Keplersche Gesetze.

Max Camenzind
Senioren-Uni
Würzburg @ SS 2012
Newtons Gravitation
Kepler-Gesetze

Die Griechen
Aristoteles (384 BC – 322 BC) Claudius Ptolemäus (AD 83 – c.168)

Kopernicus und Tycho
Nicolaus Kopernicus (1473 - 1543) Tycho Brahe (1546 - 1601)

Kopernicus (1543)
Ausgangspunkt: Modell von
Ptolemäus konnte die
Beobachtungen nicht erklären.
Das Modell basierte nicht nur auf
Kreisbahnen.
Kopernikus führte deshalb das
heliozentrische Modell ein.
erklärt auf natürliche Weise die
retrograde Bewegung des Mars.
das Modell erwies sich jedoch
nicht als besser im Vergleich zum
geozentrischen Modell, da
Kopernicus wiederum Epizykel
einführen musste.

Übersicht
• Unser Planetensystem
Vielkörpersystem, kann in guter
Näherung reduziert werden auf
2-Körpersystem + Störungen
• Das Zweikörpersystem kann auf ein 1-
Körpersystem reduziert werden.
• Newton erklärt Keplersche Gesetze.
• Einige Anwendungen: Planetenmassen
• Zum 3-Körper Problem Lagrange-
Punkte Trojaner des Jupiter.
• Einstein korrigiert 1915 Kepler-Gesetze.

The Copernicus Solar System
Image: Courtesy of tychobrahe.com
Tycho Brahe's Uraniaborg
Sternwarte und 90 Grad
Sternen-Quadrant

Kepler und Galileo
Johannes Kepler (1571 - 1630) Galileo Galilei (1564 - 1642)

Kepler verändert die Welt
• Kepler formulierte die Geometrie und
Kinematik der Planetenbahnen in drei
Gesetzen, von denen er die beiden ersten
relativ rasch fand (Astronomia Nova,
„Neue Astronomie“, 1609). Die Suche
nach dem dritten dauerte hingegen –
einschließlich mehrerer Irrwege über
Korbbögen – ein Jahrzehnt, er fand es
Mitte 1618 (Harmonices Mundi,
‚Weltharmonik‘, publiziert 1619).

* 27. Dez. 1571
Weil der Stadt
1600: Trifft Tycho Brahe;
1601: Imperial
Mathematicus
1594-1600: Lehrer für Astronomie & Mathematik
an der Protestantischen Schule in Graz

in Prag

Kepler publiziert Tycho Brahes Daten 1627 in den „Rudolphinischen Tafeln“

Keplersche Gesetze im Sonnen-System
Johannes Kepler (1571-1601) erbte die
Beobachtungen von Tycho Brahe (1546-1601)
über die Planetenbahnen um die Sonne.
Daraus folgerte er die Keplerschen Gesetze:
1. Jeder Planet läuft auf einer elliptischen Bahn
mit der Sonne im Brennpunkt der Ellipse.
2. In gleichenZeitintervallen überstreicht der Radius
gleiche Flächen V unterschiedlich!
2 3
P1²/P2² = a1³/a2³ P: Umlaufzeit
3. P a
Isaac Newton (1686) leitete Kepler Gesetze her.
Kepler
(Yerkes Obs.)
Newton

Konstruktion von Ellipsen

1. Gesetz: Bahnen Ellipsen
Entfernung zum
Brennpunkt = R 2
Großer Durchmesser
Entfernung zum
Brennpunkt = R 1
R 1 + R 2 = Großer Durchmesser 2a

Planetenbahnen sind Ellipsen
Perihel
a(1-e)
Planetenbahn
Halbachse
Sonne a(1+e)
Aphel

Eigenschaften der Ellipsen
Brennpunkt
Semilatus Rectum
p = a (1 – e²)

schnell
2. Gesetz: Flächensatz
langsam
Die von der Sonne zum Planeten
gezogene Verbindungslinie überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen.

1618:
1619:
3.
Third
Gesetz
Law
der
of
Planetenbewegung
Planetary Motion

3. Gesetz der Umlaufzeiten
Das Verhältnis aus den 3. Potenzen der
großen Halbachsen und den Quadraten
der Umlaufzeiten ist für alle Planeten
konstant.
T 1
a 1
(a 1 / a 2) 3 = (T 1 / T 2) 2
T 2 /a 3 = C = Konstante für jedes Sternsystem
a 2
T 2

Kepler 3
4 innere Planeten
P 1² / P 2² = a 1³ / a 2³
(P/Jahren)² = (a/AE)³
4 äußere Planeten

Galileo Galilei – der Experimentator
Erforschte Natur mittels
Experimenten (Fallgesetze) und
nicht durch Studium der
Schriften des Aristoteles.
Wesentliche Publikationen:
• Sidereus Nuntius (1610)
• Dialog über die zwei
Weltsysteme (1632).
Aufgrund dieser Diskussion
“Kopernikus vs Ptolemäus”
Bann durch die Kirche (1633).
(1564–1642)

Als Galilei seine Kugeln
die schiefe Ebene
herunterrollen ließ
So ging allen Naturforschern
ein Licht auf:
Die Natur, das Experiment
ist der Richter über seine
Entwürfe der Vernunft
Immanuel Kant

Sidereus Nuntius (1610) Dialogo (1632)

• * in Pisa, Toscana
• Kinheit in Florenz,
Toscana
• Studien an der
Universität Pisa
• Beginnt Lehre in Pisa
• Position in Padua,
Provinz von Venedig
• Bleibt für 18 Jahre in
Padua.
Galilei’s Stationen

• Kehrt 1610 nach
Florenz zurück unter
Cosimo II.
• 1633: Tribunal Rom
• Ab 1633: Haus-
Arrest in Arcetri,
nahe Florenz
• 1637: verliert das
Augenlicht
• 1992: Bann für
Galilei aufgehoben
durch Papst Paul II.
Galilei’s Stationen (2)

Galilei Relativitätsprinzip
Naturgesetze haben für alle Beobachter
dieselbe Form Galilei Transformation
Er argumentierte damit,
dass ein unter Deck eines
unbeschleunigten Schiffes
befindlicher Beobachter
aus den Vorgängen um
ihn herum
nicht erschließen kann,
ob sich das Schiff in
Bewegung befindet
oder nicht.
t´ = t
x´ = x - v*t
d²x´/dt² = d²x/dt²
2 IS starten zu Zeit
t = t´ = 0 am
selben Punkt

Isaac Newton gibt Erklärung
Die Keplerschen Gesetze gelten für jedes
Planetensystem (z.B. Erde-Mond), aber
auch für Doppelsternsysteme.
Allerdings erklärte Kepler nur, wie sich die
Planeten bewegen, nicht aber warum.
Erst Newton (1687 in Principia) konnte
durch sein Gravitationsgesetz zeigen,
welche Kraft für die Planetenbewegung
verantwortlich ist:
F = - G (m 1 • m 2) / r 2

Isaac Newton
brachte die damals
bekannte Physik
in ein System von Gleichungen,
aus denen sich alle Einzelphänomene
(deduktiv) ableiten ließen.

Newton und Lagrange
Isaac Newton (1643 - 1727) Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Isaac
Newton
1687

1. Gesetz: Trägheitsprinzip
Ein Körper bleibt in Ruhe oder
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit,
wenn keine Kraft
auf ihn wirkt.
F 0
dv
a 0
dt
2. Gesetz: Aktionsprinzip
Die zeitliche Änderung des
Impulses ist proportional zur
äußeren Kraft, die auf den
Körper wirkt.
Impuls :
p mv
Newtonsche Gesetze
F
ma
mv
mr
Definition der Krafteinheit 1 Newton:
m
F ma
1N 1kg
2
s
3. Gesetz: actio = reactio
Bei Wechselwirkung zweier Körper
ist die Kraft, die auf den ersten Körper
wirkt umgekehrt gleich der Kraft, die
der zweite auf den ersten ausübt.
F F2
1
F
2
F
1

Raumsonden fliegen konst Geschw.
Geschwindigkeit: 17 km/s = 3,6 AE/Jahr

Isaac Newton
Gravitation 1687
Alle Körper ziehen sich an

Gravitation
der Erde
gilt überall

Messung
Gravitations-
konstante
-
Torsionswaage
G = 6,67384x10 -11
m³/kg s²

Gravitationskraft
gilt auch im Sonnensystem

Bewegungsgleichungen mit Gravitation
2. Newtonsches Gesetz:
d
2
r r r
i k i
i
dt
2 i k
r
3
ki ik
m Gm m
r r r
ik i k
Die Anfangsbedingungen r i(t0) andr i(t0)
bestimmen
die zeitliche Entwicklung des Systems [Computer] eindeutig .

Himmelsmechanik im Sonnensystem
Betrachte die Sonne und ihre 8 Planeten. Der Orbit jedes Planeten i
folgt aus der Newtonschen Bewegungsgleichung
zusammen mit der Summe aller Kräfte
r
m r Gm
m GM m
X
ik
i
i i
ki i k
r
3
ik
i
r
3
i
Planet-Planet Wechselwirkung sehr gering
wird störungstheoretisch behandelt
r
Wechselwirkung
Sonne - Planet

Reduzierte Masse:
m = m 1 m 2 /(m 1 + m 2)
träge Masse
2-Körper
Reduktion

2. Keplersches Gesetz: Flächensatz, Drehimpulserhaltung
Drehimpulserhaltung:
Die Fläche:
vr r
d
dr
dF
Planet
Der Radiusvektor Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen
in gleichen Zeitintervallen.

1. Keplersches Gesetz: Bahnen sind geschlossene Ellipsen
Ansatz: Bahnen mit Exzentrizität e < 1 sind geschlossene Ellipsen
Perihel
Aphel
rp
p
a
r
b
a
Große Halbachse:
1 p
a r r
2 1 e
p a 2

“Herleitung”
m = m 1m 2/(m 1+m 2)
Reduzierte Masse
M = m 1 + m 2
Totale Masse

Ellipsenparameter als Funktion von E und J

Geschwindigkeit als
Funktion vom Abstand

Bahnstörungen
Drehung Apsidenlinie

Drehung der Apsidenlinie
360 Grad in 112.000 Jahren
Hat vielleicht mit Eiszeitzyklen zu tun

Anwendung Kepler
Doppelsterne / Sirius A+B

6 Bahnelemente
a, e, i, W,w,T 0

Erhaltung der Fläche:
3. Keplersches Gesetz: Umlaufzeiten
4
T a
G M m
2
2 3
2
b a1e Definition von p: Semilatus Rectum
(3. Keplersches Gesetz)

Bahn des Kometen Halley – langgestreckte Ellipse

Unser Planetensystem
Planet Bahnradius Periode in Radius bez. Rotation Länge Neigung
AE Tagen / Jahren Erde Periode “Tag” Achse
Merkur 0.387 88 d 0.38 58 d 176 d 2 o
Venus 0.723 225 d 0.95 -243 d 117 d 177.3 o
Erde 1.00 1 a 1.00 24 h 23.5 o
Mars 1.52 1.88 a 0.53 24 h+39m 25.2 o
Jupiter 5.20 5.20 a 11.2 9 h+55m 3.1 o
Saturn 9.45 29.5 a 9.45 10 h+14m 26.7 o
Uranus 19.2 84.0 a 4.01 -16 h+30m 97.8 o
Neptun 30.1 164.8 a 3.88 19 h+6m 29.6 o
[Pluto 39.5 248.6 a 0.18 -6.39 d 118 o ]

E – e sinE = M
Mittlere M, exzentrische E
M = 2(t – T 0)/P
und wahre Anomalie q
tan q/2 = sqrt[(1+e)/(1-e)] tan E/2

Eingeschränktes 3-Körper Problem

Lagrange-Punkte
Zentrifugalkraft = Gravitation

Lagrange-Punkte

Erde-Mond Jacobi Konst

Lagrange-Punkte
m 1 = 2 m 2

Lagrange Punkte Erde-Sonne
E – L 2
~ 1,5 Mio km
Raumteleskope
werden
in L1 und L2
deponiert:
SOHO,
WMAP,
Herschel,
Planck,
JWST.

Lagrange Punkte Jupiter-Sonne
> 400.000
Asteroiden

Sonnensystem 12.2.2010
Trojaner

Asteroiden im Sonnensystem
Mars
Verteilunng der Halbachsen
meisten zwischen Mars
und Jupiter: 2,1 – 3,3 AE
Kirkwood-Lücken – gewisse
Bahnen sind nicht populiert
Resonanzen mit
Jupiterbahn
Jupiter
Trojaner

Resonanzen mit Jupiterbahn

Zusammenfassung
• Planetensystem: 4 erdähnliche („rocky“) Planeten
& 4 Gasplaneten, Asteroiden, Kometen, …
Gravitationskraft dominiert im Sonnensystem.
• Planetenbahnen sind in guter Näherung
Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt, gestört
durch die andern Planeten Apsidendrehung.
• 3 Kepler-Gesetze folgen aus newtonscher
Mechanik Energie- und Drehimpulserhaltung.
• Bahnen kleiner Körper und Raumfahrzeuge
folgen eingeschränktem 3-Körper Problem
Roche-Flächen mit 5 Lagrange-Punkten.
• Moderne Raumteleskope werden im L 2 des Erde-
Sonne Systems geparkt: WMAP, Herschel, …
• Einstein korrigierte 1915 newtonsche Gravitation
Periheldrehung von Merkur: 43´´ pro Jh.