Klumpenstichproben - Neue Statistik

(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Klumpenstichproben
Klumpenstichproben
Worum geht es in diesem Modul?
Definition der Klumpenstichprobe
Varianten der Klumpenstichprobe
Zur Definition von Klumpen
Auswahlwahrscheinlichkeit der Einzelelemente
Ziehung der Klumpenstichprobe
Vorteile der Klumpenstichprobe
Nachteil der Klumpenauswahl: Der Designeffekt
Ursache für den Klumpeneffekt
Einflussfaktoren auf den Designeffekt
Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Unterschiede
Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Vor- und Nachteile
Resümee
Worum geht es in diesem Modul?
Im Modul "Klumpenstichproben" werden zunächst die Rahmenbedingungen dargestellt,
die die Anwendung von Klumpenstichproben erforderlich machen. Anschließend wird
die praktische Durchführung einer Klumpenstichprobe dargestellt. Die Vor- und
Nachteile, die durch die Anwendung einer Klumpenstichprobe entstehen, werden
gegeneinaner abgewogen. Hierbei wird dem "Klumpeneffekt" eine zentrale Rolle zu
kommen, daher werden Enstehung und Konsequenzen von Klumpeneffekten diskutiert.
Abschließend wird die Bedeutung des Intraklassenkorrelationskoeffizienten (ICC)
erläutert.
Beispiel: Problemstellung für eine Klumpenstichprobe
Will man die Ausbreitung der sogenannten Traberkrankheit (englisch: "scrapie") bei
Schafen innerhalb Schottlands untersuchen, entsteht das Problem, dass es keine
vollständige Liste aller einzelnen Schafe gibt. Man zieht daher aus einer Liste von
Farmen in Schottland mit einer Zufallsstichprobe zunächst einzelne Farmen, und
innerhalb jeder so ausgewählten Farm zufällig einzelne Herden. Diese Stichprobe
besteht also aus Schafen innerhalb "natürlicher" Klumpen, in diesem Fall also den
Herden. In diesem Beispiel sind die Herden wiederum Bestandteil "natürlicher"
Klumpen, nämlich der Farmen. Schauen Sie sich dazu die
: Flashanimation ' Animation Klumpenstichprobe ' siehe Online-Version
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an.
Definition der Klumpenstichprobe
Anschauliche Definition der Klumpenauswahl
Bei einer Klumpenauswahl werden Gruppen von Elementen der Grundgesamtheit durch
eine einfache Zufallsstichprobe ausgewählt. Die Auswahlregeln der Zufallsstichproben
werden also nicht auf die Elemente der Grundgesamtheit selbst angewandt, sondern auf
Gruppen. Im einfachsten Fall gelangen in die Stichprobe alle Elemente der
ausgewählten Gruppen.
Formale Definition der Klumpenstichprobe
Zerlegt man eine Grundgesamtheit in disjunkte Teilgesamtheiten vom Umfang
, mit und wählt aus diesen Mengen zufällig aus,
so heißen die Teilgesamtheiten Klumpen und das Auswahlverfahren Klumpenauswahl.
bedeutet hier also die Anzahl der Klumpen in der Grundgesamtheit, die Anzahl
der Klumpen in der Stichprobe, die Anzahl von Einheiten innerhalb eines
Klumpens und die Anzahl von Einheiten innerhalb sämtlicher Klumpen.
Vorsichtshalber sei darauf hingewiesen, dass die Notation für die Zahl der Klumpen und
die Zahl der Elemente innerhalb der Klumpen in der statistischen Literatur nicht
einheitlich ist.
Varianten der Klumpenstichprobe
Flächenstichproben
Eine bedeutende Variante der Klumpenstichprobe ist die Flächenstichprobe. Bei
Flächenstichproben wird eine Fläche in Teilflächen zerlegt, die dann als Klumpen
aufgefasst werden. Beispiele für solche Flächenstichproben sind Einteilungen nach
administrativen Einheiten, wie z.B. Regierungsbezirken. Innerhalb solch kleinerer
administrativer Einheiten liegen in der Regel eher Listen der Einzelelemente vor. Ein
anderes Beispiel für eine Flächenstichprobe ist eine Einteilung einer Insel in annähernd
gleich große Teilgebiete, bei denen dann in zufällig ausgewählten Teilgebieten alle
Brutstätten von Vögeln untersucht werden. Flächenstichproben spielen eine besondere
Rolle bei Bevölkerungsbefragungen, da angenommen wird, dass sich jeder Einwohner
eines Landes eindeutig einer Fläche (seinem Wohnort) zuordnen lässt. Viele
Bevölkerungsstichproben basieren daher auf Klumpenstichproben mit Wohnorten als
Klumpen.
Mehrstufige Klumpenstichproben
Wie die Animation Klumpenstichprobe zeigt, können auch innerhalb der ausgewählten
Klumpen wiederum Stichproben gezogen werden.
Im Beispiel wurde eine Klumpenstichprobe (Herden) innerhalb einer
Klumpenstichprobe (Farmen) gezogen. Bei Flächenstichproben der allgemeinen
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Bevölkerung werden in der Regel auch nicht alle Einwohner einer Gemeinde befragt,
sondern lediglich eine Zufallsstichprobe der Gemeindemitglieder. In diesem Fall
handelt es sich dann um eine mehrstufige Klumpenstichprobe mit Gemeinden als
Klumpen der ersten Stufe und einer einfachen Zufallsstichprobe der Einwohner der
ausgewählten Gemeinden auf der zweiten Stufe.
Wir beschränken uns in diesem Modul auf den Fall, dass alle Elemente in jedem
ausgewählten Klumpen in die Untersuchung eingehen. Dieser einfachste Fall wird als
"one stage cluster sampling" bezeichnet.
Beispiel: Einfache Anwendungen der Klumpenstichprobe
- Für eine Befragung sollen einzelne Einwohner einer Stadt ausgewählt werden. Ein
mögliches Verfahren besteht darin, aus den Gebäuden der Stadt eine Zufallsauswahl zu
ziehen und innerhalb der Gebäude alle Bewohner zu befragen. Obwohl die Einwohner
der Stadt die Grundgesamtheit bilden, werden in diesem Beispiel die Auswahlregeln auf
Klumpen - die Gebäude - angewendet.
- Möchte man eine Untersuchung der Wahlberechtigten der Stadt Leipzig durchführen,
so könnte man aus den 329 Stimmbezirken der Stadt Leipzig eine Zufallsstichprobe von
z.B. 10 Stimmbezirken ziehen. In jedem Stimmbezirk könnte man nun alle
Wahlberechtigten befragen.
- Vollständige Listen von Schulklassen existieren selbst innerhalb eines Bundeslandes
nicht. Eine Möglichkeit trotzdem Zufallsstichproben von Schulklassen zu ziehen besteht
darin, aus der verfügbaren Liste der Schulen zufällig einige Schulen auszuwählen und
innerhalb jeder Schule jede Schulklasse in die Stichprobe aufzunehmen.
Zur Definition von Klumpen
Als Klumpen werden fast immer "natürliche" Gruppierungen der Elemente einer
Grundgesamtheit verwendet. Die notwendige Bedingung für die Einteilung in Klumpen
ist lediglich, dass die Einteilung jedes Element der Grundgesamtheit genau einer Klasse
zu ordnet (also disjunkt und exhaustiv ist). Wünschenswert ist darüber hinaus, dass
entweder Listen der Klumpen bereits existieren oder problemlos erstellt werden können.
Typische Beispiele für "natürliche" Klumpen sind:
Klumpen Elemente der Grundgesamtheit
Unternehmen Arbeitnehmer
Schulklassen Schüler
Wahlbezirke Wähler
Regierungsbezirke Kommunen
Haushalte Personen
Beispiel: Wie Hacker ihre Opfer finden...
Häufig versuchen Hacker Zugang zu fremden Rechnern über das Internet zu erlangen.
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Da es keine vollständige Liste von an das Internet angeschlossenen Rechnern gibt und
eine vollständige Aufzählung aller möglichen Rechneradressen zu langwierig ist,
verwenden Hacker - ohne dies zu wissen - eine Klumpenstichprobe zur Lösung ihres
Problems. Rechneradressen sind im Internet über sogenannte IP-Adressen erreichbar.
IP-Adressen bestehen aus mehreren Teilen, so lautet z.B. die IP-Adresse des
Netzwerkes des Rechenzentrums der Universität Rostock 139.30.0.0. Die letzte Gruppe
in der Zahlenfolge entspricht einem einzelnen Rechner, die vorletzte Gruppe einem
Subnetz des Rechenzentrums. Ein Hacker würde nun zunächst eine Stichprobe der
Subnetze ziehen (ein Beispiel für ein solches Element wäre das Netz 139.30.214.0).
Innerhalb dieses Subnetzes würde er jede möglich Rechneradresse mit 0 beginnend
ausprobieren und versuchen einen funktionierenden Rechner zu finden. Entsprechende
Programme heißen "Port Scanner". Letztlich führen "Port Scanner" damit
Klumpenstichproben durch. Entsprechend könnte man die Struktur der IP-Adressen
nutzen um eine weltweite Stichprobe einzelner Rechner zu ziehen.
Beispiel: Eine Klumpenstichprobe zur Untersuchung karzinogener Stoffe
In der Medizin werden polychlorierte Biphenyle (PCBs) als potentiell krebserregende
Stoffe betrachtet. PCBs werden aufgrund ihrer physikalischen Eigenschaften u.a. als
Isolier- und Kühlungsflüssigkeit in Transformatoren und als Hydrauliköl verwendet.
Möchte man eine Untersuchung des möglichen krebserregenden Effekts der PCBs
durchführen, wäre es wünschenswert, eine Stichprobe von Personen zu untersuchen, die
diesen Stoffen in besonderem Maße ausgesetzt sind. Eine solche Liste wird aber nicht
zur Verfügung stehen. Man könnte aber z.B. argumentieren, dass sich Transformatoren
vor allem in Elektrizitäts- und Umspannungswerken finden und Hydrauliköle vor allem
bei Straßenbaumaschinen und in der Bergwerkstechnik. Daher würde man z.B. Listen
von Elektrizitäts- und Umspannungswerken einerseits und Straßenbauunternehmen und
Bergwerken andererseits zusammenstellen. Aus diesen Listen könnte man eine
Klumpenstichprobe mit Unternehmen als Elementen durch eine einfache
Zufallsstichprobe ziehen. Innerhalb der Unternehmen würde man dann die
Wartungstechniker der entsprechenden Maschinen medizinisch untersuchen.
Auswahlwahrscheinlichkeit der Einzelelemente
In diesem Modul wird nur die einfachste Form einer Klumpenstichprobe betrachtet, bei
der alle Elemente eines ausgewählten Klumpens Bestandteil der Stichprobe werden
("one stage cluster sampling"). Dies ist eine Variante der einfachen Zufallsstichprobe,
bei der die Elemente der Zufallsstichprobe Klumpen sind.
In diesem Fall hat jedes Element die gleiche Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe zu
gelangen wie der Klumpen, in dem sich das Element befindet. Die
Auswahlwahrscheinlichkeit der Einzelelemente entspricht also der
Auswahlwahrscheinlichkeit des Klumpens.
Bezeichnet die Anzahl der Klumpen in der Stichprobe und die Zahl aller in der
Population vorkommenden Klumpen, dann beträgt die Auswahlwahrscheinlichkeit für
jeden Klumpen . Da die Auswahlwahrscheinlichkeit jedes Elements innerhalb
eines Klumpens gleich 1 ist, ist die Auswahlwahrscheinlichkeit für ein Einzelelement
( ) *1, also gleich .
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Ziehung der Klumpenstichprobe
Bei der Klumpenstichprobe werden zufällig Klumpen einer Grundgesamtheit
entnommen.
Vorteile der Klumpenstichprobe
Klumpenstichproben besitzen gegenüber einfachen Zufallsstichproben zwei Vorteile:
Erstens bnötigen Klumpenstichproben keine Liste der Elemente der Grundgesamtheit
und zweitens verursachen Klumpenstichproben häufig geringere Kosten als einfache
Zufallsstichproben.
Für Klumpenstichproben benötigt man nur eine Liste der Klumpen der
Grundgesamtheit als Auswahlgrundlage, nicht hingegen eine Liste der Elemente der
Grundgesamtheit. In vielen Anwendungsfällen ist eine Liste der Elemente der
Grundgesamtheit aus praktischen, juristischen oder finanziellen Gründen nicht
verfügbar. Sehr häufig kann dann trotzdem eine Klumpenstichprobe gezogen werden.
Die häufig geringeren Kosten von Klumpenstichproben beruhen zum Teil auf dem
Verzicht auf die Zusammenstellung der Liste der Elemente der Grundgesamtheit. Die
wichtigste Ursache für die Kostenersparnis liegt aber in den Erhebungsbedingungen. In
vielen Fällen ist die Untersuchung räumlich benachbarter Elemente finanziell deutlich
günstiger als die Untersuchung zufällig verstreuter Elemente, da z. B. bei mündlichen
Befragungen ein Großteil der Kosten auf die Fahrtkosten der Interviewer entfällt.
Ähnlich erspart eine Befragung innerhalb einer Schulklasse oder während einer
Vorlesung u.a. die Portokosten für den Versand der Fragebögen.
Beispiel: Vorteile der Klumpenauswahl
- Es soll eine Stichprobe aus den in Bayern zu Nutzzwecken gehaltenen Forellen
gezogen werden. Eine Liste aller Forellen zu erstellen ist praktisch nicht möglich.
Wesentlich einfacher wäre es, eine Liste aller ca. 3200 Forellenteiche in Bayern zu
erstellen.
- Die Deutsche Bahn möchte wissen, wie viel Gepäckstücke ihre Kunden mit sich
führen. Eine Liste aller Reisenden ist nicht verfügbar, wohl aber eine Liste der Züge, die
als Klumpen dienen könnten.
- Für einen Gesundheitssurvey soll eine Zufallsstichprobe von Krankenhauspatienten
gezogen werden. Bei einer einfachen Zufallsstichprobe wären die Stichprobenmitglieder
über viele verschiedene Krankenhäuser im ganzen Land verstreut. Nimmt man eine
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Klumpenauswahl vor, könnte man die Befragung auf wenige Krankenhäuser
beschränken. Dies führt zu Einsparungen von Kosten.
Nachteil der Klumpenauswahl: Der Designeffekt
Der Nachteil der Klumpenauswahl besteht darin, dass Schätzungen der
Populationsparameter höhere Standardfehler aufweisen als Schätzungen auf der Basis
einer einfachen Zufallsstichprobe gleichen Umfangs. Man nennt dies allgemein den
"Designeffekt" (abgekürzt: "deft").
Der Designeffekt ist definiert als das Verhältnis des Standardfehlers (SE) einer
Stichprobenkenngröße eines gegebenen Stichprobenplans zum Standardfehler einer
Stichprobenkenngröße einer einfachen Zufallsstichprobe. Am Beispiel des Mittelwerts
lässt sich "deft" definieren als
Die Folge eines Designeffekts größer als 1.0 ist eine Vergrößerung der
Konfidenzintervalle um diesen Faktor. Will man z.B. das 95%-Konfidenzintervall eines
Mittelwerts berechnen, so ergibt sich dies für eine einfache Zufallsstichprobe durch
Bei einem Designeffekt ungleich 1.0 ergibt sich das 95%-Konfidenzintervall
Bei Klumpenstichproben ist "deft" immer größer als 1.0, entsprechend sind die
Konfidenzintervalle auf der Basis von Klumpenstichproben größer als die
Konfidenzintervalle einfacher Zufallsstichproben gleichen Umfangs. In Hinsicht auf
Klumpenstichproben wird der Designeffekt auch als "Klumpeneffekt" bezeichnet.
Ursache für den Klumpeneffekt
Der Klumpeneffekt rührt daher, dass die Verteilung der Elemente der Grundgesamtheit
auf die Klumpen meist nicht unabhängig von den Eigenschaften der Elemente ist. Als
Folge sind sich die Mitglieder eines Klumpens in vielen Merkmalen ähnlicher als die
Mitglieder verschiedener Klumpen.
So sind z.B. Haushalte innerhalb eines Straßenabschnitts in Hinsicht auf eine Vielzahl
von Merkmalen (Einkommen, Bildung, Zahl der Personen im Haushalt etc.) einander
ähnlicher als zufällig ausgewählte Haushalte. Entsprechend ähneln sich Mehrlinge (ob
eineiig oder nicht) untereinander mehr als zufällig ausgewählte Neugeborene.
Da bei Klumpenstichproben entweder der ganze Klumpen ausgewählt wird oder kein
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Element aus dem Klumpen, werden ganze Gruppen von Elementen mit ähnlichen
Ausprägungen des Merkmals ein- oder ausgeschlossen. Aus diesem Grund variieren die
Schätzungen zwischen verschiedenen Klumpen stark.
Beispiel: Auftreten des Klumpeneffekts
Man möchte aus einer Stichprobe der bayerischen Zuchtforellen deren Belastung mit
Antibiotikarückständen schätzen. Dazu wird eine große Anzahl an Teichen als Klumpen
mit Hilfe einer Zufallsstichprobe aus den ca. 3200 Teichen in Bayern ausgewählt. Die
Fische aus denselben Teichen werden ähnliche Belastungen mit Antibiotika aufweisen,
da sie denselben Umwelteinflüssen und Aufzuchtbedingungen ausgesetzt sind. Da in
den verschiedenen Forellenteichen Bayerns unterschiedliche Mengen an
Antibiotikarückständen existieren, werden sich Fische aus demselben Teich bezüglich
der Antibiotikabelastung ähnlicher sein als Fische aus verschiedenen Teichen.
Einflussfaktoren auf den Designeffekt
Die Größe des Standardfehlers bei Schätzungen aufgrund von Klumpenstichproben und
damit die Größe des Designeffekts hängt von der Homogenität der Klumpen und der
Anzahl der Elemente pro Klumpen ab: Je homogener die Klumpen und je mehr
Elemente pro Klumpen, desto größer wird der Standardfehler und damit der
Designeffekt.
Die Homogenität der Klumpen wird mit dem sogenannten
"Intraklassenkorrelationskoeffizienten" wiedergegeben. Um das lange Wort
"Intraklassenkorrelationskoeffizienten" zu vermeiden, wird in der Regel entweder die
Abkürzung ICC ("intraclass correlation coefficient") oder der griechische Buchstaben
(sprich: "rho") verwendet.
Sind jeweils alle Elemente innerhalb der Klumpen in Hinsicht auf ein Merkmal gleich,
so sind die Klumpen vollständig homogen. In Hinsicht auf dieses Merkmal gibt es dann
keine Varianz innerhalb der Klumpen. In diesem Fall erreicht sein Maximum von
1.0.
Entspricht jeder Klumpen einer einfachen Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit,
dann erreicht den Wert 0.
Für große Stichproben lässt sich der Designeffekt einer Klumpenstichprobe für die
Schätzung des Mittelwert mit
annähern, wobei M die Anzahl der Elemente im Klumpen ist.
Aus der Formel sieht man leicht, dass eine Klumpenstichprobe mit nur einem Element
pro Cluster eine einfache Zufallsstichprobe ist: der zweite Summand wird dann 0 und
"deft" damit 1.
Aus der Formel sieht man ebenso, dass der Designeffekt auch dann gleich 1 ist, wenn
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ist. Sind sich die Elemente der Klumpen untereinander genauso ähnlich wie
durch eine einfache Zufallsstichprobe ausgewählte Elemente, ist der zweite Summand
ebenfalls gleich 0, da dann ist.
Je ähnlicher sich die Elemente der Klumpen untereinander sind, desto näher liegt
bei 1. Mit wachsendem steigt also der Designeffekt.
Da mit multipliziert wird, führt eine Vergrößerung der Klumpen unter
sonst gleichen Umständen zu größeren Designeffekten.
Der Designeffekt ist also umso kleiner, je heterogener die Klumpen und je kleiner die
Anzahl der Elemente pro Klumpen ist. Diese Zusammenhänge verdeutlicht das
Applet Klumpenstichprobe (b6b.jar)
.
Der Intraklassenkorrelationskoeffizient ist ein Maß der Homogenität innerhalb der
Klumpen bezüglich eines betrachteten Merkmals. lässt sich auf mehrere Arten
definieren.
Üblich ist die Definition von als die Pearson-Korrelation der
Paare mit und , wobei N die Anzahl der Klumpen und
M die Zahl der Elemente innerhalb der Klumpen bezeichnet. Die resultierende Formel
ist ein wenig unhandlich:
Etwas anschaulicher ist die vollkommen äquivalente Definition von als Anteil der
Quadratsummen innerhalb der Klumpen zur Gesamtsumme der Quadratsummen:
wobei die Summe der Quadrate innerhalb der Klumpen ("sum of squares
within") und die Summe aller Quadrate ("sum of squares total") bedeutet.
ist die Anzahl der Elemente im Klumpen. Entsprechend gilt
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Bei praktischen Anwendungen von Klumpenstichproben liegt immer über 0.
Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Unterschiede
Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe werden gelegentlich verwechselt, da
bei beiden Verfahren Gruppierungen vorgenommen werden. Es sollen daher die
Unterschiede beider Verfahren hervorgehoben werden.
Klumpenstichprobe
("cluster sampling")
geschichtete Zufallsstichprobe
("stratified sampling")
Jedes Element der Grundgesamtheit gehört zu genau Jedes Element der Grundgesamtheit gehört zu genau
einem Klumpen.
einer Schicht.
In der Regel entsprechen die Klumpen "natürlichen"
Gruppierungen.
Es wird eine einfache Zufallsstichprobe aus der
Menge der Klumpen gezogen.
Innerhalb eines ausgewählten Klumpens gelangen
alle Elemente in die Stichprobe.
Der Standardfehler ist um so kleiner,
je inhomogener die Klumpen und
je kleiner die Unterschiede zwischen den Klumpen
sind.
Beispiel: Klumpenstichprobe
In der Regel entsprechen die Schichten willkürlich
gewählten Merkmalen.
Alle Schichten werden berücksichtigt.
Aus jeder Schicht wird jeweils eine
Zufallsstichprobe gezogen.
Der Standardfehler ist um so kleiner,
je homogener die Schichten und
je größer die Unterschiede zwischen den Schichten
sind.
Population von N Klumpen; jedes Element der Population ist in genau einem Klumpen
Ziehung einer einfachen Zufallsstichprobe von Klumpen; alle Elemente innerhalb der
Klumpen sind in der Stichprobe
Vergleich Klumpenstichprobe und geschichtete Stichprobe: Vor- und Nachteile
Die Unterschiede zwischen einer Klumpenstichprobe und einer geschichteten
Stichprobe macht folgende Tabelle deutlich:
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Klumpenstichprobe
("cluster sampling")
Falls keine Listen der Elemente der Grundgesamheit
existieren, sind Klumpenstichproben meist die
einzige Möglichkeit Stichproben zu realisieren.
Die Kosten der Datenerhebung sind häufig geringer
als bei einfachen Zufallsstichproben.
Es ergeben sich größere Standardfehler als bei der
einfachen Zufallsstichprobe.
Resümee
geschichtete Zufallsstichprobe
("stratified sampling")
Die Kosten der Datenerhebung können geringer sein
als bei einfachen Zufallsstichproben.
Es ergeben sich kleinere Standardfehler als bei der
einfachen Zufallsstichprobe.
Bei Klumpenstichproben wird eine einfache Zufallsstichprobe aus "natürlichen"
Gruppen von Elementen, den Klumpen, gezogen. Im einfachsten Fall werden alle
Elemente aus einem ausgewählten Klumpen gezogen ("one stage cluster sampling").
Klumpenstichproben besitzen gegenüber einfachen Zufallsstichproben zwei Vorteile:
- Klumpenstichproben benötigen keine Liste der Elemente der Grundgesamtheit.
- Klumpenstichproben verursachen häufig geringere Erhebungskosten als einfache
Zufallsstichproben.
Der Nachteil der Klumpenauswahl besteht darin, dass Schätzungen der
Populationsparameter höhere Standardfehler aufweisen als Schätzungen auf der Basis
einer einfachen Zufallsstichprobe gleichen Umfangs. Man nennt dies allgemein den
"Designeffekt" (abgekürzt: "deft").
Die Größe des Designeffekts der Klumpenstichproben hängt vom Maß der Homogenität
innerhalb der Klumpen und der Zahl der Klumpen ab.
Dieses Modul beschränkte sich auf Klumpenstichproben mit Klumpen gleicher Größe.
Bei praktischen Anwendungen finden sich eher Klumpen unterschiedlicher Größe; dies
erfordert lediglich etwas kompliziertere Formeln als sie hier verwendet wurden.
Schließlich finden sich in der Forschungspraxis häufig Kombinationen verschiedener
Stichprobenverfahren (sogenannte "mehrstufige Auswahlverfahren").
Klumpenstichproben sind hierbei fast immer Bestandteil solcher mehrstufiger
Verfahren.
Die Deutsche Bahn AG führt regelmäßig Fahrgastbefragungen durch. Da es keine
vollständige Liste von Fahrgästen gibt, liegt eine Klumpenstichprobe nahe. Welche der
folgenden Klumpen erscheint Ihnen geeignet? Bitte formulieren Sie eine statistische
Begründung für Ihre Entscheidung?
a) Bahnhöfe
b) Schaffner
c) Wagennummern innerhalb von Zügen
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d) Züge
e) Bahnverbindungen zwischen ausgewählten Orten
Lösung
c)
Lösung d) würde größere Klumpen bedingen. E) würde zu noch stärkeren
Klumpeneffekten führen. Ebenso würde b) gegenüber c) durch die hohe Fallzahl pro
Schaffner zu deutlich größeren Klumpeneffekten führen. Für eine einstufige Stichprobe
scheidet a) aus.
Warum sind die Standardfehler bei Klumpenstichproben größer und bei geschichteten
Stichproben kleiner als bei einfachen Zufallsstichproben?
Lösung
Bei Klumpenstichproben wird die Varianz in der Stichprobe unterschätzt, da die
Elemente des Klumpens untereinander ähnlich sind. Die Standardfehler scheinen
kleiner zu sein, als sie es tatsächlich sind. Bei geschichteten Stichproben werden a priori
als heterogen betrachtete Gruppen als unabhängige Stichproben betrachtet. Deren
gemeinsame Verteilung von Stichprobenkennwerten besitzt fast immer tatsächlich eine
kleinere Varianz als die entsprechende Verteilung einfacher Zufallsstichproben.
Wünscht man sich eine größere oder eine kleinere Varianz einer Stichprobenverteilung
eines Kennwerts? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung
Eine kleinere Varianz ist wünschenswert. Je kleiner die Varianz, desto kleiner die
Konfidenzintervalle. Damit sind die Schätzungen der Grundgesamtheitsparameter umso
präziser, je kleiner die Varianz der Stichprobenverteilung eines Kennwerts.
Bitte schreiben Sie die Definitionsformel für den Designeffekt am Beispiel des
Mittelwerts.
Lösung
Welches der folgenden Auswahlverfahren wird bei gleicher Stichprobengröße
vermutlich den größten Standardfehler besitzen?
a) einfache Zufallsstichprobe
b) Klumpenstichprobe
c) geschichtete Stichprobe
Lösungen
b)
a) Können Sie sich eine Ursache für einen möglichen Klumpeneffekt in der
Augenheilkunde vorstellen?
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b) Bei medizinischen Untersuchungen gelten Studien, die an mehreren Krankenhäusern
durchgeführt wurden ("multicenter studies") als besonders wünschenswert. Bitte
formulieren Sie eine statistische Begründung.
Lösung
a) Menschen verfügen in der Regel über zwei Augen, die nicht unabhängig von
einander sind, da sie über das gleiche physiologische System versorgt werden.
b) Bei Klumpenstichproben wie z.B. Krankenhäusern, führt eine Vergrößerung der Zahl
der Klumpen zur Verringerung von Klumpeneffekten. In diesem Fall handelt es sich bei
den Klumpeneffekten um nicht kontrollierte Drittvariablen. Dazu könnten
Infrastrukturmerkmale der Krankenhäuser oder selektives Patientengut gehören.
Bei einer Klumpenauswahl werden
a) einfache Zufallsstichproben aus Gruppen von Elementen der Grundgesamtheit
gezogen
b) Gruppen von Elementen der Grundgesamtheit durch eine einfache Zufallsstichprobe
ausgewählt
c) Grundgesamtheiten in Gruppen zerlegt, aus denen dann einfache Zufallsstichproben
gezogen werden
d) werden aus einfachen Zufallstichproben gezogene Elemente zu Gruppen
zusammengefasst
Lösung
b)
Was sind Vorteile der Klumpenauswahl?
a) Klumpenstichproben führen zu genaueren Schätzungen
b) Klumpenstichproben benötigen keine Liste der Elemente der Grundgesamtheit.
c) Klumpenstichproben sind von Vorteil, da die Gruppierung in Klumpen so gut ist wie
eine Zerlegung in Schichten
d) Klumpenstichproben verursachen häufig geringere Kosten als einfache
Zufallsstichproben
Lösung
b) und d)
Insbesondere für dieses Kapitel empfehlen wir das auch in anderen Modulen
hervorgehobene Lehrbuch von Sharon Lohr. Eine klarere und präzisere Darstellung ist
derzeit nicht verfügbar.
Lohr, S.L. (1999): Sampling: Design and Analysis. Pacific Grove: Duxbury Press.
Intraklassenkorrelationskoeffizient
ErklärungKlumpen vorgruppierte Teilmengen oder "natürliche" Gruppen (z.B.
Schulklassen, Arbeitsgruppen)
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ExplanationKlumpeneffektDa die Elemente innerhalb eines Klumpens
untereinander fast immer ähnlicher sind als zufällig aus der Grundgesamtheit
ausgewählte Elemente ist der Standardfehler einer Klumpenstichprobe fast
immer größer als der Standardfehler einer gleich großen einfachen
Zufallsstichprobe. Diese Eigenschaft einer Klumpenstichprobe bezeichnet man
auch als "Klumpeneffekt".
ErklärungKlumpenstichprobeBei einer Klumpenauswahl werden Gruppen von
Elementen der Grundgesamtheit durch eine einfache Zufallsstichprobe
ausgewählt. Die Auswahlregeln der Zufallsstichproben werden also nicht auf die
Elemente der Grundgesamtheit selbst angewandt, sondern auf Gruppen. Im
einfachsten Fall gelangen in die Stichprobe alle Elemente der ausgewählten
Gruppen.
Erklärung"litter effect”
Erklärung
(c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme
Kontakt: http://www.neuestatistik.de
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