Eigenständigkeitserklärung
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- Seite 4 und 5: Vorwort - 4 - Diese Maturarbeit ent
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- Seite 8 und 9: - 8 - einen Kraftstoss auf die Luft
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- Seite 30 und 31: 5.2.2 Einfluss der Flügelform - 30
- Seite 32 und 33: 6.2 Joukowski-Transformation - 32 -
- Seite 34 und 35: - 34 - Somit lässt sich eine kompl
- Seite 36 und 37: - 36 - Das Strömungspotential steh
- Seite 38 und 39: - 38 - Bewegt man den Mittelpunkt d
- Seite 40 und 41: © Damian Pang - 40 - Abbildung 6.1
- Seite 42 und 43: - 42 - Auswirkungen auf die Luftdic
- Seite 44 und 45: - 44 - Generell nimmt der Auftriebs
- Seite 46 und 47: 6.4.4 Wahl des Profils - 46 - Die P
- Seite 48 und 49: - 48 - Abbildung 6.20: Druckverteil
- Seite 50 und 51: 7.1.3 Vollkörper - 50 - Ob bei gro
Inhaltsverzeichnis<br />
Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 2<br />
Vorwort ....................................................................................................................... 4<br />
1. Einleitung................................................................................................................ 5<br />
2.1 Die Gravitationskraft.......................................................................................... 6<br />
2.2 Der Auftrieb....................................................................................................... 6<br />
2.2.1 Die Erzeugung von Auftrieb........................................................................6<br />
2.2.2 Definitionen................................................................................................. 7<br />
2.2.3 Der Impulssatz............................................................................................ 7<br />
2.2.4 Das Wechselwirkungsprinzip...................................................................... 8<br />
2.3 Der Widerstand ................................................................................................. 9<br />
2.3.1 Die Entstehung von Widerstand ................................................................. 9<br />
2.3.2 Experimentanordnung ..............................................................................10<br />
2.3.3 Die Querschnittsfläche ............................................................................. 11<br />
2.3.4 Die Körperform ......................................................................................... 12<br />
2.3.5 Die Oberfläche.......................................................................................... 12<br />
2.3.6 Diskussion der Ergebnisse ....................................................................... 13<br />
2.4 Der Schub....................................................................................................... 14<br />
2.5 Die Wirkung der vier Kräfte ............................................................................. 14<br />
3. Berechnung der Auftriebskraft.............................................................................. 16<br />
3.1 Bernoullische Gleichung ................................................................................. 16<br />
3.1.1 Daniel Bernoulli ........................................................................................ 16<br />
3.1.2 Die Bernoullische Gleichung..................................................................... 16<br />
3.1.3 Das Kontinuitätsgesetz............................................................................. 17<br />
3.2 Anwendung für den Tragflügel ........................................................................ 18<br />
3.2.1 Anwendungsprinzip .................................................................................. 18<br />
3.2.2 Experiment ............................................................................................... 19<br />
3.2.3 Berechnung des Auftriebs ........................................................................ 20<br />
4. Definitionen zur Berechnung des Auftriebs........................................................... 22<br />
4.1 Das Flugzeug.................................................................................................. 22<br />
4.1.1 Allgemeine Definitionen............................................................................ 22<br />
4.1.2 Geschwindigkeit ....................................................................................... 23<br />
4.2 Die Luftdichte � ............................................................................................... 24<br />
4.2.1 ISA – internationale ICAO Standartatmosphäre ....................................... 24<br />
4.2.2 Die Gaskonstante der Luft........................................................................ 25<br />
4.2.3 Standardisierte Luftdichte......................................................................... 27<br />
4.3 Der Auftriebskoeffizient................................................................................... 27<br />
4.3.1 Voraussetzung.......................................................................................... 27<br />
4.3.2 Berechnung .............................................................................................. 27<br />
5. Der Tragflügel....................................................................................................... 28<br />
5.1 Die Tragflügelform........................................................................................... 28<br />
5.1.1 Verschiedene Formen .............................................................................. 28<br />
5.1.2 Die Pfeilung .............................................................................................. 28<br />
5.1.3 Flügelneigung........................................................................................... 29<br />
5.2 Randwirbel ...................................................................................................... 29<br />
5.2.1 Entstehung und Wirkung .......................................................................... 29<br />
5.2.2 Einfluss der Flügelform............................................................................. 30<br />
5.2.3 Winglets.................................................................................................... 30<br />
6. Das Flügelprofil..................................................................................................... 31
6.1 Grundlagen ..................................................................................................... 31<br />
6.1.1 Definitionen am Profil ............................................................................... 31<br />
6.2 Joukowski-Transformation .............................................................................. 32<br />
6.2.1 Prinzip ...................................................................................................... 32<br />
6.2.2 Mathematische Herleitung........................................................................ 32<br />
6.3 Der Simulator .................................................................................................. 41<br />
6.3.1 Allgemeine Informationen.........................................................................41<br />
6.3.2 Genauigkeit .............................................................................................. 41<br />
6.4 Eigenschaften verschiedener Joukowski-Profile ............................................. 42<br />
6.4.1 Veränderung des Einstellwinkels.............................................................. 42<br />
6.4.2 Veränderung der Profilkrümmung............................................................. 44<br />
6.4.3 Veränderung der Profildicke ..................................................................... 45<br />
6.4.4 Wahl des Profils........................................................................................ 46<br />
7.1 Unser Modell................................................................................................... 49<br />
7.1.1 Ziel unseres Modells................................................................................. 49<br />
7.1.2 Technische Zeichnung ............................................................................. 49<br />
7.1.3 Vollkörper ................................................................................................. 50<br />
7.1.4 Grösse des Modells..................................................................................50<br />
7.1.5 Herstellung des Modells ........................................................................... 51<br />
7.2 Experimente.................................................................................................... 52<br />
7.2.1 Ziele.......................................................................................................... 52<br />
7.2.2 Auftrieb ..................................................................................................... 52<br />
7.2.3 Widerstand ............................................................................................... 54<br />
7.2.4 Diskussion der Messdaten........................................................................ 55<br />
8 Schlussdiskussion ................................................................................................. 57<br />
<strong>Eigenständigkeitserklärung</strong>....................................................................................... 58<br />
Bibliographie............................................................................................................. 59
Vorwort<br />
- 4 -<br />
Diese Maturarbeit entspringt unserer gemeinsamen Faszination des Fliegens. Wir<br />
wollten uns etwas genauer mit den komplexen physikalischen Vorgängen befassen,<br />
die wir in unvergesslichen Flugstunden hautnah selbst erlebten.<br />
Während dem Schreiben bemerkten wir jedoch, dass wir uns nicht nur auf die<br />
Aerodynamik beschränken können. So frischten wir unsere Chemie- und<br />
Meteorologiekenntnisse wieder auf, lernten die komplexen Zahlen kennen und<br />
machten sogar einen Ausflug in eine Fremdsprache, da uns zu gewissen Themen<br />
nur englische Literatur zur Verfügung stand.<br />
An dieser Stelle möchten wir auch Herr Reichlin von der „Heinrich Reichlin<br />
Décolletage & mech. Werkstatt“ herzlich danken, der uns zu den Materialkosten ein<br />
Modell aus Aluminium fräste.
- 5 -<br />
1. Einleitung<br />
Wer hat nicht schon einmal davon geträumt, die Welt von oben zu betrachten? In<br />
unserer Arbeit wollen wir uns mit dem Fliegen aus physikalischer Sicht befassen. Es<br />
soll folgende Fragestellung geklärt werden: „Welches Flügelprofil eignet sich für den<br />
Langsamflug?“<br />
Dabei sollen die Grundlagen der Flugmechanik theoretisch wie auch praktisch durch<br />
Experimente erläutert werden. Mit Hilfe eines Simulators, dessen Funktionsweise wir<br />
mathematisch herleiten, suchen wir dann ein Profil für den Langsamflug. In einem<br />
letzten Schritt erstellen wir ein Modell, mit dem wir einige Experimente durchführen.
- 6 -<br />
2. Die Kräfte an einem Flugzeug<br />
2.1 Die Gravitationskraft<br />
Fliegen zu können wie ein Vogel, scheint einer der ältesten Menschheitsträume zu<br />
sein. Während Schriftsteller bereits im Altertum utopische Helden wie Ikarus in die<br />
Lüfte steigen liessen, scheiterten in der Realität alle Versuche, einen Menschen<br />
kontrolliert durch das Element Luft zu steuern, bis in das 19. Jahrhundert 1 .<br />
Der Grund für das Scheitern war eine Kraft, die Isaac Newton (1643 – 1727) 2 als<br />
Gewichtskraft folgendermassen beschrieb:<br />
Formel 2.1: Gewichtskraft<br />
Die Erdbeschleunigung g ist Ortsabhängig. In unserer Arbeit rechnen wir mit einer<br />
m<br />
Erdbeschleunigung von g = 9.<br />
81 2 . Die Gewichtskraft wirkt vom Massenmittelpunkt<br />
s<br />
eines Objektes auf der Erde in Richtung Massenmittelpunkt der Erde.<br />
2.2 Der Auftrieb<br />
2.2.1 Die Erzeugung von Auftrieb<br />
Die Gewichtskraft kann der Mensch von sich aus nicht überwinden, er benötigt dazu<br />
ein Fluggerät, das eine Gegenkraft zur Gewichtskraft erzeugt. Diese Gegenkraft wird<br />
als Auftrieb 3 bezeichnet. Das Fluggerät kann auf drei Arten Auftrieb erzeugen:<br />
��Das Fluggerät ist leichter als die Luft, d.h. die vom Fluggerät verdrängte<br />
Luftmasse hat eine grössere Gewichtskraft als das Fluggerät (archimedischer<br />
oder statischer Auftrieb 4 , z.B. Heissluftballon)<br />
��Das Fluggerät erzeugt eine Schubkraft, die grösser als die Gewichtskraft des<br />
Fluggerätes ist (z.B. Rakete)<br />
��Das Fluggerät erzeugt in einer Vorwärtsbewegung, durch eine Ablenkung der<br />
Luft nach unten, einen aerodynamischen Auftrieb (z.B. Flächenflugzeug)<br />
1 Neues Grosses Lexikon in Farbe, Buch und Zeit Verlagsgesellschaft mbH, Köln 1995, S. 440<br />
2 Neues Grosses Lexikon in Farbe, S. 506<br />
3 Eichenberger Willy, Aerodynamik und Flugmechanik, Bundesamt für Zivilluftfahrt, Bern 1974, S.18<br />
4 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, Aero-Club der Schweiz, Luzern 2001,<br />
1 – 1 – 3 S. 4<br />
Gewichtskraft FG<br />
=<br />
Masse ⋅ Erdbeschleunigung<br />
= m ⋅ g<br />
(2.1)
- 7 -<br />
Fluggeräte, die leichter sind als Luft, haben ein sehr grosses Volumen und erzeugen<br />
dadurch einen sehr grossen Widerstand (vergleiche Kapitel 2.3). Sie können sich<br />
daher nur sehr langsam fortbewegen. Fluggeräte der zweiten Kategorie haben den<br />
Nachteil, dass sie sehr viel Energie verbrauchen, was ökologisch und ökonomisch<br />
nicht ideal ist. Aus diesen Gründen hat sich die aerodynamische Auftriebserzeugung<br />
in der Luftfahrt weitgehend durchgesetzt.<br />
Unsere Arbeit handelt im Wesentlichen ebenfalls von der aerodynamischen<br />
Auftriebserzeugung, die wir nun etwas genauer anschauen wollen.<br />
2.2.2 Definitionen<br />
Um einen aerodynamischen Auftrieb zu erzeugen, benötigt das Fluggerät eine<br />
Vorrichtung, um die Luft abzulenken, einen Tragflügel 5 . Wie wir später sehen<br />
werden, muss dieser Tragflügel eine gewisse Fläche aufweisen, um den<br />
erforderlichen Auftrieb zu erzeugen. Diese Fluggeräte heissen dementsprechend<br />
Flächenflugzeuge 6 .<br />
Das Wirkungsprinzip eines Tragflügels basiert auf dem dritten Newtonschen Axiom<br />
und dem Impulssatz.<br />
2.2.3 Der Impulssatz<br />
Um einen Impuls p , der als Masse m mit einer gerichteten Geschwindigkeit v<br />
definiert ist, um ∆ p zu ändern, benötigt es einen Kraftstoss: eine Kraft F die in einer<br />
Zeitspanne ∆t wirkt.<br />
p = m ⋅<br />
F ∆<br />
t = ∆<br />
Formel 2.2: Impuls und Kraftstoss 7<br />
Setzen wir den Ursprung des Koordinatennetzes in den Schwerpunkt unseres<br />
Flächenflugzeuges, bewegt sich, von unserem Standpunkt aus gesehen, nicht mehr<br />
das Flugzeug in der Luft, sondern die Luft um das Flugzeug. Durch die Lage und die<br />
Form der starren Tragflügel wird ein Teil der Luft nach unten abgelenkt. Da die Luft<br />
mit der Masse m eine vektorielle Geschwindigkeit V 1 aufweist, muss der Flügel<br />
5<br />
Guggiari, Bruno, Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, Ausgabe 02, Aero-Club der Schweiz, Luzern<br />
2001, Kapitel 2 – 0 S.1<br />
6<br />
Guggiari, Bruno, Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, 1 – 0 S.2<br />
7<br />
DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli Verlag AG, Zürich 2001, S. 84<br />
v<br />
p<br />
(2.2)
- 8 -<br />
einen Kraftstoss auf die Luft ausüben um sie abzulenken, also den Impuls zu ändern.<br />
Diese Kraft F Flügel ist dementsprechend definiert durch<br />
Abbildung 2.1: Kraftwirkung des Flügels auf die Luft<br />
F Flügel<br />
∆ p<br />
= .<br />
∆t<br />
2.2.4 Das Wechselwirkungsprinzip<br />
Aus dem Impulssatz alleine wird nicht klar, wie Auftrieb erzeugt werden soll. Um dies<br />
zu verstehen, befassen wir uns kurz mit dem Wechselwirkungsprinzip, das Isaac<br />
Newton in seinem Dritten Axiom festhielt:<br />
Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der Kraft F 21 ein, so wirkt<br />
stets der Körper 2 auf den Körper 1 mit einer gleich grossen,<br />
entgegengesetzt gerichteten Kraft 12 F ein8 .<br />
F = − F<br />
Formel 2.3: Drittes Newtonsche Axiom 8<br />
Wenn also der Tragflügel die Kraft F Flügel auf die Luft ausübt, muss die Luft ihrerseits<br />
eine Kraft mit der Grösse − FFlügel<br />
auf den Tragflügel ausüben. Es gilt:<br />
Formel 2.4: Wechselwirkung am Flügel<br />
8 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S. 83<br />
12<br />
21<br />
F =<br />
− F<br />
Flügel<br />
Luft<br />
© Damian Pang<br />
(2.3)<br />
(2.4)
- 9 -<br />
Wir haben Auftrieb als eine Kraft entgegen der Gravitationskraft definiert. Um diesen<br />
Auftrieb zu erhalten, müssen wir die Kraft F Luft , wie in Abbildung 2.2 dargestellt, in<br />
zwei Komponenten zerlegen: die Auftriebskraft entgegen der Gravitationskraft und<br />
die Widerstandskraft in einem rechten Winkel dazu. Es gilt :<br />
Formel 2.5: Wechselwirkung am Flügel<br />
Abbildung 2.2: Auftrieb und Widerstand<br />
Der Auftrieb ist also eine Teilkomponente der Reaktion auf die Ablenkung der Luft<br />
am Flügel. Bei der Erzeugung von Auftrieb entsteht eine Widerstandskraft, die wir im<br />
nächsten Kapitel behandeln möchten.<br />
2.3 Der Widerstand<br />
FLuft =<br />
FAuftrieb<br />
+ FWiders<br />
tan d<br />
© Damian Pang<br />
2.3.1 Die Entstehung von Widerstand<br />
Als Widerstand bezeichnen wir die Summe aller Kräfte, die entgegen der<br />
Flugrichtung wirken, also parallel zur vektoriellen Geschwindigkeit der Luft V 1 . Im<br />
Kapitel 2.2 haben wir gesehen, dass am Tragflügel ein Teil dieses Widerstands<br />
entsteht. Widerstandskräfte finden wir jedoch überall am Flugzeug: Die Strömung<br />
fliesst nicht durch das Flugzeug hindurch, sondern aussen herum. Das bedeutet,<br />
(2.5)
- 10 -<br />
dass die Strömung auch von den restlichen Teilen des Flugzeuges abgelenkt wird.<br />
Vernachlässigen wir dabei die verhältnismässig geringen Kraftkomponenten in<br />
Richtung des Auftriebs und der Gravitation, die sich gegenseitig beinahe aufheben,<br />
bleiben die Widerstandskräfte. Mit Hilfe einer Experimentreihe, wollen wir den<br />
Widerstand etwas genauer analysieren.<br />
2.3.2 Experimentanordnung<br />
In einem Experiment liessen wir verschiedene Körper mit einem Gebläse anströmen<br />
und massen dabei die Widerstandskraft. Abbildung 2.3 zeigt die<br />
Experimentanordnung.<br />
Abbildung 2.3: Experimentanordnung<br />
© Damian Pang
- 11 -<br />
Wir massen den Widerstand bei folgenden Körperformen:<br />
Tabelle 2.1: Verschiedene Körperformen<br />
Die Analyse dieses Vergleichs zeigt, dass die Widerstandskraft von drei Faktoren<br />
abhängig ist:<br />
2.3.3 Die Querschnittsfläche<br />
Die Tabelle 2.2 zeigt die Ergebnisse der Widerstandsmessung bei drei Kreisplatten<br />
mit unterschiedlichem Durchmesser relativ zur ersten Kreisplatte. Die Waage wurde<br />
vor jeder Messung auf 0.0 g gestellt, die Werte „Waaganzeige“ sind also bereits um<br />
das Eigengewicht der Platten korrigiert.<br />
Tabelle 2.2: Widerstand bei Kreisplatten mit unterschiedlichem Durchmesser<br />
© Damian Pang<br />
© Damian Pang
- 12 -<br />
Der Widerstand nimmt ungefähr proportional mit der Plattenfläche zu. Die Zunahme<br />
des Widerstands bei grösserer Querschnittsfläche konnten wir auch bei Messungen<br />
mit den fünf anderen Körperformen (siehe Tabelle 2.1) beobachten, allerdings<br />
konnten wir die ungefähr proportionale Zunahme nur bei der Kreisplatte feststellen.<br />
2.3.4 Die Körperform<br />
In einer weiteren Experimentreihe massen wir den Widerstand bei fünf<br />
verschiedenen Körpern die alle einen Durchmesser von 4.5 cm haben. Die Tabelle<br />
2.3 zeigt die Ergebnisse relativ zum Stromlinienkörper A:<br />
Tabelle 2.3: Widerstand bei unterschiedlichen Körpern<br />
Aus der Tabelle 2.3 geht hervor, dass der Widerstand sehr stark von der Körperform<br />
abhängt. Ändert sich die Lage eines Körpers gegenüber der Strömung, kann dies<br />
einen starken Einfluss auf den Widerstand haben (siehe Halbkugel A und<br />
Halbkugel B).<br />
2.3.5 Die Oberfläche<br />
Im letzten Experiment massen wir den Widerstand bei vier Körpern mit identischer<br />
Körperform. Je zwei Körper hatten dieselbe Querschnittsfläche, jedoch eine<br />
unterschiedliche Oberfläche. Die Abbildung 2.4 zeigt zwei Körper mit<br />
unterschiedlicher Oberfläche:<br />
© Damian Pang
- 13 -<br />
Abbildung 2.4: Körper mit unterschiedlicher Oberfläche<br />
Die Tabelle 2.4 zeigt den Widerstand der Körper mit „rauer“ Oberfläche jeweils relativ<br />
zu dem dazugehörigen Körper mit „glatter“ Oberfläche:<br />
Tabelle 2.4: Widerstand bei gleichen Körpern mit unterschiedlicher Oberfläche<br />
2.3.6 Diskussion der Ergebnisse<br />
Die Experimente wurden nicht unter Laborbedingung durchgeführt und dazu mit<br />
einem Gebläse, das nur annähernd eine gleichmässige Strömung erzeugt. Es muss<br />
deshalb mit einer grossen Ungenauigkeit gerechnet werden. Doch selbst unter<br />
Berücksichtigung einer hohen möglichen Fehlerzahl können drei wesentliche<br />
Faktoren, die den Widerstand beeinflussen, erkannt werden:
- 14 -<br />
��Der Widerstand nimmt mit zunehmender (grösster) Querschnittsfläche des<br />
angeströmten Körpers zu.<br />
��Der Widerstand hängt von der Form und der Lage eines Körpers gegenüber<br />
der Strömung ab.<br />
��Der Widerstand ist abhängig von der Oberfläche eines Körpers.<br />
Der Widerstand der am Flugzeug entsteht, muss ausgeglichen werden. Wir<br />
benötigen eine Kraft, die das Flugzeug antreibt: den Schub. Das nächste Kapitel<br />
befasst sich mit diesem Thema.<br />
2.4 Der Schub<br />
Um fliegen zu können, benötigen wir Auftrieb. Flächenflugzeuge können diesen<br />
Auftrieb nur in einer Vorwärtsbewegung erzeugen. Um eine Geschwindigkeit V x zu<br />
erreichen, muss die Masse m des Flugzeuges um a beschleunigt werden.<br />
Formel 2.6: Kraft<br />
Diese Beschleunigung der Flugzeugmasse benötigt eine Kraft; die Antriebskraft oder<br />
auch Schub genannt wird. Hat das Flugzeug die gewünschte Geschwindigkeit<br />
erreicht, benötigt es den Schub als Gegenkraft zum Widerstand, um diese<br />
Geschwindigkeit beibehalten zu können. Wir wollen hier nicht genauer auf die<br />
Erzeugung der Schubkraft eingehen, da dies für unsere Arbeit nicht weiter von<br />
Bedeutung ist.<br />
2.5 Die Wirkung der vier Kräfte<br />
Wie wir gesehen haben, wirken im Wesentlichen vier Kräfte auf ein<br />
fliegendes Flächenflugzeug. Im stationären Flug, wenn das Flugzeug weder<br />
steigt, sinkt noch beschleunigt wird, ist die Vektorsumme aller Kräfte<br />
F F + F + F = 0.<br />
Sie heben sich gegenseitig auf.<br />
Gewicht + Auftrieb Widerstnad Schub<br />
F =<br />
m ⋅ a<br />
(2.6)
- 15 -<br />
Abbildung 2.5: Kräfte im stationären Flug<br />
Seitliche Kräfte, wie sie z.B. im Kurvenflug auftreten, wirken nur zeitweise. Sie sind<br />
nicht notwendig, um das Flugprinzip eines Flächenflugzeuges zu verstehen, weshalb<br />
hier auch nicht genauer auf sie eingegangen wird.<br />
© Damian Pang
- 16 -<br />
3. Berechnung der Auftriebskraft<br />
3.1 Bernoullische Gleichung<br />
3.1.1 Daniel Bernoulli<br />
Wir haben das Prinzip des Auftriebs mit dem Impulssatz und dem<br />
Wechselwirkungsprinzip erklärt. Dieser Weg ist zwar sehr leicht verständlich, doch ist<br />
es aufgrund der Komplexität des gesamten Vorganges kaum möglich, auf diese Art<br />
die Auftriebskraft zu berechnen.<br />
Der Physiker, Mathematiker und Mediziner Daniel Bernoulli (1700-1782) 9 hat mit<br />
seinen Gleichungen über Druck und Strömung den Grundstein der modernen<br />
Aerodynamik gelegt. Wir wollen uns seine Erkenntnisse nun etwas genauer<br />
anschauen. Dabei ist anzumerken, dass wir die Luft als inkompressibel betrachten<br />
(was bei einer Unterschallströmung auch annähernd der Fall ist).<br />
3.1.2 Die Bernoullische Gleichung<br />
Ein bewegter Körper behält in einem geschlossenen System immer dieselbe<br />
Energie. Handelt es sich bei dem Körper nicht um eine Feder, besteht die totale<br />
Energie E tot des Körpers aus der potentiellen Energie E pot und der kinetischen<br />
Energie E kin . Daraus lässt sich für ein geschlossenes System folgendes ableiten:<br />
Formel 3.1: Energie 10<br />
1 2<br />
2 mv<br />
In einer Luftströmung entspricht die potentielle Energie dem statischen Druck p und<br />
die kinetische Energie dem Staudruck q einer Luftmasse mit dem Volumen V . Der<br />
totale Druck H = p + q ist in einem geschlossenen System konstant. Es gilt also:<br />
Formel 3.2: Bernoullische Gleichung<br />
9 Neues Grosses Lexikon in Farbe, S. 76<br />
10 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S. 85<br />
E<br />
E<br />
E<br />
tot<br />
tot<br />
kin<br />
=<br />
konstant<br />
= E<br />
=<br />
pot<br />
H<br />
+ E<br />
kin<br />
Totaler Druck H =<br />
konstant<br />
= p + q<br />
(3.1)<br />
(3.2)
- 17 -<br />
Der Staudruck kann nun aus der kinetischen Energie berechnet werden:<br />
E<br />
E<br />
kin<br />
kin<br />
qV<br />
=<br />
1<br />
2<br />
= qV<br />
=<br />
m<br />
Ersetzen wir die Masse m durch die Luftdichte ρ = V , erhalten wir für den<br />
Staudruck:<br />
3.1.3 Das Kontinuitätsgesetz<br />
1<br />
2<br />
q = ρ<br />
mv<br />
mv<br />
1 2<br />
2 v<br />
Das Kontinuitätsgesetz (auch Stetigkeitsgesetz genannt) besagt, dass bei einer<br />
stationären Strömung der Massendurchfluss m� durch jede Querschnittsfläche A<br />
konstant ist.<br />
m �<br />
= ρ vA<br />
=<br />
Formel 3.3: Massendurchfluss 11<br />
Der Massendurchfluss m� und die Luftdichte ρ sind konstant. Ändert sich die<br />
Querschnittsfläche A , muss sich dementsprechend v auch ändern, was eine<br />
Änderung der kinetischen Energie und des Staudrucks zur Folge hat. Da der<br />
Gesamtdruck H = p + q konstant ist, ändert sich also auch der statische Druck.<br />
Abbildung 3.1: Statischer Druck im Strömungsrohr 12<br />
11 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 2 S. 3<br />
2<br />
2<br />
konsta nt<br />
(3.3)
- 18 -<br />
Während die Geschwindigkeit und somit auch der Staudruck im Punkt � gegenüber<br />
dem Punkt � zunimmt (Kontinuitätsgesetz), nimmt der statische Druck ab. Im Punkt<br />
� geschieht genau das Gegenteil.<br />
3.2 Anwendung für den Tragflügel<br />
3.2.1 Anwendungsprinzip<br />
Das gleiche Prinzip wie in einer Strömungsröhre können wir bei einem Tragflügel<br />
beobachten. Auf der gewölbten Oberseite des Tragflügelprofils muss sich die<br />
Strömung beschleunigen. Nach der Gleichung von Bernoulli verursacht dies eine<br />
Abnahme des statischen Drucks. Auf der Tragflügelunterseite geschieht genau das<br />
Gegenteil: durch die Profilform und oder dadurch, dass das Profil gegenüber der<br />
Strömung angestellt ist (Anstellwinkel), wird die Strömung unten abgebremst,<br />
wodurch der statische Druck steigt. Dieser Druckunterschied zwischen der<br />
Profilober- und der Profilunterseite erzeugt eine Kraft nach oben; den Auftrieb.<br />
In der Abbildung 3.2 sind die verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten<br />
�<br />
dargestellt, dabei gilt: V2<br />
�<br />
> V1<br />
�<br />
> V3<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 3.2: Auftrieb am Tragflügel<br />
In der folgenden Abbildung wird die Druckverteilung an einem Flügelprofil bildlich<br />
dargestellt, wobei tiefer Druck blau-grün-gelb und hoher Druck rötlich gefärbt ist.<br />
Abbildung 3.3: Druckverteilung an einem Flügelprofil 13<br />
12 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 2 S. 1<br />
13 http://www.diam.unige.it/~irro/profilo3_d.html (Webseite der Universität von Genova)
3.2.2 Experiment<br />
- 19 -<br />
Um dies zu zeigen, massen wir in einem Experiment diesen Druckunterschied bei<br />
einem industriell hergestellten Flügelmodell, das je drei Löcher auf der Profiloberseite<br />
und auf der Profilunterseite zur Druckmessung hat. Die Abbildung 3.4 zeigt die<br />
Experimentanordnung:<br />
Abbildung 3.4: Experimentanordnung<br />
Die Messdaten sind sehr ungenau, da wir das Experiment nicht unter<br />
Laborbedingungen durchführten und auch der Alkoholdruckmesser nur eine<br />
ungefähre Druckmessung zulässt. Dennoch kann man diesen Druckunterschied<br />
deutlich erkennen. Die Abbildung 3.5 zeigt den Druckmesser, das Flügelmodell und<br />
die Benennung der Löcher zur Druckmessung.<br />
Abbildung 3.5: Benennung der Löcher<br />
© Damian Pang
- 20 -<br />
Die Tabelle 3.1 zeigt die Resultate bei zwei verschiedenen Anstellwinkeln. Die<br />
Drücke sind in Millimeter der Alkoholsäule.<br />
Tabelle 3.1: Gemessener Druck<br />
3.2.3 Berechnung des Auftriebs<br />
Wie wir gesehen haben, entsteht der Auftrieb aufgrund unterschiedlicher<br />
Geschwindigkeit der Strömung auf den zwei Flügelseiten. Der Auftrieb F Auftrieb<br />
verändert sich somit proportional zur Summe des Staudrucks q = q1<br />
+ q2<br />
beider<br />
Seiten. Es gilt:<br />
F Auftrieb<br />
Der Auftrieb entsteht durch die Profilform, durch die die Strömung beschleunigt bzw.<br />
abgebremst wird. Je breiter der Flügel ist, umso länger findet dieser Prozess statt.<br />
Wir nennen die Flügelbreite (Strecke von der Eintrittskante bis zur Austrittskante des<br />
Profils) Profiltiefe s t . Die Variabel x besteht also aus der Profiltiefe und einer weitern<br />
Komponente, wir nennen sie y .<br />
Es gilt:<br />
=<br />
q<br />
FAuftrieb = q ⋅ st<br />
⋅ y<br />
Wir haben die Druckverteilung bisher nur am Profil des Flügels angeschaut. Dieser<br />
Prozess findet jedoch über den ganzen Flügel hinweg statt. Der Auftrieb muss<br />
deshalb auch proportional zur angeströmten Länge des Flügels s l sein.<br />
Es gilt:<br />
F<br />
F<br />
Auftrieb<br />
s<br />
t<br />
Auftrieb<br />
=<br />
q ⋅ s ⋅ s ⋅ z<br />
⋅ s =<br />
angeström et Flügelfäch e<br />
= q ⋅ A ⋅ z<br />
t<br />
l<br />
⋅<br />
x<br />
A
- 21 -<br />
Wie stark die Strömung beschleunigt oder abgebremst wird, hängt von der Form und<br />
der Lage des Profils im Raum ab. Dieser Wert lässt sich nicht errechnen, sondern<br />
muss experimentell bestimmt werden. Wir nennen diesen Wert Auftriebskoeffizient<br />
C A .<br />
Daraus ergibt sich folgende Formel für den Auftrieb:<br />
Formel 3.4: Auftrieb 14<br />
In dem nun folgenden Kapitel wollen wir uns mit den einzelnen Komponenten dieser<br />
Formel auseinandersetzen.<br />
Auftrieb<br />
Auftrieb<br />
14 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 2 S. 4<br />
F<br />
F<br />
= q ⋅ A ⋅C<br />
=<br />
1 2<br />
ρv<br />
2<br />
A<br />
⋅ A ⋅C<br />
A<br />
(3.4)
- 22 -<br />
4. Definitionen zur Berechnung des Auftriebs<br />
4.1 Das Flugzeug<br />
4.1.1 Allgemeine Definitionen<br />
Um ein geeignetes Flügelprofil für ein bestimmtes Flugzeug zu finden, muss zuerst<br />
das Flugzeug selbst definiert werden.<br />
Gemäss der Aufgabenstellung soll unser Flugzeug für den Langsamflug geeignet<br />
sein. Es soll ein leichter, zweisitziger Tiefdecker sein.<br />
Um bei den Betriebsgrenzen nicht willkürliche Werte einzusetzen, übernehmen wir<br />
die Werte der Diamond DA20-A1 Katana (80 Ps-Motor), da dieses Flugzeug sehr<br />
ähnliche Eigenschaften aufweist. Die Nachfolgenden Daten stammen von Diamond<br />
Aircraft Industries 15 , dem Hersteller der Katana.<br />
Abbildung 4.1: Diamond Katana 16<br />
Die Flügelfläche der Katana beträgt 11,61 m 2 bei einer Spannweite von 10,9 m. Bei<br />
einer Kabinenbreite von 1.06 m ergibt das eine Flügellänge von 9,83 m, bei einer<br />
durchschnittlichen Flügeltiefe von 1,181 m. Das maximale Abfluggewicht liegt bei<br />
730 kg. Daraus lässt sich die maximale Gewichtskraft berechnen:<br />
F<br />
G<br />
m<br />
= m ⋅ g = 730 kg ⋅ 9,<br />
81 2 = 7161,<br />
30<br />
15 Diamond Aircraft Industries GmbH, Katana DA20, Wiener Neustadt 2004, Seite 2f<br />
16 http://www.diamond-air.at/de/products/DA20-A1 (Webseite des Herstellers der Katana)<br />
s<br />
N
- 23 -<br />
4.1.2 Geschwindigkeit<br />
Unter Fluggeschwindigkeit versteht man die Geschwindigkeit des Flugzeugs<br />
gegenüber der Luft. Bei Windeinflüssen kann die Fluggeschwindigkeit stark von der<br />
Geschwindigkeit abweichen, die das Flugzeug gegenüber dem Boden fliegt. Aus der<br />
Formel für den Auftrieb lässt sich erkennen, dass die Fluggeschwindigkeit einen<br />
starken Einfluss auf den Auftrieb ausübt. Verringert sich die Fluggeschwindigkeit,<br />
nimmt der Auftrieb ab und das Flugzeug sinkt. Fällt sie unter einen Minimalwert, die<br />
Stallgeschwindigkeit vstall 17 , ist das Flugzeug nicht mehr flugfähig.<br />
Für unsere Arbeit entscheidender ist jedoch die Horizontalfluggeschwindigkeit vhor.<br />
Die Horizontalfluggeschwindigkeit bezeichnet diejenige Geschwindigkeit, in der das<br />
Flugzeug weder sinkt noch steigt, also die Geschwindigkeit, in der die Auftriebskraft<br />
gleich gross wie die Gewichtskraft des Flugzeuges ist. Nach Kapitel 3.2 gilt<br />
demnach:<br />
FA = FG = 1<br />
2 ⋅ ρ⋅ v 2<br />
hor ⋅ A ⋅ CA<br />
2 2 ⋅ FG vhor =<br />
ρ⋅ A ⋅ CA =<br />
2 ⋅ F G<br />
ρ⋅ A ⋅ C A<br />
Die Fläche A und die Gewichtskraft F G wurde bereits definiert. Die<br />
Horizontalfluggeschwindigkeit ist also abhängig von dem Luftdruck ρ und der<br />
Fluglage, die den Auftriebskoeffizienten C A beeinflusst. Die<br />
Horizontalfluggeschwindigkeit ist also variabel. Als Referenz für den Piloten und zu<br />
Berechnungszwecken wird die Horizontalfluggeschwindigkeit unter standardisierten<br />
Bedingungen angegeben:<br />
��Starre Flügel, die nicht manipuliert sind (z.B. durch Landeklappen)<br />
��Die Querneigung beträgt 0°<br />
��Die Flugzeuglängsachse ist parallel zur Strömung (Steigwinkel von 0°)<br />
kg<br />
��Standardisierte Luftdichte ρ = ,1 225 3<br />
m<br />
Die Horizontalfluggeschwindigkeit beträgt bei Flugzeugen der Kategorie SEPL 18<br />
meist weit über 100 km/h. Bei dem typischen Schulflugzeug AS-202 Bravo beträgt<br />
die Horizontalfluggeschwindigkeit beispielsweise auf Meereshöhe rund 124 km/h 19 .<br />
17<br />
Bammert, Gallus, Grundlagen und Verfahren für die fliegerische Basisausbildung, AeCS, Luzern<br />
1996, 10.1.1<br />
18<br />
„Single Engine, Piston, Land“: durch das Bundesgesetz für Luftfahrt definierte Flugzeugkategorie<br />
die alle einmotorigen Landlandungsflugzeuge mit Kolbenmotor zusammenfasst<br />
19<br />
FFA Flug und Fahrzeugwerke AG, Flughandbuch AS202 Bravo, Altenrhein 1972, B 4 S.4
- 24 -<br />
Von der Katana kennen wir bloss die Stallgeschwindigkeit, die mit 76 km/h bereits im<br />
Bereich der Segelflugzeuge liegt (zum Vergleich: das Hochleistungssegelflugzeug<br />
ASH-25 hat eine Stallgeschwindigkeit von 75 km/h 20 ). Wir setzen uns hier die<br />
Herausforderung, diesen Wert zu überbieten und setzen die Stallgeschwindigkeit der<br />
Katana als Horizontalfluggeschwindigkeit für unseren Flügel ein.<br />
Wir haben die Luftdichte bisher einfach als „standardisiert“ beschrieben. Im<br />
nachfolgenden Kapitel soll die Luftdichte etwas ausführlicher behandelt werden.<br />
4.2 Die Luftdichte �<br />
Die Luftdichte ist durch die Gasgleichung definiert:<br />
Luftdichte<br />
ρ<br />
=<br />
Formel 4.1: Luftdichte 21<br />
4.2.1 ISA – internationale ICAO Standartatmosphäre<br />
Der Luftdruck ist wetter- und ortsabhängig. Zwischen Äquator und Nordpol variiert<br />
die Luftdichte durch die unterschiedlichen Temperaturen sehr stark. Doch selbst an<br />
einem bestimmten Ort haben wir durch den Einfluss der Jahreszeiten und des<br />
lokalen Wetters grosse Temperatur und Druckunterschiede. Aus diesem Grund hat<br />
die Luftfahrtbehörde der UNO, die ICAO (International Civil Aviation Organisation),<br />
eine allgemeingültige standardisierte Atmosphäre definiert, die ISA (International<br />
Standart Atmosphere). Die ISA gibt Durchschnittswerte der Atmosphäre auf dem 45°<br />
Breitengrad an, sie sind also beinahe identisch mit den Werten für die Schweiz.<br />
ISA – Werte 22<br />
Gaskonstante<br />
Luftdruck<br />
=<br />
für die Luft ⋅ absoluteTemperatur<br />
��Luftdruck auf Meereshöhe: 1013.25 hPa<br />
��Luftdruckgradient: exponentiell abnehmend<br />
��Temperatur auf Meereshöhe: + 15° C<br />
��Temperaturgradient bis zur Tropopause: - 0.65 K/100m<br />
��Stickstoffanteil: 78%<br />
��Sauerstoffanteil: 21%<br />
��Argon und Kohlendioxid: 1%<br />
20<br />
http://www.alexander-schleicher.de/produkte/ash25/ash25_daten.htm (Webseite des Herstellers der<br />
ASH-25)<br />
21<br />
Guggiari, Bruno, Atmosphäre, 2. Ausgabe, Aero Club der Schweiz, Luzern 1998, 1 – 3 – 1 S.10<br />
22<br />
Guggiari, Bruno, Atmosphäre, 1 – 3 – 2 S.2<br />
R<br />
p<br />
Luft ⋅<br />
T<br />
(4.1)
4.2.2 Die Gaskonstante der Luft<br />
- 25 -<br />
Die Gaskonstante für die Luft lässt sich aus der universellen Gaskonstante<br />
berechnen:<br />
Formel 4.2: Gaskonstante 23<br />
Die Tabelle 4.1 zeigt die atomare Masse der Hauptbestandteile der Luft in der<br />
atomaren Masseneinheit u:<br />
Tabelle 4.1: Atomare Masse 24<br />
Daraus lässt sich die molare Masse berechnen:<br />
M<br />
M<br />
M<br />
M<br />
Stickstoff<br />
Sauerstoff<br />
Argon<br />
Kohlendiox id<br />
Molare Masse<br />
M<br />
Formel 4.3: Molare Masse 25<br />
=<br />
=<br />
M = m<br />
28.<br />
0134<br />
39.<br />
9480<br />
Universelle Gaskonstante<br />
R = 8.<br />
314472 ⋅<br />
r<br />
⋅<br />
u ⋅<br />
u ⋅<br />
=<br />
Masse eines Teilchens<br />
.1 66053873⋅10<br />
.1 66053873⋅10<br />
= 31.<br />
9988 u ⋅ .1 66053873⋅10<br />
.1 66053873⋅10<br />
= 44.<br />
0098u<br />
⋅ .1 66053873⋅10<br />
−27<br />
−27<br />
−27<br />
−27<br />
kg u<br />
kg u<br />
kg u<br />
kg u<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
J<br />
mol K<br />
.6 02214199 ⋅10<br />
.6 02214199 ⋅10<br />
.6 02214199 ⋅10<br />
.6 02214199 ⋅10<br />
23 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, Umschlag<br />
24 Meyer, Werner, Periodic Table Of The Elements, Werner Meyer AG, Hergiswil 1999, S.1<br />
25 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S.90<br />
−27<br />
kg u<br />
−1<br />
⋅<br />
m<br />
T<br />
⋅ Avgardo − Konstante<br />
N<br />
.6 02214199⋅10<br />
23<br />
23<br />
23<br />
23<br />
23<br />
mol<br />
mol<br />
mol<br />
mol<br />
mol<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
A<br />
.0 028013<br />
.0 031999<br />
.0 039948<br />
.0 044010<br />
(4.2)<br />
(4.3)<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol
- 26 -<br />
Mit Hilfe der Molalität können die Gaskonstanten der einzelnen Bestandteile<br />
berechnet werden.<br />
Formel 4.4: Molalität<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
Stickstoff<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
Sauerstoff<br />
Argon<br />
Kohlendiox id<br />
Stickstoff<br />
Sauerstoff<br />
Argon<br />
Molalität<br />
Kohlendiox id<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
= 8.<br />
314472<br />
= 8.<br />
314472<br />
= 8.<br />
314472<br />
= 8.<br />
314472<br />
1<br />
.0 028013<br />
1<br />
.0 031999<br />
1<br />
.0 039948<br />
1<br />
.0 044010<br />
J<br />
mol⋅K<br />
J<br />
mol⋅K<br />
J<br />
mol⋅K<br />
J<br />
mol⋅K<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
⋅ 35<br />
⋅ 31<br />
⋅ 22<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
. 6972<br />
. 2512<br />
⋅ 25.<br />
0325<br />
. 7222<br />
35.<br />
6972<br />
31.<br />
2512<br />
25.<br />
0325<br />
22.<br />
7222<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
=<br />
=<br />
=<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
mol<br />
kg<br />
296.<br />
803<br />
259.<br />
837<br />
208.<br />
132<br />
= 188<br />
. 923<br />
Die ISA gibt uns die Volumenanteile der verschiedenen Komponenten der Luft. Um<br />
die Gaskonstante der Luft zu berechnen, benötigen wir den Massenanteil der<br />
einzelnen Moleküle, die in der Tabelle 4.2 dargestellt sind:<br />
Tabelle 4.2:Massenanteil der Hauptbestandteile der Luft 26<br />
26 http://www.geographie.ruhr-uni-bochum.de/agklima/vorlesung/aufbau/chemie.html (Webseite der<br />
Universität Bochum, erstellt von Prof. Dr. Heribert Fleer)<br />
b<br />
=<br />
1<br />
M<br />
J<br />
kgK<br />
J<br />
kgK<br />
J<br />
kgK<br />
J<br />
kgK<br />
(4.4)
- 27 -<br />
Daraus lässt sich die Gaskonstante der Luft RL berechnen:<br />
J<br />
J<br />
J<br />
J<br />
296.<br />
803 kgK ⋅ 75.<br />
15 + 259.<br />
837 kgK ⋅ 23.<br />
01+<br />
208.<br />
132 kgK ⋅ .1 289 + 188.<br />
923 kgK ⋅ 0.<br />
04<br />
RL =<br />
≈ 287.<br />
06<br />
99.<br />
489<br />
4.2.3 Standardisierte Luftdichte<br />
Die Luftdichte � beträgt demnach in der ISA auf Meereshöhe:<br />
ρ =<br />
p 101325 Pa<br />
=<br />
R ⋅T<br />
287 ⋅ 288.<br />
15<br />
J<br />
kgK K<br />
≈<br />
,1 225<br />
Die Betriebsgrenzen, die nach ISA berechnet wurden sind nur Richtlinien. In der<br />
Praxis muss der Pilot die Betriebsgrenzen nach den lokalen Wetterrapporten<br />
beurteilen. Zur Berechnung des Flügelprofils werden wir uns jedoch an diese Werte<br />
halten.<br />
4.3 Der Auftriebskoeffizient<br />
4.3.1 Voraussetzung<br />
Für unser Flugzeug liegen uns nun folgende Daten zugrunde:<br />
��Gewichtskraft: FG = 7161,<br />
30 N<br />
��Flügelfläche: A<br />
= 11, 61m<br />
km = 76 ≈ 21,<br />
11<br />
m<br />
��Geschwindigkeit: v h<br />
s<br />
kg<br />
��Luftdichte: � ≈ ,1 225 3<br />
m<br />
2<br />
4.3.2 Berechnung<br />
Wir suchen also ein Flügelprofil, das im Horizontalflug aufgrund der obigen Daten<br />
mindestens folgenden Auftriebskoeffizient aufweist (siehe Kapitel 3.2):<br />
C<br />
A<br />
=<br />
2 ⋅ F<br />
ρv<br />
2<br />
F<br />
G<br />
Auftrieb<br />
⋅ A<br />
=<br />
(<br />
= F<br />
G<br />
=<br />
101325<br />
287⋅288,<br />
15<br />
1<br />
2<br />
ρv<br />
2<br />
⋅ A ⋅C<br />
kg<br />
m<br />
2 ⋅ 7161 3,<br />
≈<br />
76⋅1000<br />
2<br />
) ⋅ ( ) ⋅11,<br />
61<br />
3600<br />
A<br />
3<br />
.2 259<br />
J<br />
kgK
5. Der Tragflügel<br />
5.1 Die Tragflügelform<br />
5.1.1 Verschiedene Formen<br />
- 28 -<br />
Die Flügelform ist eine konstruktive Massnahme um die Flugeigenschaften eines<br />
Flugzeugs zu beeinflussen.<br />
5.1.2 Die Pfeilung<br />
Abbildung 5.1: Tragflügelformen 27<br />
Während bei einem rechteckigen Flügel die gesamte Länge a des Flügels<br />
angeströmt wird, ist dies bei einem gepfeilten Flügel mit derselben Fläche bloss<br />
cos(α ) ⋅ a .<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 5.2: Angeströmte Länge<br />
Dies bewirkt eine grössere Stabilität um die Hochachse. Steht das Flugzeug nach<br />
links hin schief in der Strömung ist die Anströmlänge des rechten Flügels grösser als<br />
die des linken Flügels, was zu mehr Auftrieb und somit auch zu mehr Widerstand am<br />
rechten Flügel führt und das Flugzeug in die Strömung dreht.<br />
27 Weinholtz, Franz, Der Segelflugzeugführer, Luftfahrtverlag, Bergisch Gladbach 1997, S.173
- 29 -<br />
Nebst der erhöhten Stabilität weist ein gepfeilter Flügel bei hohen Geschwindigkeiten<br />
ein besseres Auftrieb-Widerstandsverhältnis auf als ein rechteckiger Flügel. Aus<br />
diesem Grunde haben die meisten Jets gepfeilte Flügel.<br />
Da wir aber nicht einen möglichst „gutmütigen“ sondern einen möglichst effizienten<br />
Flügel suchen, verzichten wir auf eine Pfeilung. Denn durch die verkürzte<br />
Anströmlänge verkleinert sich auch der Auftrieb.<br />
5.1.3 Flügelneigung<br />
Vor allem bei Schulflugzeugen findet man oft geneigte Flügel. Das bedeutet, dass<br />
der Flügel in einem bestimmten Winkel � zur Flugzeugquerachse angebracht ist.<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 5.3: Flügelneigung einer ASK-21<br />
Diese Neigung verleiht dem Flugzeug eine höhere Stabilität um die Längsachse<br />
(gleiches Prinzip wie bei der Flügelpfeilung). Doch auch hier verringert sich der<br />
Auftrieb F Auftrieb gegenüber dem möglichen Auftrieb ohne die Flügelneigung F AOFN<br />
um F F ⋅ cos(α ) Wir verzichten deshalb auch auf eine Flügelneigung.<br />
Auftrieb<br />
= AOFN<br />
5.2 Randwirbel<br />
5.2.1 Entstehung und Wirkung<br />
Aus dem Kapitel 3.2 geht hervor, dass zwischen der Strömung über dem Tragflügel<br />
und der Strömung darunter ein grosser Druckunterschied herrscht. Der Flügel<br />
verhindert einen Druckausgleich. Am Ende des Flügels fehlt aber diese Blockade<br />
und es kommt zu einer Ausgleichsströmung den Randwirbeln (Wake Turbulence).<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 5.4: Entstehung der Randwirbel<br />
Diese Randwirbel bremsen das Flugzeug, man spricht auch vom Randwiderstand.
5.2.2 Einfluss der Flügelform<br />
- 30 -<br />
Um den Randwiderstand möglichst klein zu halten, wurden früher die Tragflügel oft<br />
ellipsenförmig gebaut (vgl. Abbildung 5.1). Um Kosten zu sparen, wählten einige<br />
Flugzeughersteller statt der Ellipse das Trapez als Tragflügelform. Diese<br />
Flügelformen haben jedoch auch Nachteile. Ein ellipsenförmiger Flügel hat bei<br />
gleicher Spannweite eine kleinere Flügelfläche als ein rechteckiger Flügel. Um diese<br />
Flächenverkleinerung zu kompensieren muss entweder die Spannweite oder die<br />
Flügeltiefe erhöht werden. Um die zur Sicherheit nötige, gesetzlich vorgeschriebene<br />
Flächenbelastung des Tragflügels von 20 [kg/m 2 ] 28 einzuhalten, muss der Flügel bei<br />
einer Verlängerung aus stärkerem Material gebaut werden, was das Gesamtgewicht<br />
stark erhöht. Wird die Flügeltiefe erhöht löst sich die Strömung, vor allem bei<br />
niedrigen Geschwindigkeiten, schneller vom Flügel ab (siehe Kapitel 5.3.1).<br />
Es gibt jedoch noch andere Massnahmen, um den Randwiderstand zu verkleinern.<br />
5.2.3 Winglets<br />
Randwirbel entstehen, weil eine Blockade zwischen den zwei Druckgebieten fehlt.<br />
Bringt man an der Flügelspitze ein Winglet (angewinkelte Verlängerung des Flügels)<br />
an, kann der Randwiderstand stark gesenkt werden.<br />
Abbildung 5.5: Winglet einer Boeing 737-800 29<br />
Die ideale Grösse und Form des Winglet muss experimentell bestimmt werden. Es<br />
würde den Rahmen unserer Arbeit übersteigen, geeignete Winglets für unseren<br />
Flügel zu suchen. Die Tatsache, dass es möglich ist, den Randwiderstand auch bei<br />
einem rechteckigen Flügel zu minimieren, war ausschlaggebend für die<br />
Entscheidung gegen einen elliptischen Flügel.<br />
28 Bundesgesetz über die Luftfahrt, LFV Art. 2b Absatz 1<br />
29 www.airliners.net
6. Das Flügelprofil<br />
6.1 Grundlagen<br />
6.1.1 Definitionen am Profil<br />
- 31 -<br />
In der Fachliteratur variieren die Bezeichnungen verschiedener Eigenschaften eines<br />
Profils sehr stark. Aus diesem Grunde sollen die in dieser Arbeit gebrauchten<br />
Bezeichnungen nun definiert werden.<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.01: Definitionen am Profil<br />
Profiltiefe: Länge zwischen Ein- und Austrittskante<br />
Sehne: Gerade zwischen Ein- und Austrittskante<br />
Flugzeuglängsachse: Achse um die sich das Flugzeug beim Rollen dreht<br />
Krümmungslinie: Mittellinie zwischen Profiloberseite und Profilunterseite<br />
Profilkrümmung: Grösster Abstand zwischen der Sehne und der<br />
Krümmungslinie (in Prozent der Profiltiefe)<br />
Profildicke: Grösster Abstand zwischen Profiloberseite und<br />
Profilunterseite (in Prozent der Profiltiefe)<br />
Einstellwinkel: Winkel zwischen der Sehne und der Flugzeuglängsachse<br />
Anstellwinkel: Winkel zwischen der Sehne und der Strömung
6.2 Joukowski-Transformation<br />
- 32 -<br />
6.2.1 Prinzip<br />
Da wir keinen Zugang zu einem Windkanal haben, müssen wir uns auf Flügelprofile<br />
beschränken, die mathematisch errechnet werden können, die Joukowski-Profile.<br />
Der russische Mathematiker und Aerodynamiker Nikolai J. Joukowski (1847-1921) 30<br />
erstellte eine komplexe Funktion, durch die ein Kreis über den Nullpunkt in ein<br />
anderes Koordinatensystem als Stromlinienkörper transformiert werden kann.<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.02: Komplexe Transformation nach Joukowski<br />
Dabei erhält man nicht nur die Form eines regelmässigen Stromlinienkörpers, es<br />
lässt sich sogar die Auftriebskraft dieses Profils daraus berechnen.<br />
6.2.2 Mathematische Herleitung<br />
Bei der mathematischen Herleitung der Joukowski-Transformation befassen wir uns<br />
vor allem mit der komplexen Strömungsfunktion, wobei wir in diesem Kapitel unter<br />
Strömung nicht einfach einen Luftstrom verstehen, sondern Strömung als<br />
Zusammenfassung mehrerer Strömungslinien ansehen. Eine Strömungslinie ist der<br />
Pfad, den ein masseloses Molekül mit der freien Strömungsgeschwindigkeit U 0 um<br />
einen Körper zurücklegt.<br />
Um einen Kreis mit dem Radius a verändert sich die Strömung in der<br />
zweidimensionalen Ebene regelmässig vom Mittelpunkt aus in Richtung der y-Achse.<br />
30 Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc. 1979, S. 627
© Damian Pang<br />
- 33 -<br />
Abbildung 6.03: Strömung um einen Kreis (Potentialströmung)<br />
Kennen wir diesen Verlauf der Strömung, können wir die Strömung in jedem<br />
beliebigen Punkt berechnen, indem wir den dazugehörigen Punkt auf der y-Achse<br />
evaluieren, wie auf Seite 35 gezeigt wird. Dazu benötigen wir ein radiales<br />
Koordinatensystem, das durch den Winkel θ und den Radius r definiert ist (siehe<br />
Abbildung 6.03). Gemäss Benson 31 gilt für die Strömungsfunktion Ψ :<br />
Formel 6.01: Strömungsfunktion 31<br />
Und für das Geschwindigkeitspotential Φ in x-Richtung gilt gemäss Benson 32 :<br />
Formel 6.02: Geschwindigkeitspotential 32<br />
Diese beiden Funktionen können in eine komplexe Funktion umgewandelt werden.<br />
Eine komplexe Zahl ist wie folgt definiert:<br />
Formel 6.03: Komplexe Zahl 33<br />
( ) � �<br />
2 � a �<br />
= U ⋅�<br />
�<br />
0r<br />
sin θ 1−<br />
� r �<br />
Ψ 2<br />
( ) � �<br />
2 � a �<br />
= U ⋅ �<br />
�<br />
0r<br />
cos θ 1+<br />
� r �<br />
Φ 2<br />
z = re<br />
iθ<br />
= x + iy<br />
(6.01)<br />
(6.02)<br />
(6.03)<br />
31<br />
Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, NASA Lewis Research<br />
Center, Cleveland 1996, S. 2<br />
32<br />
Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 2<br />
33<br />
DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S.68
- 34 -<br />
Somit lässt sich eine komplexe Funktion F für die Strömung um einen Kreis<br />
erstellen:<br />
Daraus ergibt sich:<br />
Es gilt:<br />
Formel 6.04: Komplexe Strömungsfunktion 34<br />
( x iy)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
� xa iya � � a − � � a z �<br />
F = U 0 �<br />
� x + + iy − �<br />
� = U 0 �<br />
� x + iy + �<br />
� = U 0 �<br />
� z + �<br />
�<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
� r r � � r � � r �<br />
z ⋅ z =<br />
2 2 2 2<br />
( x + iy)(<br />
x − iy)<br />
= x − i y = x − ( −1)<br />
z 1<br />
→ = 2<br />
r z<br />
y<br />
2<br />
= x<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
=<br />
2<br />
z||<br />
= r<br />
Daraus resultiert die komplexe Funktion F für die Strömung um einen Kreis:<br />
Formel 6.05: Komplexe Funktion für die Strömung um einen Kreis<br />
Aus dieser komplexen Funktion erhält man die Strömungslinien (Potentialströmung)<br />
und das Strömungspotential um einen Kreis zurück:<br />
2<br />
� a � �<br />
= U �<br />
�<br />
�<br />
� = �<br />
�<br />
0 x + iy + U 0 x + iy +<br />
� x + iy � �<br />
2 � a �<br />
F = Φ(<br />
x,<br />
y)<br />
+ iΨ(<br />
x,<br />
y)<br />
= U �<br />
� + �<br />
�<br />
0 z<br />
� z �<br />
2 � a x<br />
= U �<br />
� 0 x + 2<br />
� x + y<br />
Ψ + Φ = i F<br />
2 � a �<br />
F = U �<br />
� z + �<br />
�<br />
0<br />
� z �<br />
2<br />
2<br />
a ( x − iy)<br />
( x + iy)(<br />
x − iy)<br />
2<br />
� � a y<br />
�<br />
� + iU �<br />
� 0 y − 2<br />
� � x + y<br />
34 Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, S. 745<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
( x − iy)<br />
2<br />
� � a<br />
�<br />
� = U �<br />
� 0 x + iy + 2<br />
� � x + y<br />
2<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(6.04)<br />
(6.05)
- 35 -<br />
2 � a y �<br />
( x , y)<br />
= iU �<br />
� − �<br />
�<br />
0 y<br />
kann als kubische Gleichung nach y aufgelöst werden.<br />
2<br />
� x + y �<br />
Ψ 2<br />
Setzt man a = 1,<br />
U 1 ein, und wählt einen Punkt auf der y-Achse, durch den Linie<br />
0 =<br />
gehen soll, erhält man die Strömungslinien (auch Linien der Potentialströmung oder<br />
Strömung des Potentials genannt):<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.04: Strömungslinien um einen Kreis<br />
Analog dazu bekommen wir aus � �<br />
2 � a x �<br />
Φ( x , y)<br />
= U �<br />
� 0 x + das Strömungspotential:<br />
2 2<br />
� x + y �<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.05: Strömungspotential
- 36 -<br />
Das Strömungspotential steht senkrekt zur Potentialströmung, wie die Abbildung<br />
6.06 zeigt:<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.06: Potentialströmung und Strömungspotential<br />
Führt man die Gedankengänge von Seite 35 weiter, erhält man aus<br />
2 � a x �<br />
( x , y)<br />
= U �<br />
� + �<br />
�<br />
0 x<br />
mithilfe der Ableitung die Geschwindigkeitsvektoren in<br />
2<br />
� x + y �<br />
Φ 2<br />
jedem Punkt (x / y):<br />
v x<br />
2 2 2<br />
a ( x − y )<br />
2 2 2 ( x + y )<br />
2 2 2<br />
( x + y ) − 2x<br />
)<br />
( ) � �<br />
�<br />
� � 2<br />
∂Φ<br />
�<br />
� − � = � a<br />
= = U 0 1+<br />
U 0 1+<br />
∂ �<br />
� �<br />
2 2 2<br />
x<br />
�<br />
� � x + y �<br />
von der Seite 34 wissen wir, dass<br />
Analog dazu erhält man:<br />
v y<br />
v x<br />
x =<br />
2 2 2<br />
+ y r . Daraus ergibt sich:<br />
2 2 ( r ) 2x<br />
) �<br />
�<br />
�<br />
2<br />
∂Φ<br />
� a −<br />
= = U �<br />
� 0 1+<br />
4<br />
∂x<br />
� r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
∂Φ<br />
� 2a<br />
xy � 2a<br />
xy 2U<br />
0 a xy<br />
U � −<br />
� − � − ⋅<br />
= = 0 0 + � = U 2 0 =<br />
2 2<br />
4<br />
4<br />
y<br />
�<br />
�<br />
( x y ) r<br />
�<br />
�<br />
∂ �<br />
�<br />
� + � � � r<br />
Die Geschwindigkeitsvektoren sind in der Abbildung 6.07 graphisch dargestellt:<br />
�
- 37 -<br />
Abbildung 6.07: Geschwindigkeitsvektoren<br />
Die Strömung um einen Kreis kann in die Strömung um einen anderen Körper<br />
transformiert werden. Joukowski stellte eine solche Transformation auf (siehe<br />
Abbildung 6.02):<br />
1<br />
z'<br />
= z +<br />
z<br />
Formel 6.06: Joukowski Transformation 35<br />
Mit dieser Transformation kann die Strömung um einen Kreis, in eine Strömung um<br />
1<br />
1<br />
eine Ellipse mit den Halbachsen c = a + a und b = a − a umgewandelt werden.<br />
Abbildung 6.08 zeigt die Strömung um eine Ellipse:<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.08: Strömung um einen ellipsenförmigen Körper<br />
35 Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 2<br />
(6.06)
- 38 -<br />
Bewegt man den Mittelpunkt des Kreises von z = ( 0 )0/ entlang der x-Achse nach<br />
z = ( − x )0/ , ergibt sich bei dem Radius a = 1 + x als Projektion der Joukowski-<br />
Transformation ein regelmässiges Stromlinienprofil. Abbildung 6.09 zeigt eine solche<br />
Projektion mit dem Kreismittelpunkt z = ( − 0.<br />
15 )0/ und dem Radius a = 1.<br />
15 :<br />
Abbildung 6.09: Strömung um ein regelmässiges Stromlinienprofil<br />
Wird der Kreis zusätzlich in y-Richtung verschoben, erhält man als Projektion ein<br />
gekrümmtes Stromlinienprofil, wie es in Abbildung 6.10 zu sehen ist:<br />
Abbildung 6.10: Strömung um ein gekrümmtes Stromlinienprofil<br />
Der deutsche Mathematiker und Aerodynamiker Wilhelm Kutta (1867-1944) 36 fand<br />
heraus, dass bei Flügelprofilen mit scharfen Austrittskanten und bei nicht allzu<br />
grossen Anstellwinkeln, die Strömung bei der Austrittskante die Geschwindigkeit<br />
v Austrittsk ante<br />
© Damian Pang<br />
© Damian Pang<br />
= 0 km / h hat. Bei einer Strömung unter der Kutta-Bedingung findet man<br />
also eine „glatte“ Abströmung, wie sie in Abbildung 6.11 gezeigt wird:<br />
36 Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, S. 745
© Damian Pang<br />
- 39 -<br />
Abbildung 6.11: Strömung um ein Stromlinienprofil unter der Kutta-Bedingung<br />
Diese Projektion erhalten wir, wenn wir den Kreis in der Originalebene rotieren<br />
lassen 37 . Durch die Rotation wird die Strömung leicht verwirbelt. Die Abbildung 6.12<br />
zeigt die Strömung um einen sich rotierenden Kreis:<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.12: Strömung um einen rotierenden Kreis<br />
Bei der komplexen Strömungsfunktion muss diese Verwirbelung mit berücksichtigt<br />
werden. Nach dem dtv-Lexikon der Physik ist Γ als Mass für die Wirbelstärke<br />
defeniert und folgende Formel dazu gegeben:<br />
2 � a �<br />
F = U 0�<br />
� z + − iΓ<br />
⋅ ln z<br />
z �<br />
�<br />
� �<br />
Formel 6.07: Komplexe Strömungsfunktion mit Berücksichtung der Kutta-Bedingung 38<br />
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass wir die regelmässige Strömung um<br />
einen Kreis berechnen, den Kreis im Koordinatennetz verschieben und<br />
anschliessend rotieren lassen. Mit einer komplexen Transformation wird dieses<br />
System in eine Strömung um ein Joukowski-Profil transformiert:<br />
37 dtv-Lexikon der Physik, Band 7 (P-Re), Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1971, S. 135<br />
38 Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 3<br />
(6.07)
© Damian Pang<br />
- 40 -<br />
Abbildung 6.13: Berechnungsprinziprinzip<br />
Da wir die Geschwindigkeit in jedem Punkt kennen, lässt sich mit den Bernoullischen<br />
Gleichungen der Auftrieb für jedes Joukowski-Profil unter der Kutta-Bedingung in der<br />
zweidimensionalen Ebene berechnen. Multipliziert man diesen Auftrieb mit der<br />
Flügelbreite erhält man den Auftrieb im dreidimensionalen Raum.<br />
Dieser Auftrieb kann für verschiedene Anstellwinkel berechnet werden, indem man<br />
bei der komplexen Strömungsfunktion diesen zusätzlichen Parameter mit einfliessen<br />
lässt. Für ein Joukowski-Profil unter der Kutta-Bedingung gilt für die komplexe<br />
Strömungsfunktion bei einem Anstellwinkel α :<br />
�<br />
F = U 0�<br />
� ze<br />
�<br />
2 −<br />
a e<br />
+<br />
z<br />
�<br />
�<br />
� − iΓ<br />
⋅ ln z<br />
�<br />
Formel 6.08: Komplexe Strömungsfunktion bei einem Anstellwinkel � 39<br />
39 Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 3<br />
−iα<br />
iα<br />
(6.08)
- 41 -<br />
Bei einem Joukowski-Profil lassen sich vier Variablen verändern:<br />
• Die Profildicke (durch Verschiebung des Kreismittelpunktes parallel zur<br />
x-Achse)<br />
• Die Profilkrümmung (durch Verschiebung des Kreismittelpunktes parallel zur<br />
y-Achse)<br />
• Die Profiltiefe (durch Veränderung des Kreisradius)<br />
• Der Anstellwinkel (mathematisch)<br />
6.3 Der Simulator<br />
6.3.1 Allgemeine Informationen<br />
Um die unzähligen mathematischen Berechnungen nicht alle selbst durchführen zu<br />
müssen, nehmen wir einen Simulator zu Hilfe. Es handelt sich dabei um die Java-<br />
Applikation FoilSim II 1.5a von Ing. Thomas J. Benson, Ingenieur bei der<br />
Amerikanischen Luft- und Raumfahrtbehörde NASA (National Aeronautics and<br />
Space Administration). FoilSim basiert auf der Joukowski-Transformation. Dabei<br />
lassen sich die oben genannten Variabeln bei unterschiedlicher Luftdichte,<br />
Geschwindigkeit und Flügelfläche berechnen. Als Ausgabe erhält man die<br />
Auftriebskraft FAuftrieb, den Auftriebskoeffizienten CA und die Koordinaten des<br />
Flügelprofils mit dem statischen Druck bei jeder Koordinate.<br />
6.3.2 Genauigkeit<br />
Die ideale Strömung um eine Kugel – oder in der zweidimensionalen Ebene um<br />
einen Kreis – ist regelmässig. Druck und Strömungsgeschwindigkeiten können so in<br />
jedem Punkt exakt berechnet werden. Mit der Joukowski-Transformation können<br />
daher die Werte für ein Joukowski-Profil mathematisch exakt evaluiert werden. Mit<br />
Bernoulli können der Auftriebskoeffizient und die Auftriebskraft theoretisch exakt<br />
berechnet werden.<br />
Diese Werte sind jedoch in der Realität nicht ganz so exakt wie sie scheinen. Sie<br />
gelten für eine ideale Strömung, wenn die Luft inkompressibel ist. Die Tatsache, dass<br />
Luft kompressibel ist, hat eine derart geringe Abweichung zur Folge, dass diese<br />
vernachlässigt werden kann. Ungenauigkeiten aber kommen daher, dass es in der<br />
Realität keine ideale Strömung gibt. Selbst wenn das lokale Wetter genau der ISA<br />
entspricht, ist die Atmosphäre dennoch gestört durch diverse Einflüsse<br />
(Luftverschmutzung, Thermik, Turbulenzen, Winde, etc.), was nicht nur
- 42 -<br />
Auswirkungen auf die Luftdichte, sondern auch auf die Viskosität der Luft und somit<br />
auch auf die Strömung um den Flügel hat.<br />
Der Auftriebskoeffizient ist nur von dem Anstellwinkel, der Profildicke und der<br />
Profilkrümmung abhängig. Da diese Parameter auf beliebig viele Komastellen<br />
eingegeben werden können, entsteht kein Eingabefehler.<br />
Die ausgegebenen Werte sind hingegen gerundet. Die Auftriebskraft wird auf Newton<br />
genau und der Auftriebskoeffizient auf drei Stellen nach dem Komma gerundet. Wir<br />
interessieren uns nur für den Auftriebskoeffizienten, bei dem der Ausgabefehler<br />
daher maximal 0.0005 beträgt. Daraus ergibt sich eine maximale absolute<br />
Abweichung in der Auftriebsberechnung von:<br />
1 2<br />
1 101325 76⋅1000<br />
2<br />
∆FAuftrieb<br />
< ρ v ⋅ A ⋅ ∆C<br />
A = ( ) ⋅ ( ) ⋅11,<br />
61⋅<br />
,0 0005 ≈<br />
2<br />
2<br />
287 ⋅288,<br />
15<br />
3600<br />
.0 0158<br />
Bei einer Auftriebskraft von mindestens 7161.3N , beträgt die relative Abweichung<br />
bloss:<br />
R elative<br />
Abweichung<br />
=<br />
100<br />
7161.<br />
3<br />
⋅<br />
.0 0158<br />
=<br />
.0 000221%<br />
Der Simulator ist also sehr genau, entspricht allerdings nicht vollkommen der<br />
Realität. Doch da die Verhältnisse in der Realität sehr unterschiedlich sind, können<br />
wir die simulierten Werte ohne weiteres als Referenz nehmen.<br />
6.4 Eigenschaften verschiedener Joukowski-Profile<br />
Im nun folgenden Kapitel soll der Einfluss der bei Joukowski-Profilen veränderbaren<br />
Parameter auf den Auftriebskoeffizienten untersucht werden. Dabei nehmen wir ein<br />
definiertes Profil (Profilkrümmung 9%, Profildicke 13%, Anstellwinkel 5°), bei dem wir<br />
jeweils einen Faktor verändern. Auf die Profiltiefe wird hier nicht speziell<br />
eingegangen, denn, obwohl sie die Flügelfläche und somit auch die Auftriebskraft<br />
beeinflusst, hat sie keinen Einfluss auf den Auftriebskoeffizienten.<br />
6.4.1 Veränderung des Einstellwinkels<br />
Der Anstellwinkel verändert sich bei unterschiedlichen Fluglagen. Der Einstellwinkel<br />
ist hingegen eine konstruktive Massnahme, um den Auftriebskoeffizienten zu<br />
beeinflussen. Wir gehen davon aus, dass sich das Flugzeug im Horizontalflug<br />
befindet. Es gilt also:<br />
Anstellwinkel = Einstellwinkel<br />
N
- 43 -<br />
Verändern wir den Anstellwinkel unseres definierten Profils zwischen -20° und +20°<br />
erhalten wir folgende CA-Werte :<br />
Abbildung 6.13: Einfluss des Anstellwinkels auf den Auftriebskoeffizienten<br />
Der Anstellwinkel wirkt sich beinahe linear auf CA aus. Ein grosser Einstellwinkel<br />
erhöht den Widerstand, maximiert aber den Auftrieb. Dabei ist allerdings zu<br />
berücksichtigen, dass ein grosser Einstellwinkel die Manövrierbarkeit des<br />
Flugzeuges beeinträchtigt. Wird der Anstellwinkel nämlich zu gross, kann die<br />
Strömung auf der Flügeloberseite dem Profil nicht mehr folgen und löst sich ab. Es<br />
kommt zu Verwirbelungen der Strömung. Im Extremfall kann Luft aus dem hohen<br />
Druckgebiet der Profilunterseite hinter dem Flügel auf die Profiloberseite gelangen.<br />
Ein Strömungsabriss bremst nicht nur das Flugzeug, sondern verringert den Auftrieb<br />
massiv.<br />
Abbildung 6.14: Strömungsabriss bei einem Flügel 40<br />
40 Grieder, Karl, Swissair-Flugzeuge, Meier Verlag, Schaffhausen 1981, S. 38<br />
© Damian Pang
- 44 -<br />
Generell nimmt der Auftriebskoeffizient also bei einem grösseren Anstellwinkel zu,<br />
bis zur Ablösung der Strömung, wo er wieder stark abnimmt.<br />
Abbildung 6.15: CA-Verlauf bei verschiedenen Anstellwinkeln<br />
6.4.2 Veränderung der Profilkrümmung<br />
Die Abbildung 6.16 zeigt den Einfluss der Profilkrümmung auf den<br />
Auftriebskoeffizienten unseres Beispielprofils:<br />
Abbildung 6.16: Einfluss der Profilkrümmung auf den Auftriebskoeffizienten<br />
Der Einfluss der Profilkrümmung auf CA ist diesmal exakt eine lineare Funktion. Für<br />
den Bereich zwischen -25% und +25% gilt:<br />
�C A<br />
= 0.123106 ⋅<br />
Profilkrümmung<br />
in<br />
%<br />
der<br />
Profiltiefe<br />
© Damian Pang<br />
© Damian Pang
- 45 -<br />
Eine starke Profilkrümmung wirkt sich positiv auf den Auftrieb aus, erzeugt jedoch<br />
auch mehr Widerstand. Ausserdem verringert eine hohe Profilkrümmung den<br />
minimalen Anstellwinkel vor einem Strömungsabriss. Die dadurch entstehende<br />
Manövrierfähigkeitsminderung ist allerdings wesentlich kleiner als bei einem höheren<br />
Einstellwinkel.<br />
6.4.3 Veränderung der Profildicke<br />
Die Profildicke kann den Auftriebskoeffizienten nur sehr geringfügig positiv<br />
beeinflussen.<br />
Abbildung 6.17: Einfluss der Profilkrümmung auf den Auftriebskoeffizienten<br />
Übersteigt die Profildicke bei einem bestimmten Anstellwinkel einen kritischen Wert,<br />
verringert sich der Auftrieb, da die Strömung auf der Profilunterseite dann<br />
beschleunigt, statt abgebremst wird. Die Abbildung 6.18 zeigt zwei Profile mit<br />
unterschiedlicher Profildicke. Beim grauen Profil fällt die Wölbung im ersten Drittel<br />
der Profilunterseite auf. Dort wird die Strömung beschleunigt, anstatt abgebremst.<br />
Der Auftrieb verringert sich.<br />
Abbildung 6.18: Zu dickes Profil<br />
© Damian Pang<br />
Dieser negative Einfluss kann durch einen grösseren Einstellwinkel oder durch eine<br />
kleinere Profilkrümmung behoben werden.<br />
© Damian Pang
6.4.4 Wahl des Profils<br />
- 46 -<br />
Die Profildicke verändert den Auftrieb nur minimal. Da der Einstellwinkel die<br />
Manövrierfähigkeit stärker beeinträchtigt als die Profilkrümmung, versuchen wir den<br />
Einstellwinkel möglichst niedrig zu halten. Unsere Profilform wird also eine sehr<br />
starke Krümmung haben.<br />
Bei einem sehr dünnen Flügel gestaltet sich eine stabile Konstruktion sehr schwierig.<br />
Aus diesem Grund soll unser Flügel eine Profildicke von minimal 10% der Profiltiefe<br />
haben. Die Tabelle 6.1 zeigt bei verschiedenen Einstellwinkeln die maximale<br />
Profilkrümmung, bei der sich eine Profildicke von 10% nicht negativ auf den Auftrieb<br />
auswirkt. Die Tabelle zeigt daneben auch den maximalen Auftriebskoeffizienten mit<br />
diesen Angaben.<br />
Tabelle 6.1: Maximale Profilkrümmung bei unterschiedlichen Anstellwinkeln<br />
Wir suchen einen CA-Wert von 2.259. Aus der Tabelle 6.1 geht hervor, dass bei einer<br />
Profildicke von 10% der Anstellwinkel mindestens 3° betragen muss. Wir erhalten<br />
daraus bei einem Einstellwinkel von 3° und einer Profildicke von 10% für C = .2 259<br />
eine Profilkrümmung von 15,275%.<br />
© Damian Pang<br />
Mit FoilSim können wir damit die Profilform für einen Joukowski-Flügel berechnen.<br />
Die Tabelle 5.6 zeigt die Koordinaten (X,Y) der Profiloberseite (Upper Surface) und<br />
der Profilunterseite (Lower Surface), sowie den Druck (P, in Pfund pro Quadratinch)<br />
und die Strömungsgeschwindigkeit (V, in Meilen pro Stunde):<br />
A
- 47 -<br />
Tabelle 6.2: Daten unseres Flügelprofils<br />
Daraus können wir die Flügelform und die Druckverteilung graphisch darstellen:<br />
© Damian Pang<br />
Abbildung 6.19: Unser Flügelprofil
- 48 -<br />
Abbildung 6.20: Druckverteilung an unserem Flügel<br />
© Damian Pang
7 Modell<br />
- 49 -<br />
Ein Modell 41 repräsentiert ein Original, erfasst aber nicht alle Attribute des Originals,<br />
sondern nur jene die dem Modellschaffenden relevant erscheinen. Was für ein<br />
Modell erstellt wird, hängt stark von dem Ziel ab, zu dem das Modell verwendet wird.<br />
7.1 Unser Modell<br />
7.1.1 Ziel unseres Modells<br />
Unser Modell soll zwei Ziele erfüllen:<br />
��Das Modell soll unser Profil, beziehungsweise einen Ausschnitt unseres<br />
Flügels veranschaulichen.<br />
��Das Modell soll zu experimentellen Zwecken verwendet werden können.<br />
7.1.2 Technische Zeichnung<br />
Eine Zeichnung in einem bestimmten Massstab gibt die Form des Profils exakt<br />
wieder. Im Gegensatz zu einer einfachen Zeichnung enthält die technische<br />
Zeichnung zusätzliche Informationen, beispielsweise Hilfslinien, Masse oder<br />
Beschriftungen. Die Abbildung 7.1 zeigt eine technische Zeichnung unseres Profils<br />
im Massstab 1:8 und ist bereits ein Modell.<br />
Abbildung 7.1: Technische Zeichnung unseres Profils<br />
Dieses Modell (technische Zeichnung) zeigt unseren Flügel nur in der<br />
zweidimensionalen Ebene. Vor allem aber lassen sich keine Experimente an einer<br />
Zeichnung durchführen. Die technische Zeichnung ist allerdings die Grundlage zum<br />
Bau eines viel besseren Modells, das sogar dreidimensionale Zeichnungen in den<br />
Schatten stellt : ein dreidimensionaler Körper.<br />
41 Neues Grosses Lexikon in Farbe, S. 480
7.1.3 Vollkörper<br />
- 50 -<br />
Ob bei grossen Airlinern oder bei kleinen Sportflugzeugen; die Flügel werden meist<br />
aus Rippen, Stegen und Holmen gebaut, die mit Metall, Stoff oder einer<br />
Kunststofffolie bespannt sind. Die Abbildung 7.2 zeigt den Aufbau eines solchen<br />
Flügels:<br />
Abbildung 7.2: Aufbau eines Flügels 42<br />
Viele Modellbauer greifen ebenfalls auf diese Bauweise zurück. Solche Modelle sind<br />
zwar sehr leicht, sind aber nicht sonderlich stabil. Da viele Einzelteile<br />
zusammengesetzt und gemeinsam bespannt werden, können bereits kleine<br />
Ungenauigkeiten zu einem unförmigen Flügel führen.<br />
Wir beabsichtigen nicht, ein flugfähiges Modellflugzeug zu bauen. Aus diesem Grund<br />
spielt das Gewicht des Modells eine untergeordnete Rolle. Wir können daher ohne<br />
Probleme ein Vollkörpermodell bauen, was nicht nur weniger Zeit beansprucht,<br />
sondern auch viel genauer ist.<br />
7.1.4 Grösse des Modells<br />
Unser Flügel ist homogen, das Profil ist also von der Flügelspitze bis zur<br />
Flügelwurzel genau gleich. Somit kann ein Flügelausschnitt sowohl bei einem<br />
Experiment wie auch beim betrachten als repräsentativ für den ganzen Flügel<br />
angesehen werden. Es reicht also aus, wenn unser Modell bloss aus einem<br />
Flügelausschnitt besteht.<br />
42 Guggiari, Bruno, Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, Kapitel 3 – 1 – 1 S.2
- 51 -<br />
Je grösser das Modell ist, desto genauer werden die Messwerte bei den<br />
Experimenten. Ein grosses Modell ist meist auch anschaulicher als ein kleineres. Für<br />
die Experimente steht uns jedoch nur ein kleines Gebläse zur Verfügung. Um<br />
brauchbare Messdaten zu erhalten, muss das ganze Profil angeströmt werden.<br />
Aufgrund der Profildicke und der starken Profilkrümmung, entschieden wir uns für<br />
den Massstab 1:8, bei dieser Grösse kann das gesamte Profil angeströmt werden.<br />
Unser Flügel hat eine Flügeltiefe von 1.181 m. Bei einem Massstab von 1:8, erhält<br />
das Modell somit eine Flügeltiefe von 14.76 cm.<br />
7.1.5 Herstellung des Modells<br />
Um eine möglichst genaue Anfertigung bemüht, suchten wir nach geeigneten<br />
Methoden, um unser gewünschtes Modell herzustellen. Am genausten schien uns<br />
eine maschinelle Herstellung. So setzten wir uns mit der „Heinrich Reichlin<br />
Décolletage & mech. Werkstatt“ 43 in Verbindung. Herr Reichlin half uns, unser Modell<br />
CNC zu fräsen. Da wir bei unserem Flügelprofil über keinerlei CAD-Daten verfügten,<br />
mussten wir das Profil im Massstab 1:8 ausdrucken und Herrn Reichlin übergeben.<br />
Er las diese Zeichnung in seine CAD-Software ein und konnte so die Form direkt an<br />
die Fräsmaschine senden. So wurde unser Modell maschinell aus einem<br />
Aluminiumblock gefräst. Da die Werkstatt über keine Maschinen verfügt, die das<br />
gesamte Modell auf einmal in seiner ganzen Länge hätte fräsen können, stellten wir<br />
vier jeweils ca. 5 cm lange Stücke her, die wir mit Klebstoff zusammenfügten.<br />
Abbildung 7.3: Vollkörpermodell aus Aluminium<br />
43 HR Heinrich Reichlin Baar Décolletage & Mech. Werkstatt, Sihlbruggstr. 103, 6340 Baar
- 52 -<br />
Die vier gefrästen Aluminiumprofile sind absolut identisch und sehr genau. Die<br />
einzige Ungenauigkeit in der Profilform sind die ersten Zentimeter der<br />
Profilunterseite, wo das Profil ein paar Millimeter zu dünn ist. Weitere<br />
Ungenauigkeiten sind die Rillen, die deutlich erkennen lassen, dass unser Modell<br />
aus vier Teilen zusammengefügt wurde, sowie kleinere Spuren von Klebstoff auf<br />
dem Modell. Alles in allem erfüllt das Modell aber unsere Zwecke.<br />
Um unser Modell zu schützen, lackierten wir es nach den Experimenten in silberner<br />
Farbe.<br />
7.2 Experimente<br />
7.2.1 Ziele<br />
Mit Hilfe von FoilSim konnten wir zwar den Auftrieb unseres Flügels berechnen,<br />
jedoch nicht den Widerstand. Da wir keinen Zugang zu einem Windkanal haben, ist<br />
es nicht möglich, den Widerstand absolut zu messen. Wir können jedoch in simplen<br />
Experimenten das Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand bei verschiedenen<br />
Anstellwinkeln messen, um so etwas über die Qualität unseres Flügels zu erfahren.<br />
7.2.2 Auftrieb<br />
In einer ersten Experimentreihe massen wir den Auftrieb bei verschiedenen<br />
Anstellwinkeln. Die Abbildung 7.4 zeigt die Experimentanordnung.<br />
Abbildung 7.4: Experimentanordnung zur Messung des Auftriebs
- 53 -<br />
Aus dieser Experimentreihe erhielten wir folgende Daten:<br />
Tabelle 7.1: Auftrieb bei verschiedenen Anstellwinkeln<br />
Die Abbildung 7.5 zeigt den gemessenen Verlauf des Auftriebs, sowie eine<br />
Vergleichslinie zum theoretischen Verlauf des Auftriebs, wie er in Kapitel 6.4.1<br />
behandelt wurde:<br />
Abbildung 7.5: Auftrieb bei unterschiedlichen Anstellwinkeln
- 54 -<br />
Die Abweichungen ab einem Anstellwinkel von +15° bzw. -15° lässt sich durch das<br />
zu kleine Gebläse erklären, dass ab diesen Anstellwinkeln nicht mehr das ganze<br />
Modell anströmen konnte.<br />
7.2.3 Widerstand<br />
In einer zweiten Experimentreihe massen wir den Widerstand bei verschiedenen<br />
Anstellwinkeln. Die Abbildung 7.6 zeigt die Experimentanordnung.<br />
Abbildung 7.6: Experimentanordnung zur Messung des Widerstands<br />
Die Tabelle 7.2 zeigt die Daten, die wir aus diesem Experiment erhielten:
- 55 -<br />
Tabelle 7.2: Widerstand bei verschiedenen Anstellwinkeln<br />
7.2.4 Diskussion der Messdaten<br />
Wie bereits erwähnt, können die Messdaten nicht absolut betrachtet werden, da sie<br />
nicht unter Laborbedingungen entstanden und somit sehr ungenau sind. Wir können<br />
aber das Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand analysieren.<br />
Die Abbildung 7.7 zeigt das Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand. Dieser<br />
Wert gibt also an, wie viel Newton Auftrieb pro Newton Widerstand erzeugt wird bei<br />
verschiedenen Anstellwinkeln:<br />
Abbildung 7.7: Widerstand bei verschiedenen Anstellwinkeln
- 56 -<br />
Genauso wie der Auftrieb, nimmt auch der Widerstand quadratisch mit der<br />
Geschwindigkeit zu. Dies wird aus der Formel für den Widertand deutlich. Der<br />
Widerstandskoeffizient CW ist von der Körperform, der Querschnittfläche und der<br />
Oberflächenbeschaffenheit des Flügels abhängig.<br />
Formel 7.1: Widerstand 44<br />
Daraus lässt sich schliessen, dass dieses Verhältnis zwischen Auftrieb und<br />
Widerstand bei allen Geschwindigkeiten gilt.<br />
Da wir keine Vergleichsdaten finden konnten, ist es schwierig dieses Ergebnis zu<br />
bewerten. Wir beide waren jedoch positiv von diesem Resultat überrascht, da wir bei<br />
einer so starken Profilkrümmung mit einem viel grösseren Widerstand rechneten.<br />
Fest steht auch, dass unser Flugzeug viel wirtschaftlicher ist, als ein Fluggerät, das<br />
den Auftrieb durch Schub erzeugt.<br />
FWiders tan d =<br />
CW<br />
ρ v<br />
44 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 4 S. 5<br />
1<br />
2<br />
2<br />
A<br />
(7.1)
- 57 -<br />
8 Schlussdiskussion<br />
Unsere Arbeit zeigt die Basiselemente der Aerodynamik, sowohl theoretisch als auch<br />
in praktischen Experimenten. So konnten wir beispielsweise die Faktoren, die den<br />
Widerstand beeinflussen, experimentell bestimmen. Wir konnten auch aufzeigen,<br />
wie die Aerodynamik mit der Meteorologie und diese wiederum mit der<br />
Chemie verknüpft ist.<br />
Unsere Arbeit zeigt auch, dass es möglich ist, die Eigenschaften gewisser Flügel rein<br />
mathematisch zu berechnen. Dadurch lässt sich ein ganzer Flügel rein theoretisch<br />
erstellen. In diesem Zusammenhang konnten wir auch eine Möglichkeit zeigen, wie<br />
man sich in verschiedenen Schritten, einem Flügelprofil mit einer bestimmten<br />
Eigenschaft annähert. Gleichzeitig mussten wir aber auch feststellen, dass man in<br />
der Aerodynamik ohne Möglichkeiten für zuverlässige Experimente, sehr schnell an<br />
die grenzen der Möglichkeiten stösst. So ist es beispielsweise nicht möglich,<br />
geeignete Winglets zu erstellen, oder den Widerstand des Flügels zu evaluieren.<br />
Durch die beschränkten Mittel konnten wir bloss ungenaue Experimente durchführen,<br />
aus denen bloss eine Tendenz abgeleitet werden kann.<br />
Im Allgemeinen können wir sagen, dass wir unsere Aufgabenstellung beantworten<br />
konnten. Wir sind fest davon überzeugt, dass unser Flügel ein echtes Flugzeug in die<br />
Lüfte bringen könnte. Der Menschheitstraum vom Fliegen könnte so einmal mehr<br />
Realität werden.
- 58 -<br />
<strong>Eigenständigkeitserklärung</strong><br />
Wir bestätigen, dass wir diese Arbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die<br />
angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt haben.<br />
Die Autoren<br />
Ort: 5610 Wohlen Datum: 25. Januar 2005<br />
Damian Pang Guido Hungerbühler
Bibliographie<br />
Bücher<br />
- 59 -<br />
Bammert, Gallus: Grundlagen und Verfahren für die fliegerische<br />
Basisausbildung, AeCS, Luzern 1996<br />
Benson, Thomas J.: Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory,<br />
NASA Lewis Research Center, Cleveland 1996<br />
Bundesgesetz über die Luftfahrt<br />
Diamond Aircraft Industries: Katana DA20, Wiener Neustadt 2004<br />
DMK & DPK: Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli<br />
Verlag, Zürich 2001<br />
Eichenberger, Willy: Aerodynamik und Flugmechanik, Bundesamt für<br />
Zivilluftfahrt, Bern 1974<br />
FFA Flug und Fahrzeugwerke: Flughandbuch AS202 Bravo, Altenrhein 1972<br />
Grieder, Karl: Swissair-Flugzeuge, Meier Verlag, Schaffhausen 1981<br />
Guggiari, Bruno: Principles of Flight, Aero-Club der Schweiz, Luzern 2001<br />
Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, Ausgabe 02, Aero-Club<br />
der Schweiz, Luzern 2001<br />
Atmosphäre, 2. Ausgabe, Aero Club der Schweiz, Luzern<br />
1998<br />
Kreyszig, Erwin: Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons<br />
Inc. 1979<br />
Meyer, Werner: Periodic Table Of The Elements, Werner Meyer AG,<br />
Hergiswil 1999<br />
Neues Grosses Lexikon in Farbe, Buch und Zeit Verlagsgesellschaft mbH, Köln 1995<br />
Weichelt, Peter: Principles of Flight, Aero-Club der Schweiz, Luzern 2001<br />
Weinholtz, Franz: Der Segelflugzeugführer, Luftfahrtverlag, Bergisch<br />
Gladbach 1997
Internet<br />
- 60 -<br />
http://www.diam.unige.it/~irro/profilo3_d.html (Webseite der Universität von Genova)<br />
http://www.diamond-air.at/de/products/DA20-A1 (Webseite des Herstellers der<br />
Katana)<br />
http://www.alexander-schleicher.de/produkte/ash25/ash25_daten.htm (Webseite des<br />
Herstellers der ASH-25)<br />
http://www.geographie.ruhr-uni-bochum.de/agklima/vorlesung/aufbau/chemie.html<br />
(Webseite der Universität Bochum, erstellt von Prof. Dr. Heribert Fleer)<br />
www.airliners.net (Bildersammlung über die Luftfahrt)