V. Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen

V. Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen
Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen sind immer longitudinale Wellen,
da diesen Medien keine Querkräfte (Scherkräfte, Torsionskräfte) übertragen
können. Betrachten wie eine Schallwelle in einem Rohr mit einem Gas mit
dem statischen Druck p 0 gefüllt. Genau wie bei der longitudinalen Schallwelle
auf einem Stab sind die Gasmoleküle in der Schallwelle komprimiert oder
expandiert :
~
pmax
s(z)
~
pmax
Die lokale Kompression bzw. Expansion führt zu Druckschwankungen,
dem Schallwechseldruck ~
p , der die wichtigste die Schallwelle
charakterisierende Größe ist. Oben sind die Orte des maximalen Schallwechseldrucks
~
p mit eingezeichnet.
max
z
1

Wir betrachten einen kleinen Ausschnitt:
V
∆V
~
p(z)
~
p(z
z z +∆z
∆s
+ ∆z)
Der Schallwechseldruck habe das Volumen V um ∆V zusammengedrückt. auf das
Volumen V wirkt eine resultierende Kraft F:
F = A{ ~ p(z)
-
~
p(
z + ∆z)}
d~
p
= − A⋅
∆z
dz
Wir müssen hier einen kleinen Ausflug in das elastische Verhalten von
Flüssigkeiten und Gasen machen:
A
2

Das elastische Verhalten von Gasen und Flüssigkeiten wird allein durch die Größe
K, den Kompressionsmodul beschrieben, der die Druckänderung dp erzeugt
durch eine Volumenänderung dV angibt:
V, p
dV
dp
dp = −K
dV
V
Wir können in dieser Gleichung dp durch ~
p ersetzen, also:
~ ∆V
∆s
p = −K
= −K
= −K
V ∆z
ds
dz
zusammen ergibt sich:
d~
2
p d s
F = − A⋅ ∆z
= A⋅
K ∆z
2
dz dz
(siehe Zeichnung oben)
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Wie immer erzeugt diese Kraft eine Beschleunigung a der Masse ∆m im
Volumen ∆V:
2
2
d s d s
F = ∆ma
= ρ(
A∆z)
= A⋅
K ∆z
2
2
dt dz
2
d s
2
dt
oder:
=
K
ρ
2
d s
2
dz
Das ist eine Form der berühmten Wellengleichung, mit ähnlichen Gleichungen
werden alle Wellen beschrieben.
4

Mit dem üblichen Ansatz für die longitudinale Auslenkung erhält man:
s(
z,
t)
d
d
d
2
2
2
= s
s(
z,
t)
2
dt
s(
z,
t)
2
dz
s(
z,
t)
2
dt
0
cos( ωt
−
= −ω
= −k
2
2
⎛ ω
= ⎜
⎝ k
2
2
s
s
0
0
cos( ωt
−
⎞ d
⎟
⎠
cos( ωt
−
2
kz)
s(
z,
t)
2
dz
kz)
kz)
also
zusammen :
Für die Phasengeschwindigkeit vph, genannt auch die Schallgeschwindigkeit
cs, folgt hieraus:
cs
=
K
ρ
Ähnliche Formeln kann man auch für alle anderen Wellen ausrechnen, für eine
gespannte Gitarrensaite gilt z.B. :
cs
=
σ
ρ
mit der mechanischen Spannug σ=F/Α
5

K und ρ sind für Gase stark temperaturabhängig, nach der Theorie der idealen
Gase folgt: (M :Molmasse Gas, R:Gaskonstante,
κRT
cs = κ: Adiabatenexponent)
M
Beispiele für Schallgeschwindigkeiten gibt die Tabelle:
Wasser 1,49
Luft
(10 5 Pa; 20 °C)
Wasserstoff H 2
(10 5 Pa; 20 °C)
c s (km/s)
0,331
1,28
Da Schallwellen in Luft im täglichen Leben sehr wichtig sind, wollen wir uns
diese Wellen im nächsten Kapitel noch einmal genauer ansehen.
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Schallwellen, technisch
Wie oben abgeleitet, gilt für die longitudinalen Schallauslenkung:
s(z, t) = s0
cos( ωt
− kz)
Daraus folgt für die Geschwindigkeitsamplitude (oder Schallschnelle)
v~ ( t, z)
= −ω
s sin( ωt
− kz)
0
v~ = s&
Den Schallwechseldruck erhalten wir unter Benutzung der Bewegungsglch. von
oben:
~ 2
dp
d s dv~
− = ρ = ρ 2
dz dt dt und Integration:
~ ~ dv~
2
p = ∫ dp
= −ρ∫
dz = ρω s0
dt ∫
2
ω s
= −ρ
k
0
sin( ωt
− kz)
cos( ωt
− kz)
dz
7
:

Es gibt also einen einfachen Zusammenhang zwischen der Schallschnelle
und dem Schallwechseldruck:
~ p = ρ
cs
Für die Schallwelle ergibt sich also folgendes Bild:
p 0
v~
s(z)
v~ ( z)
~ p(
z)
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Stehende Schallwellen kann man sehr schön in einem mit Korkstaub gefüllten
Rohr sichtbar machen:
z

Vorführung Kundtsche Staubfiguren
In einem geschlossene Rohr erzeugen wir eine stehende Schallwelle:
~
λ/2
v~ ( z)
An den Knoten der Schallschnelle sammelt sich das Korkpulver.
Die Knoten erscheinen im Abstand von λ/2. Die Staubfiguren kann man benutzen,
um Wellenlängen usw. auszumessen.
Die Schallintensität I s spielt in der Technik eine große Rolle, deshalb wollen wir
sie hier etwas genauer betrachten.
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Schallintensität
Wie weiter oben allgemein abgeleitet, geht man bei der Berechnung der Intensität
zunächst von der Energie der Welle aus, die kinetische Energie eine schwingenden
Teilmasse der Schallwelle ist gegeben durch:
E kin
wkin
wkin
=
=
=
1
2
2
v~
1
ρ
2
1
ρ
4
m
2
v~
2
v~
0
Die Dichte der kinetischen Energie ist dann:
Die mittlere kinetische Energiedichte (gemittelt über eine
ganze Schwingung) ist damit:
Die potentielle Energie der Welle hat noch einmal denselben
Betrag w , damit gilt für die
kin = w pot
Intensität I:
1 2 1 2
I = cs
wges
= cs
2 wkin
= cs
ρ v~
0 = cs
ρ ω s
2 2
2
0
10

Schallpegel
Der Zusammenhang zwischen der natürliche Einheit für die Intensität W/m 2
und der in der Technik üblichen Bezeichnung Dezibel (dB) ist
gegeben durch die Definition des Schallpegels L:
I
−12
W
L = 10⋅ log mit I0
= 10 ; =
2
I
m
0
[ L]
dB ( Dezibel)
Der Grund für diese Definition ist, daß die die “Hörschwelle“ des Menschen
ca. bei I 0 liegt und das Ohr die Schallintensitäten “logarithmisch“
wahrnimmt. D.h die “gehörte“ Lautstärke ist proportional zu log(I). Anders gesagt
hört ein Mensch 10 Staubsauger doppelt so laut wie einen Staubsauger und
für 1000 Staubsauger schätzt er eine vierfachen Schallintensität ab.
(Weber-Fechnersches Gesetz)
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Beispiele für Schallpegel
Hörschwelle 0
Flüstern 20
Staubsauger (2m Abst.) 60
Hauptverkehrsstr. (Gehst.) 80
L(dB)
startender Jet (50 m Abst.) 140
Irreversible Schäden am Ohr >100
Schmerzschwelle 120
Technische Frequenzbereiche
Infra- Hörbarer Ultraschall Hyperschall
schall Schall
20 Hz 20kHz 1GHz 1 THz
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Doppler-Effekt
Schallwellen in Luft werden von Luftschwingungen übertagen und sowohl der
Empfänger E als auch die Schallquelle Q können sich gegenüber der Luft
bewegen. Das führt zu Änderungen der von E wahrgenommenen Frequenz
(Dopplereffekt)
Demonstration Dopplereffekt mit rotierender Sirene
Wir betrachten zunächst die Schallwelle bei ruhendem E und Q:
cs Q E
ν0 λ0 ν‘
E hört die in der Zeiteinheit λ0
/ cs = T0
genau eine Schwingung,
d.h. die gehörte Frequenz ist gleich der gesendeten
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Bewegter Empfänger
Jetzt soll sich E auf Q mit der Geschwindigkeit v E zu bewegen:
Q
c s
E
ν0 λ0 ν‘
E hört die in der Zeiteinheit λ0
/( cs
+ vE
) genau eine
Schwingung, d.h. die gehörte Frequenz ν‘ ist höher als die
gesendete ν0: cs
vE
v
ν '=
( cs
+ vE
) / λ0
= ( 1+
) = ν 0(
1+
λ c c
0
s
v E
Genauso hört E eine niedrigere Frequenz wenn er sich von Q mit VE weg bewegt:
vE
' 0(
1 )
c
− =ν ν
s
E
s
)
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Wenn v E>c s ist wird ν‘ negativ. Das ist unphysikalisch und bedeutet, daß
der Schall gar nicht bei E ankommt.
Bewegter Sender
Jetzt soll E ruhen und Q sich mit v Q auf E zu bewegen :
c s
Q E
v Q
ν0 λ‘< λ0 ν‘
Jetzt erzeugt die Quelle Wellenzüge mit der Wellenlänge
λ'
= λ − v T
E hört jetzt die erhöhte Frequenz ν‘ =cS/λ‘ also:
cs
1
ν'=
cs
/ λ'=
= ν0[
]
λ v T v
0 − Q 0
Q
( 1−
)
c
0
Q
0
s
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Genauso gilt, wenn sich E von Q mit v Q weg bewegt:
1
ν '=ν
0[
v
( 1+
c
Q
s
]
)
Man kann auch den Empfänger und die Quelle sich gleichzeitig bewegen lassen
und erhält ganz allgemein (+ bzw. – Vorzeichen definiert wie oben):
ν'=
ν
0
v
( 1m
c
[
v
( 1±
c
E
s
Q
s
)
]
)
Vorführung Dopplereffekt aus Fendt
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Machscher Kegel
Die Gleichung mit der bewegten Quelle enthält noch einen interessanten
Grenzfall, nämlich den Fall v Q>c s mit negativem Vorzeichen für v Q
Das ist der Fall der Bewegung mit Überschallgeschwindigkeit. Formal wird
ν‘

Die Schallfronten liegen auf einem Kegel gegeben durch
α
sin( ) =
2
s c
v
Q
“Machscher Kegel“
Wenn Q sich gerade mit c s bewegt, entsteht eine sehr hohe Verdichtung am
Machschen Kegel, genannt der “Überschallknall“.
Experiment Wellenwanne
Albert: Überschallknall
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ebene Welle
Phasengeschwindigkeit
Intensität
Eigenschwingungen
Wellengleichung
Zusammenfassung Wellen
ψ(z, t) = Acos( ω t - kz)
vPh = ω/
k = λν
= v w
ν
I ph
vPh n =
2
d s
=
dt
2L
( n
Schallwellen 2
2
Schallgeschwindigkeit
Luft
Schallgeschwindigkeit
Seilwellen
Dopplereffekt
Machscher Kegel
cs
=
ges
+ 1)
2
K d s
ρ dz
vPh
=
σ
ρ
v
1m
c
ν '=
ν 0[
v
( 1±
c
α cs
sin =
2 v
n
K κRT
ρ M
=
Q
E
s
Q
s
]
)
=
0,
1,...
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