Seminarpapier mit Übungsaufgaben

Zum Aufwärmen
a) Kreisen Sie alle Formen ein, die
schwarz und dreieckig sind
(ein Kreis um alle passenden
Formen gemeinsam):
Formale Grundlagen
c) Kreisen Sie alle Formen ein, die nicht dreieckig sind:
b) Kreisen Sie alle Formen ein, die
schwarz oder dreieckig sind:
d) Kreisen Sie jetzt alle Formen ein, die schwarz sind. Dann kreisen Sie alle
Formen ein, die dreieckig sind. Ordnen Sie die Beschreibungen i. bis v. den
entsprechenden Bereichen der entstandenen Einteilung zu. Vergleichen Sie mit
a) bis c)! Welcher Zusammenhang besteht?
i. die Eigenschaft dreieckig A
ii. die Eigenschaft schwarz B
iii. Schnittmenge von i. und ii. (Durchschnitt) A∩ B
iv. Vereinigungsmenge von i. und ii. (Vereinigung) A∪ B
v. Komplementmenge von i. (Komplement) A
Katarina Klein GK Formale Grundlagen (WS 2007/08) 1/5

Wahrheitswerte und Negation
Formale Grundlagen
Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Betrachten wir wieder eine Figur, nämlich Δ.
Aussage P = „Die Figur ist dreieckig.“ Das ist wahr.
Negation ¬P = „Die Figur ist nicht dreieckig.“ Das ist falsch.
Q = „Die Figur ist schwarz.“ Das ist falsch.
¬Q = „Die Figur ist nicht schwarz.“ Das ist wahr.
Gängige Notationen für die zwei Wahrheitswerte: wahr, w, 1, T, t und falsch, f, 0, ⊥.
Wenn eine Aussage P wahr ist, so ist ihre Negation ¬ P (oder auch P ) falsch – und
umgekehrt.
nur zwei Möglichkeiten: dreieckig ¬ dreieckig
„Die Figur ist dreieckig“
ist wahr
1 0
… oder falsch 0 1
Sie ist dreieckig.
Also ist es falsch, dass sie nicht dreieckig ist.
Sie ist nicht dreieckig.
Also ist es wahr, dass sie nicht dreieckig ist.
(Es gibt logische Systeme mit mehr Wahrheitswerten, etwa „unbestimmt“ oder
„wahrscheinlich“. Diese Systeme behandeln wir in diesem Kurs nicht.)
Logische Operatoren
Während es für eine Aussage nur zwei Möglichkeiten gibt, gibt es für zwei Aussagen
schon 2 2 = 4 Möglichkeiten: Beide Aussagen können wahr sein, beide können falsch
sein, jeweils eine kann wahr sein, während die andere falsch ist.
Der logische Operator ∧ verbindet zwei Aussagen zu einer komplexen Aussage, aus P =
„Sie ist dreieckig.“ und Q = „Sie ist schwarz.“ wird P∧Q = „Sie ist dreieckig und sie ist
schwarz.“ (sie referiert hier weiterhin auf die Figur). Wir kürzen das hier ab und
schreiben „Sie ist dreieckig und schwarz.“ für P∧Q.
dreieckig schwarz dreieckig ∧ schwarz
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Sie ist dreieckig. Sie ist schwarz.
Also ist es wahr, dass sie dreieckig und schwarz ist.
Sie ist dreieckig. Sie ist nicht schwarz.
Also ist es falsch, dass sie dreieckig und schwarz ist.
Sie ist nicht dreieckig. Sie ist schwarz.
Also ist es falsch, dass sie dreieckig und schwarz ist.
Sie ist nicht dreieckig. Sie ist nicht schwarz.
Also ist es falsch, dass sie dreieckig und schwarz ist.
Für zwei beliebige Aussagen X und Y gilt also ganz schematisch:
¬ ∧ ∨
X ¬ X
1 0
0 1
X Y X∧Y
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
X Y X∨Y
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
2/5 GK Formale Grundlagen (WS 2007/08) Katarina Klein

Implikation
Formale Grundlagen
Paul wird gleich blind nacheinander aus verschiedenen Kisten eine Figur ziehen. Vor
jedem Ziehen sagt er: „Egal, was ich ziehe: Wenn die Figur dreieckig ist, dann ist sie
schwarz!“ Geben Sie für jede Kiste an, ob Paul Recht hat.
a) Wenn die Figur dreieckig ist, dann ist sie schwarz!
Paul sagt die Wahrheit.
Paul sagt etwas Falsches.
b) Paul sagt die Wahrheit.
Paul sagt etwas Falsches.
c) Paul sagt die Wahrheit.
Paul sagt etwas Falsches.
d) Paul sagt die Wahrheit.
Paul sagt etwas Falsches.
e) Paul sagt die Wahrheit.
Paul sagt etwas Falsches.
f) Paul sagt die Wahrheit.
Paul sagt etwas Falsches.
Katarina Klein GK Formale Grundlagen (WS 2007/08) 3/5

Formale Grundlagen
Paul wird gleich aus der folgenden Kiste ziehen. Es ist wichtig, dass Paul Recht behält!
Nehmen Sie aus der folgenden Kiste nur und genau die Figuren heraus, die Pauls
Aussage falsch machen könnten – lassen Sie so viele Figuren wie möglich in der Kiste!
Welche Eigenschaften haben die Figuren gemeinsam, die nicht in der Kiste sein dürfen?
Paul weiß nicht, welche Figur er zieht. Aber wir wissen, welche Eigenschaften die Figur
hat, die Paul gleich zieht (es steht in den beiden linken Spalten). Tragen Sie jeweils ein,
ob Paul mit seiner Behauptung Recht hat oder nicht.
Die Figur ist … Paul sagt:
dreieckig schwarz Wenn die Figur dreieckig ist, dann ist sie schwarz.
1 1
1 0
0 1
0 0
Sie ist dreieckig. Sie ist schwarz.
Also ist Pauls Aussage …
Damit haben wir eine weitere Wahrheitstafel, nämlich die für die (materielle)
Implikation. Füllen Sie sie aus:
Übung: Äquivalenz
X Y X→Y
1 1
1 0
0 1
0 0
Es gibt weitere logische Operatoren. Besonders wichtig ist die Äquivalenz (X↔Y).
Überlegen Sie, für welche von Pauls Kästchen a) bis f) gilt: „Die Figur ist genau (und
nur) dann ein Dreieck, wenn sie schwarz ist.“
Formulieren Sie die Aussage so um, dass Sie nur die Operatoren und, nicht und oder
verwenden. Zeichnen Sie dann eine Wahrheitstafel.
4/5 GK Formale Grundlagen (WS 2007/08) Katarina Klein

Übersicht Wahrheitswerttabellen
Formale Grundlagen
¬ ∧ ∨
X ¬ X
1 0
0 1
X Y X∧Y
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
X Y X∨Y
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
→ ↔
X Y X→Y
1 1
1 0
0 1
0 0
X Y X↔Y
1 1
1 0
0 1
0 0
Diese fünf Wahrheitswerttabellen müssen Sie von nun an beherrschen, bzw. genauer:
Wenn Sie die Wahrheitswerte der atomaren Aussagen X und Y kennen, müssen Sie
den Wahrheitswert der komplexen Ausdrücke ¬X, X∧Y, X∨Y, X→Y sowie X↔Y
angeben können.
Während viele Studierende die Tabellen für ¬, ∧, ∨ und ↔ jederzeit herleiten können,
haben die meisten Leute Schwierigkeiten mit der Implikation →. In diesem Fall lernen
Sie die Wahrheitswerte vorerst einfach auswendig. Trotz der Verwandtschaft mit den
natürlichsprachlichen Ausdrücken handelt es sich um ein formales System, und die
Bedeutung der Operatoren ist durch Konvention festgelegt.
Übungen: Komplexe Aussagen
a) Überlegen Sie: Wie bestimmen Sie den Wahrheitswert von (X → Y) ∨ (X ∧ ¬Y)?
b) Packen Sie noch mal Pauls Kiste für die Implikation. Welche der folgenden Eigenschaften
muss trotz aller Vielfalt jede der Figuren erfüllen, die Sie einpacken? Kennzeichnen Sie
jeden Satz als „wahr“ oder „falsch“.
wahr falsch Jede Figur muss … sein.
… dreieckig …
… schwarz …
… kreisförmig …
… nicht dreieckig …
… nicht weiß …
… kreisförmig und schwarz …
… dreieckig und schwarz …
… nicht zugleich dreieckig und weiß …
… nicht zugleich dreieckig und schwarz …
… nicht zugleich kreisförmig und schwarz …
… weiß oder kreisförmig …
… schwarz oder dreieckig …
… schwarz oder kreißförmig …
… schwarz oder nicht dreieckig …
… nicht zugleich dreieckig und nicht schwarz …
Katarina Klein GK Formale Grundlagen (WS 2007/08) 5/5