Keplersche Gesetze.
Keplersche Gesetze.
Keplersche Gesetze.
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Max Camenzind<br />
Senioren-Uni<br />
Würzburg @ SS 2012<br />
Newtons Gravitation<br />
Kepler-<strong>Gesetze</strong>
Die Griechen<br />
Aristoteles (384 BC – 322 BC) Claudius Ptolemäus (AD 83 – c.168)
Kopernicus und Tycho<br />
Nicolaus Kopernicus (1473 - 1543) Tycho Brahe (1546 - 1601)
Kopernicus (1543)<br />
Ausgangspunkt: Modell von<br />
Ptolemäus konnte die<br />
Beobachtungen nicht erklären.<br />
Das Modell basierte nicht nur auf<br />
Kreisbahnen.<br />
Kopernikus führte deshalb das<br />
heliozentrische Modell ein.<br />
erklärt auf natürliche Weise die<br />
retrograde Bewegung des Mars.<br />
das Modell erwies sich jedoch<br />
nicht als besser im Vergleich zum<br />
geozentrischen Modell, da<br />
Kopernicus wiederum Epizykel<br />
einführen musste.
Übersicht<br />
• Unser Planetensystem<br />
Vielkörpersystem, kann in guter<br />
Näherung reduziert werden auf<br />
2-Körpersystem + Störungen<br />
• Das Zweikörpersystem kann auf ein 1-<br />
Körpersystem reduziert werden.<br />
• Newton erklärt <strong>Keplersche</strong> <strong>Gesetze</strong>.<br />
• Einige Anwendungen: Planetenmassen<br />
• Zum 3-Körper Problem Lagrange-<br />
Punkte Trojaner des Jupiter.<br />
• Einstein korrigiert 1915 Kepler-<strong>Gesetze</strong>.
The Copernicus Solar System<br />
Image: Courtesy of tychobrahe.com<br />
Tycho Brahe's Uraniaborg<br />
Sternwarte und 90 Grad<br />
Sternen-Quadrant
Kepler und Galileo<br />
Johannes Kepler (1571 - 1630) Galileo Galilei (1564 - 1642)
Kepler verändert die Welt<br />
• Kepler formulierte die Geometrie und<br />
Kinematik der Planetenbahnen in drei<br />
<strong>Gesetze</strong>n, von denen er die beiden ersten<br />
relativ rasch fand (Astronomia Nova,<br />
„Neue Astronomie“, 1609). Die Suche<br />
nach dem dritten dauerte hingegen –<br />
einschließlich mehrerer Irrwege über<br />
Korbbögen – ein Jahrzehnt, er fand es<br />
Mitte 1618 (Harmonices Mundi,<br />
‚Weltharmonik‘, publiziert 1619).
* 27. Dez. 1571<br />
Weil der Stadt<br />
1600: Trifft Tycho Brahe;<br />
1601: Imperial<br />
Mathematicus<br />
1594-1600: Lehrer für Astronomie & Mathematik<br />
an der Protestantischen Schule in Graz
in Prag
Kepler publiziert Tycho Brahes Daten 1627 in den „Rudolphinischen Tafeln“
<strong>Keplersche</strong> <strong>Gesetze</strong> im Sonnen-System<br />
Johannes Kepler (1571-1601) erbte die<br />
Beobachtungen von Tycho Brahe (1546-1601)<br />
über die Planetenbahnen um die Sonne.<br />
Daraus folgerte er die <strong>Keplersche</strong>n <strong>Gesetze</strong>:<br />
1. Jeder Planet läuft auf einer elliptischen Bahn<br />
mit der Sonne im Brennpunkt der Ellipse.<br />
2. In gleichenZeitintervallen überstreicht der Radius<br />
gleiche Flächen V unterschiedlich!<br />
2 3<br />
P1²/P2² = a1³/a2³ P: Umlaufzeit<br />
3. P a<br />
Isaac Newton (1686) leitete Kepler <strong>Gesetze</strong> her.<br />
Kepler<br />
(Yerkes Obs.)<br />
Newton
Konstruktion von Ellipsen
1. Gesetz: Bahnen Ellipsen<br />
Entfernung zum<br />
Brennpunkt = R 2<br />
Großer Durchmesser<br />
Entfernung zum<br />
Brennpunkt = R 1<br />
R 1 + R 2 = Großer Durchmesser 2a
Planetenbahnen sind Ellipsen<br />
Perihel<br />
a(1-e)<br />
Planetenbahn<br />
Halbachse<br />
Sonne a(1+e)<br />
Aphel
Eigenschaften der Ellipsen<br />
Brennpunkt<br />
Semilatus Rectum<br />
p = a (1 – e²)
schnell<br />
2. Gesetz: Flächensatz<br />
langsam<br />
Die von der Sonne zum Planeten<br />
gezogene Verbindungslinie überstreicht in<br />
gleichen Zeiten gleiche Flächen.
1618:<br />
1619:<br />
3.<br />
Third<br />
Gesetz<br />
Law<br />
der<br />
of<br />
Planetenbewegung<br />
Planetary Motion
3. Gesetz der Umlaufzeiten<br />
Das Verhältnis aus den 3. Potenzen der<br />
großen Halbachsen und den Quadraten<br />
der Umlaufzeiten ist für alle Planeten<br />
konstant.<br />
T 1<br />
a 1<br />
(a 1 / a 2) 3 = (T 1 / T 2) 2<br />
T 2 /a 3 = C = Konstante für jedes Sternsystem<br />
a 2<br />
T 2
Kepler 3<br />
4 innere Planeten<br />
P 1² / P 2² = a 1³ / a 2³<br />
(P/Jahren)² = (a/AE)³<br />
4 äußere Planeten
Galileo Galilei – der Experimentator<br />
Erforschte Natur mittels<br />
Experimenten (Fallgesetze) und<br />
nicht durch Studium der<br />
Schriften des Aristoteles.<br />
Wesentliche Publikationen:<br />
• Sidereus Nuntius (1610)<br />
• Dialog über die zwei<br />
Weltsysteme (1632).<br />
Aufgrund dieser Diskussion<br />
“Kopernikus vs Ptolemäus” <br />
Bann durch die Kirche (1633).<br />
(1564–1642)
Als Galilei seine Kugeln<br />
die schiefe Ebene<br />
herunterrollen ließ<br />
So ging allen Naturforschern<br />
ein Licht auf:<br />
Die Natur, das Experiment<br />
ist der Richter über seine<br />
Entwürfe der Vernunft<br />
Immanuel Kant
Sidereus Nuntius (1610) Dialogo (1632)
• * in Pisa, Toscana<br />
• Kinheit in Florenz,<br />
Toscana<br />
• Studien an der<br />
Universität Pisa<br />
• Beginnt Lehre in Pisa<br />
• Position in Padua,<br />
Provinz von Venedig<br />
• Bleibt für 18 Jahre in<br />
Padua.<br />
Galilei’s Stationen
• Kehrt 1610 nach<br />
Florenz zurück unter<br />
Cosimo II.<br />
• 1633: Tribunal Rom<br />
• Ab 1633: Haus-<br />
Arrest in Arcetri,<br />
nahe Florenz<br />
• 1637: verliert das<br />
Augenlicht<br />
• 1992: Bann für<br />
Galilei aufgehoben<br />
durch Papst Paul II.<br />
Galilei’s Stationen (2)
Galilei Relativitätsprinzip<br />
Naturgesetze haben für alle Beobachter<br />
dieselbe Form Galilei Transformation<br />
Er argumentierte damit,<br />
dass ein unter Deck eines<br />
unbeschleunigten Schiffes<br />
befindlicher Beobachter<br />
aus den Vorgängen um<br />
ihn herum<br />
nicht erschließen kann,<br />
ob sich das Schiff in<br />
Bewegung befindet<br />
oder nicht.<br />
t´ = t<br />
x´ = x - v*t<br />
d²x´/dt² = d²x/dt²<br />
2 IS starten zu Zeit<br />
t = t´ = 0 am<br />
selben Punkt
Isaac Newton gibt Erklärung<br />
Die <strong>Keplersche</strong>n <strong>Gesetze</strong> gelten für jedes<br />
Planetensystem (z.B. Erde-Mond), aber<br />
auch für Doppelsternsysteme.<br />
Allerdings erklärte Kepler nur, wie sich die<br />
Planeten bewegen, nicht aber warum.<br />
Erst Newton (1687 in Principia) konnte<br />
durch sein Gravitationsgesetz zeigen,<br />
welche Kraft für die Planetenbewegung<br />
verantwortlich ist:<br />
F = - G (m 1 • m 2) / r 2
Isaac Newton<br />
brachte die damals<br />
bekannte Physik<br />
in ein System von Gleichungen,<br />
aus denen sich alle Einzelphänomene<br />
(deduktiv) ableiten ließen.
Newton und Lagrange<br />
Isaac Newton (1643 - 1727) Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
Isaac<br />
Newton<br />
1687
1. Gesetz: Trägheitsprinzip<br />
Ein Körper bleibt in Ruhe oder<br />
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit,<br />
wenn keine Kraft<br />
auf ihn wirkt.<br />
<br />
<br />
F 0 <br />
dv<br />
<br />
a 0<br />
dt<br />
2. Gesetz: Aktionsprinzip<br />
Die zeitliche Änderung des<br />
Impulses ist proportional zur<br />
äußeren Kraft, die auf den<br />
Körper wirkt.<br />
Impuls :<br />
<br />
p mv<br />
Newtonsche <strong>Gesetze</strong><br />
<br />
F<br />
ma<br />
mv<br />
mr<br />
<br />
<br />
<br />
Definition der Krafteinheit 1 Newton:<br />
<br />
m<br />
F ma<br />
1N 1kg<br />
2<br />
s<br />
3. Gesetz: actio = reactio<br />
Bei Wechselwirkung zweier Körper<br />
ist die Kraft, die auf den ersten Körper<br />
wirkt umgekehrt gleich der Kraft, die<br />
der zweite auf den ersten ausübt.<br />
F F2 <br />
1<br />
<br />
F<br />
2<br />
<br />
F<br />
1
Raumsonden fliegen konst Geschw.<br />
Geschwindigkeit: 17 km/s = 3,6 AE/Jahr
Isaac Newton <br />
Gravitation 1687<br />
Alle Körper ziehen sich an
Gravitation<br />
der Erde<br />
gilt überall
Messung<br />
Gravitations-<br />
konstante<br />
-<br />
Torsionswaage<br />
G = 6,67384x10 -11<br />
m³/kg s²
Gravitationskraft <br />
gilt auch im Sonnensystem
Bewegungsgleichungen mit Gravitation<br />
2. Newtonsches Gesetz:<br />
d<br />
2<br />
r r r<br />
i k i<br />
i<br />
dt<br />
2 i k<br />
r<br />
3<br />
ki ik<br />
m Gm m<br />
r r r<br />
ik i k<br />
Die Anfangsbedingungen r i(t0) andr i(t0)<br />
bestimmen<br />
die zeitliche Entwicklung des Systems [Computer] eindeutig .
Himmelsmechanik im Sonnensystem<br />
Betrachte die Sonne und ihre 8 Planeten. Der Orbit jedes Planeten i<br />
folgt aus der Newtonschen Bewegungsgleichung<br />
zusammen mit der Summe aller Kräfte<br />
r<br />
m r Gm<br />
m GM m<br />
X<br />
ik<br />
i<br />
i i<br />
ki i k<br />
r<br />
3<br />
ik<br />
i<br />
r<br />
3<br />
i<br />
Planet-Planet Wechselwirkung sehr gering<br />
wird störungstheoretisch behandelt<br />
r<br />
Wechselwirkung<br />
Sonne - Planet
Reduzierte Masse:<br />
m = m 1 m 2 /(m 1 + m 2)<br />
träge Masse<br />
2-Körper<br />
Reduktion
2. <strong>Keplersche</strong>s Gesetz: Flächensatz, Drehimpulserhaltung<br />
Drehimpulserhaltung:<br />
Die Fläche:<br />
vr r<br />
d<br />
dr<br />
dF<br />
Planet<br />
Der Radiusvektor Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen<br />
in gleichen Zeitintervallen.
1. <strong>Keplersche</strong>s Gesetz: Bahnen sind geschlossene Ellipsen<br />
Ansatz: Bahnen mit Exzentrizität e < 1 sind geschlossene Ellipsen<br />
Perihel<br />
Aphel<br />
rp<br />
<br />
p<br />
a<br />
r<br />
b<br />
a<br />
Große Halbachse:<br />
1 p<br />
a r r <br />
2 1 e<br />
p a 2
“Herleitung”<br />
m = m 1m 2/(m 1+m 2)<br />
Reduzierte Masse<br />
M = m 1 + m 2<br />
Totale Masse
Ellipsenparameter als Funktion von E und J
Geschwindigkeit als<br />
Funktion vom Abstand
Bahnstörungen<br />
Drehung Apsidenlinie
Drehung der Apsidenlinie<br />
360 Grad in 112.000 Jahren<br />
Hat vielleicht mit Eiszeitzyklen zu tun
Anwendung Kepler<br />
Doppelsterne / Sirius A+B
6 Bahnelemente<br />
a, e, i, W,w,T 0
Erhaltung der Fläche:<br />
3. <strong>Keplersche</strong>s Gesetz: Umlaufzeiten<br />
4<br />
T a<br />
G M m<br />
2<br />
2 3<br />
<br />
2<br />
b a1e Definition von p: Semilatus Rectum<br />
(3. <strong>Keplersche</strong>s Gesetz)
Bahn des Kometen Halley – langgestreckte Ellipse
Unser Planetensystem<br />
Planet Bahnradius Periode in Radius bez. Rotation Länge Neigung<br />
AE Tagen / Jahren Erde Periode “Tag” Achse<br />
Merkur 0.387 88 d 0.38 58 d 176 d 2 o<br />
Venus 0.723 225 d 0.95 -243 d 117 d 177.3 o<br />
Erde 1.00 1 a 1.00 24 h 23.5 o<br />
Mars 1.52 1.88 a 0.53 24 h+39m 25.2 o<br />
Jupiter 5.20 5.20 a 11.2 9 h+55m 3.1 o<br />
Saturn 9.45 29.5 a 9.45 10 h+14m 26.7 o<br />
Uranus 19.2 84.0 a 4.01 -16 h+30m 97.8 o<br />
Neptun 30.1 164.8 a 3.88 19 h+6m 29.6 o<br />
[Pluto 39.5 248.6 a 0.18 -6.39 d 118 o ]
E – e sinE = M<br />
Mittlere M, exzentrische E<br />
M = 2(t – T 0)/P<br />
und wahre Anomalie q<br />
tan q/2 = sqrt[(1+e)/(1-e)] tan E/2
Eingeschränktes 3-Körper Problem
Lagrange-Punkte<br />
Zentrifugalkraft = Gravitation
Lagrange-Punkte
Erde-Mond Jacobi Konst
Lagrange-Punkte<br />
m 1 = 2 m 2
Lagrange Punkte Erde-Sonne<br />
E – L 2<br />
~ 1,5 Mio km<br />
Raumteleskope<br />
werden<br />
in L1 und L2<br />
deponiert:<br />
SOHO,<br />
WMAP,<br />
Herschel,<br />
Planck,<br />
JWST.
Lagrange Punkte Jupiter-Sonne<br />
> 400.000<br />
Asteroiden
Sonnensystem 12.2.2010<br />
Trojaner
Asteroiden im Sonnensystem<br />
Mars<br />
Verteilunng der Halbachsen<br />
meisten zwischen Mars<br />
und Jupiter: 2,1 – 3,3 AE<br />
Kirkwood-Lücken – gewisse<br />
Bahnen sind nicht populiert<br />
Resonanzen mit<br />
Jupiterbahn<br />
Jupiter<br />
Trojaner
Resonanzen mit Jupiterbahn
Zusammenfassung<br />
• Planetensystem: 4 erdähnliche („rocky“) Planeten<br />
& 4 Gasplaneten, Asteroiden, Kometen, …<br />
Gravitationskraft dominiert im Sonnensystem.<br />
• Planetenbahnen sind in guter Näherung<br />
Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt, gestört<br />
durch die andern Planeten Apsidendrehung.<br />
• 3 Kepler-<strong>Gesetze</strong> folgen aus newtonscher<br />
Mechanik Energie- und Drehimpulserhaltung.<br />
• Bahnen kleiner Körper und Raumfahrzeuge<br />
folgen eingeschränktem 3-Körper Problem<br />
Roche-Flächen mit 5 Lagrange-Punkten.<br />
• Moderne Raumteleskope werden im L 2 des Erde-<br />
Sonne Systems geparkt: WMAP, Herschel, …<br />
• Einstein korrigierte 1915 newtonsche Gravitation<br />
Periheldrehung von Merkur: 43´´ pro Jh.