Dokument_1.pdf (3044 KB) - OPUS Augsburg - Universität Augsburg

3. Schritt: Extraktion der Dimensionen
Die Korrespondenztabelle der standardisierten Werte wird einer „Singulärwertzerlegung“
unterzogen. Dazu werden folgende Komponenten miteinander multipliziert: 1. Matrix der
Zeilenelemente (U), 2. transponierte Matrix der Spaltenelemente (V’), 3. Diagonalmatrix mit
Singularwerten (S). Die standardisierte Z-Matrix ergibt sich dann mit: Z= U . S . V’.
Der Singulärwert liefert ein Maß für die Streuung (Information), die eine Dimension repräsentiert.
Die Summe der quadrierten Singulärwerte (S²K) ergibt wiederum die totale Inertia.
Daraus lassen sich dann die Eigenwertanteile (EAK) berechnen mit: EAK = S²K/T. Die Eigenwertanteile
geben an, welchen Anteil der gesamten Streuung der Daten eine Dimension erklären
kann (vgl. Backhaus et al. 2003, S. 695f.).
4. Schritt: Normalisierung der Daten (Reskalierung)
Hier gilt es, aus den Matrizen U und V die endgültigen Koordinaten, die im Korrespondenzraum
abgebildet werden, zu gewinnen. Dabei werden die Singulärwerte (S²K) als Gewichte
für die Dimensionen und die jeweiligen Massen als Gewichte der Zeilen und Spalten
herangezogen. Dazu werden die Matrizen U und V transformiert. Die Koordinatenpunkte sind
Repräsentationen der Zeilen- und Spaltenprofile. Die Distanz zwischen den Punkten und dem
Koordinatenursprung (Zentroid) gibt an, inwieweit sich das betreffende Profil vom Durchschnittsprofil
unterscheidet (vgl. ebd., S. 698f., 709).
Eine Dimension wird in der Grafik als Koordinatenachse dargestellt. Für die Extraktion gilt
allgemein, dass die erste Dimension einen maximalen Anteil der in den Daten vorhandenen
Streuung aufweist. Die zweite Dimension nimmt einen maximalen Anteil der restlichen
Streuung auf usw. Das heißt, dass die Relevanz der Dimensionen schrittweise abnimmt (vgl.
Backhaus et al. 2003, S. 697). Die maximale Anzahl der zu extrahierenden Dimensionen (K)
einer (I x J)-Matrix wird nach folgenden zwei Varianten entschieden:
K = Min {I, J} – 1 oder K = Zahl der Merkmalsausprägungen über alle Variablen abzüglich
der Zahl der Variablen.
Grundsätzlich sollen nur so viele ausgewählt werden, wie zum Erklären des größten Teils der
Streuung notwendig ist (vgl. Meulman/Heiser 2004, S. 70).
Grundsätzlich existieren mehrere Arten der Normalisierung der Koordinaten. In der Literatur
wird von zwei Formen gesprochen: der symmetrischen und der asymmetrischen. Die Wahl
der Form hat Auswirkungen auf die Darstellung des Korrespondenzraums und auf die Interpretation
(siehe S. 47). Greenacre (1994) weist darauf hin, dass sich bei einer symmetrischen
45