist die als konstant angenommene Winkelbeschleunigung
bei einem Antritt von 90 auf 120 U/min in 1s?
E) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit einer Pedale bei 120 U/min
und die entsprechende Radialbeschleunigung?
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Beispielaufgabe / Rotation
Welche Winkelgeschwindigkeit hat die Tretkurbel (l = 18cm)?
Drehzahl Gradmaß Bogenmaß
60 U/min 1 U/s 360°/s 6,28 1/s
90 U/min 1,5 U/s 540°/s 9,42 1/s
120 U/min 2 U/s 720°/s 12,57 1/s
Winkelbeschleunigung bei einem Antritt von 90 auf 120 U/min in 1s?
α = ∆ω/∆t = (720°/s - 540°/s)/1s = 180°/s²
Bahngeschwindigkeit einer Pedale bei 120 U/min?
v B = r ω = 0,18m 12,57s -1 = 2,3 m/s
Radialbeschleunigung?
a Radial = r ω² = 0,18m (12,57s -1 )² = 28 m/s²
03.06.2004 Physik/Biomechanik - 3. Kinematik/Rotation 11

Beispielaufgabe / Kinematik
Kurt Browning, Kanada, Weltmeister 89/90/91
Die sportliche Leistung beim Eiskunstlaufen wird
subjektiv durch Preisrichter eingeschätzt.
Das menschliche Auge kann aber nur eine
beschränkte Anzahl Bilder wahrnehmen
(Flimmerverschmelzungsfrequenz bei Tageslicht 60 Bilder/s).
Könnte ein Preisrichter eindeutig einen Vier- und
einen Fünffachsprung unterscheiden ?
A) Die Sprunghöhe beim Dreifachaxel von K. Browning bei der WM
1991 betrug 74cm. Wie lange dauerte dieser Sprung?
(Dreifachaxel → 3,5 Drehungen um die Körperlängsachse; Fallzeit = Steigzeit)
B) Welche mittl. Winkelgeschwindigkeit hatte der Sportler bei diesem
Sprung?
C) Welche Winkelgeschwindigkeiten währen bei keiner wesentlichen
Steigerung der Sprunghöhe für den Vier- bzw. Fünffachsprung
notwendig?
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Beispielaufgabe / Kinematik
Sprunghöhe 74cm beim Dreifachaxel, wie lange dauerte dieser Sprung?
Fallzeit = Steigzeit
2 2s
2⋅
0,
74m
1 s = 2 gt t =
= = 0,
388s
g 9,
81m
tSprung =0,777s
Mittlere Winkelgeschwindigkeit?
Dreifachaxel: 3,5 Umdrehungen entspricht 1260° bzw. 7π = 22
ω = 1622°/s = 28,3 1/s
Winkelgeschwindigkeiten für den Vier- bzw. Fünffachsprung?
Sprunghöhe 4-fach (4,5 Drehungen) 5-fach (5,5 Drehungen)
75cm 2071°/s 2532°/s
80cm 2006°/s 2451°/s
85cm 1946°/s 2378°/s
s²
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Differentiation
Integration
Rotation
Winkel
ϕ [°]
ϖ =
dϕ
dt
α =
ϕ = ϖ dt
ϕ
∫
ϖ =
Winkelgeschwindigkeit
ϖ [°/s]
ϕ
t
Bed . : α = 0 °
s
dϕ
d ² t
ϕ = ϖt
+ ϕ
Bed . : ϖ
= konst.
²
α =
α =
dϖ
dt
Winkelbeschleunigung
α [°/s²]
α =
Bed . : α = konst.
03.06.2004 Physik/Biomechanik - 3. Kinematik/Rotation 14
2ϕ
t²
Bed . : α = konst.
ϖ = α dt
∫
ϖ
t
Bed . : α = konst.
ϖ = αt
+ ϖ
Bed . : α = konst.
α d²
t = ( αt
ϖ )dt
ϕ = αt
+ ϖ t +
∫∫ ∫ +
= 0
0
1
2 ² 0 ϕ0
0

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