Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur - Freiherr-vom ...

Freiherr-vom-Stein Schule
Fach: Mathematik
Herr Pfaffenbach
Logistisches
Wachstum
am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
16.04.2012

Inhaltsverzeichnis
Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
1.0 Vorwort .............................................................................................3
2.0 Logistisches Wachstum allgemein ......................................................4
2.1 Unterschied vom logistischen Wachstum zum exponentiellen und
linearen Wachstum ...............................................................................5
2.1.1 Lineares Wachstum ...................................................................5
2.1.2 Exponentielles Wachstum:.........................................................5
2.1.3 Logistisches Wachstum: ............................................................6
3.0 Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur..........................7
3.1 Berechnung der Wachstumsgleichung des gegebenen Beispiels ........8
3.2 Graph ...........................................................................................14
3.3 Warum wird das Wachstum gehemmt? ..........................................14
4.0 Schlusswort .....................................................................................15
5.0 Quellenanhang .................................................................................16
6.0 Abbildungsverzeichnis .....................................................................16
2

1.0 Vorwort
Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
Ich habe mich für das Thema „logistisches Wachstum an Hand einer Hefekultur“
entschieden, da es nicht nur zu dem Fach Mathematik passt, indem ich meine
Jahresarbeit schreibe, sondern zusätzlich noch etwas mit dem Fach Biologie zu tun hat,
dass einer meiner Leistungskurse seit der O 11 ist.
Zu Beginn meiner Jahresarbeit werde ich in 2.0 das logistische Wachstum allgemein
eingehen, mit den Fragen „Was ist das logistische Wachstum?“ & „Wie kamen die
Menschen auf das logistische Wachstum?“
Da das logistische Wachstum und das exponentielle Wachstum nah bei einander liegen
und viel miteinander zu tun haben, werde ich in 2.1 den Unterschied vom logistischen
Wachstum zum exponentiellen und linearen Wachstum erläutern.
In 3.1 und 3.2 werde ich nun auf den mathematischen Bereich meiner Jahresarbeit
eingehen, indem ich in 3.1 eine Wachstumsgleichung für mein Beispiel errechne und in
3.2 einen Graphen dazu zeichne.
Da mein Graph ab dem Wert 600mg Hefe nur noch langsam steigt und ab dem Wert
665mg Hefe gradlinig ausläuft, werde ich in 3.3 erklären, warum dies passiert.
Zuletzt werde ich nun in 4.0 ein Schlusswort über meine gesamte Jahresarbeit verfassen
und danach in 5.0 meine genutzten Internetquellen und eventuellen Buchquellen im
Quellenanhang angeben.
3

Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
2.0 Logistisches Wachstum allgemein
Die bis ca. 1830 einzig bekannten
Wachstumsarten waren das lineare – und
exponentielle Wachstum, welche
kontinuierlich ansteigen. Nach einer
gewissen Zeit des Wachstums wird jedoch
im Beispiel einer Population von
Lebewesen durch äußere Umwelteinflüsse
eine Grenze erreicht. Diese äußeren
Umwelteinflüsse, wie zum Beispiel
ansteckende Krankheiten, Nahrungs- und
Platzmangel und Feinde, sorgen dafür, dass
die Populationsrate sinkt. Man geht davon aus, dass bei einer steigenden Population die
Sterberate steigt und die Geburtenrate sinkt. Dies ist logisch erklärbar, da je höher die
Population ist auch mehr Nahrung und Platz benötigt wird, welche/r jedoch nicht
unbegrenzt ist. Somit wirkt sich eine große Population hemmend auf die Geburtenrate
und fördernd auf die Sterberate aus. 1
Der belgische Mathematiker Pierre – François Verhulst, geboren am 28. Oktober 1804
und gestorben am 15. Februar 1849, beschäftigte sich damit, ein solches Wachstum
aufzustellen, welches die Population der Menschen ( s.o ) mit verschiedenen
Umweltfaktoren berücksichtigt. 1838 stellte er ein mathematisches Modell des
Bevölkerungswachstums auf, basierend auf Statistiken, welches die Theorie des
exponentiellen Wachstums durch wachstumshemmende Faktoren ergänzt. 2
Dieses aufgestellte Wachstum nennt man logistisches Wachstum, welches der Realität,
unter Berücksichtigung verschiedener Umweltfaktoren nahe kommt. Betrachtet man
jedoch die Bevölkerungszahlen sieht man, dass global betrachtet die
Weltbevölkerungswachstumsrate steigt. Somit kann man nicht die Realität darstellen
sondern nur Prognosen aufstellen. 3
1 und 3 http://www.bi-on.de/mixed/pdf/m3_script.pdf
2 http://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst
4
Abbildung 1

2.1.3 Logistisches Wachstum:
Eine logistische Funktion
stellt ein Wachstum da,
welches exponentiell
ansteigt und durch
wachstumshemmende
Faktoren zu einer
Sättigung führt.
Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Abbildung 4
Katharina Reichert
Vergleicht man das lineare Wachstum mit dem logistischen Wachstum, sieht man
keinerlei Ähnlichkeit, da, wie oben erklärt, dass logistische Wachstum erst exponentiell
ansteigt und ab einem bestimmten Punkt die wachstumshemmenden Faktoren zu einer
Sättigung des Graphen führen. Somit hat das logistische Wachstum keinen
Zusammenhang mit dem linearen Wachstum.
Im Gegensatz zu dem linearen Wachstum bestehen zwischen dem exponentiellen und
dem logistischen Wachstum Gemeinsamkeiten- und Ähnlichkeiten. Diese bestehen
darin, dass das logistische Wachstum am Anfang exponentiell wächst, es aber jedoch ab
einem bestimmten Punkt, durch wachstumshemmende Faktoren, gleichbleibend verläuft
oder sogar absinkt. Somit ist das logistische Wachstum eine Darstellung des
exponentiellen Wachstums mit wachstumshemmenden Faktoren.
6

Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
3.0 Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Vorgegebene Tabelle:
Abbildung 5
Aufgabenstellung:
Der Hefepilz dient als wichtige Substanz nicht nur beim Backen, sondern auch bei der
Produktion von Alkohol. Der Stoffwechsel dieses Organismus ist ausgiebig
wissenschaftlich erforscht worden. Bereits 1913 hat Carlson das Wachstum von
Hefekulturen mit großer Sorgfalt untersucht ( Tabelle oben ). Seine Daten geben bereits
damals Anlass, sich genauere Gedanken über die möglichst exakte mathematische
Beschreibung eines solchen Wachstumsprozesses zu machen, und führten schließlich
zum Modell des logistischen Wachstums.
Beschreiben Sie die Eigenschaften und das Modell des logistischen Wachstums anhand
des obigen Beispiels und stellen Sie eine Wachstumsgleichung für die dargestellte
Hefekultur auf.
7

3.2 Graph
Abbildung 7
Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
3.3 Warum wird das Wachstum gehemmt?
Stelle ich mir nun die Frage, warum die Hefe nicht bis ins unendliche (und zwar
exponentiell ) wächst, sondern einen Grenzwert erreicht, bin ich auf das Ergebnis
gekommen, dass bei einem Hefewachstum nicht nur die Hefe wächst, sondern durch
den Stoffwechsel der Pilze auch Alkohol produziert wird.
Dieser produzierte Alkohol wirkt hemmend auf das Hefewachstum und sorgt somit ab
einer bestimmten Menge produzierten Alkohols dafür, dass die Hefe nicht mehr weiter
wächst, sondern gleichbleibend bleibt. Bei der realen alkoholischen Gärung durch
Hefepilze sterben diese durch ihr Stoffwechselprodukt Alkohol (genauer gesagt
Ethanol) aufgrund dessen Wirkung der Eiweißdenaturierung und Zerstörung der
Zellmembran durch seine wasserziehende (hygroskopische) Fähigkeit ab.
14

4.0 Schlusswort
Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
Ich hoffe, dass ich in meiner Jahresarbeit das Thema logistisches Wachstum
ausreichend erklärt und dargestellt habe.
Was eine logistische Funktion darstellen soll habe ich schnell und gut verstanden und
hoffe, dass ich es unter Punkt 2. gut und anschaulich an dem Beispiel des
Bevölkerungswachstums erklärt habe.
Unter Punkte 3. habe ich versucht, anhand des mir vorgegebenen Beispiels, eine
Wachstumsgleichung aufzustellen. Dies fiel mir zunächst sehr schwer. Deshalb habe ich
mir, für das Verständnis der allgemeinen logistischen Formel, Hilfe bei einem
ehemaligen Schüler der Freiherr – vom – Stein Schule geholt.
Nach vielen Recherchen und der Hilfe des ehemaligen Schülers konnte ich durch
mehrere Rechnungen die Wachstumsgleichung für mein gegebenes Beispiel aufstellen.
Das Wissen um die Berechnung von logistischem Wachstum und seiner einzelnen
Faktoren zeigt mir persönlich verschiedene Möglichkeiten auf. So lassen sich zum
Beispiel frühzeitig, an Hand von errechneten Prognosen, Maßnahmen einleiten, um
Lebensmittelknappheit in einem Land mit hoher Bevölkerungsrate zu verhindern, da sie
früh genug errechnet werden können. Oder, das auch in einem Land mit steigenden
Rentnerzahlen, das Kinderkriegen wieder attraktiver für junge Erwachsene gestalten
wird. Es können jedoch nur Prognosen aufgestellt werden und nicht immer die Realität
widergespiegelt werden.
Ich persönlich glaube, nach meinen Erkenntnissen über das logistische Wachstum, das
all diese Formeln und Berechnungen zwar äußerst wichtig für die Erstellung von
Prognosen in vielen Bereichen unseres alltäglichen Lebens sind, aber wie schon oben
erklärt, eben nur Prognosen sein können und nicht immer die Realität widerspiegeln
bzw. nicht zu hundert Prozent verwendbar sind.
15

5.0 Quellenanhang
Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur
Katharina Reichert
http://de.inforapid.org/index.php?search=Pierre-Fran%C3%A7ois%20Verhulst
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentielles_Wachstum
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst
http://materialien.goethe-oberschuleberlin.de/natur/mathe/material/4_klasse10/Wachstumsmodelle/wm5_logi.pdf
http://translate.google.de/translate?hl=de&langpair=en%7Cde&u=http://www.utm.edu/
departments/biology/rirwin/441_442/441LogGrowth.htm
http://www.bi-on.de/mixed/pdf/m3_script.pdf
http://www.delfs-swora.de/Mselbstlernmaterial/Ref_logistisches_wachstum.htm
http://www.dieterheidorn.de/Mathematik/RP_Analysis2/K2_Exponentialfunktionen/K9_Wachstum/K93_
logWachs/K93_logWachs.html 6
http://www.fraktalwelt.de/systeme/fa_chaos.pdf
http://www.fraktalwelt.de/systeme/fa_chaos.pdf
http://www.juergenmeisel.de/schule_mathe_themen/wachstum/expo_02.pdf
6.0 Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: http://apprendre-math.info/history/photos/Verhulst.jpeg
Abbildung 2, 3 und 4:
http://www.google.de/imgres?q=lineares+wachstum&hl=de&biw=1280&bih=549&gbv
=2&tbm=isch&tbnid=HSpldmHKDKwUOM:&imgrefurl=http://www.rwjaeger.de/dyna
sys/&docid=vS63V9NIZcS99M&imgurl=http://www.rwjaeger.de/dynasys/37a1graf.gif
&w=267&h=229&ei=NKWIT_ntBcn5sgaD_s3RBw&zoom=1&iact=rc&dur=78&sig=
115947364861302175172&page=1&tbnh=144&tbnw=168&start=0&ndsp=10&ved=1t:
429,r:6,s:0,i:119&tx=66&ty=83
Abbildung 5: Vorgegebenes Arbeitsblatt
Abbildung 6: Ausgleichsgerade zur Tabelle 1
Abbildung 7: Graph zur berechneten Funktion
16