Leitprogramm Quantenchemie

Institut für Verhaltenswissenschaft
Eidgenössische
Technische Hochschule
Zürich
Höheres Lehramt Universität Bern
Leitprogramm Quantenchemie
Fach Chemie
Institution Gymnasium (alle Typen)
Klassenstufe 12. Schuljahr
Bearbeitungsdauer 20 Schullektionen
Autoren Günter Baars, Rocco Ciorciaro, Sonja Hitz, Frank
Lang, René Schlegel, Peter Süess
Betreuung
Nachdruck
Günter Baars
der korrigierten 2. Fassung August 1994
Inhaltsverzeichnis
1 Wellen gibt es wie Sand am Meer
2 Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
3 Wir sperren Elektronen ein
4 Das Wasserstoffatom
5 Was ist ein Molekül?
6 Mehrelektronensysteme
7 Moleküle der Elemente der 2. Periode
8 Anhang
Zeichnungen von Lil Caprez
Das vorliegende Material ist urheberrechtlich geschützt. Ein Copyright ist erhältlich durch Prof. K.
Frey, ETH Institut für Verhaltenswissenschaften, ETH-Zentrum, 8092 Zürich

Statements:
Ohne Quantenmechanik ist ein Mensch nicht in der Lage, seine Umwelt und die Bedingungen
seiner Existenz zu übersehen. (Er ist es wahrscheinlich auch mit der Quantenmechanik nicht
vollständig!) Er mag antike Schriftsteller in der Orginalsprache oder Heidegger in deutscher
Sprache verstehen, er ist trotzdem ungebildet: Er hat die wichtigste geistige Revolution unseres
Jahrhunderts und einen wesentlichen Inhalt seiner Kultur verpaßt. Erstaunlicherweise
wird dieses Bildungsgut unseren Jungen in den Mittelschulen immer noch vorenthalten.
E. SCHUMACHER
Es ist ein Vergehen an jungen Menschen, ihnen etwas beibringen zu wollen, was sie unmöglich
verstehen können und, um es verständlich zu machen, es falsch darstellen. Ich glaube
nicht, daß es gut ist, in der Mittelschule viel von Atomphysik und Elektronen zu reden.
W. HEITLER, "Vom Wesen der Quantenchemie" . Physikalische Blätter. Juni 1973 p. 252
I see no reason whatever to mention molecular orbitals in a beginning course of chemistry!
Linus PAULING . The Science Teacher. September 1983 p. 25-29.
Der Chemieunterricht, so wie er an den höheren Schulen die Regel geworden ist, geht nicht
mehr in erster Linie von Stoffen und Versuchen aus. An deren Stelle ist allzuhäufig eine naturwissenschaftlich
unhaltbare Präsentation von Atom- und Orbital-"Modellen" getreten,
welche bestens geeignet ist, jungen Menschen die Freude an naturwissenschaftlicher Erkenntnis
auf immer zu vergällen. Das ist ein Frevel an der Jugend!
H. PRIMAS , Elementare Quantenchemie, B. G. Teubner Stutt 1990 p. 313
Das wellenmechanische Atommodell kommt mir als etwas Interessantes vor; im allgemeinen
würde ich die Quantenchemie als eines der interessantesten, in der Schule behandelten Gebiete
der Chemie und der Naturwissenschaften überhaupt bezeichnen.
SchülerIn einer Prima des Literargymnasiums Neufeld (Bern)
Ich schätze es, daß wir uns mit der Quantenchemie beschäftigten bzw. auseinandersetzten.
Wir erhielten so einen Einblick in die moderne naturwissenschaftliche Denkweise. Dies ist
nötig, um die Auswirkungen dieser Modellvorstellung auf unsere Zeit zu verstehen.
SchülerIn einer Prima des Literargymnasiums Neufeld (Bern)
1 Leitprogramm Quantenchemie

Inhaltsverzeichnis Seite
Übersicht über das Leitprogramm................................................................................................................ 3
Arbeitsanleitung........................................................................................................................................... 4
Kapitel 1
Wellen gibt es wie Sand am Meer! .............................................................................................................. 5
Kapitel 2
Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung ................................................................... 22
Kapitel 3
Wir sperren ein Elektron ein !.................................................................................................................... 42
Kapitel 4
Das Wasserstoffatom ................................................................................................................................. 55
Kapitel 5
Was ist ein Molekül? ................................................................................................................................. 89
ADDITUM
Kapitel 6
Mehrelektronensysteme ........................................................................................................................... 102
Kapitel 7
Moleküle der Elemente der 2. Periode..................................................................................................... 113
2 Leitprogramm Quantenchemie

Uebersicht über das Leitprogramm
Die Quantenchemie ist eine vergleichsweise junge Wissenschaft. Ihre Anfänge begannen vor
etwa 70 Jahren mit den Arbeiten von Heitler und London. 1927 konnten sie zum ersten Mal
quantenmechanisch das Rätsel der kovalenten Bindung der H2 Molekel lösen.
Die Quantenchemie hat sich seitdem ungeheuer weiterentwickelt. Dies ist nicht nur auf die
rasante Entwicklung der Rechenleistungen zurückzuführen. Mittlerweile besitzt die Quantenchemie
einen anwendungsbezogenen Nutzen auch für den praktischen Chemiker. Er kann
nun mit einem vernünftigen Atommodell, vielen Faustregeln und nicht zuletzt mit
Computerberechnungen arbeiten, die sich mehr oder weniger auf die Quantenchemie
abstützen.
Von daher gesehen ist es wünschenswert, einen Eindruck vermittelt zu bekommen, wie man
zu neuen Modellen gelangt und wo deren Grenzen liegen.
Worum geht es?
Die Quantenchemie hat uns ein neues, sehr leistungsfähiges Atommodell beschert. In diesem
Leitprogramm soll vor allem aufgezeigt werden wie man zu solchen Modellen kommt. Modelle
fallen nämlich nicht einfach vom Himmel!
Schrittweise werden deshalb die Grundlagen der klassischen Wellen und des Wellen - Teilchendualismus
eingeführt. Sie vermitteln die ausschlaggebenden Impulse zur Idee eines
quantenmechanischen Atommodelles. An Hand des Wasserstoffatoms wird die Funktionsweise
des neuen Modelles erläutert. Die Leistungsfähigkeit des Modelles wird an Molekülen
und höheren Atomen getestet.
Doch wie jede Vorstellung stößt dieses Modell auch an seine Grenzen. Diese werden aufgezeigt,
um nicht den Eindruck zu erwecken, man habe den Stein der Weisen gefunden.
Wieso ein Leitprogramm?
Beim Leitprogramm haben Sie alles in der Hand. Sie können ihr Arbeitstempo selbst bestimmen.
Erst wenn Sie alles verstanden haben, sollten Sie das nächste Kapitel in Angriff nehmen.
Der Lehrer wird Ihnen dazu noch ein Feed-Back in Form eines kleinen Testes geben.
Gerade für anspruchsvolle Themen wie das der Quantenchemie ist eine solche Technik äußerst
sinnvoll. Die Gefahr, daß man wie im konventionellen Unterricht abgehängt wird und
dann abschaltet, wird verringert.
3 Leitprogramm Quantenchemie

Arbeitsanleitung
Chemieunterricht einmal ganz anders!
- Wie man sieht: " Ohne Lehrer "!?!
Sie arbeiten in diesem Programm selbständig.
Nach jedem Kapitel findet beim Lehrer eine kurze Prüfung statt, so daß Sie kontrollieren können, ob
Sie das Gelernte auch verstanden haben.
Sobald Sie die Prüfung bestanden haben, dürfen Sie das nächste Kapitel bearbeiten.
Nur Lesen wäre ja langweilig!!
Das Programm bietet den Vorteil, daß Sie das Gelernte in Ihrem Tempo durch verschiedene andere
Aktivitäten festigen. Es erscheinen deshalb öfters Bilder mit entsprechenden Anweisungen !
Sie lösen die Aufgabe!
Sie kontrollieren selbst, ob Sie das soeben Gelernte auch verstanden haben.
Die Lösung befindet sich jeweils am Ende des Kapitels.
Oder - Sie arbeiten zu zweit im Labor!
Finden Sie jemanden, der gleich weit ist wie Sie. Gehen Sie dann ins Labor
und führen Sie das entsprechende Experiment durch.
Chemikerinnen und Chemiker arbeiten nie ohne Labormantel und
Schutzbrille!!!
Manchmal steht das Wichtigste in einem Buch!!
Sie bekommen also Information direkt, ohne Lehrer-Filter!
Holen Sie das Buch und lesen Sie den entsprechenden Text .
Doch trotz der vielen Hilfsmittel geht's ohne
Köpfchen nicht !
Dieses Bildchen bezeichnet sogenannte Merksätze, also
Sätze, welche Sie sich unbedingt einprägen sollten.
4 Leitprogramm Quantenchemie

1. Kapitel
Wellen gibt es wie Sand am Meer!
Übersicht
Thema:
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Das Thema dieses Leitprogrammes ist die Quantenchemie. Sie verschafft uns Zugang zu einem
neuen Atommodell. Dieses Atommodell basiert auf wellenmechanischen Überlegungen.
In diesem Kapitel erfahren Sie einiges über Wellen. Sie lernen, was für verschiedene Arten
von Wellen es gibt. Wie Wellen sich ausbreiten. Und was passiert, wenn Wellen sich überlagern.
Lektionenablauf:
Zuerst lesen Sie den Theorieteil oder beginnen mit den angeführten Experimenten. Nach jedem
Abschnitt hat es kleinere Aufgaben. Sie sollen von Ihnen alleine gelöst werden.
Die Lösung zu allen Aufgaben finden Sie am Ende von jedem Kapitel.
Bearbeiten Sie dieses Kapitel so lange, bis Sie sich sicher fühlen. Lassen Sie sich dann vom
Lehrer kurz prüfen.
Falls Sie noch nicht an die Prüfung können, weil noch Kollegen geprüft werden, dürfen Sie
ausnahmsweise mit dem nächsten Kapitel beginnen.
S. 5 Leitprogramm Quantenchemie

Lernziele:
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
1. Sie wissen, wie sich Wellen ausbreiten und kennen Transversal- und Longitudinalwellen.
2. Sie wissen, welche Parameter eine Welle beschreiben. Die Begriffe Amplitude,
Frequenz, Wellenlänge und Schwingungsdauer sind Ihnen nun bekannt.
3. Sie kennen Erscheinungen der Wellenüberlagerung und können ihr Zustandekommen
mit konstruktiver und destruktiver Interferenz erklären.
4. Sie lernen elektromagnetische Wellen kennen. Das Phänomen der Beugung können
Sie wiedergeben.
Wo gibt es überall Wellen?
Wellen begegnen uns täglich auf Schritt und Tritt. Aber nicht immer ist es so offensichtlich.
Schallwellen nehmen wir als Musik, Sprache oder als Geräusche wahr. Die Mikrowellen
kennt man vom Mikrowellenherd in der Küche. Wenn wir DRS 3 auf UKW hören, empfangen
wir die Radiowellen eines UltraKurzWellen-Senders. So verschieden auch alle diese
Wellen sind, haben sie doch vieles gemeinsam. Diese Gemeinsamkeiten wollen wir jetzt herausfinden.
Wir lernen verschiedene Wellen kennen!
Die Versuche werden in Zweier- oder Dreiergruppen ausgeführt.
S. 6 Leitprogramm Quantenchemie

Versuch 1 Eine Wasseroberfläche wird kurz mit einem Tupfer berührt.
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Versuch 2 Eine weiche Schraubenfeder wird von zwei Personen auf einem Tisch
leicht ausgezogen und festgehalten.
a) Man lenkt einmal senkrecht zu der Feder kurz aus (Federende festhalten).
b) Man bewegt die Feder einmal ruckartig in der Federrichtung (Federende
festhalten).
Versuch 3 Zwei Stimmgabeln sind in einiger Entfernung voneinander aufgestellt; die
eine wird kurz angeschlagen und anschliessend festgehalten. Welche Veränderung
ist an der zweiten Stimmgabel festzustellen? Man führe den Versuch
nochmals durch, wobei die zweite Stimmgabel mit einem anschraubbaren
Gewicht "verstimmt" wird.
Theorie:
Eine sich ausbreitende Störung eines Erregers bezeichnet man als Welle. Ist die Störung zeitlich
und räumlich gleichmäßig, entsteht eine harmonische Welle.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit gibt an, wie schnell eine Welle wandert. Die einzelnen
Teilchen jedoch bewegen sich nicht fort. Sie schwingen nur um ihre ursprüngliche Ausgangslage.
Die Teilchengeschwindigkeit gibt an, wie schnell ein solches Teilchen schwingt.
Man mache sich das klar! Die Schallwelle einer Stimmgabel gelangt durch die Luft an unser
Ohr. Die Luft bewegt sich dabei nicht fort. Es gibt keinen Wind von der Stimmgabel an unser
Ohr.
S. 7 Leitprogramm Quantenchemie

1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
- Eine Schwingung ist eine Bewegung, die in periodischer Folge um die
Ruhelage erfolgt.
- Ein Oszillator ist ein Teilchen, das Schwingungen um seinen Ruhepunkt
ausführt.
- Teilchen- und Ausbreitungsgeschwindigkeit liegen in der Schwingungsebene.
- Bei Transversalwellen (Querwellen) sind Teilchen- und Ausbreitungsgeschwindigkeit
senkrecht zueinander.
- Bei Longitudinalwellen (Längswellen) sind Teilchen- und Ausbreitungsgeschwindigkeit
parallel.
- Von einer harmonischen Welle spricht man dann, wenn eine Welle
durch eine zeitlich und räumlich gleichmässige Störung entsteht.
Aufgabe 1
- Steht bei einer Wasserwelle die Schwingungsebene senkrecht oder
waagrecht zur Wasseroberfläche?
- Wird bei Versuch 2 unter a) oder b) eine Transversalwelle ausgelöst?
- Bei Versuch 1 bewegt sich die Wasseroberfläche. Die Welle wandert an
den Rand des Beckens. Wandern auch die Wassermoleküle dorthin?
S. 8 Leitprogramm Quantenchemie

Theorie:
Momentanbild einer fortlaufenden harmonischen Transversalwelle
Amplitude s
λ
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Teilchengeschwindigkeit
Fortpflanzungs-
richtung
- Die maximale Höhe einer Welle bezeichnet man als Amplitude.
- Als Wellenlänge λ (Lambda) wird der kürzeste Abstand zwischen zwei
phasengleichen schwingenden Oszillatoren bezeichnet. Für eine Sinuswelle
ist das der Abstand von einem Wellental oder -berg zum nächsten.
- Die Welle legt während der Zeit einer Schwingungsdauer T die Strecke
λ zurück.
- Die Frequenz ν (Nü) gibt für einen Oszillator an, wie viele Schwingungen
pro Zeit t erfolgt sind.
Ihre Einheit ist Hz (Hertz) = sec –1. Es gilt ν = 1
T .
S. 9 Leitprogramm Quantenchemie

Damit ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c:
c =
T
λ oder c = λ ⋅ν
λ: Wellenlänge
ν: Frequenz
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
T: Schwingungsdauer
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in einem Medium hängt zusätzlich von dessen
physikalischen Eigenschaften ab.
Vom Erreger einer harmonischen Welle fließt dauernd Energie auf den Träger der Welle.
Durch die Wanderung der Welle werden ständig neue Teilchen zum Schwingen angeregt.
Derartige Oszillatoren besitzen eine zeitlich konstante Energie E.
E = 1
2 m ν 2 2
s m a x
oder
E = 1
2 m c 2 s 2
m a x
λ 2
m: Masse des Oszillators
ν: Frequenz des Oszillators
s max : Maximale Amplitude
c: Ausbreitungsgeschwindigkeit
λ: Wellenlänge
Die Wellenlänge sowie die Frequenz sind ein Maß für die Energie eines Oszillators.
- Je kleiner die Wellenlänge, desto größer ist die Energie des Oszillators.
- Je größer die Frequenz, desto größer ist auch die Energie des Oszillators.
- Bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit verkleinern sich die Wellenlängen
mit zunehmender Frequenz.
S. 10 Leitprogramm Quantenchemie

Aufgabe 2:
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Eine Wasserwelle hat die Wellenlänge λ von 0,02m. Sie breitet sich mit
einer Geschwindigkeit von 0,12 m⋅sec –1 aus.
Mit welcher Frequenz schwingt die Wasseroberfläche?
Wellen überlagern sich!
Die Versuche werden wieder in Zweier- oder Dreiergruppen
durchgeführt.
Versuch 4 Die beiden Enden einer langen, weichen Schraubenfeder werden gleichzeitig
und gleich weit einmal ausgelenkt und sofort wieder in die ursprüngliche
Lage zurückgeführt (Federende festhalten).
a) Die Auslenkung erfolgt nach der gleichen Seite.
b) Die Auslenkung erfolgt nach verschiedenen Seiten.
Versuch 5 Ein Ende einer langen, weichen Schraubenfeder wird während längerer
Zeit zu harmonischen Schwingungen angeregt; das andere Federende ist
dabei festzuhalten.
Versuch 6 Eine weiche Schraubenfeder wird an zwei Stativen befestigt und von einem
Exzenter zu harmonischen Schwingungen angeregt.
S. 11 Leitprogramm Quantenchemie

1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Laufen zwei Wellen aufeinander zu, so durchdringen sie sich. Eine derartige
Überlagerung nennt man Interferenz.
Bei der konstruktiven Interferenz treffen zwei Wellenberge oder –täler
aufeinander und verstärken sich.
Bei der destruktiven Interferenz löscht ein Wellenberg ein Wellental
aus.
Laufen zwei Wellen der gleichen Frequenz und Amplitude aufeinander zu, so bildet sich
eine stehende Welle aus.
Die Schwingungsknoten einer stehenden Welle sind die Orte, an denen die Teilchen
nicht schwingen.
Die Bereiche zwischen den Schwingungsknoten heißen Schwingungs-bäuche.
Aufgabe 3: Studieren Sie die Abbildung "Ausbildung einer stehenden Welle". Zeichnen
Sie mit einer Farbe die Auslenkung des Wellenträgers ein, die man effektiv
zu den verschiedenen Zeitpunkten (t = 0 bis t = T ) sieht.
S. 12 Leitprogramm Quantenchemie

1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schwingungsknoten und -bäuchen ist ortsfest.
Er entspricht der halben Wellenlänge λ
der stehenden Welle. Zwischen zwei Knoten
2
schwingen die Teilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten ( verschiedenen Amplituden,
verschiedenen Energien ) in die gleiche Richtung. Die Amplitude einer stehenden Welle kann
verschieden groß sein.
Eine sich ausbreitende Welle kann mit sich selber überlagern, wenn sie reflektiert wird. Dies
führt zu einer stehenden Welle. In Versuch 6 wird die Welle an den beiden Befestigungen
reflektiert. Da die Feder dort nicht schwingen kann, müssen an diesen Stellen Schwingungsknoten
liegen.
Weiter folgt daraus, daß nur bestimmte Frequenzen zu einer stehenden Welle führen. Diese
Frequenzen mit einer gewissen Anzahl von Schwingungsknoten sind die Eigenschwingungen
oder Eigenfrequenzen des Wellenträgers. Bei mechanischen, schwingungsfähigen Systemen
wird durch Anregung der Eigenschwingung beliebig viel Energie aufgenommen. Dies
führt u. U. zur ”Resonanzkatastrophe”. Eine Sopranistin kann zum Beispiel durch Ansingen
eines Glases dieses zum Zerspringen bringen.
Bei gegebenen Bedingungen sind nur ganz
bestimmte Eigenschwingungen für ein
schwingungsfähiges System möglich (z. B.
Saiten- und Blasinstrumente ).
S. 13 Leitprogramm Quantenchemie

1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Zusammenhang zwischen Schwingungszustand, Länge des Wellenträgers und Wellenlänge:
Theorie:
2 λ = n ⋅
L
Aufgabe 4:
n: Schwingungszustand
L: Länge des fixierten Wellenträgers
λ: Wellenlänge
- Welche Energie haben die Oszillatoren an den Wellenknoten von stehenden
Wellen?
- Der Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenbäuchen einer stehenden
Welle beträgt 5 cm. Wie groß ist die Wellenlänge der Eigenschwingung?
- Marschieren viele Menschen im Gleichschritt über eine Brücke, so kann
diese einstürzen. Erklären Sie diese Tatsache!
- Sehen Sie sich den Videofilm "Einsturz einer Brücke" an. Erklären Sie
kurz in eigenen Worten, weshalb es zum Einsturz kommt.
Wenn man Radiowellen, sichtbares Licht, Mikrowellen und Röntgenstrahlung einmal genauer
untersucht, so findet man gleichartige Wellenerscheinungen. Es handelt sich dabei um
elektromagnetische Wellen. Dies sind wandernde elektrische und magnetische Felder, deren
Stärke sich periodisch ändert. Die Felder stehen dabei senkrecht aufeinander und pflanzen
sich wellenförmig mit Lichtgeschwindigkeit fort. Die Amplitude der Welle entspricht der
Intensität, respektive der Helligkeit.
S. 14 Leitprogramm Quantenchemie

Eine Elektromagnetische Welle besteht immer aus zwei
Komponenten: einem elektrischen und einem magnetisches
Feld.
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
B: Magnetische Flußdichte
λ: Wellenlänge
c: Lichtgeschwindigkeit
E: Elektrische Feldstärke [entspricht
der Amplitude der Welle
bzw. der Intensität (Helligkeit) des
Lichts]
Im Gegensatz zu den mechanischen Wellen benötigen derartige elektromagnetische Wellen
keinen materiellen Träger. Die Energie dieser Wellen ist abhängig von der Wellenlänge
bzw. Frequenz. Je kleiner die Wellenlänge ist, desto größer ist die Energie. Nach diesem Kriterium
teilt man die elektromagnetischen Wellen in verschiedene Bereiche ein.
Wir beugen Lichtwellen!
Die Versuche werden wieder in Zweier- oder Dreiergruppen
durchgeführt.
S. 15 Leitprogramm Quantenchemie

1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Versuch 7 Man beobachtet eine entfernte Lichtquelle (Kerze) durch einen von Mittelund
Zeigefinger gebildeten Spalt. Man schaut nun durch diesen möglichst
engen Spalt, indem man die Hand über das Auge an die Schläfe legt.
Versuch 8 Laserlicht läßt man auf einen engen Spalt fallen, hinter dem sich in einiger
Entfernung ein Schirm befindet. Der entsprechende Versuch ist mit einer
Lochblende auszuführen.
Ein ähnliches Bild wie im Versuch 7 erhält man in diesem Experiment. Auf dem Schirm erscheint
eine Abfolge von hellen und dunklen Streifen. Die Helligkeit bzw. Intensität nimmt
dabei nach den Seiten hin ab.
Beugungsbild eines Laserstrahls an einem Spalt
Das Beugungsbild an einer Lochblende besteht aus konzentrischen hellen und dunklen Kreisen,
wobei die Helligkeit abnimmt, je weiter diese Kreise vom Zentrum entfert sind.
Beugungsbild eines Laserstrahls an einer kreisrunden Öffnung
S. 16 Leitprogramm Quantenchemie

1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Theorie:
Wellen, die auf ein Hindernis mit kleiner Öffnung treffen, breiten sich nicht nur geradlinig
aus! Sie werden gebeugt und dringen in den Schattenraum ein. Was man beobachtet, ist ein
Beugungsbild mit Intensitätsmaxima und Intensitätsminima .
Wie lassen sich die Beugungsbilder erklären?
In einer Spaltöffnung werden durch eine Wellenfront unendlich viele Wellen nach allen Richtungen
erzeugt. Diese überlagern sich hinter der Öffnung. Je nach Beugungswinkel α muß
das Licht unterschiedlich lange Strecken zurücklegen. Treffen nun zwei Wellenberge auf dem
Bildschirm zusammen, kommt es zu einem Intensitätsmaximum. Die Wellen haben sich
dann um die n-fache Wellenlänge l verschoben. Man sagt auch, der Gangunterschied Dx
betrage n mal l mit (n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, .....).
Trifft ein Wellenberg mit einem Wellental zusammen, dann ist der Gangunterschied n mal λ
2
mit (n = 1, 3, 5, 7, 9, .....). Es wird ein Intensitätsminimum beobachtet.
Intensitätsmaximum Intensitätsminimum
∆x= nλ (n= 0, 1, 2, 3, ....) ∆x = n λ
2
Aufgabe 5:
(n= 1, 3, 5, 7, ....)
Wieso erreichen Schallwellen den Mond nicht, Lichtwellen aber sehr
wohl?
Ist IR-Licht (Infrarot) oder sichtbares Licht energiereicher?
Schauen Sie sich die Klettfilme "Eigenschaften von Wellen 1 und 2" an.
Notieren Sie alle in den Filmen vorkommenden Fachausdrücke. Welche
sind Ihnen bekannt, welche unbekannt?
S. 17 Leitprogramm Quantenchemie

Lernkontrolle
Überprüfen Sie Ihr Wissen aus diesem Kapitel !
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Die folgenden Aufgaben dienen Ihrer eigenen Wissensprüfung. Sie sollen selbständig testen, ob Sie dieses Kapitel
verstanden haben. Haben Sie alle Aufgaben gelöst und fühlen Sie sich beim Neugelernten sicher, so können
Sie sich zum Kapiteltest melden.
Haben Sie eine oder zwei der drei Aufgaben falsch gelöst, so lesen Sie den Theorieteil noch-mals sorgfältig
durch, bis Sie die Grundlagen erarbeitet haben.
Aufgabe 6: Was ist eine harmonische Welle?
Aufgabe 7: Können Lichtwellen miteinander interferieren? Falls ja, zeigen Sie an einem
Experiment auf , wo es dort zu destruktiver Interferenz kommt.
Aufgabe 8: Eine Gitarrensaite schwingt in ihrem Grundzustand. Die stehende Welle
hat somit zwei Schwingungsknoten (Auflagepunkte der Saite). Um das
wievielfache ist die Schwingungsenergie größer, wenn die Saite mit 4
Schwingungsknoten (bei gleichbleibender Amplitude) schwingt?
S. 18 Leitprogramm Quantenchemie

Lösungen zu den Aufgaben in Kapitel 1
Aufgabe 1
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
Die Schwingungsebene steht senkrecht zur Wasseroberfläche. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit
und die Teilchengeschwindigkeit (das "Auf und Ab" der Wellen) spannen diese
Schwingungsebene auf.
Bei Versuch 2 a) wird eine Transversalwelle ausgelöst. Teilchen- und Ausbreitungsgeschwindigkeit
stehen senkrecht aufeinander!
Die Wassermoleküle wandern nicht. Sie schwingen nur um ihren Ruhepunkt.
Aufgabe 2
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c beträgt 0.12 m⋅sec-1. Die Wellenlänge λ ist 0,02 m. Somit
ergibt sich für die Frequenz ν:
ν =
λ
c 012 ,
⇒ ν = = 6sec
002 ,
−1
Die Wasserwelle hat eine Frequenz von 6 Hz !
Aufgabe 3
S. 19 Leitprogramm Quantenchemie

Aufgabe 4
1. Wellen gibt es wie Sand am Meer
- Die Teilchen an einem Wellenknoten schwingen nicht und besitzen folglich keine Schwingungsenergie.
- Der Abstand zwischen zwei Wellenbäuchen entspricht einer halben Wellenlänge. Die Eigenschwingung
hat somit eine Wellenlänge von 10 cm !
- Die Brücke wird durch das gleichmäßige Schreiten in ihrer Eigenfrequenz angeregt. Die
Brücke fängt an zu schwingen. Dabei nimmt sie soviel Energie auf, daß es schließlich zur
Resonanzkatastrophe kommt!
- Der Wind regt die Brücke in ihrer Eigenfrequenz an. Die Amplituden werden immer grösser,
so dass das Material die Belastung nicht mehr aushält (Resonanzkatastrophe!).
Aufgabe 5
- Lichtwellen sind im Gegensatz zu Schallwellen nicht trägergebunden. Sie können sich im
Vakuum des Alls fortpflanzen und erreichen den Mond.
- Die Wärmestrahlung hat eine kleinere Frequenz als das Licht und ist weniger energiereich.
Lösungen zu den Lernkontroll-Aufgaben Kapitel 1
Aufgabe 6
Von einer harmonischen Welle spricht man dann, wenn eine Welle durch eine zeitlich und
räumlich gleichmässige Störung entsteht.
Aufgabe 7
Lichtwellen können miteinander in Wechselwirkung treten. Bei einem Beugungsexperiment
an einem Spalt kommt es im Schattenraum unter anderem zu Intensitätsminima, wenn
∆x = n
λ
mit n = 1,3,5,7,...ist.
2
Diese lassen sich durch destruktive Interferenz des Lichtes erklären.
Aufgabe 8
Der Grundzustand der Saite hat einen Schwingungszustand von n = 1. Der höhere Ton mit
vier Schwingungsknoten hat einen Schwingungszustand von n = 3.
Die Schwingungsfrequenz des höheren Tones ist somit 3 mal größer (ν = 1 ).
Die Energie E ist proportional ν 2 .
Mit der dreifachen Frequenz ν folgt für E: 3 2 = 9; Die Energie ist folglich 9 mal grösser!
S. 20 Leitprogramm Quantenchemie
λ

Kapitel 2
21
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und
Wellenerscheinung
Übersicht
Thema
Im vorherigen Kapitel haben Sie Licht als Wellenerscheinung kennengelernt. Diese Vorstellung ist einleuchtend
und glaubhaft. Doch vor hundert Jahren wurden bei Experimenten mit Licht merkwürdige Beobachtungen
gemacht. Eines der Experimente, der photoelektrische Effekt, ließ sich nicht mit Lichtwellen erklären. Das
Licht verhielt sich eher wie viele kleine Teilchen.
Ganz entsprechende Erfahrungen machte man mit den Elektronen. Bestimmte Experimente konnten nur mit
einem Teilchen-, andere hingegen nur mit einem Wellenmodell erklärt werden.
Licht als Welle und Teilchen? Elektronen als Teilchen und Wellen?
Genau vor diesem scheinbaren Widerspruch standen die Naturwissenschafter anfangs dieses Jahrhunderts.
Durch ihre Experimente und Ideen sollen Sie sich nun selbst durcharbeiten. Mit dem Rüstzeug aus Kapitel 1
sollte das keine Probleme bereiten.
PS: Auf diesem Gebiet haben viele berühmte Forscher gearbeitet. Für ihre revolutionären Entdeckungen haben
einige von ihnen Nobelpreise erhalten. Sie werden Ihnen auf dem Weg durch Kapitel 2 begegnen.
Leitprogramm Quantenchemie

Vorgehen
22
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Bearbeiten Sie Kapitel 2. Es ist aus zwei Abschnitten aufgebaut. Diese bestehen aus Theorie und Aufgaben,
Lesen und Experimentieren.
Lösen Sie nachher die Lernkontrollaufgaben. Sobald Sie sich sicher fühlen, melden Sie sich zum Kapitel-Test.
Bedingung ist aber, daß Sie die Aufgaben mit der Überschrift "Lernkontrol-le" richtig lösen.
Bei langen Wartezeiten können Sie mit dem 3. Kapitel weiterfahren. Den Test holen Sie später nach.
Lernziele:
1. Sie erfahren Licht und Elektronen je als Welle und als Teilchen.
2. Sie können je ein Phänomen oder Experiment angeben, das die jeweilige Eigenschaft
bestätigt.
3. Sie haben erkannt, daß man das Teilchen-Welle-Thema nicht nur in schwarz-weiß
betrachten darf. Sie wissen, daß Teilchen und Welle nur zwei Modelle für die
gleiche Realität sind.
4. Sie wissen, daß man den Aufenthaltsort von Elektronen nicht genau angeben kann.
Es gibt nur eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
5. Sie haben verstanden, daß man das Elektron im Wasserstoffatom als stehende Welle
betrachten kann.
Für die nächsten Kapitel des Leitprogramms sind vor allem die Lernziele 4 und 5 sehr wichtig.
Leitprogramm Quantenchemie

1. Licht als Welle, Licht als Teilchen
23
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Elektromagnetische Wellen wie Licht kennen Sie aus dem ersten Kapitel dieses Leitprogramms. Mit den
Welleneigenschaften kann man viele physikalische Vorgänge erklären: z.B. Beugung und Interferenz.
Eines der Lichtexperimente konnte aber mit dem Wellenmodell für Licht nicht verstanden werden: Der
photoelektrische Effekt.
Literaturstudium
Aufgabe 2.1
Lesen Sie im Buch von Dickerson und Geis:
"Chemie, eine anschauliche Einführung" von Seite
133 in der Mitte bis Seite 134 oberes Drittel der
Seite!
Bearbeiten Sie nun folgenden Text.
Streichen Sie von den zwei Vorschlägen
jeweils den falschen durch!
Leitprogramm Quantenchemie

Der photoelektrische Effekt
24
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Lichtenergie wird verwendet, um [Elektronen/Ionen] aus einer Metallkathode abzulösen. Man kann sich diesen
Vorgang als [Aufladen/Herausschlagen] von Elektronen durch ständig auftreffende Lichtteilchen vorstellen.
Die Elektronen treffen auf die [Anode/Kathode] und bewirken einen ganz kleinen Strom.
Zum Elektronenherausschlagen braucht ein Lichtstrahl eine [maximale/minimale] Energie. Zuerst nahm man an,
daß die Lichtenergie mit der [Intensität/Wellenlänge] zunimmt. Diese Vermutung war aber falsch. Es ändert
sich nur die [Energie/Anzahl] der ausgesandten Elektronen. Die Energie einer elektromagnetischen Welle ändert
sich mit der [Intensität/Frequenz]. Je [größer/kleiner] sie ist, desto größer ist die Energie der Lichtteilchen.
Versuch 2.1
Einige Erklärungen und Hinweise:
Photoelektrischer Effekt
Falls jemand gleich weit ist wie Sie, können
sie diesen Versuch zu zweit machen.
Die Versuchsanleitung finden Sie im Buch
Sexl, Raab, Steeruwitz: "Eine Einführung in
die Physik" Seite 6, unten.
Ein Elektroskop mißt die elektrische Ladung auf einem Körper.
So laden Sie die Platte negativ auf: Reiben Sie mit einem weichen Lappen kräftig über einen Hartgummi- oder
Kunststoffstab. Er lädt sich so negativ auf. Wenn Sie nun mit dem Stab die Platte berühren, überträgt sich die
Ladung auf die Platte.
So laden Sie die Platte positiv auf: Nehmen Sie einen Glasstab. Sonst bleibt alles gleich wie oben.
Achtung: Nicht in die Lampe schauen!
Leitprogramm Quantenchemie

Licht: Zusammenhang zwischen Wellen und Teilchen
25
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Max Planck fand bei seinen Strahlungsexperimenten einen Zusammenhang zwischen Frequenz und Energie der
von ihm untersuchten Strahlung. Dies brachte ihm 1918 den Nobelpreis für Physik.
Albert Einstein deutete den photoelektrischen Effekt, indem er von Lichtteilchen ausging. Er ordnete ihnen die
Energie E zu. Dafür hat er 1921 den Nobelpreis für Physik erhalten.
Die in der Gleichung vorkommende Konstante wurde nach Max Planck benannt:
E = h⋅ν
E : Energie eines Lichtteilchens (Photon)
ν : Frequenz
h : Planck'sches Wirkungsquantum
h: 6,626 .10-34 Js
Eine elektromagnetische Strahlung der Frequenz ν (Wellenmodell) besteht
aus Photonen der Energie E (Teilchenmodell).
Alle Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit (Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen
Wellen).
Ein ruhendes Photon hätte keine Masse.
Die Masse eines bewegten Photons kann mit der berühmten Gleichung aus Einsteins spezieller
Relativitätstheorie berechnet werden:
E = m.c 2
E : Energie
m : Masse
c : Lichtgeschwindigkeit
Leitprogramm Quantenchemie

Aufgabe 2.2
26
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Taschenrechner!
Rotes Licht hat eine Wellenlänge von 680 nm.
Welche Energie und welche Masse haben diese
Photonen?
Vergleiche: Elektron 9,1 .10 – 31 kg
Tischtennisball 2,5 .10 – 3 kg
1 nm = 10 –9 m
Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen = 2,99⋅10 8 ms –1
Aufgabe 2.3
Vergleiche zwei Photonen verschiedener
Frequenz:
ν (Photon 1) > ν (Photon 2)
Verbinden der zwei Modelle über das Licht
Welches der zwei Photonen hat die grössere
Masse?
Die Beugungsphänomene und der photoelektrische Effekt benutzen zwei verschiedene Mo- delle für Licht:
Das Wellenmodell und das Teilchenmodell.
Diese zwei Modelle werden nun einander gegenübergestellt. Als Beispiel nehmen wir die Beugung von
Lichtwellen am Spalt. Sie kennen dies aus Kapitel 1. Man beobachtet ein Muster aus hellen und dunklen
Streifen.
Leitprogramm Quantenchemie

27
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Teilchenmodell für Licht Wellenmodell für Licht
Helle Streifen: Auftreffen von vielen Teilchen pro
Zeit- und Flächeneinheit.
Helle Streifen: konstruktive Interferenz, große
Amplitude der Welle
Dunkle Streifen: fast keine Teilchen treffen auf Dunkle Streifen: destruktive Interferenz
Mathematisches:
Intensität (Helligkeit) I = h . ν . n
h: Planck'sches Wirkungsquantum
ν: Frequenz der Teilchenstrahlung
n: Anzahl Teilchen pro Zeit- und Flächeneinheit
("Photonenflußdichte")
Die Intensität ist proportional zur Anzahl
auftreffender
Flächeneinheit.
Photonen pro Zeit- und
"Photonenflußdichte"
Aufgabe 2.4
Mathematisches:
Intensität (Helligkeit) I = εo . E 2. c
εo: el. Feldkonstante
c: Lichtgeschwindigkeit
E: Betrag der el. Feldstärke ("Amplitude" der
Lichtwelle) beim Beobachtungs-punkt
Die Intensität ist proportional zum Quadrat der
elektrischen Feldstärke am Beobachtungspunkt.
"Amplitude der Lichtwelle"
Bei Halogenlampen läßt sich die Helligkeit
oft stufenlos verstellen.
Was passiert, wenn die Helligkeit vermindert
wird?
Beschreiben Sie den Vorgang mit beiden
Modellen.
Leitprogramm Quantenchemie

Die Wahrscheinlichkeit, ein Photon anzutreffen
28
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Man kann nicht vorhersagen, wo ein bestimmtes Photon sein wird. Ein Photon ist nicht einfach ein sehr kleiner
Tennisball. Es hat auch Welleneigenschaften. Bei einer Welle kann man keinen genauen Aufenthaltsort
angeben. Man braucht für die Beschreibung des Aufenthaltsortes eines Photons also eine neue Größe.
Sie lernen sie kennen, wenn Sie weiterlesen:
Die Anzahl Photonen pro Zeit und Fläche (Photonenflußdichte n) stehen für eine Wahrscheinlichkeit: Die
Wahrscheinlichkeit, ein Photon auf einer bestimmten Fläche des Schirms anzutreffen.
Diese Wahrscheinlichkeit ist bei den hellen Streifen (große Intensität) auf dem Schirm größer als bei den
dunklen: linke Seite der Tabelle auf der vohergehenden Seite.
Also ist auch das Quadrat der elektrischen Feldstärke (E2 ) entsprechend größer: rechte Seite der Tabelle .
Das Quadrat der elektrischen Feldstärke entspricht dem Quadrat der Amplitude der elektromagnetischen Welle
(vgl. Kapitel 1).
Das Quadrat der Amplitude einer elektromagnetischen Welle an einem
bestimmten Ort steht für die Wahrscheinlichkeit, ein Photon dort
anzutreffen.
I = h . ν . n = εo . E 2 . c
n ~ E 2
Leitprogramm Quantenchemie

29
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
2. Elektronen als Teilchen, Elektronen als Wellen
Elektronen sind kleine Teilchen. Sie haben eine Masse und eine negative Ladung. In elektrischen oder
magnetischen Feldern werden sie wegen ihrer Ladung abgelenkt. Die radioaktiven β-Strahlen bestehen aus
Elektronen.
Versuch 2.2
Erklärung zur Kathodenstrahlröhre
Kathodenstrahlen = Elektronen
Lenken Sie die Kathodenstrahlen mit einem Magneten
bzw. mit zwei Elektroden ab.
PS: Nur geladene Teilchen lassen sich mit Magneten
ablenken.
Die Kathodenstrahlröhre (vereinfacht)
- -
-
- -
Spannungsquelle
Elektron
-
+
+
+
+
+
Ringanode
Leuchtschirm
Die Kathode besteht aus einem Material, das bei hoher angelegter Spannung Elektronen abgeben kann. Diese
bewegen sich auf die Anode zu, da sich entgegengesetzte Ladungen anziehen. Die Anode ist aber ringförmig.
Einige Elektronen verpassen sie also und treffen auf den Schirm. Dieser ist speziell behandelt: auftreffende
Elektronen lassen ihn aufleuchten.
Bei den meisten Geräten sind nach der Anode noch Teile vorhanden, mit denen sich der Elektronenstrahl
kontrollieren läßt. Diese sind für diesen Versuch aber nicht wichtig.
Leitprogramm Quantenchemie

Versuch 2.3
30
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Das Wasserstoffspektrum
Wasserstoffgas wird durch Strom zum Leuchten angeregt.
Betrachten Sie das ausgesandte Licht mit dem Spektrometer.
Zeichnen Sie ihre Beobachtung auf. Das so erhaltene Bild nennt
man "Spektrum".
Vergleichen Sie ihre Aufzeichnung mit dem Spektrum von
Sonnenlicht. Gibt es Unterschiede?
Sehen Sie sich auch die Spektren von anderen Gaslampen an:
z.B. von einer "Neon"röhre.
Vergleichen Sie mit den Abbildungen in: G. Baars; H.R.
Christen; Allgemeine Chemie: Theorie und Praxis.
Diesterweg/Sauerländer; 1999; S. 284.
Falls dieser Versuch an Ihrer Schule nicht durchgeführt werden kann, betrachten Sie die Bilder in ”Elemente
Chemie II”, Seite 51.
Das Wasserstoffspektrum
Der Strom hat das Wasserstoffmolekül in zwei Wasserstoffatome gespalten. Deren Elektronen haben ausserdem
Energie aufgenommen. Diese angeregten Elektronen wollen ihre Energie wieder abgeben. Nur auf diese
Weise können Sie in ihren energieärmsten Zustand zurückfallen. Man nennt ihn Grundzustand. Die
überschüssige Energie wird als Strahlungsenergie abgegeben.
Das Spektrum von Wasserstofflicht zeigt aber nur ganz bestimmte Farblinien. Jede dieser Farblinien
entspricht Photonen der Energie hν. Diese wurden von den angeregten Wasser-stoffelektronen abgegeben. Es
existieren folglich nur ganz bestimmte Energieunterschiede zwischen den angeregten Zuständen und den
Grundzuständen der Wasserstoffatome. Ein Elektron in einem Wasserstoffatom besitzt also eindeutig definierte
Energiezustände.
Leitprogramm Quantenchemie

angeregter Zustand
el. Energie
Grundzustand
e -
31
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Zum Wasserstoffspektrum
e -
Photon
Energiezustände Energieunterschiede
Das Elektron als stehende Welle
Eine stehende Welle kann nur ganz bestimmte Schwingungszustände einnehmen. Das kennen Sie aus Kapitel
1.
Das läßt sich auf das Elektron im Wasserstoffatom übertragen: Das Elektron kann mit einer dreidimensionalen
stehenden Welle beschrieben werden.
Leitprogramm Quantenchemie

So kann man sich das vorstellen:
32
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Für die Elektronenwelle im Wasserstoffatom gibt es nur ganz bestimmte Schwingungs- und Energiezustände,
die sie einnehmen kann. Normalerweise ist die Elektronenwelle im tiefsten Schwingungszustand. Durch
Anregung gelangt sie in einen höheren. Beim Zurückfallen in den Grundzustand wird ein Photon abgegeben.
Die Energie dieses Photons entspricht genau dem Energieunterschied zwischen angeregtem und unterstem
Zustand.
Für jedes Element sind diese Energieunterschiede genau festgelegt. Das Spektrum ist wie der Fingerabdruck
eines Elements.
Das Elektron verhält sich also wie eine Welle. Dieses Thema behandelt auch Versuch 2.4.
Versuch 2.4
Beugung von Elektronenstrahlen
Lassen Sie einen Elektronenstrahl auf eine dünne Metallfolie
auftreffen. Die regelmäßige Anordnung der Atome in der
Folie ersetzt viele enge Spalte.
Welches Bild sehen Sie auf dem Leuchtschirm?
Lassen Sie zum Vergleich Laserlicht durch eine Lochblende
fallen, hinter dem sich in einiger Entfernung ein Schirm
befindet (Vorsicht! Nicht in das Laserlicht schauen!)
Falls Sie dieses Experiment an Ihrer Schule nicht durchführen können, sehen Sie sich die Bilder in "Elemente
Chemie II", Seite 53 an: Bild B4.
Die hellen und dunklen Kreise auf dem Schirm sind ähnlich den Interferenzmustern von Lichtwellen. Der
Teilchenstrahl aus Elektronen wurde also wie eine Welle gebeugt!
Man sieht konstruktive (helle Streifen) und destruktive (dunkle Streifen) Interferenz.
Leitprogramm Quantenchemie

Verbinden der zwei Modelle über Elektronen
33
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Das Verbinden der beiden Modelle haben Sie beim Licht bereits kennengelernt. Falls Sie sich nicht mehr genau
erinnern, blättern Sie zurück.
Für die Beugung von Elektronen gilt entsprechend:
Helle Streifen: konstruktive Interferenz (Wellenmodell)
viele auftreffende Elektronen (Teilchenmodell)
Dunkle Streifen: destruktive Interferenz (Wellenmodell)
wenig auftreffende Elektronen (Teilchenmodell)
Welche Elektronen findet man in welchem hellen Streifen? Diese Frage läßt sich nicht beantworten. Es ist eine
falsche Frage!
Für ein Elektron läßt sich keine Bahn vorgeben, da es gleichzeitig Wellen-eigenschaften besitzt.
Max Born formulierte die folgende Aussage. Auch er hat für seine Forschung einen Nobelpreis in Physik
erhalten (1954).
Das Quadrat der Wellenamplitude ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit,
ein Elektron an einer bestimmten Stelle zu finden.
Die Wellenamplitude von Elektronenwellen bezeichnet man mit dem griechischen Buchstaben Ψ (Psi).
Ein Maximum von Ψ2 bedeutet: größte Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons.
Beim Elektronenstrahl aus Versuch 2.4 handelt es sich um fast unendlich viele Elektronen, die auf den Schirm
auftreffen. Die Helligkeit (Intensität) der Streifen ist ein direktes Maß für die Wahrscheinlichkeit, dort eines der
vielen Elektronen zu treffen. Bei der Betrachtung sehr vieler Elektronen ist die Wahrscheinlichkeit einfach zu
verstehen.
Leitprogramm Quantenchemie

Welche Wellenlänge hat ein Elektron?
34
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Diese Frage hat De Broglie beantwortet: Die Antwort brachte ihm 1929 einen Nobelpreis in Physik. De Broglie
stellte eine Beziehung auf, die den Zusammenhang zwischen Teilchennatur (Masse, Geschwindigkeit) und
Wellennatur (Wellenlänge) eines Körpers herstellte:
λ = h
mv
λ : Wellenlänge der Teilchenwelle
m : Masse des Teilchens
v : Geschwindigkeit des Teilchens
h : Planck'sches Wirkungsquantum
Man kann also für Elektronen nicht eine einzelne Wellenlänge angeben. Sie hängt von der Geschwindigkeit des
Elektrons ab. Für ein sich nicht bewegendes Elektron ist die Wellenlänge nicht definiert (Division durch Null).
Eigentlich haben alle sich bewegenden Körper eine Wellenlänge. Allerdings ist für schwere Körper die
Wellenlänge so klein, daß man die Welleneigenschaft nicht mehr wahrnimmt.
Bei Atombausteinen ist das Wellenmodell aber sehr wichtig.
Aufgabe 2.5
Taschenrechner !
Welche Wellenlänge hat ein Velofahrer?
Der Fahrer und das Velo haben zusammen
eine Masse von 80 kg.
Die Geschwindigkeit beträgt 4 ms –1
Leitprogramm Quantenchemie

35
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Für Licht und Elektronen (allgemein: Atombausteine) ist es notwendig, zwei Modelle gleichzeitig zu
verwenden.
Licht erscheint uns wie ein Strahl von Photonen bzw. wie eine elektromagnetische Welle.
Elektronen verhalten sich entweder wie bewegte kleine Teilchen oder wie Teilchenwellen (Materiewellen).
Sicher gibt es Erfahrungen aus dem täglichen Leben, die ein einziges Modell erklären kann. Trotzdem darf man
die andere Vorstellung nicht vergessen. Für eine gute Beschreibung aller Tatsachen müssen beide Modelle
verwendet werden. Oft braucht man sie gleichzeitig. Das ist aber kein Widerspruch.
Man nennt das Welle-Teilchen-Dualismus.
Dualismus übersetzt man am besten mit Zweifachheit.
Die Vorstellung von Materiewellen (Elektronen als Teilchen und Wellen) ist nötig, um die Eigenschaften von
Elektronensystemen (Atome, Moleküle, Ionen) verstehen zu können. 1926 gelang es E. Schrödinger eine
Gleichung zu finden, mit deren Hilfe die Wellenfunktionen für Elektronen ermittelt werden können.
Gleichzeitig erhält man damit auch die Energie und die Elektronendichte (Aufenthaltswahrscheinlichkeit der
Elektronen: ψ2 !) des Elektronensystems.
Die Schrödinger-Gleichung sieht auf den ersten Blick sehr kompliziert aus. Sie sagt aber "nur" aus, dass die
Summe der kinetischen (Ekin) und der potentiellen Energie (Epot) die Gesamtenergie (Eges) des
Elektronensystems ergibt:
2
2
h ⎛ ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ⎞
Eψ
=− ⎜ + + ⎟ + Vψ
2 2 2 2
8π
m⎝dx dy dz ⎠
Eges Ekin Epot
ψ: Wellenfunktion des betrachteten Elektrons; damit lässt sich die maximale Amplitude der Materiewelle
an jedem Ort (x, y, z!) berechnen.
V: potentielle Energie
2
2
Leitprogramm Quantenchemie

Für Interessierte:
36
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Wenn Sie im Mathematikunterricht schon etwas über das Differenzieren gehört haben, ist die Schrödinger-
Gleichung "leicht" zu verstehen. Sie stellt eine Vorschrift dar, was man mit der Wellenfunktion eines Elektrons
machen muss, um die Gesamtenergie eines Elektronensystems zu erhalten: "Leite die Wellenfunktion ψ nach
den Variablen (Ortskoordinaten) jeweils zweimal ab. Anschliessend multipliziere den erhaltenen Ausdruck mit
− h
2
." Auf diese Weise lässt sich die kinetische Energie des Elektrons berechnen. Die potentielle Energie ist
2
8π m
2
1 e
das Produkt aus der Wellenfunktion ψ und dem Coulomb-Potential − ⋅ . Die Gesamtenergie des
4πεo
r
Elektronensystems ist dann die Summe von kinetischer und potentieller Energie.
Ihr Chemielehrer besitzt die genaue Ausrechnung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms (Kap. 4)!
Aufgabe 2.6
Aufgabe 2.7
Lesen Sie den Text "Alles hat seine
Wellenlänge". Notieren Sie sich die Namen
aller in diesem Artikel vorkommenden
Forscher sowie ihre Forschungsergebnisse.
Sehen Sie sich den Klett-Film "Welle-
Teilchen-Dualismus" an.
Leitprogramm Quantenchemie

Lösungen zu den Aufgaben in Kapitel 2
Aufgabe 2.1
37
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
richtige Lösungen:
Elektronen—Herausschlagen—Anode—minimal—Intensität—Anzahl—Frequenz—größer.
Aufgabe 2.2
E = h⋅ν und ν =
λ
c daraus folgt:
E h c
−34
8
662 , ⋅10⋅299 , ⋅10
= =
= 29110 , ⋅
−9
λ 680⋅10 −19
E = m⋅c2 also: m E 29110 , ⋅
= =
2
c (, 299⋅10) Aufgabe 2.3
8 2
−19
J
= 32510 , ⋅
−36
kg
E = h⋅ν und E = m⋅c2 Ein Photon mit größerer Frequenz hat die größere Energie und somit auch die grössere Masse. Photon 1 hat also
die grössere Masse.
Aufgabe 2.4
Wellenmodell : Die Amplitude der Welle (elektrische Feldstärke) nimmt ab
Teilchenmodell : Es werden weniger Photonen gleicher Energie ausgesandt
Aufgabe 2.5
h 66210 , ⋅
λ = =
mv 80⋅ 4
−34
= 20610 , ⋅
−36
PS: Der Radius eines einzelnen H-Atoms ist ungefähr 10 -11 m.
Aufgabe 2.6
Louis de Broglie: Kein Unterschied zwischen Wellen und Teilchen
Materielle Körper sind wie Teilchen zu behandeln
m
Leitprogramm Quantenchemie

38
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Man muss den Körpern eine Frequenz und eine Wellenlänge zuschreiben
(Materiewelle)
Albert Einstein: Licht als ein Strahl kleiner Energiepakete (Lichtquanten oder Photonen; Photoeffekt!)
Young und Fresnel: Lichtstrahlen können sich gegenseitig auslöschen, wenn Wellenberge auf Wellentäler
treffen (Interferenz!)
Davis und Germer: Beweis der Doppelnatur von Elektronen (Interferenzmuster eines Elektronenstrahls)
Erwin Schrödinger: Atome werden durch Wellengleichungen beschrieben
Lernkontrolle
Aufgabe 1
Welches Photon hat die größere Energie?
a) ein Photon von Röntgenstrahlung (λ = 1 nm)
b) ein Photon von gelbem Licht (λ = 590 nm)
Aufgabe 2
Hier können Sie prüfen, ob Sie Kapitel 2 verstanden haben. Lösen
Sie 5 der 6 Aufgaben.
Sie werden einige der behandelten Formeln anwenden müssen. Es
sind aber keine Rechenaufgaben. Die Antwort ist nie ein
Zahlenwert.
Elektronen besitzen Welleneigenschaften. Dazu sollten Sie ein Experiment zeigen. Welches Experiment würden
Sie auswählen? Beschreiben Sie es in 5 Sätzen.
Leitprogramm Quantenchemie

Aufgabe 3
Das orange Licht von Straßenlaternen stammt von Natrium-Dampflampen.
Das Sonnenlicht ist weiß. Es enthält alle Farben.
Erklären Sie kurz diesen Unterschied.
Aufgabe 4
39
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Welleneigenschaften von bewegten Teilchen: Warum sind sie für Elektronen feststellbar? Warum sind sie für
Autofahrer unwichtig?
Begründen Sie ihre Antwort mit 3 Sätzen.
Aufgabe 5
Geben Sie 2 bis 3 Stichworte oder Erklärungen zu folgenden Begriffen. Formulieren Sie mit Ihren eigenen
Worten!
a) Welle-Teilchen-Dualismus
b) Photoelektrischer Effekt
Aufgabe 6
Das ist die graphische Darstellung einer erfundenen Wellenfunktion für ein Elektron. (x-Achse: Ort; y-Achse:
Amplitude der Materiewelle)
An welchem Punkt ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten?
Wo wird sich das Elektron am wenigsten aufhalten?
Ψ
A
B
C
Haben Sie die Aufgaben richtig gelöst und fühlen Sie sich im Stoff dieses Kapitels sicher?
Dann können Sie sich jetzt beim Lehrer zum Kapiteltest melden.
D
Wenn Sie Aufgaben falsch gelöst haben, so lesen Sie die entsprechende Stelle im Kapitel 2 nochmals nach.
Ort
Leitprogramm Quantenchemie

40
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Lösungen zu den Lernkontroll-Aufgaben Kapitel 2
Aufgabe 1
E = h⋅ν und ν =
λ
c ; durch Umformen erhält man E h c
=
λ
Die Energie ist also bei der Röntgenstrahlung größer. Sie hat die kleinere Wellenlänge.
Aufgabe 2
Beugung von Elektronen an einer Metallfolie.
Elektronen werden durch eine dünne Metallfolie gelenkt. Hinter der Folie ist ein Leuchtschirm. So kann man
Elektronen sichtbar machen. Auf dem Schirm sieht man helle und dunkle Streifen. Dieses Muster erhält man
auch bei der Beugung von Lichtwellen.
Aufgabe 3
Für die Elektronen im Natriumatom gibt es nur ganz bestimmte Energiezustände. Durch den Strom der Lampe
werden die Elektronen angeregt. Beim Zurückfallen in den Grundzustand senden sie ein Photon ganz
bestimmter Energie aus. Beim Natrium entspricht sie dem orangen Licht.
Das Sonnenlicht entsteht anders. Es enthält Photonen mit allen Energien, die unser Auge wahrnehmen kann.
Aufgabe 4
Das Elektron hat im Gegensatz zum Autofahrer mit seinem Auto eine sehr kleine Masse. Das Produkt m⋅v ist
damit wesentlich kleiner als beim Autofahrer. Die Wellenlänge ist somit groß und für uns experimentell
wahrnehmbar. Die Wellenlänge des Autofahrers samt Auto liegt hin-gegen nicht mehr im messbaren Bereich.
Aufgabe 5
Welle-Teilchen-Dualismus
Für kleine Teilchen und elektromagnetische Strahlung muß man zwei Modelle für die korrekte Beschreibung
anwenden: Das Teilchenmodell und das Wellenmodell.
Berühmte Beispiele: Photonen und elektromagnetische Wellen
Elektronen und Teilchenwellen
Leitprogramm Quantenchemie

41
2. Licht bzw. Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung
Photoelektrischer Effekt
Erklärung nur mit Photonen möglich. Photonen schlagen Elektronen aus der Metallplatte. Es ist dazu eine
minimale Lichtfrequenz nötig. Bei kleineren Frequenzen tritt kein photoelek-trischer Effekt auf. Die
Lichtintensität bestimmt die Menge der Photonen.
Aufgabe 6
Das Quadrat der Wellenfunktion ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit ist also im Punkt C am größten. Im Punkt B ist sie am kleinsten (Null).
Ψ2
A
B
C
D
Leitprogramm Quantenchemie

Kapitel 3
Wir sperren ein Elektron ein !
Uebersicht
Thema
3. Wir sperren ein Elektron ein!
In diesem Kapitel werden Sie zum ersten Mal ein quantenmechanisches Problem antreffen. Es stellt ein
Gedankenmodell dar. Gedankenmodelle sind oft sehr nützlich, um komplexe Syste-me auf das Wesentliche zu
reduzieren und anschaulicher darzustellen.
Lektionsablauf
Dieses Kapitel ist relativ kurz. Bearbeiten Sie möglichst alleine die gestellten Aufgaben. Auf mathematische
Herleitungen der Formeln wird bewußt verzichtet. Dies wäre für Sie nicht von großem Nutzen.
Die Lösungen aller Aufgaben und die Lernkontrolle finden Sie am Schluß des Kapitels.
Wenn Sie den Stoff beherrschen, melden Sie sich zu den Kapiteltests.
Lernziele:
1. Sie kennen das Gedankenmodell vom Elektron im eindimensionalen Kasten
und die Wellenfunktionen, welche das Elektron in diesem Modell beschreiben.
2. Sie können die Energie eines solchen Elektrons berechnen.
3. Sie sind in der Lage, einen Überblick über mögliche Energiezustände und über die
entsprechenden Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Elektrons zu geben.
42 Leitprogramm Quantenchemie

Grundlagen
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Bisher haben Sie Elektronen nur einzeln betrachtet, nackt sozusagen. Leider gibt es fast keine solchen freien
Elektronen. Meistens sind sie in Atomen und Molekülen gebunden. Elektro-statische Kräfte halten dabei das
Elektron gefangen. Diese dreidimensionalen Verhältnisse sind komplex. Wir wollen deshalb ein vereinfachtes,
eindimensionales Gedankenmodell betrachten, in dem ein Elektron gefangen ist. Dieses Modell ist bekannt
unter dem Namen:
Der eindimensionale Kasten 1.
In diesem Modell betrachtet man ein Elektron als ein Teilchen, das in einem Kasten eingesperrt ist. Der Kasten
soll atomare Dimensionen besitzen. Man stellt sich dabei vor, daß das Elektron zwischen zwei parallelen und
unendlich hohen Wänden reflektiert wird. Die Wände haben den Abstand L.
1 In der angelsächsischen Literatur als ”particle in the box”-Problem bezeichnet.
43 Leitprogramm Quantenchemie

3. Wir sperren ein Elektron ein!
Wir wollen das Problem quantenmechanisch anpacken. Nach De Broglie (Kap. 2) kann man dem Elektron eine
stehende Materiewelle zuordnen. Folgendes Vorgehen, das auf den an-schliessenden Seiten näher erläutert wird,
führt zur Beschreibung der ”Elektronenwelle” im eindimensionalen Kasten.
1. Die ”Elektronenwelle” muß in den Kasten hineinpassen! Daraus folgt die Randbe-dingung, daß die
stehende Welle Knoten an den Kastenwänden haben muß. Man sucht also die Funktion ψn(x) (n:
Schwingungszustand, siehe Kap.1; x: Ort im Kasten) der Materiewelle, welche diese Randbedingung
erfüllt.
2. Einsetzen der gefundenen Wellenfunktion in die Schrödinger-Gleichung. Dies ergibt die möglichen
Energiezustände der Materiewelle ( des Elektrons ).
3. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron an einer Stelle des Kastens anzutreffen, ist proportional zu ψ 2 n(x)
( Quadrat der Amplitude der Funktion ).
Die Wellenfunktion
Wie findet man die gesuchte Wellenfunktion? Da die Randbedingung Knoten an den Kastenwänden verlangt,
liegt eine Funktion auf der Hand: eine Sinusfunktion.
f(x) = sin x
Allgemein: f(x) = a⋅sin bx
Die Welle muß in den Kasten hineinpassen. Dies ergibt folgende Bedingung:
x
44 Leitprogramm Quantenchemie

λ
Quantenbedingung: n⋅ = L;
λ =
2
2L
n
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Das n, das den Schwingungszustand der Elektronenwelle angibt, bezeichnet man auch als Hauptquantenzahl (
siehe Kap. 1: stehende mechanische Welle ).
0
λ
2
λ
2
λ
2
Das Elektron rächt sich für die Einschränkung seiner Bewegungsfreiheit. Es nimmt nun nicht mehr beliebige
Energiewerte an, wie im kräftefreien Raum, sondern nur ganz bestimmte Beträge. Man sagt: das Elektron nimmt
nur diskrete oder gequantelte Energiewerte an.
Man findet für das Elektron im eindimensionalen Kasten folgende Wellenfunktion ψ n :
λ
2
2 nπ x
Ψn( x)
= ⋅sin
L L
λ
2
n: Hauptquantenzahl ( Schwingungszustand )
Ψ: Amplitude der angenommenen Materiewelle
L: Kastenlänge
x: Ort im Kasten
In der folgenden Abbildung sehen Sie die graphische Darstellung der Wellenfunktion Ψn (x) für verschiedene
Hauptquantenzahlen n.
45 Leitprogramm Quantenchemie
L

Mögliche Schwingungszustände (n) eines Elektrons
im eindimensionalen Kasten.
!
n = 5
n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
⇓
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Wellenlängen (λ) der möglichen Eigenschwingungen
eines Elektrons im eindimensionalen Kasten.
⇓
λ = 2
5 L
λ = 2
4 L
λ = 2
3 L
λ = 2
2 L
λ = 2
1 L
Merke: den Amplituden kommt keine physikalische
Realität zu! Sie sind nicht beobachtbar ( observabel ).
Die Energie des Elektrons im eindimensionalen Kasten
46 Leitprogramm Quantenchemie

3. Wir sperren ein Elektron ein!
Das Elektron im eindimensionalen Kasten besitzt nur kinetische Energie (wir nehmen die potentielle Energie
als konstant an ).
E
kin
m v e =
2
und erhalten: E
2
kin
2
h
=
2
2m λ
Mit der nun erforderlichen Quantenbedingung λ =
eindimensionalen Kasten:
E
kin () n
e
Wir setzen aus De Broglie ein:
2 L
n
v =
als Energie für das freie Elektron.
h
m L
hn h
m L mL
n
n
2
2 2
2
= 2 2 = = 2
2
2 e e
2
2 4 8
e 2
n: Hauptquantenzahl
me : Masse des Elektrons
h : Plancksches Wirkungsquantum
L : Kastenlänge
47 Leitprogramm Quantenchemie
h
λ
m e
erhalten wir für die Energie des Elektrons im
Die Energiezustände En sind proportional zu n 2 . Es ergeben sich nur ganz bestimmte, diskrete
Energiezustände.
Die Energie des Elektrons im eindimensionalen Kasten lässt sich natürlich auch mit der Schrödinger-Gleichung
berechnen. Dieser Weg ist in diesem Fall aber komplizierter als der oben beschriebene.
2

Wo ist das Elektron?
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Chemiker interessieren sich vorwiegend für Elektronen! Es ist interessant zu wissen, wo das Elektron sich im
Kasten befindet. Eine Größe, die darüber Auskunft gibt, existiert ebenfalls. Quadriert man nämlich die
Wellenfunktion Ψn (x), so erhält man daraus die Wahrscheinlich-keit, das Elektron im jeweiligen
Energiezustand an einer bestimmten Stelle des Kastens anzu-treffen.
n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
Graphische Darstellung der quadrierten Wellenfunktionen und symbolische Darstellung der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons ( als Teilchen ).
48 Leitprogramm Quantenchemie

Wie interpretieren wir die Graphen der vorhergehenden Seite?
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Im Energiezustand n = 1 ist das Elektron am häufigsten in der Mitte des Kastens anzutreffen. Im zweiten
Energiezustand findet man das Elektron hauptsächlich in der Mitte der rechten und linken Kastenhälfte. In der
Mitte des Kastens ist die Wahrscheinlichkeit Null. Entsprechend sind die höheren Zustände zu interpretieren.
Aufgabe 1: Was folgt aus den oben gemachten Überlegungen für die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons bei sehr hohen
Quantenzahlen?
Sicherlich werden Sie sich jetzt fragen: ”Wie gelangt das Elektron von einer Kastenhälfte in die andere?”
Nun, diese Frage darf man eigentlich nicht stellen. Das Elektron verhält sich eben nicht wie ein klassisches
Teilchen! Aus quantenmechanischer Sicht kann man so antworten:
Funktioniert unser Modell?
Man stellt sich das Elektron modellmäßig als eine stehende Materiewelle vor. Diese
hat z. B. für n = 2 einen Knoten in der Kastenmitte.
Sie haben nun die Möglichkeit, die Wirkungsweise dieses Modells an einem praktischen Beispiel
auszuprobieren! Als ”Kasten” betrachten Sie das Molekül Oktatetraen:
CH 2 =CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH 2
1,3,5,7-Oktatetraen
49 Leitprogramm Quantenchemie

3. Wir sperren ein Elektron ein!
In Kettenmolekülen wie Oktatetraen verhalten sich jeweils zwei Elektronen der konjugierten
Doppelbindungen (abwechselnd Einfach-und Doppelbindungen) annähernd wie in einem line-aren Kasten mit
der Moleküllänge als Kastenlänge (ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit erstreckt sich über das gesamte
Molekül!). Man spricht in diesem Zusammenhang von π-Elektronen. In den "Kasten" lassen sich
Elektronenwellen einfügen, die der Randbedingung λ = 2
L genügen. Die Wellenfunktionen, die diese
n
Elektronenwellen symbolisieren, entsprechen ganz bestimmten Energiezuständen und können maximal 2
Elektronen beschreiben (Pauli-Prinzip). Die Wellenfunktionen "besetzt" man nun mit zwei Elektronen, wobei
diese den je-weils energieärmsten Zustand einnehmen (hier also die untersten Energieniveaus E1 bis E4). Die
höheren Energiezustände sind nicht besetzt; sie enthalten keine Elektronen
E n
E 5
E 4
E 3
E 2
E 1
Lichtabsorption
8 π -Elektronen
Trifft auf ein Molekül mit konjugierten Doppelbindungen elektromagnetische Strahlung, so kann die Energie
einer bestimmten Wellenlänge bzw. Frequenz ein π-Elektron vom höchsten besetzten in den tiefsten
unbesetzten Energiezustand anheben. In unserem Beispiel also vom 4. in den 5. Energiezustand. Liegt diese
Absorptionsenergie im Bereich des sichtbaren Lichts, so ist der Stoff farbig. Die Mischung der nicht
absorbierten Wellenlängen, die vom farbigen Stoff reflektiert oder hindurchgelassen werden, erscheinen
unserem Auge als Farbe.
50 Leitprogramm Quantenchemie

Aufgabe 2:
Hinweis: λ = hc
∆E
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Berechnen Sie die Wellenlänge des absorbierten Lichtes von
1,3,5,7-Oktatetraen!
Kettenlänge von Oktatetraen: 9 . 10 –10 m
Masse des Elektrons me : 9,1095 . 10 –31 kg
Plancksches Wirkungsquantum h : 6,626 . 10 –34 J . s
Vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem gemessenen: 302 nm ( Handbook of Chemistry and Physics).
Zusammenfassung
Mit dem einfachen Gedankenmodell des eindimensionalen Kastens sind ganz konkrete Aus-sagen über das
Elektron möglich. Im nächsten Kapitel werden Sie ähnliche Eigenschaften des Elektrons im Wasserstoffatom
wieder antreffen. Ausserdem kann man mit dem Modell des eindimensionalen Kastens die Farbigkeit von
Molekülen besser verstehen ( vergleichen Sie mit der Aufgabe 2 ).
51 Leitprogramm Quantenchemie

Lernkontrolle
Überprüfen Sie Ihr Wissen aus diesem Kapitel !
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Wenn Sie mindestens 2 Aufgaben richtig gelöst haben, dürfen Sie sich zum Kapitel-Test melden. Wenn nicht,
dann bearbeiten Sie die entsprechenden Abschnitte nochmals sorgfältig, bis Sie sicher sind, daß Sie den Stoff
beherrschen!
Aufgabe 3: Das Elektron im eindimensionalen Kasten läßt sich mit einer stehenden Welle beschreiben.
Was bedeutet dies für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im dritten
Schwingungszustand?
Aufgabe 4: Berechnen Sie die Energie E1 für eine Erbse, die sich in einer Zündholz-schachtel der
Länge L bewegt!
m = 0,001 kg; L = 0,05 m.
Aufgabe 5: Welche Geschwindigkeit hat die Erbse und welche Wellenlänge läßt sich ihr zuordnen?
Aufgabe 6: Spielen Sie eine Partie "Kraftpille" (DOS-Computer). Welche quantenchemischen Regeln
liegen dem Spiel zugrunde?
52 Leitprogramm Quantenchemie

Lösungen zu den Aufgaben
3. Wir sperren ein Elektron ein!
Aufgabe 1: Bei sehr hohen Quantenzahlen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit praktisch überall gleich
groß.
Aufgabe 2:
E n
E 5
E 4
E 3
E 2
E 1
Lichtabsorption
8 π -Elektronen
Das absorbierte Licht ”befördert” ein π-Elektron vom Zustand E4 zum Zustand E5.
Der Energieunterschied ∆E ist also: ∆E = E5 – E4. 2
h 2 2 −19
E5− E4
= ( 5 −4) ⇒ ∆ E = 6, 6935⋅10 J
2
8mL
Schließlich erhält man für die Wellenlänge des absorbierten Lichtes mit
hc
∆E = hν=
λ :
e
hc
−7
= 297 , ⋅ 10 m= 297nm
∆ E
Diese Wellenlänge gehört zum ultravioletten Bereich des elektromagnetischen Spektrums.
Aufgabe 3: Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Kasten anzutreffen, ist am höchsten in der Mitte des
1., 2. und 3. Drittels des Kastens. Bei L = 0, L
3 ,
2 L
3
und L = 1 ist die Wahrscheinlichkeit Null.
Aufgabe 4: Die Energie E 1 für ein Teilchen im eindimensionalen Kasten ist:
53 Leitprogramm Quantenchemie

E = n
1
2
Aufgabe 5:
2
h
8mL
2
Mit den gegebenen Werten erhält man: E 1 = 2,1952⋅10 –62 J.
2
mv 2E
Energie: En
= ⇒ v = = 6626 , ⋅10
2 m
Wellenlänge:
λ 1
oder: λ 1
−34
h 6626 , ⋅10
= =
mv 0001 , ⋅6626 , ⋅10
2 2 0 05
= = 01
1
⋅ L ,
= , m
n
3. Wir sperren ein Elektron ein!
ms
1 −30 −1
−30
= 0100 , m
Aufgabe 6: Es sind nur ganz bestimmte Energiezustände für das Elektron möglich; damit benötigt
man ganz bestimmte Energien, um das Elektron auf die verschiedenen Energiezustände
anzuheben.
Beim Zurückfallen in ein tieferes Energieniveau wird die freiwerdende Energie in
Form eines Photons abgegeben.
54 Leitprogramm Quantenchemie

Kapitel 4
Wasserstoffatom
Übersicht
Thema
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
In diesem Kapitel können Sie das bisher Gelernte auf das Wasserstoffatom anwenden. Sie werden eine andere
Sicht dieses einfachsten chemischen Elementes gewinnen, eine quanten-mechanische Sicht.
Lektionsablauf
Zuerst bearbeiten Sie den Theorieteil. Wenn im Text Aufgaben vorkommen , lösen Sie diese möglichst alleine.
Die Lösungen aller Aufgaben finden Sie am Schluß des Kapitels.
Zuletzt ist für Sie eine Lernkontrolle vorgesehen.
Wenn Sie den Stoff beherrschen, melden Sie sich zu den Kapiteltests.
Lernziele:
1. Sie kennen die Wellenfunktionen der ersten zwei Energiezustände des Wasserstoffatoms.
2. Sie wissen qualitativ, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein Elektron in einem
bestimmten Abstand vom Atomkern anzutreffen.
3. Sie sind in der Lage, einen Überblick über mögliche Energiezustände des Wasserstoffatoms
zu geben.
55

Wie geht es weiter?
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Sie werden in diesem Kapitel etwas Mathematik benötigen. Wichtig ist auch, die Begriffe in den vorhergehenden
Kapiteln gut verdaut zu haben!
Versuchen Sie, möglichst alles zu vergessen, was Sie bisher über das Wasserstoffatom
gehört haben!
Gehen Sie möglichst ”naiv” an die Sache heran!
Exkurs: (kann übersprungen werden)
Wie stellt man Punkte im Raum dar?
Raumpunkte lassen sich zahlenmässig durch seine Koordinaten erfassen. Dabei verwendet man in den meisten
Fällen ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem mit den drei Raumachsen x, y und z.
Raumpunkte können aber auch z.B. mit Kugelkoordinaten [einer Strecke r und zwei Winkeln φ (Phi) und θ
(Theta)] zahlenmässig beschrieben werden.
φ beschreibt die Drehung in der xy-Ebene und θ die Drehung in einer Ebene senkrecht dazu.
Kartesische Koordinaten lassen sich in Kugelkoordinaten und Kugelkoordinaten in kartesische umrechnen.
Folgende Abbildung beschreibt diesen Zusammenhang:
56

Kugelkoordinaten in Abhängigkeit von den Raumachsen x, y und z
cosθ = z
r
sinθ = Q
r
y
sinφ
=
r sinθ
x
cosφ
=
r sinθ
2 2 2
r = x + y + z
z = r cosθ
Q = r sinθ
y = r sinθ sinφ
x = r sinθ cosφ
r ≥ 0 0 ≤θ≤π 0≤φ≤2π Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
57

Theorie
Grundlagen
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Die Überlegungen aus dem 3. Kapitel zum eindimensionalen Kasten lassen sich auf das Wasserstoffatom übertragen.
Erinnern Sie sich: beim eindimensionalen Kasten war das Elektron an gewisse Randbedingungen gebunden.
Das Elektron im Wasserstoffatom läßt sich, gemäß der Wellenmechanik, durch eine dreidimensionale
stehende Welle beschreiben. Das Elektron ist durch Coulomb-Kräfte an den Atomkern gebunden. Die Beschränkung
durch den Käfig des Coulomb-Potentials führt in Analogie zum Kastenproblem wieder zu diskreten,
gequantelten Energiezuständen (auch hier rächt sich das Elektron für seine Gefangenschaft).
Das Vorgehen für die mathematische Beschreibung des Elektrons im Wasserstoffatom entspricht jenem des
linearen Kastens:
1. ”Suchen” der Funktion der Materiewelle und Interpretation der Wellenfunktion.
2. Einsetzen der gefundenen Wellenfunktion in die Schrödinger-Gleichung. Dies ergibt die Energiezustände
des Systems Elektron-Proton.
3. Quadrieren der Wellenfunktion. Daraus können Aussagen über die Elektronendichte (Aufenthaltswahrscheinlichkeit)
des Elektrons im entsprechenden Energiezustand gemacht werden.
58

Der Grundzustand des Wasserstoffatoms, Ψ1s
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Für den Grundzustand (= 1. Energiezustand, Symbol 1s) findet man eine Wellenfunktion. Es ergibt sich:
ψ
1s
=
r 1 −
a0
3
πa
e
0
ao = 0,53⋅10 –10 m ≡ Bohrscher Radius
e: Eulersche Zahl = 2,718...
r: Abstand des Elektrons vom Atomkern
Ψ: Amplitude der angenommenen Materiewelle
Der Graph der Wellenfunktion sieht folgendermassen aus:
Welche Aussagen lassen sich nun aus der graphischen Darstellung der Funktion Ψ1s machen?
Die Amplitude der Materiewelle hat in der Nähe des Atomkerns hohe Werte. Je größer der Abstand Proton-
Elektron wird, desto kleiner wird die Amplitude. Im Unendlichen streben die Werte von Ψ1s gegen Null.
59

!
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Merke: den Amplituden kommt keine physikalische
Realität zu!
Die Wellenfunktion Ψ1s hängt nur von der Variablen r ab. Deshalb ist der Verlauf von Ψ1s nach allen Richtungen
des Raumes gleich. Trägt man den geometrischen Ort aller Punkte P mit dem gleichem Funktionswert Ψ1s
in der Zeichenebene auf, so erhält man folgende Abbildung:
Geometrischer Ort aller Punkte mit dem gleichen
Funktionswert ψ
Aufgabe 1: Zeichnen Sie im untenstehenden Kasten den geometrischen Ort aller
Punkte mit gleichem Funktionswert Ψ1s im drei-dimensionalen Raum!
60

Die Energie des Wasserstoffatoms im Grundzustand
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Im Gegensatz zum eindimensionalen Kasten hat das Elektron im Wasserstoffatom wegen der Proton-Elektron-
Anziehung ( Coulomb-Potential ) neben der kinetischen Energie auch poten-tielle Energie.
Durch Einsetzen der Funktion Ψ 1s in die Schrödinger-Gleichung erhält man die Energie des Grundzustandes:
E
1s
2
1 e0
=−
4πε 2a
0
x
0
z
E1s: Energie des Wasserstoffatoms im Grundzu-
stand
e 0 : Elektronenladung
ε 0 : Influenzkonstante
y
61

Aufgabe 2:
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Berechnen Sie die Energie des Wasserstoffatoms im Grundzustand!
e 0 = 1,6022⋅10 –19 C a0 = 0,53⋅10 –10 m
ε 0 = 8,8542⋅10 –12 C 2 J –1 m –1 1 eV = 1,60210⋅10 –19 J
Wandeln Sie das Resultat in eV um und vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit tabellierten Werten.
- Chemie heute, Sekundarbereich II, Seite 22.
- Handbook of Chemistry and Physics, im Index unter
”Ionization potentials, elements, table” nachschlagen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte Ψ 2 1s oder: Wo ist das Elektron?
Sie haben bisher die Wellenfunktion Ψ1s kennengelernt. Sie beschreibt das System Proton-Elektron. Sie liefert
aber keine Observable, d.h. keine meßbare Größe! Die Wellenfunktion enthält jedoch die gesamte Information,
stellt also einen Katalog der Eigenschaften des Sys-tems dar, aus denen sich die meßbaren Größen ableiten.
Wird nun die Wellenfunktion Ψ1s quadriert, so ergibt sich daraus die Wahrscheinlichkeits-dichte (Elektronendichte,
Ladungsdichte).
Mit dieser Größe läßt sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einem be- stimmten Volumenelement
dV mit unterschiedlichen Abständen zum Kern berechnen (Dichte: Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit).
62

Das Quadrat der Wellenfunktion Ψ1s ist: Ψ 2
1s
=
π
dW
dV
2r
1 a0
3
a0 e
−
=Ψ s
2
1
dW: Wahrscheinlichkeit
dV: Volumen
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit berechnet sich folgendermassen:
x
dV
dW dV s = Ψ =
2
1
r 1
2r
1 −
0
3
0
πa
z
r 2
r 3
dV
a
e dV
dV
Leitprogramm Quantenchemie
y
4. Das Wasserstoffatom
63

Graphische Darstellung der Elektronendichte Ψ 2 1s dV:
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte lässt erkennen, dass sich das Elektron mit grösster
Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Atomkerns aufhält. Mit zunehmendem Radius nimmt die Wahrscheinlichkeit
nach allen Raumrichtungen rasch ab. Dies entspricht einer kugelsymmetrischen Wahrscheinlichkeitsdichte
(Kugelsymmetrie: die geometrischen Orte aller Punkte mit einer bestimmten Elektronendichte sind Kugeloberflächen).
Die Wahrscheinlichkeitsdichte vergleicht die Aufenthaltswahrschein-lichkeit des
Elektrons in gleichen Volumenteilen dV, wenn diese ver-schiedene Abstände vom
Atomkern aufweisen.
Die Elektronendichte läßt sich in der Wolkendarstellung sichtbar machen. Man kann sich diese als Übereinanderprojektion
vieler Momentaufnahmen des Elektrons denken. Hierbei steht die Vorstellung des Elektrons als
Punktladung (Teilchen) im Vordergrund:
64

Wolkendarstellung der Elektronendichte
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Aufgabe 3: Bei welchem Wert r ist die Elektronendichte im Grund-zustand des
Wasserstoffatoms auf 1/1000 des Maximal-wertes abgesunken?
Hinweis: das Maximum ist bei r = 0.
Mathematik: ( wie löst man eine Funktion nach x auf, wenn dieses
im Exponent einer Potenz steht?)
x
ln y
y = a ⇒ ln y = xlna⇒ x =
ln a
lne = 1
65

Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Wir haben schon gesagt, daß das Kräftefeld des Atomkerns dreidimensional und kugelsym-metrisch ist ( Coulomb-Potential
). Deshalb ist es sinnvoll, auch die radiale Wahrscheinlich-keitsdichte zu betrachten. Dabei
addieren wir alle Volumenelemente min einem bestimmten Abstand vom Kern. Auf diese Weise erhält man die
Wahrscheinlichkeit, das Elektron in dieser Kugelschale anzutreffen (radiale Wahrscheinlichkeitsdichte).
Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte vegleicht die Aufenthaltswahr-scheinlichkeit
des Elektrons in Kugelschalen gleicher Dicke dr, wenn diese verschiedene Abstände
r vom Atomkern aufweisen.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einer derartigen
Kugelschale berechnet sich fol-gendermaßen:
Für die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte gilt (Dichte:
Wahrscheinlichkeit pro Volu-men einer
Kugelschale):
dW 1
2
= Ψ =
2
4πrdr
πa
0
2r
−
ao e 3
4πr 2 dr: Volumen einer Kugelschale der Dicke dr
dW
1
=
πa
0
3
2r
−
a0
2
e 4π
r dr
Die graphische Darstellung der radialen Wahrscheinlichkeitsdichte W kann wie folgt interpretiert werden:
66

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
a0
Im Atomkern ist der Wert für W Null. Die Kurve durchläuft dann ein Maximum (r=r1), da einerseits e mit
zunehmendem Radius r exponentiell abnimmt und andererseits das Volumen der Kugelschale 4πr 2 dr quadratisch
zunimmt. Je weiter man sich vom Atomkern entfernt, umso unwahrscheinlicher wird es, ein Elektron in
einer Kugelschale bei dieser Entfernung anzutreffen. Die Funktion geht gegen Null.
Aufgabe 4: Wenn für Sie das Differenzieren kein Problem ist, berechnen
Sie r1 .
Mathematischer Hinweis: Eine Funktion y=f(x) hat an der Stelle x=xo ein Extremum, wenn ihre
Ableitung f '(x)=0 ist (Steigung der Tangente = 0!).
y = ex y' = ex y = 2x y' = 2
y = u⋅v y' = u⋅v' + v⋅u'
Ein Atom ”hört eigentlich nie auf”!! Obwohl das Elektron an beliebigen Orten angetroffen
werden kann, hält es sich im Grundzu-stand mit größter Wahrscheinlichkeit
im Abstand r1 vom Atomkern in einer Kugelschale der Dicke dr auf. Diese
Kugelschale entspricht der ”K-Schale”. Eine ”Elektronenschale” ist also eine Kugelschale,
in der sich Elektronen mit größter Wahrscheinlichkeit aufhalten.
r
− 2
67

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Dieser Sachverhalt läßt sich sehr schön an einem kleinen und einfachen
Experiment zeigen, das Sie nun durchführen werden.
Die untenstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte bezogen auf gleiche Volu-menteile dV, wie
Sie es aus dem vorhergehenden Abschnitt schon kennen. Legen Sie die Folie mit den konzentrischen Kreisen
auf die Wolkendarstellung und zählen Sie die Punkte in jeder Kugelschale! Tragen Sie die Zahlen in die dafür
vorgesehenen Felder ein!
Schale 1:
Schale 2:
Schale 3:
Schale 4:
Aufenthaltsraum ( Ladungswolke ) des Elektrons im Grundzustand
Der Aufenthaltsraum des Elektrons ist der Raum, in welchem sich das Elektron mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit
( z. B. 95 % ) aufhält. Bei dieser Betrachtungsweise steht das Teilchenmodell im Vordergrund.
Dieser Aufenthaltsraum ist identisch mit dem Raum, der einen bestimmten Betrag der Elektronenladung umschließt
( z. B. 95 % ). Hier überwiegt das Wellenmodell. Man spricht von einer Ladungswolke.
68

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Aufgabe 5: Wenn Ihnen das Integrieren keine Probleme be-reitet, so
lösen Sie folgende Aufgabe: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
das Elektron eines Was-serstoffatoms im Grundzustand
in einer Kugel mit dem Radius r = 2,2Å anzutreffen?
Die Wahrscheinlichkeit W berechnet sich aus der Summe der Wahrschein-lichkeiten, das
Elektron in Kugelschalen der Dicke dr im Abstand 0 bis r anzu-treffen.
Der erste angeregte Zustand des Wasserstoffatoms
Als Lösungen der Schrödinger-Gleichung findet man für den zweiten Energiezustand des Wasserstoffatoms
vier Funktionen. Diese beschreiben die angenommene Materiewelle des Elektrons: eine 2s-Wellenfunkion und
drei 2p-Wellenfunktionen1 .
Der 2s-Zustand
Für den Zustand 2s findet man folgende Wellenfunktion:
ψ
2 s
1
2
1 1 r
= 2 1 e
4π
2a
2a
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜− ⎟ ⋅
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0
3
2
0
r
−
2a
a0 = 0,53⋅10 –10 m ≡ Bohrscher Radius
e: Eulersche Zahl = 2,718...
r: Abstand des Elektrons vom Atomkern
Ψ: Amplitude der angenommenen Materiewelle
Für die anschliessenden Betrachtungen lassen wir die konstanten Faktoren weg und erhalten somit eine vereinfachte
Wellenfunktion:
1 2 bedeutet: zweiter Energiezustand; s bzw. p symbolisieren die räumliche Form der entsprechenden Wellen-
funktion
0
69

Ψ2 = ( 2 −r) ⋅e
Die graphische Darstellung dieser vereinfachten Funktion sieht so aus:
0.7
0.5
0.3
0.1
-0.1
Ψ 2s
s
0 2 4 6 8
−r
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Im Vergleich zur Wellenfunktion Ψ1s hat diese Funktion eine Nullstelle bei r = 2 und nimmt negative Werte
an! Da die Wellenfunktion Ψ2s, ebenso wie die Wellenfunktion Ψ1s, nur von der Variablen r abhängig ist, ist
ihr Verlauf nach allen Raumrichtungen gleich. .Mit dem Wert r = 2 wird der Funktionswert Ψ2s = 0. Die Wellenfunktion
Ψ2s besitzt also eine Nullstelle. Sie muß als Knotenfläche (Kugelfläche) der Elektronenwelle ge-
deutet werden. Die räumliche Darstellung ist auch hier sehr einfach:
Geometrischer Ort aller Punkte mit dem gleichen Funktionswert Ψ2s:
r
70

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Aufgabe 6: Betrachten Sie mit Hilfe eines Diaprojektors die farbigen
Abbildungen der Wellenfunktionen 1s und 2s; interpretieren
Sie die Farben.
Die Energie des Wasserstoffatoms im ersten angeregtenGrundzustand
Durch Einsetzen der Funktion Ψ2s in die Schrödinger-Gleichung erhält man die Energie des ersten angeregten
Zustandes:
E
2S
2
1 e 1
0 =− ⋅ ⋅
4πε 2a4
0
0
E2s: Energie des Wasserstoffatoms im ersten angeregten
Zustand
e0: Elektronenladung
ε0: Influenzkonstante
a0 = 0,53⋅10-10m Aufgabe 7: Vergleichen Sie die Werte der Energien E2s und E1s miteinander!
Die Wahrscheinlichkeitsdichte Ψ 2s 2 ⋅dV
Quadriert man die Wellenfunktion Ψ2s, so lassen sich Aussagen über die Wahrscheinlich-keitsdichte für den
Zustand 2s machen. Auch hier bezieht man sich auf gleiche Volumen-anteile dV in verschiedenen Abständen
vom Atomkern.
Das Quadrat der
Wellenfunktion Ψ2s ist:
2 2 −2r
ψ = ( 2 −r) ⋅e
2s
Ψ2 2s entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichte:
Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit):
dW
dV
= = ( 2 −r) ⋅e
2 2 −2r
ψ 2s
W: Wahrscheinlichkeit V: Volumen
71

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit berechnet sich folgendermaßen:
2 2 −2r
dW = ⋅ dV = ( 2 −r) ⋅e⋅dV ψ 2s
Graphische Darstellung der Funktion Ψ 2 2s⋅dV:
Ψ 2
2s dV
In der Wolkendarstellung sieht das so aus:
r
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Man erkennt in der graphischen Darstellung
der Wahrscheinlichkeitsdichte,
daß sich das Elektron mit
größter Wahrscheinlichkeit in der Nähe
des Kerns befindet. Nach aussen nimmt
die Wahrscheinlichkeit rasch ab. Die
Kur-ve weist bei r = 2 eine Nullstelle
auf und durchläuft ein kleines lokales
Maximum, bevor sie im Unendlichen
gegen Null geht.
72

Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Vergleicht man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in Kugelschalen gleicher Dicke dr mit unterschiedlichen
Abständen vom Atomkern, so erhält man die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichte: Wahrscheinlichkeit
pro Volumen einer Kugelschale).
dW
2
4πr
dr
2
= ψ W: Wahrscheinlichkeit 4πr
2s
2dr: Volumen einer Kugelschale
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einer derartigen Kugelschale berechnet sich folgendermaßen:
2 2 2 −2r2
dW = ψ ⋅ 4πrdr = ( 2−r) ⋅e⋅4πrdr 2 2
Graphische Darstellung der Funktion ψ 4πrdr
Ψ 2 2s . 4 π r 2 dr
2s
2s
⋅ :
0 2
4
6
8
Der Wert für W ist im Atomkern Null (r = 0!), steigt anschliessend auf ein kleines Maximum an und erreicht
wiederum den Wert Null. Dann erreicht W einen maximalen Wert und geht im Unendlichen gegen Null.
Im ersten angeregten Zustand 2s kann sich das Elektron an beliebigen Stellen im Wasserstoff-atom (mit unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeiten) aufhalten. Eine Ausnahme bildet die Kugelschale mit dem Abstand r = 2, in
der die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null ist (Knotenfläche).
r
73

Die 2p-Wellenfunktionen
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Im ersten angeregten Zustand des Wasserstoffatoms ergeben sich, wie schon oben erwähnt, vier Lösungen der
Schrödinger-Gleichung. Eine davon haben wir eben betrachtet, die 2s-Wellenfunktion Ψ2s. Die restlichen drei
Lösungen nennen wir 2p-Wellenfunktionen. Sie sind im Gegensatz zu den s-Wellenfunktionen nicht kugel-,
sondern achsensymmetrisch.
Dies bedeutet, daß die ”Form” der Funktionen Ψ(x,y,z) nicht nur von der Variablen r, sondern auch von Winkelgrößen
abhängt. Bildlich gesprochen heißt dies: Es kommt nicht nur darauf an, wie weit weg ich mich vom
Atomkern befinde, um ein Elektron anzutreffen, sondern auch in welcher ”Himmelsrichtung” ich gerade
stehe!
Die Wellenfunktionen 2px, 2py, und 2pz
Die Wellenfunktionen ψ2p werden wie die Wellenfunktionenψ1s und ψ2s in Kugelkoordinaten dargestellt: ψ2p (r,
θ, φ). Sie lassen sich als Produkt eines radiusabhängigen Anteils R(r) und eines winkelabhängigen Anteils χ(θ,
φ) darstellen:
ψ ( , θ, φ) = ( ) ⋅ χ( θ, φ)
2 p r R r
Wir wollen hier nur die vereinfachten 2p-Wellenfunktionen betrachten. Ihre Formen in Kugelkoordinaten sind:
−r
ψ = r⋅e ⋅sinθ ⋅cos
φ
2 px
−r
ψ = r ⋅e⋅sinθ ⋅sin
φ
2 py
−r
ψ = r ⋅e⋅cos φ
2 pz
Die Wellenfunktionen lassen erkennen, daß gleiche Funktionswerte Ψ in unterschiedlichen Abständen vom
Atomkern auftreten ( im Gegensatz zu den s-Wellenfunktionen ),je nachdem, welche Raumrichtung ( welcher
Winkel ) gewählt wird.
74

Entlang den Raumachsen gilt:
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
− r
ψ : θ = 90° ; φ = 0° bzw. 180° ;sin θbzw.cosφ = ± 1⇒
ψ =± r ⋅e
2 px 2 px
ψ : θ = 90° ; φ = 90° bzw. 270° ;sin θbzw.sin φ = ± 1⇒
ψ =± r ⋅e
2 py 2 py
ψ : θ = 0° bzw. 180° ;cosθ=
± 1⇒
ψ
− r
=± r ⋅e
2pz2pz Graphische Darstellung der Wellenfunktionen ψ2p entlang den Koordinatenachsen
Räumliche Darstellung der 2p-Wellenfunktionen
An Hand der ψ -Wellenfunktion wird nun die Herleitung der räumlichen Darstellung dieser Funktion ge-
2 pz
zeigt.
Für die Winkel θ = 0° bzw. 180° vereinfacht sich die Funktion zu: ψ 2 pz
Der Verlauf der Wellenfunktion wird somit auf der z-Achse dargestellt:
Verlauf des Funktionswertes ψ 2 pz
auf der z-Achse in Abhängigkeit von r
=± r ⋅e
− r
− r
75

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Geht nun der Winkel θ von 0° gegen 90°, so werden die Funktionswerte entsprechend dem cosθ immer kleiner,
und bei 90° schliesslich Null. Zwischen 90° und 180° steigen die Werte für ψ 2 pz
der Winkel 30° bzw. 150° und 60° bzw. 120° sei das entsprechende Vorgehen erläutert. Es gilt:
−r −r
ψ = r ⋅e cos θ ⇒ fürθ = 30° bzw. 150°⇒ ψ =± r ⋅e ⋅0,
87
2 pz
2 pz
Funktionswerte ψ 2 pz
in Abhängigkeit von r und θ = 30° bzw. 150°
Für θ = 60° bzw. 120° werden die Werte für ψ 2 pz
nochmals kleiner:
−r −r
ψ = r ⋅e cos θ ⇒ fürθ = 60° bzw. 120°⇒ ψ =± r ⋅e ⋅0,
50
2 pz
2 pz
Funktionswerte ψ 2 pz
in Abhängigkeit von r und θ = 60° bzw. 120°
wiederum an. Am Beispiel
76

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Aufgabe 8: Tragen Sie in die drei vorhergehenden Abbildun-gen auf den
r-Achsen die Punkte ein, an denen der Funktionswert ψ 2 pz
±0,1 beträgt.
Die so erhaltenen 12 Punkte übertragen Sie auf die folgende Skizze, die die drei r-Achsen
enthält. Anschliessend werden die Punkte mit positiven bzw. negativen Werten durch ei-
ne Kurve verbunden. Auf diesen beiden Kurven besitzen alle Punkte den Funktionswert
ψ = ±0,1!
2 pz
Werden nun diese Kurven um die z-Achse gedreht, so erhält man die räumliche Darstellung der Wellenfunktion
ψ für einen bestimmten Funktionswert. Entsprechendes gilt für die Wellenfunktionen ψ 2 pz
2 px
und ψ . 2 py
Räumliche Darstellung der Wellenfunktionen ψ2p ; jeder Punkt auf der Oberfläche der Figuren besitzt den gleichen
Funktionswert ψ.
77

Die Energie des Wasserstoffatoms in den 2p-Zuständen
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Durch Einsetzen der Funktionen 2p in die Schrödinger-Gleichung erhält man die Energie der angeregten Zustände
2p:
E
2 p
2
1 e 0 1
=− ⋅ ⋅
2πε 2a4
0
0
Diese Energiewerte entsprechen demjenigen des 2s-Zustandes!
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ 2p 2 ⋅dV
E2p: Energie des Wasserstoffatoms im er-sten angeregten
Zustand (2p)
e0: Elektronenladung
ε0: Influenzkonstante
a0: 0,53⋅10 –10 m
Die räumliche Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte lässt sich entsprechend den räumlichen Darstellungen
der ψ2p-Wellenfunktionen herleiten. Da die ψ -Wellenfunktion nur von einem Winkel abhängt, wollen wir
2 pz
deren Quadrat für θ = 0° bzw. 180°, 30° bzw. 150° und 60° bzw. 120° betrachten:
−r ψ = r ⋅e ⋅cos
θ
2 pz
dW 2
2 −2r
2
= ψ 2 pz
= r ⋅e ⋅cos
θ
dV
−
für θ = 0°bzw.180°⇒ ψ = ⋅ ⋅
2
r
2 pz
r e
2 2 1
Wahrscheinlichkeitsdichte ψ 2 2 p z auf der z-Achse (θ = 0° bzw. 180°) in Abhängigkeit von r
−
für θ = 30° bzw. 150° ⇒ ψ = ⋅ ⋅
2
r
2 pz
r e ,
2 2 075
78

Wahrscheinlichkeitsdichte ψ 2 2 p z auf der z-Achse (θ = 30° bzw. 150°) in Abhängigkeit von r
−
für θ = 60° bzw. 120° ⇒ ψ = ⋅ ⋅
2
2 2r
2 pz
r e 025 ,
Wahrscheinlichkeitsdichte ψ 2 2 p z auf der z-Achse (θ = 60° bzw. 120°) in Abhängigkeit von r
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Betrachtet man nun alle Winkel für θ von 0° bis 180° und rotiert die gefundenen Werte ψ 2 2 p z um die Raum-
achsen, so erhält man die Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte für die ψ 2 2 p z -Wellenfunktion;
entsprechendes gilt für die übrigen ψ 2 p -Wellenfunktionen:
79

Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichtenψ 2
2 p
Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron in Kugel-schalen der Dicke
dr in verschiedenen Abständen vom Atomkern anzutreffen.
Für die ψ 2 pz -Wellenfunktion gilt:
dW
2
2 −2r
2
= ψ 2 pz
= r ⋅e ⋅cos
θ
2
4πrdr
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb einer solchen Kugelschale ist:
2 −2r
2 2
dW = r ⋅e⋅4πrdr ⋅cos
θ
80

2
Ψ 2 p . 4 π r
z
2 d r
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Graphische Darstellung der radialen Wahrscheinlichkeitsdichte für das Elektron im Wasserstoffatom (zweiter
Energiezustand ψ 2 pz )
Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte ist im Atomkern Null (r=0), erreicht dann ein Maximum, um allmählich
immer kleiner zu werden.
Die höheren Energiezustände des Wasserstoffatoms
Sie haben den Grundzustand des Wasserstoffatoms kennengelernt. Das Wasserstoffatom, wie auch andere Atome,
läßt sich durch Energiezufuhr in energiereichere (angeregte) Zustände überführen. Den ersten angeregten
Zustand haben wir besprochen. Das Spektrum des Wasser-stofflichtes hat gezeigt, daß beim Übergang des Systems
Proton-Elektron von einem ange-regten Zustand in den Grundzustand nur ganz bestimmte Energien abgegeben
werden können. Dieses Phänomen führte zu der Annahme, daß das Wasserstoffatom nur ganz bestimmte
(diskrete) Energiezustände einnehmen kann. Die Berechnungen mit Hilfe der Quantenchemie haben diese Annahme
bestätigt. Für die verschiedenen Energiezustände des Wasserstoffatoms existieren bestimmte Wellenfunktionen.
Aus ihnen lassen sich die Energien des Systems Proton-Elektron und die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
des Elektrons berechnen .
Die Energiezustände bezeichnet man mit kleinen ganzen Zahlen, den Hauptquantenzahlen (z. B. 1, 2, 3 usw.).
Sie entsprechen den Elektronenschalen (Hauptenergieniveaus).
r
81

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Für die Energiezustände des Wasserstoffatoms liefern die Berechnungen jeweils n 2 Wellen-unktionen, die die
Schrödinger-Gleichung erfüllen. Neben den s- und p-Funktionen erhält man sogenannte d- (diffus) und f- (fundamental)
Funktionen. Auf der nächste Seite finden Sie die s-, p- und d- Funktionen räumlich dargestellt.
Zusammenfassung
Für das Wasserstoffatom ergeben sich verschiedene Energieniveaus. Sie werden mit der jeweiligen
Hauptquantenzahl (entsprechend der Schalennummer) n bezeichnet. Innerhalb eines jeden Energieniveaus
lassen sich n 2 verschiedene Funktionen unterscheiden mit n-1 Knotenflächen. Die Energiewerte innerhalb eines
bestimmten Energieniveaus sind identisch; man spricht in einem derartigen Fall von entarteten Energiezuständen.
Energiezustände des Elektrons im Wasserstoffatom für n = 1 bis n = 4
82

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
räumliche Darstellung der Wellenfunktionen 1s, 2s, 2p, 3s, 3p und 3d für den Funktionswert ψ = ± 0,01 2
2 Chemie in unserer Zeit. 12. Jahrgang, Februar 1978
(betrachten Sie dazu auch die entsprechende Diaserie)
83

Lernkontrolle
Überprüfen Sie Ihr Wissen aus diesem Kapitel !
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Wenn Sie mindestens 3 Aufgaben richtig gelöst haben, dürfen Sie sich zum Kapitel-Test melden. Wenn nicht,
dann bearbeiten Sie die entsprechenden Abschnitte nochmals sorgfältig, bis Sie sicher sind, daß Sie den Stoff
beherrschen!
Aufgabe 9: Welche Gemeinsamkeiten weist das Elektron im Wasserstoffatom mit einer stehenden
mechanischen Welle auf?
Aufgabe 10: a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion ψ = ⋅ −
a e br .
b) Wie lautet die entsprechende Formel für ψ 2 ? Wie interpretieren Sie ψ 2 ?
Aufgabe 11: Worin liegt der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeitsdichte und der radialen
Wahrscheinlichkeitsdichte?
Aufgabe 12: Zeichnen Sie die Wolkendarstellung für den angeregten Zustand 2s des Wasserstoffatoms!
84

Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe 1: Eine Kugel mit Zentrum im Koordinatenursprung
Aufgabe 2: Einsetzen in die Gleichung :
Aufgabe 3:
−18
E =−21810 , ⋅ J =−1359
, eV
1s
ψ
ψ
e
Aufgabe 4: ψ
2
1s
2
1s
2r
−
a0
2r
1 a0
= ⋅e 3
πa
0
−
1
= ⋅ 1 3
πa
0
=
1
⏐⋅ln ⇒
1000
Das Maximum der Funktion ψ 2
1s
2r
E
1s
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
2
1 e 0
=− ⋅
4πε 2a
liegt bei r = 0.
1 −
a 1 1
0 ⋅ e = ⋅
3 3
πa 0 πa
0 1000
2r
3
−10
− lne = −3ln10⇒ r = ln 10⋅ a0= 1, 83⋅10 m
a
2
1s
0
=
1
3
r
−
a0
e
0
πa
2r
dW
2 1
= ψ s dW
2 1 ⇒ =
4πrdr
πa
dW 2 1 −
a 1 −
0 2
a0
=− e 4πr
+ e 8π r = 0
3
3
dr a πa
πa
0 0
r = a0
0
2r
(Bohrscher Radius)
3
0
2r
−
0
a0
2
e 4πr
dr
0
85

Aufgabe 5:
ψ
a
1s
r
1 a
2 1
= ⋅e⇒ ψ = ⋅e
3
1s
3
πa
πa0
0
2r
− −
0 a0
2
h
−10
= 4πε
= 0, 529 ⋅ 10 m = 0, 529Å
2 2
4π
me
0 0
r
−
a
W = ∫ ⋅e ⋅ r dr
a
1
0 2
4π
3
π
0
o
2r
0
2r
ua dr a a
0 0 0
u = ⇒ r = ⇒ = ⇒ dr = ⋅du
a 2 du 2 2
r
2
0
2 2
2
0
2 r a 2r
a 0
= = 2 2
a 2 a 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
0
2
r
2
⎛ 2r
⎞
⎜ ⎟ = u
⎝ a ⎠
a a u
u
W = ⋅ e u du e u du
a
⎛ 4π
0 ⎞ 0 − 2 1 − 2
⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
3 ⎝ 2 ⎠ 2 ∫ 2 ∫
π
0
2
0
r
0
0
2
2
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
r
r
r
u u
a r r
W = e ⋅u ⋅ du = − [ e ( u + u+ ) ] r = − e ⋅
a a
⎛ ⎡ 2
2
−
1
⎧
⎪ ⎞ ⎫ ⎤
− 2 1 − 2
1 2 4
⎢
⎪
0
∫
2 2 = 0
⎨⎜
⎟ + + 2⎬−2⎥ 2
2
2 ⎢ ⎝ ⎠
⎥
0
⎣ ⎩⎪ 0 0 ⎭⎪ ⎦
⎛ ⋅ ⎞
Für r = 2,2Å = 4,2a0 ⇒ W =− e ⎜ ⎟ +
⎝ ⎠
⋅
⎧⎪
⎫⎪
⎨
+ ⎬
⎩⎪
⎭⎪ −
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎢
⎦
⎥ =
− ⋅ 222 ,
2
1 0529 , 2 2, 2 4 22 ,
2 2 0, 989
2 0, 529 0, 529
Aufgabe 6: rote Farbe: positve Funktionswerte; blaue Farbe: negative Funktionswerte.
Aufgabe 7: Die beiden Energien E1s und E2s unterscheiden sich um den Faktor 1
4 .
86

Aufgabe 8:
Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Aufgabe 9: Eine stehende mechanische Welle ist an Randbedingungen gebunden. Sie kann nur bestimmte
(diskrete) Schwingungszustände annehmen. Das Elek-tron stellt man sich als dreidimensionale
stehende Welle vor. Auch sie kann im Coulomb-Potential des Atomkerns nur
bestimmte Schwingungszustände besitzen.
Aufgabe 10: a)
2 2 2
b) ψ = ⋅ −
a e br . Wird die Wellenfunktion ψ quadriert, so ergibt sich daraus die
Wahrscheinlichkeitsdichte (Elektronendichte, Ladungsdichte ). Mit dieser Größe läßt
sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einem bestimmten Volumenelement
dV berechnen.
87

Leitprogramm Quantenchemie
4. Das Wasserstoffatom
Aufgabe 11: Die Wahrscheinlichkeitsdichte vergleicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons
in gleichen Volumenteilen dV, wenn diese verschiedene Abstände vom Atomkern aufweisen.
Aufgabe 12:
Die radiale Wahrscheinlichkeitsdchte vergleicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des
Elektrons in Kugelschalen gleicher Dicke dr, wenn diese verschiedene Abstände r vom
Atomkern aufweisen.
88

Kapitel 5
Was ist ein Molekül?
Übersicht
Thema
89
5. Was ist ein Molekül?
Bis jetzt haben wir nur von Atomen gesprochen. In der Chemie beschäftigen wir uns aber normalerweise mit
Molekülen oder Ionen. Wir wollen deshalb in diesem Kapitel auf die Moleküle eingehen. Da diese ziemlich
schwierig zu behandeln sind, werden wir uns vorerst auf ein einfaches Molekül beschränken. Dies wird das H2-
Molekül sein.
Vorgehen
Zuerst lesen Sie die Theorie. Sie ist aus drei Abschnitten aufgebaut.
Im Text sind kleinere Aufgaben plaziert. Sie dienen dem Verständnis des Gelesenen. Sie sollen sich nicht länger
als drei Minuten an einer dieser Aufgaben aufhalten. Die Antworten werden Ihnen nach der Durcharbeit dieses
Kapitels ersichtlich werden.
Sobald Sie sich sicher fühlen, melden Sie sich zum Kapitel-Test. Bedingung ist aber, daß Sie die Aufgaben mit
der Überschrift "Lernkontrolle" richtig lösen.
Bei langen Wartezeiten können Sie mit dem 6. Kapitel weiterfahren. Den Test holen Sie später nach.
Leitprogramm Quantenchemie

Lernziele:
1. Der bindende Zustand
1. Sie wissen, was eine chemische Bindung ist.
2. Sie wissen, was ein antibindender Zustand ist.
3. Sie wissen, wieso H2 ein stabiles Molekül ist.
90
5. Was ist ein Molekül?
Der Wasserstoff existiert normalerweise in Form von H2-Molekülen. Warum verbinden sich nun eigentlich
zwei Wasserstoffatome zu einem Wasserstoffmolekül?
Wir betrachten zwei Wasserstoffatome. Sie nähern sich einander. Dabei verwenden wir die Vorstellung von
stehenden Materiewellen für die beiden Elektronen.
Im Bereich der beiden Atomkerne kommt es zu einer konstruktiven Interferenz. (Siehe Kapitel 1). Auf diese
Weise entsteht eine neue Materiewelle. Die Funktion dieser Welle beschreibt die Elektronen im
Wasserstoffmolekül.
Aus einer "Atomwellenfunktion" wurde eine "Molekülwellenfunktion".
Leitprogramm Quantenchemie

Hier ist der Verlauf der Wellenfunktionen im H-Atom und im H2-Molekül aufgezeichnet.
ψ 1
H-Atom 1
ψ 1
ψ 1
ψ 1 + ψ 2
H 2 -Molekül
91
ψ 2
ψ 2
H-Atom 2
Die Elektronendichte erhält man nun durch quadrieren der Molekülwellenfunktion.
ψ 2
5. Was ist ein Molekül?
Es gibt also eine erhöhte Elektronendichte zwischen den beiden Kernen der H-Atome. Sie ist durch die
konstruktive Interferenz entstanden:
Leitprogramm Quantenchemie

ψ 1 2
Der mathematische Ansatz
( ψ 1 + ψ 2 ) 2
H 2 - M o l e k ü l
Wir betrachten zuerst die verschiedenen Wellenfunktionen.
1. H-Atom ψ
1
2. H-Atom ψ2
92
ψ 2 2
H2-Molekül ψ1+2 = ψ1+ψ 2
5. Was ist ein Molekül?
Der letzte Ausdruck entspricht der Wellenfunktion zwischen den beiden Kernen. Uns inter-essiert jetzt aber
hauptsächlich die Verteilung der Elektronendichte zwischen den Kernen. Da-zu müssen wir diese
Wellenfunktion quadrieren.
2
H2-Molekül: ( ) ( )
Dies ist die Elektronendichte zwischen den beiden Kernen.
2
ψ1+ 2 = ψ1 + ψ2 = ψ + ψ + 2 ⋅ ψ ψ
Der Teil 2 ⋅ ψ1ψ 2 kommt zusätzlich hinzu. Es ist der Beitrag, der durch die konstruktive Inter-ferenz
entstanden ist.
Die Elektronendichte zwischen den Kernen wird durch die konstruktive Interferenz erhöht. Diese Erhöhung ist
gerade so groß, daß die Kern-Kern Abstoßungskraft kompensiert wird beim Gleichgewichtsabstand der
gebundenen Atome.
1 2
2 2
1 2
Leitprogramm Quantenchemie

93
5. Was ist ein Molekül?
Theoretisch gibt es nun viele Abstände, bei denen eine konstruktive Interferenz eintreten kann. Es führt aber nur
einer davon zu einem stabilen Molekül. Die Begründung lautet folgendermassen: Wenn man sich vom Kern
entfernt, nimmt die Elektronendichte rasch ab. Bei einem grossen Abstand ist zwar auch eine konstruktive
Interferenz möglich. Dabei ist aber der Energiegewinn relativ klein. Die Elektronendichte wird ja mit
zunehmendem Abstand sehr gering. Ist hingegen die Distanz zu kurz, so stossen sich die positiv geladenen
Kerne ab. Ein zu kleiner Abstand ist also auch nicht möglich.
Es gibt nun genau einen Wert, der ideal ist. Er ist ein Kompromiss zwischen diesen beiden Effekten. Einerseits
ist nur nahe beim Kern die Elektronendichte genügend groß, andererseits stoßen sich die Kerne ab.
Eine Atombindung entsteht also durch konstruktive Interferenz von zwei
Atomwellenfunktionen.
Untenstehend ist noch ein Diagramm aufgezeichnet. Hier können Sie sehen, wie sich die Energie ändert, wenn
man den Abstand der beiden H-Atome vergrößert oder verkleinert.
Bei einer chemischen Bindung liegt der Abstand natürlich genau im Energieminimum.
Es wurde die Energie als Funktion des Abstandes aufgezeichnet. Man nennt diese Kurve Po-tentialkurve.
Aufgabe 5.1
Der Abstand zwischen den beiden Kernen beträgt
beim H2-Molekül ca. 0,7⋅10 -10 m, der
Energiegewinn durch die konstruktive Interferenz
(Bindung) etwa 436 KJ / mol.
Leitprogramm Quantenchemie

Zusammenfassung
Wieso ist eine chemische Bindung energetisch
günstig?
94
5. Was ist ein Molekül?
Das H2-Molekül existiert. Die Materiewellen der beiden H-Atome können sich überlageren. Damit wird die
Elektronendichte zwischen den Kernen erhöht. Die Abstoßung der beiden positiv geladenen Kerne wird durch
die erhöhte Elektronendichte zwischen den Kernen kompen-siert. Das Molekül liegt im Gleichgewichtszustand
zwischen Anziehung und Abstoßung.
Sie können es sich auch so vorstellen, daß die beiden Kerne von der erhöhten Elektronendichte zwischen den
beiden Atomkernen angezogen werden. Sie bleiben somit zusammen. Sie haben einen Abstand, der energetisch
günstig ist. Es ist ein Gleichgewicht zwischen Anziehung und Abstoßung.
Nun wissen wir, wie eine chemische Bindung zustande kommt. Es sind rein elektrostatische Wechselwirkungen.
Man nennt sie auch Coulomb'sche Wechselwirkungen. Es gibt also keine "chemische" Energie, die für eine
Bindung verantwortlich ist. Es gibt nur die elektrostatischen Wechselwirkungen mit Anziehung und Abstoßung.
Anwendung
In der Chemie benützt man häufig die folgende Schreibweise. Man schreibt einen Strich für eine chemische
Bindung. Dieser Strich steht für eine erhöhte Aufenthaltswahrscheinlichkeit von zwei Elektronen zwischen den
Atomrümpfen. Man nennt es auch gemeinsames Elektronenpaar. Deshalb spricht man dann auch von
Elektronenpaarbindung.
Wie wir gesehen haben, ist das näherungsweise korrekt. Es ist ja tatsächlich die Elektronendichte erhöht
zwischen den beiden Atomkernen.
Aufgabe 5.2
Leitprogramm Quantenchemie

2. Der antibindende Zustand
95
5. Was ist ein Molekül?
Wieso spricht man von einem gemeinsamen Elektronenpaar
bei einer chemischen Bindung?
Wir haben bis jetzt die konstruktive Interferenz behandelt. Es ist aber auch eine destruktive Interferenz von zwei
Wellenfunktionen möglich.
Sie sehen das hier graphisch dargestellt:
Die Wellenfunktion der
einzelnen H-Atome
Wellenfunktion des H 2 -Moleküls
Nun betrachten wir noch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen. Dazu müssen wir ja nur wieder die
obenstehende Molekülwellenfunktion quadrieren.
Leitprogramm Quantenchemie

ψ 1 2
( ψ 1 - ψ 2 ) 2
H 2 - M o l e k ü l
96
ψ 2 2
5. Was ist ein Molekül?
Bei der destruktiven Interferenz ist also die Elektronendichte zwischen den Kernen vermindert. Bei der
konstruktiven Interferenz war ja genau das Gegenteil der Fall. Dieser Zustand der destruktiven Interferenz ist
nun energiereicher als der bindende Zustand. Es kann keine Bin-dung zustandekommen. Die Elektronendichte
zwischen den Kernen ist zu niedrig, um ihre Abstoßung auszugleichen. Die Kerne bleiben also nicht zusammen.
Sie entfernen sich voneinander. Es kommt keine Bindung zustande, sondern es entsteht ein antibindender
Zustand.
Die mathematische Betrachtung
Wir betrachten zuerst die verschiedenen Wellenfunktionen.
1. H-Atom ψ1
2. H-Atom ψ2
H2-Molekül ψ*1+2 =ψ1 – ψ2
Der letzte Ausdruck entspricht der Wellenfunktion zwischen den beiden Kernen. Uns inter-essiert jetzt aber
hauptsächlich die Verteilung der Elektronendichte zwischen den Kernen. Da-zu müssen wir diese
Wellenfunktion wiederum quadrieren.
2
H
2
-Molekül ( ) ( )
2
ψ1+ 2 = ψ1 − ψ2 = ψ + ψ −2⋅ ψ ψ
Der Teil 2 ⋅ ψ1ψ 2 geht verloren durch die destruktive Interferenz.
1 2
2 2
1 2
Die Elektronendichte zwischen den beiden Atomkernen wird also vermindert.
Bei destruktiver Interferenz entsteht ein antibindender Zustand.
Leitprogramm Quantenchemie

Zusammenfassung
97
5. Was ist ein Molekül?
Wenn destruktive Interferenz eintritt, werden die Kerne nicht nahe beieinander bleiben. Die positiv geladenen
Kerne stoßen sich ab. Für eine Kompensation ist die Elektronendichte zwischen den Kernen zu gering. Somit
überwiegt die Abstoßung durch die positiv geladenen Kerne. Es entsteht also keine Bindung, sondern eine
Antibindung. Deshalb auch der Name "antibindender Zustand".
Aufgabe 5.3
3. Das Orbitalschema
Wie entsteht eine Antibindung?
Die Wellenfunktion für ein Elektron wird Orbital genannt. Ein Orbital ist also nichts anderes als die Funktion
für eine stehende Materiewelle eines Elektrons.
Überlagern sich nun zwei Atomorbitale (Wellenfunktionen, die ein Elektron in einem Atom beschreiben), so
bilden sich zwei Molekülorbitale (Wellenfunktionen, die Elektronen in einem Molekül beschreiben). Genau
genommen entsteht ein bindendes und ein antibindendes Molekülorbital. Das bindende Orbital entsteht aus
der konstruktiven und das antibindende Orbital aus der destruktiven Interferenz der beiden Atomorbitale
(Wellenfunktionen).
Man kann dies mit einem einfachen Schema qualitativ darstellen. Hier wurde wiederum die Graphik für das H2-
Molekül aufgezeichnet.
Leitprogramm Quantenchemie

Energie
Ψ * ( antibindend )
Ψ ( bindend )
98
5. Was ist ein Molekül?
Jeder Kreis bedeutet ein Orbital und jeder
eingesetzte Pfeil steht für ein Elektron. Aus den
beiden Atomorbitalen (links und rechts
gezeichnet) entstehen Molekülorbi-tale (in der
Mitte gezeichnet). Beide H-Atome (HA und HB)
bringen je ein Elektron mit in die Bindung ein.
Das bindende Molekülorbital ist immer energieärmer
als das antibindende. Es wird deshalb in
der Energieskala tiefer einge-zeichnet als das
antibindende Molekül-orbital.
Jedes neu entstehende Molekülorbital kann maximal zwei Elektronen beschreiben. Die Elek-tronen besetzen
immer zuerst das bindende Orbital. Erst wenn das bindende Orbital mit zwei Elektronen gefüllt ist, wird das
antibindende Orbital besetzt.
Man kann aber noch mehr aus dieser Zeichnung herauslesen. Die Energie des H2-Moleküls ist tiefer als die der
beiden einzelnen H-Atome. Diese Energie muß aufgewendet werden, wenn man das H2-Molekül wieder in zwei
H-Atome zerlegen will. Sie können sich diese Energie auch als Bindungsenergie vorstellen.
Literaturstudium
Lesen Sie im Buch Elemente Chemie II das 6.
Kapitel auf den Seiten 62 und 63.
Sie haben jetzt nach diesem Literaturstudium noch einmal die wichtigsten Begriffe repetiert. Nun sollten Sie die
Lernziele für dieses Kapitel erreicht haben. Nachfolgend kommen noch einige Übungsaufgaben.
Leitprogramm Quantenchemie

Lernkontrolle
Aufgabe 5.4:
Wieso kann überhaupt eine Bindung entstehen?
Aufgabe 5.5:
99
5. Was ist ein Molekül?
Die folgenden Aufgaben dienen der Überprüfung Ihres Wissens. Sie
sollen selbständig testen, ob Sie den Stoff dieses Kapitels begriffen
haben.
Wieviel beträgt etwa der Energiegewinn bei der Bildung eines H2-Moleküls aus H-Atomen?
Wie groß ist ungefähr der Abstand zwischen den beiden Kernen beim H2-Molekül?
Aufgabe 5.6:
Erklären sie mathematisch, warum bei der konstruktiven Interferenz eine größere Elektronen-dichte zwischen
den Kernen vorhanden ist, als bei zwei Atomen im gleichen Abstand ohne Interferenz.
Haben Sie alle Aufgaben richtig gelöst und fühlen Sie sich im Stoff dieses Kapitels sicher?
Dann können Sie sich jetzt beim Lehrer zum Kapiteltest melden.
Wenn Sie eine Aufgabe falsch gelöst haben, so lesen Sie das Kapitel nochmals sorgfältig durch, bis Sie die
Grundlagen erarbeitet haben.
Leitprogramm Quantenchemie

Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe 5.1:
100
5. Was ist ein Molekül?
Bei der Entstehung einer chemischen Bindung wird Energie frei. Der Grund liegt darin, daß die
Elektronendichte zwischen den Kernen bei einer Bindung erhöht ist. Die Erhöhung tritt ein wegen der
konstruktiven Interferenz.
Aufgabe 5.2:
Die Aufenthaltswahrscheinlichlichkeit eines Elektronenpaares ist zwischen zwei Atomrümpfen erhöht. Die
beiden Elektronen gehören zu beiden Atomen. Sie bilden ein gemeinsames Elek-tronenpaar.
Aufgabe 5.3:
Eine Antibindung entsteht durch destruktive Interferenz. Die Elektronendichte zwischen den Kernen wird
vermindert. Es fehlt das Gegengewicht. Die positiv geladenen Protonen stossen sich ab. Es entsteht keine
Bindung.
Aufgabe 5.4:
Durch konstruktive Interferenz der Elektronenwellen wird die Elektronendichte zwischen den Kernen erhöht.
Damit werden die beiden positiv geladenen Kerne durch die verstärkte nega-tive Ladung zusammengehalten.
Dieser Zustand ist energetisch günstiger als bei zwei einzelnen Atomen.
Aufgabe 5.5:
Energiegewinn: 436 KJmol -1 Abstand: 0.7⋅10 -10 m
Leitprogramm Quantenchemie

Aufgabe 5.6: 1. H-Atom ψ1 2
2. H-Atom ψ2 2
Die Elektronendichte zwischen den Kernen
ohne konstruktive Interferenz beträgt (ψ1 2 +ψ2 2 )
Die Elektronendichte zwischen den Kernen mit konstruktiver Interferenz beträgt
2
( ) ( )
ψ1+ 2 = ψ + ψ = ψ + ψ + 2 ⋅
ψ ψ
1 2
101
2
1 2
2 2
1 2
5. Was ist ein Molekül?
Leitprogramm Quantenchemie

Kapitel 6
Mehrelektronensysteme
Übersicht:
6. Mehrelektronensysteme
Im ersten Teil dieses Kapitels behandeln wir Atome, die mehr als ein Elektron besitzen. Anschliessend betrachten
wir im zweiten Teil die Bildung von Bindungen zwischen derartigen Atomen.
Lernziele:
1. Sie sind in der Lage, den Grobaufbau des Periodensystems nachzuvollziehen.
2. Sie können die Elektronenverteilung eines Atomes angeben, wenn Sie dessen
Elektronenanzahl kennen.
102 Leitprogramm Quantenchemie

6.1. Atome
6. Mehrelektronensysteme
Sie haben im Kapitel 4 gelernt, wie ein Einelektronensystem quantenchemisch behandelt werden kann. Bei
Mehrelektronensystemen kommt es zu komplizierten Wechselwirkungen zwischen den Elektronen bzw. den
Elektronen und dem Atomkern. Dies erschwert die Rechnung mit den Wellenfunktionen beträchtlich.
Der Chemikerin und dem Chemiker stellt sich noch ein weiteres, großes Problem: Für Mehr-elektronensysteme gibt
es keine Wellenfunktionen, deren Quadrate zu meßbaren Elektronendich-ten von einzelnen Elektronen führen!
Die einzigen Meßgrößen sind die Gesamtelektronendichte und die Gesamtenergie des Systems.
Welche Möglichkeiten stehen der Chemikerin und dem Chemiker zur Verfügung, um dennoch Aussagen über ein
Mehrelektronensystem machen zu können?
Das Problem eines Vielelektronensystems wird auf das Problem eines Einelektronensystems reduziert. Folgender
Weg wird begangen: Ein Elektron des Kollektivs wird im Potentialfeld des Kerns und im mittleren Potential der
restlichen Elektronen betrachtet. Aufwendige Rechnungen ergeben dann einen entsprechenden Energiewert für
dieses willkürlich aus dem Kollektiv herausgenommene Elektron. Dieses Verfahren wird in einem
Mehrelektronensystem mit n Elektronen n - mal durchgeführt.
Jedes so betrachtete Elektron kann entsprechend der Modellvorstellung einer stehenden Welle verschiedene
Energien aufweisen. Die dazugehörenden Wellenfunktionen besitzen die entsprechenden Knotenflächen der
Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms, was Anzahl und Typus anbelangt. Die Erfahrungen am Wasserstoffatom
lassen sich somit teilweise übernehmen. Aus diesem Grund wurden auch die Bezeichnungen für die
Wasserstoffwellenfunktionen auf die Orbitale von Mehrelektronensystemen übertragen. Die Entartung (Kap. 4)
hingegen ist bei den Mehrelektronensystemen aufgehoben.
Die Einelektronenwellenfunktionen, die man auf diese Weise erhalten hat, werden Orbitale genannt (Kap. 5).
103 Leitprogramm Quantenchemie

6. Mehrelektronensysteme
Die dazugehörenden Energiewerte und Elektronendichten sind die Orbitalenergien bzw. die
Orbitalelektronendichten. Beide Größen sind jedoch fiktiv!
Mit den Orbitalen hat man ein Ordnungsprinzip zur Verfügung, das es erlaubt, die Elektronenhüllen höherer Atome
zu gliedern. Die Elektronen lassen sich auf die verschiedenen Orbitale verteilen.
Um den Aufbau des Periodensystems verstehen zu können, sind drei einfache Regeln zu beachten:
1. Energieärmster Zustand
Es werden immer zuerst die energieärmsten Orbitale mit Elektronen aufgefüllt.
2. Pauli Prinzip
Ein Orbital kann max. 2 Elektronen aufnehmen.
3. Hundsche Regel
Stehen in einem Atom energetisch gleichwertige Orbitale zur Verfügung, so werden diese mit den
neu hinzukommenden Elektronen zuerst einzeln besetzt.
Mit diesen einfachen Regeln können alle bekannten Elemente in einer Tabelle dargestellt werden. Diese Tabelle ist
das Periodensystem.
In Kapitel 4 haben Sie die Bezeichnung der Orbitale kennengelernt.
Aufwendige Rechnungen führten zu deren energetischen Anordnung in höheren Atomen.
104 Leitprogramm Quantenchemie

6. Mehrelektronensysteme
Anordnung der Orbitale gemäß den ausgeführten quantenchemischen Rechnungen.
[Jeder Strich entspricht einer Wellenfunktion (Orbital), die maximal zwei Elektronen beschreiben kann(Pauli
Prinzip)]
Dazu vier Beispiele:
105 Leitprogramm Quantenchemie

E
Verteilung der 17 Elektronen eines
Chloratomes auf die Orbitale.
Chemische Schreibweise: 17 Cl
Verteilung der 28 Elektronen eines
Nickelatomes auf die Orbitale.
Chemische Schreibweise: 28 Ni
E
E E
Verteilung der 6 Elektronen eines
Kohlenstoffatomes auf die Orbitale.
Chemische Schreibweise: 6 C
Verteilung der 20 Elektronen eines
Calciumatomes auf die Orbitale.
Chemische Schreibweise: 20 Ca
6. Mehrelektronensysteme
106 Leitprogramm Quantenchemie

6.2. Die Bindung in Molekülen
Lernziele:
1. Sie verstehen , daß man aus Atomorbitalen Molekülorbitale erhalten kann.
2. Sie kennen die räumliche Darstellung der Molekülorbitale.
6. Mehrelektronensysteme
Wie bei den Atomen sind für Moleküle nur die Gesamtelektronendichte und die Gesamtenergie meßbar. Auch in
diesem Fall behilft man sich mit den fiktiven Größen "Orbitale".
Wie lassen sich nun aus Atomorbitalen Molekülorbitale bilden?
Man erhält durch Überlagerung (Interferenz) von zwei Atomorbitalen ein bindendes und ein antibindendes
Molekülorbital.
Das MO mit der geringeren Energie und einer höheren Elektronendichte zwischen den Kernen wird bindendes
Molekülorbital genannt.
Das MO mit der höheren Energie und einer geringeren Elektronendichte zwischen den Kernen wird antibindendes
Molekülorbital genannt und mit einem Stern (*) markiert.
Wie in Kapitel 5 beschrieben, lassen sich die Molekülorbitale mit nachstehendem mathematischem Formalismus
erhalten.
107 Leitprogramm Quantenchemie

6. Mehrelektronensysteme
Die folgenden, kurzen Ausführungen sollen nur der Repetition dienen und können kurz überflogen werden.
Zwei Wellenfunktionen ψ1 und ψ2 können addiert werden. Man hat dann eine neue Wellenfunktion ψ1,2.
ψ 12 , = ψ 1 + ψ 2 (konstruktive Interferenz)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte zwischen zwei Kernen wird analog den Atomorbitalen (AO) durch Quadrieren der
Funktionen ψ1 + ψ2 gefunden:
( )
ψ + ψ = ψ + ψ + 2ψ
ψ
1 2
2
2
1
2
2
1 2
Elektronendichte zwischen den Kernen erhöht: konstruktive Interferenz
Man kann die beiden Funktionen Y1 und Y2 auch voneinander subtrahieren.
ψ 12 , = ψ 1 − ψ 2 (destruktive Interferenz)
Für die Elektronendichte zwischen den beiden Kernen erhält man:
( )
ψ − ψ = ψ + ψ − 2ψ
ψ
1 2
2
2
1
2
2
1 2
Elektronendichte zwischen den Kernen erniedrigt: destruktive Interferenz
Bilden Atome höherer Elemente Moleküle, so ist eine Ueberlagerung von s- und p-Wellenfunktionen nötig. Auf der
äussersten Schale eines Atoms existieren maximal 8 Elektronen. Diese werden mit einer s- und drei p-
Wellenfunktionen beschrieben. Es gibt nun einfache Regeln, die Möglichkeit der Bildung von Bindungen zwischen
Atomen abzuschätzen:
108 Leitprogramm Quantenchemie

6. Mehrelektronensysteme
1. Die Wellenfunktionen (AO) müssen sich räumlich soweit nähern können, dass eine nennenswerte
Ueberlagerung ("Ueberlappung") möglich ist. Wellenfunktionen, die Elektronen innerer Schalen
beschreiben, überlagern sich praktisch nicht.
2. Hinsichtlich der Bindungsachse im Molekül müssen die Wellenfunktionen gleiche Symmetrie besitzen.
3. Die Wellenfunktionen können sich nur dann überlagern, wenn sie ähnliche Energien aufweisen.
4. Das Pauli Prinzip und die Hundsche Regel sind zu beachten.
Es gibt folgende Kombinationsmöglichkeiten von Atomorbitalen zu Molekülorbitalen 1 :
Schnitt durch die räumliche Darstellung von Schnitt durch die räumliche
s-Atomorbitalen Darstellung der Molekülorbitale
1 Bei der hier verwendeten Darstellungsweise benützt man einen Schnitt durch den geometrischen
Ort aller Punkte mit einem bestimmten Funktionswert Ψ (Kapitel 3).
109 Leitprogramm Quantenchemie

Schnitt durch die räumliche Darstellung von Schnitt durch die räumliche
px-Atomorbitalen Darstellung der Molekülorbitale
Schnitt durch die räumliche Darstellung Schnitt durch die räumliche
von pz- (bzw. py-) Atomorbitalen Darstellung der Molekülorbitale
6. Mehrelektronensysteme
110 Leitprogramm Quantenchemie

Schnitt durch die räumliche Darstellung Schnitt durch die räumliche
von s- und p-Atomorbitalen Darstellung der Molekülorbitale
Schnitt durch die räumliche Darstellung
von s- und pz- (bzw. py-) Atomorbitalen
keine Ueberlagerung möglich
Definition der σ- und π-Molekülorbitale:
6. Mehrelektronensysteme
σ-Orbitale: Symmetrisch bzgl. Kernverbindungsachse. σ-Molekülorbitale entstehen aus s-
Orbitalen oder aus px-Orbitalen.
π-Orbitale: Nicht symmetrisch bzgl. Kernverbindungsachse. π-Molekülorbitale entstehen aus pyund
pz-Orbitalen.
111 Leitprogramm Quantenchemie

Zusammenfassung
6. Mehrelektronensysteme
Addition und Subtraktion von Wellenfunktionen führen zu einer modellhaften Beschreibung des
Wasserstoffmoleküls durch bindende und antibindende Molekülorbitale. Prinzipiell lässt sich dieses Vorgehen bei
der Bildung aller Moleküle verwenden.
1) Die verschiedenen Atomorbitale der äußersten Schale von Atomen werden miteinander kombiniert, wobei die
Anzahl der dabei entstehenden bindenden und antibindenden Molekül-orbitale der Summe der Atomorbitale
entspricht.
2) Die Elektronen der äußersten Schale der Atome füllen die gebildeten bindenden und antibindenden
Molekülorbitale entsprechend den Energieniveaus auf, wobei der jeweils energieärmste Zustand zuerst mit
Elektronen belegt wird. Mit Hilfe der Wellenmechanik lassen sich ungefähre Energiewerte der
Molekülorbitale berechnen.
3) Die Molekülorbitale erstrecken sich über das gesamte Molekül.
4) Pro Molekülorbital sind nur zwei Elektronen möglich (Pauli - Prinzip).
5) Stehen mehrere Atom- bzw. Molekülorbitale zur Verfügung, so werden diese zuerst mit je einem Elektron
besetzt (Hundsche Regel).
Im folgenden Kapitel werden wir diese Regeln anwenden.
112 Leitprogramm Quantenchemie

Kapitel 7
Moleküle der Elemente der 2. Periode
Übersicht:
7. Moleküle der Elemente der 2. Periode
Unser Wissen über Atom- und Molekülorbitale wenden wir nun an, um zweiatomige Moleküle der Elemente der 2.
Periode zu bilden.
Leitprogramm Quantenchemie
113

Lernziele:
7.1 Homonukleare, zweiatomige Moleküle der 2. Periode
7. Moleküle der Elemente der 2. Periode
1. Sie sind nach dem Studium dieses Kapitels in der Lage, die Elektronenkonfiguration aller
erwähnten Beispiele zu liefern.
2. Sie können von allen erwähnten Beispielen die Bindungsordnung ausrechnen. Sie kennen
somit die ungefähren Stabilitätseigenschaften und Energien der einzelnen behandelten
Moleküle qualitativ.
Bei homonuklearen, zweiatomigen Molekülen der 2. Periode muß man folgende Regeln beachten:
Es gibt jeweils von Atom 1 und Atom 2 folgende Orbitale:
für die inneren Elektronen (1s)1, (1s)2
keine nennenswerte Überlappung.
für die Valenzelektronen (2s, 2px, 2py, 2pz)1, (2s, 2px, 2py, 2pz)2
Es lassen sich Molekülorbitale bilden
In einem neutralen homonuklearen Molekül, das aus Atomen mit der Ordnungszahl Z besteht, muß man 2 Z
Elektronen unterbringen (bei geladenen Teilchen entsprechend mehr oder weniger).
Die Energieniveaus der p - Molekülorbitale hängen u. a. von der Kernladung der betreffenden Atome ab. Für die
Elemente Bor, Kohlenstoff und Stickstoff liegt die Energie der beiden πp - Molekülorbitale tiefer als die des σp -
Molekülorbitals, wie Rechnungen gezeigt haben.
Leitprogramm Quantenchemie
114

7. Moleküle der Elemente der 2. Periode
Bevor wir einige Beispiele von Elementen der zweiten Periode betrachten, müssen wir die Bindungsordnung
definieren:
Anzahl Elektronen in bindenden Zuständen minus Anzahl Elektronen in antibindenden Zuständen dividiert durch
zwei.
Die Zahl der Elektronenpaare, die effektiv zu einem Zusammenhalt der Atome beitragen, be-rechnet sich somit
folgendermaßen:
Bindungsordnung BO:
bindendeMolekülorbitale − antibindendeMolekülorbitale
2
Bindende und antibindende Molekülorbitale heben sich in ihrer Wirkung gegenseitig auf.
7.1.1 Li2
Dieses Molekül existiert in geringen Konzentrationen im dampfförmigen Lithium.
Ψ(1) 2s
Ψ(2) 2s
Elektronenverteilung
Elektronen: 4
im Li2 Molekül: innere
(an der Bindung nicht beteiligt).
Valenzelektronen : 2 2s 2
Leitprogramm Quantenchemie
115

7.1.2 Be2
7. Moleküle der Elemente der 2. Periode
Die beiden 2s Atomorbitale repräsentieren jeweils zwei Elektronen, die damit das bindende σ2s und das
antibindende σ*2s MO besetzen. Bindende und antibindende Wirkung heben sich auf. Das Be2 Molekül kann
folglich nicht existieren. Experimentelle Untersuchungen haben diese Theorie bestätigt.
Ψ(1) 2s
Ψ(2) 2s
Orbitalschema des angenommenen Be 2 -Moleküls
Leitprogramm Quantenchemie
116

7.1.3 B2; C2; N2
7. Moleküle der Elemente der 2. Periode
Sind p-Orbitale vorhanden, so stehen in den gebildeten Molekülen zu den beiden s- noch prinzi-piell sechs weitere
Molekülorbitale zur Verfügung: σpx, σ*px, πpy, π*py, πpz und π*pz. Die Energieniveaus der p-Orbitale hängen u. a.
von der Kernladung der betreffenden Atome ab. Für die Elemente Bor, Kohlenstoff und Stickstoff liegt die Energie
der beiden πp-Molekülorbitale tiefer als die des σp-Molekülorbitals.
Sie können nun (mit verschiedenen Farben) die Aussenelektronen (der 2. Schale) der Bor- bzw. Kohlenstoff- bzw.
Stickstoffatome in die Atom- bzw. Molekülorbitale einzeichnen.
7.1.4 O2, F2, Ne2
Leitprogramm Quantenchemie
117

7. Moleküle der Elemente der 2. Periode
In den angenommenen Molekülen der Elemente Sauerstoff, Fluor und Neon sind die beiden 2p-Molekülorbitale mit
dem σ2p-Molekülorbital im Vergleich zu den vorhergehenden Molekülen en-ergetisch vertauscht.
2p 2p
π *p
y π *p
z
2s
σ p
x
π p π
y
p
z
σ p
x
2s
AO
σ s
MO AO
Orbitalschema der Moleküle O , F und [Ne]
2 2
2
Auch in dieses Schema können Sie mit verschiedenen Farben die Aussenelektronen in die Atom- bzw.
Molekülorbitale einzeichnen.
7.2 Heteronukleare, zweiatomige Moleküle (CO, NO)
σ
*s
Leitprogramm Quantenchemie
118

Ein Molekül vom Typ AB nennen wir heteronukleares, zweiatomiges Molekül.
7. Moleküle der Elemente der 2. Periode
Die Elektronenverteilung ist in der Bindung nicht mehr symmetrisch. Das Energiediagramm der Molekülorbitale
kann aber analog den homonuklearen Molekülen erstellt werden. Die Energie der beiden πp-Molekülorbitale (πy
bzw. πz liegt bei unseren zwei Beispielen tiefer als die des σpx-Molekülorbitals.
7.2.1 Kohlenstoffmonoxid CO
Das Molekül von Kohlenstoffmonoxid besitzt 10 Valenzelektronen. Die Elektronenanzahl ent-spricht damit dem N2-
Molekül. Man sagt daher auch, daß das CO-Molekül isoelektronisch mit dem N2-Molekül ist.
7.2.2 Stickstoffmonoxid NO
Die Moleküle von Stickstoffmonoxid haben ein Elektron weniger als die O2-Moleküle.
Leitprogramm Quantenchemie
119

ANHANG 1
Kapitel-Tests für den Tutor
ANHANG
In diesem Anhang finden Sie für jedes Kapitel drei verschiedene Kapiteltests mit je drei Fragen und den
dazugehörenden Musterantworten.
Geben Sie Ihren Schülern jeweils nur einen Test. Wechseln Sie außerdem mit den Fragen ab und modifizieren
Sie sie allenfalls leicht.
Tests Kapitel 1
Tutorenfragen
Testblock A
Test 1.1: Läßt sich Licht durch eine Longitudinal- oder Transversalwelle beschreiben?
Test 1.2: Schallwellen und Lichtwellen überlagern sich nicht gegenseitig! Geben Sie
zwei Gründe an, warum dies nicht der Fall ist.
Test 1.3: Wie groß ist der Energieunterschied zweier ansonsten gleichen Schallwellen,
wenn die eine die doppelte Amplitude und Wellenlänge hat?
Testblock B
Test 1.4: Schallwellen sind Longitudinalwellen. In welche Richtung schwingen die
Luftteilchen verglichen mit der Ausbreitungsrichtung?
Test 1.5: Licht wird an einem Spalt gebeugt. Es treten unter anderem Intensitätsminima
im Schattenraum auf. Welchen Gangunterschied, ausgedrückt als n-faches der
Wellenlänge, hat das Licht an diesen Stellen?
Test 1.6: Wie groß ist der Energieunterschied zweier ansonsten gleichen Lichtwellen,
wenn die eine die doppelte Frequenz und Amplitude hat?
1/35 Leitprogramm Quantenchemie

Testblock C
ANHANG
Test 1.7: Rotes Licht hat eine größere Wellenlänge als blaues. Welches Licht ist somit
energiereicher?
Test 1.8: Worin bestehen die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Licht, Radiowellen
und γ-Strahlung? Nennen Sie jeweils zwei Gemeinsamkeiten und zwei
Unterschiede.
Test 1.9: Eine 1 m lange Gitarrensaite schwingt. Sie hat insgesamt 5 Wellenknoten. Welche Wellenlänge
hat somit die stehende Welle?
Lösungen Tests Kapitel 1
Antworten zu den Tutorenfragen
Testblock A
Test 1.1: Licht lässt sich als eine Transversalwelle beschreiben. Die
elektromagnetischen Felder stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Test 1.2: Schallwellen sind longitudinale Druckwellen. Licht ist eine
elektromagnetische Transversalwelle. Lichtwellen sind nicht materialgebunden
im Gegensatz zu Schallwellen.
Test 1.3: Die Energie E ist proportional zu s2
. Mit der doppelten Amplitude s und der
2
λ
doppelten Wellenlänge λ folgt: 2
2
= 1 2
2
Die Energie ist somit gleich groß!
2/35 Leitprogramm Quantenchemie

Testblock B
Test 1.4: Luftteilchen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung.
ANHANG
Test 1.5: Ein Intensitätsminimum tritt dann auf, wenn sich ein Wellenberg und ein
Wellental auslöschen. Der Gangunterschied beträgt n⋅ λ
(n = 1, 3, 5, 7, 9 ....).
2
Test 1.6: Die Energie E ist proportional zu s2⋅ν2der doppelten Amplitude s und der
doppelten Frequenz n folgt: 2 2 ⋅2 2 = 16.
Testblock C
Die Energie ist somit 16 mal größer!
Test 1.7: Die Energie ist umgekehrt proportional zur Wellenlänge. Damit ist das blaue
Licht energiereicher als das rote.
Test 1.8: Alle Wellen sind elektromagnetischer Natur. Sie breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit
aus und sind an keinen Wellenträger gebunden. Sie besitzen
jedoch verschiedene Wellenlängen und Frequenzen und folglich auch
verschiedene Energien!
Test 1.9: Die Schwingungsknotenanzahl –1 ergibt den Schwingungszustand von n = 4.
Mit der Formel λ = ⋅
2
2
L ergibt sich: λ = ⋅ 1m= 0, 5m.
n 4
Die Saite schwingt mit einer Wellenlänge von einem halben Meter!
3/35 Leitprogramm Quantenchemie

Kapitel 2
Die Fragen stammen aus folgenden Gebieten:
1. Photonen, ihre Energie und Masse
2. Elektronenwellen, Beugungsmuster
3. Wasserstoffspektrum, Spektren anderer Atome
4. Begriffe erklären
5. Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen
Jeder der Kapiteltests enthält Fragen zu vier der genannten Gebiete.
ANHANG
4/35 Leitprogramm Quantenchemie

Tests Kapitel 2
Tutorenfragen
Test 2.1 :
a) Ist rotes Licht "schwerer" als blaues Licht? Vergleiche die Masse der Photonen. λ(rot)=
650 nm, λ(blau)= 450 nm
b) Welche Gemeinsamkeiten hat das Elektron im Wasserstoffatom mit einer stehenden
Welle? Nennen Sie mindestens zwei.
c) Geben Sie 2 bis 3 Stichworte oder Erklärungen zu folgenden Begriffen. Formulieren Sie
mit Ihren eigenen Worten!
a) Teilchenwelle
b) Teilchenmodell für Licht
d) Das ist die graphische Darstellung einer erfundenen Wellenfunktion für ein Elektron. An
welchem Punkt ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten?
Wo wird sich das Elektron am wenigsten aufhalten?
Ψ
A
B
C
ANHANG
5/35 Leitprogramm Quantenchemie

Test 2.2 :
a) Wie schnell bewegt sich ein Photon von grünem Licht?. Ist dieses Photon schneller als
ein Photon von Infrarotstrahlung? λ(grün) = 550 nm, λ(Infrarot)= 2000 nm
b) Einen Elektronenstrahl läßt man durch eine dünne Metallfolie auf einen Schirm fallen.
Welches Muster sieht man auf dem Schirm? Machen Sie eine Skizze.
c) Alkalimetalle verraten sich leicht durch ihre Flammenfarbe:
Man gibt ein Salz mit unbekanntem Kation in eine Flamme. Sie leuchtet in der
charakteristischen Farbe des Elements auf.
Beispiel: Natrium: orange / Kalium: blaßlila / Rubidium: rot
Kommentieren Sie diese Tatsache in wenigen Sätzen.
d) Geben Sie 2 bis 3 Stichworte oder Erklärungen zu folgenden Begriffen. Formulieren Sie
mit Ihren eigenen Worten!
a) Wellenmodell für Licht
b) Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons
ANHANG
6/35 Leitprogramm Quantenchemie

Test 2.3 :
a) Nehmen Sie an, Sie könnten ein Elektron markieren. Sie geben es zu einem
Elektronenstrahl, der durch eine dünne Metallfolie auf einen Schirm trifft. An welcher
Stelle des Schirms finden Sie das Elektron?
b) Richtig oder falsch?
Die Energien der ausgesandten Photonen entsprechen den Energiezustän-den im
Wasserstoffatom.
c) Geben Sie 2 bis 3 Stichworte oder Erklärungen zu folgenden Begriffen. Formulieren Sie
mit Ihren eigenen Worten!
a) stehende Elektronenwelle
b) Photon
d) Das ist die graphische Darstellung einer erfundenen Wellenfunktion für ein Elektron. An
welchem Punkt ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten?
Wo wird sich das Elektron am wenigsten aufhalten?
Ψ
A
B
C
D
E
ANHANG
7/35 Leitprogramm Quantenchemie

Lösungen Tests Kapitel 2
Antworten zu den Tutorenfragen
Antworten Test 2.1 :
a) E = h⋅ν und ν =
λ
c daraus: E h c
= ⋅
λ
E = m⋅c 2
Kombiniere: E h c 2
= ⋅ = mc ⋅
λ
Je kleiner die Wellenlänge, desto größer die Masse. Blaue Photonen sind also schwerer.
b) Es kommen nur ganz bestimmte Schwingungszustände vor. Durch Anregung wird ein
höherer Schwingungszustand erreicht.
c) Teilchenwelle:
Jedes bewegte Teilchen hat auch eine Wellenlänge. Bei Atombausteinen ist dieser
Wellencharakter sehr wichtig. Bei großen Massen ist die Welle nicht wahrnehmbar.
Teilchenmodell für Licht:
Lichtteilchen heissen Photonen. Sie haben eine bestimmte Energie, die sich aus der
Frequenz des Lichts berechnen läßt. Die Anzahl der Lichtteilchen ist ein Maß für die
Helligkeit.
d) Maximum von ψ2 : Punkte A und C
Minimum von ψ2 : Punkt B (Null)
ANHANG
8/35 Leitprogramm Quantenchemie

Antworten Test 2.2 :
a) Alle Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit!
b) Interferenzmuster: helle und dunkle konzentrische Kreise
c) Die Elektronen der Ionen oder Metalle werden in der heissen Flamme angeregt. Beim
Zurückfallen in den Grundzustand geben sie ein Photon ab. Die Energiedifferenz ist für
das Element charakteristisch. So hat jedes Element seine eigene Flammenfarbe.
d) a) Wellenmodell für Licht:
Licht ist eine elektromagnetische Welle. Charakteristische Größen:
Ausbreitungsgeschwindigkeit (c), Frequenz (ν), Wellenlänge (λ), Amplitu-de.
b) Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons:
Der Aufenthaltsort eines Elektrons läßt sich nicht genau angeben. Die
Wahrscheinlichkeit, ein Elektron anzutreffen, ist aber nicht überall gleich. Das Quadrat
der Wellenamplitude ist ein Maß für diese Wahrscheinlichkeit.
Antworten Test 2.3 :
a) Diese Vorhersage ist unmöglich! Die Wahrscheinlichkeit das markierte Elektron zu
finden, ist in den hellen Streifen auf dem Schirm größer.
b) Falsch. Die Energien der ausgesandten Photonen entsprechen den Energie-unterschieden
zwischen den Zuständen.
c) a) stehende Elektronenwelle:
Beschreibung des Elektrons im Wasserstoffatom. Es sind nur ganz be-stimmte
Energiezustände des Elektrons möglich.
b) Photonen:
Teilchenmodell für Licht. Photonen sind Lichtteilchen. Sie bewegen sich mit
Lichtgeschwindigkeit. Ihre Energie hängt von der Lichtfrequenz n ab.
d) Maximum von ψ2 : Punkt C
Minimum von ψ2 : Punkte B und D (Null)
ANHANG
9/35 Leitprogramm Quantenchemie

Tests Kapitel 3
Tutorenfragen
ANHANG
Test 3.1: Wie lautet die Wellenfunktion, die das Elektron im eindimensionalen Kasten beschreibt?
Skizzieren Sie diese für den Grundzustand.
Test 3.2: Interpretieren Sie den folgenden Graphen:
Test 3.3: Interpretieren Sie den folgenden Graphen:
Testblock B
0
λ
2
λ
2
λ
2
λ
2
λ
2
L
10/35 Leitprogramm Quantenchemie

ANHANG
Test 3.4: Warum wählt man beim eindimensionalen Kasten eine Sinusfunktion als
”Stammfunktion”?
Test 3.5: Welche Konsequenz ergibt sich für die Energie des Elektrons, wenn man es in einen
eindimensionalen Kasten ”einsperrt”?
Test 3.6: Interpretieren Sie die folgenden Abbildungen:
Testblock C
Test 3.7: Wie lautet die Quantenbedingung für die Wellenfunktion des Elektrons im
eindimensionalen Kasten? Illustrieren Sie diese mit Hilfe einer Skizze!
Test 3.8: Berechnen Sie die Energie E1 für ein Elektron im eindimensionalen Kasten. Welche
Geschwindigkeit v besitzt das Elektron und welche Wellenlänge läßt sich ihm zuordnen?
me = 9,11⋅10 –31 kg; h = 6,626⋅10 –34 Js; L = 5⋅10 –10 m.
Test 3.9: Erklären Sie mit eigenen Worten das Modell vom eindimensionalen Kasten! Benötigen Sie
dazu höchstens 12 Sätze ( oder 3 Minuten )!
Lösungen Tests Kapitel 3
Antworten zu den Tutorenfragen
11/35 Leitprogramm Quantenchemie

Testblock A
Test 3.1: Die Wellenfunktion ψn(x) für das Elektron im eindimensionalen Kasten lautet:
π
ψ n x
2 n x
( ) = ⋅sin
L L
n: Hauptquantenzahl ( Schwingungszustand )
ψ: Amplitude der angenommenen Materiewelle
L: Kastenlänge
ANHANG
Test 3.2: Der Graph zeigt die Wellenfunktion ψ 2 n(x) für n = 2. Die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons ist symbolisch (schwarze Punkte)
dargestellt.
Test 3.3: Die Abbildung erklärt die Quantenbedingung für das Elektron im eindimensionalen
Kasten.
Testblock B
λ
Quantenbedingung: n⋅ = L
2
Test 3.4: Weil die Randbedingungen Knoten an den Kastenwänden verlangen.
12/35 Leitprogramm Quantenchemie

ANHANG
Test 3.5: Das Elektron nimmt nicht mehr beliebige Energiewerte an, sondern nur ganz
bestimmte. Die Energiewerte nennt man diskret oder gequantelt.
Test 3.6: Die Abbildung zeigt die Schwingungszustände des Elektrons im eindimensionalen
Kasten für n = 5, 4, 3 und 2.
Testblock C
λ
Test 3.7: Quantenbedingung: n⋅ = L
2
0
λ
2
Test 3.8: Die Energie E1 für das Elektron im eindimensionalen Kasten ist:
E = n
1
2
2
h
8mL
2
λ
2
λ
2
λ
2
Mit den gegebenen Werten erhält man:
E1 = 2,4097⋅10 –19 J ∼ 1,5 eV.
E mv
2
2E
= ⇒ v = = 727 , ⋅10ms
1
2 m
−10
2 2⋅5⋅10 −9
λ = L⇒ λ = = 10 m
n 1
1 5 −1
Test 3.9: Quodlibet. Die Beurteilung der Antwort sei dem Tutor anheimgestellt.
Tests Kapitel 4
Tutorenfragen
Testblock A
λ
2
L
13/35 Leitprogramm Quantenchemie

ANHANG
Test 4.1: Skizzieren und interpretieren Sie den Graphen der Wellenfunktion ψ1s. Zeichnen Sie für
diesen Zustand den Verlauf der Wahrscheinlichkeit auf, ein Elektron in Kugelschalen in
verschiedenen Abständen vom Atomkern anzutreffen!
Test 4.2: Interpretieren Sie die in Test 4.1 gezeichneten Graphen.
Test 4.3: Interpretieren Sie die folgenden Abbildungen:
Testblock B
Test 4.4: Was versteht man unter der Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeits-dichte?
Test 4.5: Welche Informationen lassen sich aus den räumlichen Darstellungen der Wellenfunktionen
ψ2p gewinnen?
Test 4.6: Was bedeutet der Ausdruck ”angeregter Zustand”? Geben Sie mindestens zwei angeregte
Zustände des Wasserstoffatoms an!
Testblock C
Test 4.7: Wie unterscheiden sich die drei Zustände ψ 2 px , ψ 2 py , und ψ 2 pz energetisch?
Test 4.8: Wieviele Wellenfunktionen sind für den zweiten angeregten Zustand des Wasserstoffatoms
möglich?
Test 4.9: Was ist der wesentliche Unterschied zwischen den Funktionenψ 2 2s und ψ 2 2p bezüglich
ihrer räumlichen Darstellung?
14/35 Leitprogramm Quantenchemie

Lösungen Tests Kapitel 4
Antworten zu den Tutorenfragen
Testblock A
Test 4.1:
ANHANG
Test 4.2: Die Amplitude der Materiewelle hat in der Nähe des Atomkerns hohe Werte. Je größer der
Abstand Elektron-Proton ist, desto kleiner wird die Amplitude. Im Unendlichen streben die
Werte von ψ1s gegen Null. Der Wert für P ist im Atomkern Null. Die Kurve durchläuft
dann ein Maximum, da einerseits e –2r mit zunehmendem Radius r exponentiell abnimmt
und andererseits das Volumen der Kugelschale 4π r 2 dr quadratisch zunimmt. Je weiter
man sich vom Atom entfernt, umso unwahrscheinlicher wird es, ein Elektron in einer
Kugelschale bei dieser Entfernung anzutreffen. Die Funktion geht gegen Null.
Test 4.3: Die erste Abbildung zeigt den Verlauf der Amplitude entlang der x-Achse. Man erkennt,
daß für verschiedene Werte r gleiche Funktionswerte ψ mög-lich sind. Die zweite
Testblock B
Abbildung symbolisiert den geometrischen Ort aller Punkte mit dem gleichen
Funktionswert ψ 2 px .
15/35 Leitprogramm Quantenchemie

ANHANG
Test 4.4: In der Wolkendarstellung kann man die Elektronendichte anschaulich dar-stellen. Man
kann sich diese als Übereinanderprojektion vieler Momentauf-nahmen des Elektrons
denken. Hierbei liegt die Vorstellung des Elektrons als Punktladung (Teilchen ) im
Vordergrund.
Test 4.5: Die räumliche Darstellung der Wellenfunktionen ψ2p stellt den geometri-schen Ort aller
Punkte dar, welche den gleichen Funktionswert ψ besitzen. Man erkennt, daß gleiche
Funktionswerte bei verschiedenen Abständen vom Atomkern auftreten. Das ist möglich,
weil die Funktion ψ2p auch einen win-kelabhängigen Teil aufweist.
Test 4.6: Ein Atom läßt sich durch Energiezufuhr (z. B. Wärme, Licht ) in Zustände höherer Energie
überführen. Solche Zustände nennt man ”angeregt”. Für die verschiedenen
Testblock C
Energiezustände des Wasserstoffatoms existieren be-stimmte Wellenfunktionen. Angeregte
Zustände sind z.B. ψ 2 px und 3s.
Test 4.7: Die Energiewerte innerhalb eines bestimmten Energieniveaus sind identisch; man spricht in
einem derartigen Fall von entarteten Energiezuständen.
Test 4.8: Die Energiezustände bezeichnet man mit kleinen ganzen Zahlen, den
Hauptquantenzahlen. Sie entsprechen den Elektronenschalen (Hauptener-gieniveaus).
Der zweite angeregte Zustand hat die Hauptquantenzahl n = 3. Für die Energiezustände des
Wasserstoffatoms liefern die Berechnungen für die Quantenzahl n jeweils n 2
Wellenfunktionen, die die Schrödinger-Glei-chung erfüllen. Für n = 3 existieren also 9
Wellenfunktionen.
Test 4.9: Die Wellenfunktionen lassen erkennen, daß gleiche Funktionswerte ψ in un-terschiedlichen
Abständen vom Atomkern auftreten ( im Gegensatz zu den s-Wellenfunktionen ), je
nachdem, welche Raumrichtung ( welcher Winkel ) gewählt wird.
Lernziele für den Tutor Kapitel 5
Die Schüler sollen:
1. wissen, wieso eine chemische Bindung stabiler sein kann als zwei einzelne Atome.
16/35 Leitprogramm Quantenchemie

ANHANG
2. wissen, daß es auch einen antibindenden Zustand gibt. Sie sollten eine Ahnung haben, wie er zustande
kommt.
3. einmal gesehen haben, wie man ein Orbitalschema für ein H2-Molekül aufstellt.
Tests Kapitel 5
Tutorenfragen
Test 5.1:
a) Welche Folgen hat die konstruktive Interferenz auf die Elektronenvertei-lung zwischen
den Atomen?
b) Ein H2-Molekül stellt einen energiearmen Zustand dar. Warum wird bei einer
Veränderung der Bindungslänge ein energiereicherer Zustand er-reicht?
c) Wie ersehen Sie aus dem Orbitalschema, daß das H2-Molekül stabil ist?
Test 5.2:
a) Was ist der Grund, daß eine Bindung energetisch günstiger sein kann als zwei einzelne
Atome?
b) Erkären sie, warum bei destruktiver Interferenz die Elektronendichte zwischen den
Kernen vermindert ist?
c) Was ist der Unterschied zwischen einem bindenden und einem antibindenden Orbital?
17/35 Leitprogramm Quantenchemie

Test 5.3:
a) Je näher sich zwei Atome kommen, desto größer wird die konstruktive Interferenz.
Wieso können sich die Kerne trotzdem nicht beliebig stark nähern?
b) Worin unterscheiden sich ein bindendes und ein antibindendes Orbital? Wie entstehen sie
und welche Konsequenzen haben sie für das entstehende Molekül?
c) Was kann man aus einem Orbitalschema herauslesen?
Test 5.4:
a) Konstruktive Interferenz tritt auch bei großen Abständen der beiden Kerne ein. Weshalb
gibt es aber bei zu großem Abstand keine Bindung mehr?
b) Was ist die Ursache eines antibindenden Zustandes?
c) Bei einer Energiezufuhr wechseln die beiden Elektronen des H2-Moleküls vom
bindenden in den antibindenden Zustand. Was geschieht nun mit dem Molekül? Wie
ändert sich sein Zustand?
Lösungen Tests Kapitel 5
Antworten zu den Tutorenfragen
Antworten Test 5.1:
a) Konstruktive Interferenz führt zu einer erhöhten Elektronendichte zwischen den Kernen.
b) Die Elektronenwellen können sich nicht mehr optimal überlagern. Es überwiegt die
Abstoßung der beiden positiv geladenen Kerne. Somit befindet sich das Molekül nicht
mehr im energieärmsten Zustand. Es fällt auseinander.
ANHANG
18/35 Leitprogramm Quantenchemie

c) Es sind zwei Elektronen im bindenden Orbital und keines im antibindenden Orbital.
Antworten Test 5.2:
a) Bei der Bildung einer Bindung tritt konstruktive Interferenz ein. Damit ist die
Elektronendichte zwischen den Kernen erhöht. Diese angehäufte negative Ladung hält
die Kerne zusammen. Der neue Zustand ist energetisch stabiler als zwei einzelne Atome.
b) Die Amplituden der stehenden Wellen subtrahieren sich. Somit ist die Elektronendichte
zwischen den Kernen verkleinert. (Sie wird um den Betrag 2⋅ψ1ψ2 vermindert.)
c) Das bindende Orbital ist energieärmer als das antibindende. Durch konstruktive
Interferenz ist die Elektronendichte zwischen den Kernen erhöht. Es entsteht eine
Bindung (ein bindendes Molekülorbital). Bei der destruktiven Interferenz ist die
Elektronendichte erniedrigt. Ein antibindendes Molekülorbital entsteht.
Antworten Test 5.3:
a) Die Kerne sind immer positiv geladen. Das heißt, daß sich zwei Kerne immer abstoßen.
Je näher sie sich kommen, desto größer wird die Abstoßung. Ab einem gewissen Punkt
muß zuviel Energie zur Ueberwindung dieser Abstoßung aufgewendet werden.
b) Bei konstruktiver Interferenz entsteht ein bindendes, bei destruktiver Interferenz ein
antibindendes Orbital. Das bindende Orbital ist energieärmer als das antibindende. Nur
die Besetzung eines bindenden Orbitals führt zu einem Molekül.
c) Man sieht, wie viele Elektronen in einem bindenden und wie viele in einem
antibindenden Orbital sind. Daraus kann man schließen, ob das Molekül stabil ist oder
nicht.
ANHANG
19/35 Leitprogramm Quantenchemie

Antworten Test 5.4:
a) Die Elektronendichte nimmt rasch ab mit zunehmendem Abstand vom Kern. Somit wird
der Gewinn durch konstruktive Interferenz mit zunehmendem Abstand sehr sehr klein. Er
reicht nicht mehr aus für eine Bin-dung.
b) Ursache ist die destruktive Interferenz. Sie führt zu einer Verminderung der
Elektronendichte zwischen den Atomkernen. Somit kann keine Bin-dung mehr zustande
kommen. Die Kerne stoßen sich ab.
c) Es sind nur noch die antibindenden Orbitale besetzt. Das Molekül ist in einem
energiereicheren Zustand. Es fällt auseinander.
ANHANG
20/35 Leitprogramm Quantenchemie

Tests Kapitel 6
Tutorenfragen
Test 6.1:
ANHANG
Geben Sie in zwei, drei kurzen Sätzen und in eigenen Worten wieder, was Sie unter dem Begriff "Orbital"
verstehen.
Test 6.2:
Auf der 109 (Kapitel 6) haben Sie vier Beispiele von Elektronenverteilungsdiagrammen von vier Elementen.
Zeichnen Sie nach dem gleichen Schema die Elektronenverteilung von:
a) Argon 18Ar b) Arsen 33As Test 6.3:
Bestimmen Sie die Atome, die im Grundzustand die folgende Elektronenkonfiguration in ihren äußeren Schalen
besitzen:
a) 4s2 4p5 b) 5s2 5p6 5d4 6s2 Test 6.4:
Was fällt Ihnen bei der Elektronenkonfiguration von Edelgasen auf? Versuchen Sie daraus abzuleiten, was es
mit der "Edelgaskonfigurationstheorie" auf sich hat!
21/35 Leitprogramm Quantenchemie

Test 6.5:
Mit folgender Aufgabe versuchen wir, das Periodensystem etwas in den Griff zu bekommen:
a) Welches Orbital wird jeweils beim ersten Element der neuen Periode gefüllt?
b) Inwiefern gleichen sich Elemente, die untereinander stehen?
Test 6.6:
Schreiben Sie die Elektronenkonfiguration folgender Elemente auf:
a) Zn
b) Cd
Lösungen Tests Kapitel 6
Antworten zu den Tutorenfragen
Antwort Test 6.1:
Fiktive Hilfsgröße
Wellenfunktion der fiktiven stehenden Wellen
mathematisches Gebilde
ANHANG
22/35 Leitprogramm Quantenchemie

Antwort Test 6.2:
Verteilung der 18 Elektronen eines Argon- Verteilung der 33 Elektronen eines
atoms auf die Orbitale. Arsenatoms auf die Orbitale.
Xhemische Schreibweise: 18Ar Chemische Schreibweise: 33As Antwort Test 6.3:
a) Brom Br
b) Wolfram W
Antwort Test 6.4:
Alle Edelgase haben die Elektronenkonfiguration ns2np6 (n entspricht der Schalennummer).
Besonders stabil. -----> Oktettregel.
Antwort Test 6.5:
a) Beginn der neuen Periode mit s-Orbital
b) gleiche Anzahl Valenzelektronen
Antwort Test 6.6:
a) Zn: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 b) Cd: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 5s 2
ANHANG
23/35 Leitprogramm Quantenchemie

Tests Kapitel 7
Tutorenfragen
Test 7.1:
ANHANG
Sauerstoff bildet Verbindungen, die folgende Sauerstoff-Ionen enthalten: O2 + (z. B. in O2PtF6), O2 – (z. B. in
KO2) und O2 2– (z. B. in Na2O2).
a) Zeichnen Sie die Molekülorbital-Energieniveaudiagramme für O2 – , O2 + und O2 2– .
b) Geben Sie die Bindungsordnung jeder Verbindung an.
Test 7.2:
Das Anion des Calciumcarbids CaC2 sollte eigentlich Acetylid-Ion genannt werden. Zeichnen Sie
Molekülorbital-Energieniveaudiagramme für C2 und C2 2– und bestimmen Sie die Bin-dungsordnung.
Test 7.3:
Es gibt zahlreiche Verbindungen, in denen das Nitrosyl-Ion NO + vorkommt
(z. B. in NO + HSO4 – oder NO + ClO4 –
). Vergleichen Sie mit Hilfe der Molekülorbital-Energieniveaudiagramme
die Bindung in NO und NO + . Welche Verbindung besitzt die stärkere Bindung und
weshalb?
Test 7.4:
Zeichnen Sie das Molekülorbital-Energieniveaudiagramm von CO.
Vergleichen Sie mit dem NO Molekül. Welches ist das stabilere?
Test 7.5:
Bestimmen Sie die Bindungsordnung von allen behandelten Molekülen des Kapitels 7.
24/35 Leitprogramm Quantenchemie

Test 7.6:
Füllen Sie bitte folgende Tabelle aus.
Moleküle Elektronenzahl in den Molekülorbitalen
Li2
Be2
B2
C2
N2
O2
F2
[Ne]2
CO
NO
σ2s σ*2s π2py,z σ2px π*2py,z σ*2px
σ2s σ*2s σ2px π2py,z π*2py,z σ*2px
ANHANG
25/35 Leitprogramm Quantenchemie

Lösungen Tests Kapitel 7
Antworten zu den Tutorenfragen
Antwort Test 7.1:
a)
*y *z
y z
σ
x
*x
σ
MO
+
O 2
σ
π π
π π
b) BO: O2 + 2.5
O2 - 1.5
O2 2- 1.0
σ
*s
s
*y *z
y z
σ
x
MO
O 2
σ
π π
*x
π π
σ
σ
*s
s
*y *z
y z
σ
MO
ANHANG
26/35 Leitprogramm Quantenchemie
x
σ
π π
2
O
2
*x
π π
σ
σ
*s
s

Antwort Test 7.2:
BO: C2 2
C2 2- 3
*y *z
σ
x
*x
y z
σ
MO
C
2
σ
π π
π π
σ
*s
s
*y *z
σ
x
y z
MO
2-
C
2
σ
π π
*x
π π
σ
σ
*s
s
ANHANG
27/35 Leitprogramm Quantenchemie

Antwort Test 7.3:
BO: NO 2.5
NO + 3
*y *z
y z
σ
x
σ
π π
*x
π π
σ
*s
*y *z
y z
σ
σ s
σ
MO
MO
+
NO NO
x
σ
π π
*x
π π
σ
*s
s
ANHANG
28/35 Leitprogramm Quantenchemie

Antwort Test 7.4:
Bindungsordnung 3; sehr stabil. Stabiler als NO.
Antwort Test 7.5:
*y *z
y z
σ
x
σ
π π
MO
*x
π π
CO
Moleküle der zweiten Periode Bindungsordnung
Li2
1
Be2
0
B2
1
C2
2
N2
3
O2
2
F2
1
[Ne]2
0
CO 3
NO 2.5
σ
σ
*s
s
ANHANG
29/35 Leitprogramm Quantenchemie

Antwort Test 7.6:
Moleküle Elektronenzahl in den Molekülorbitalen
Li2 2
σ2s σ*2s π2py,z σ2px π*2py,z σ*2px
Be2 2 2
B2 2 2 1+1
C2 2 2 2+2
N2 2 2 2+2 2
σ2s σ*2s σ2px π2py,z π*2py,z σ*2px
O2 2 2 2 2+2 1+1
F2 2 2 2 2+2 2+2
[Ne]2 2 2 2 2+2 2+2 2
CO 2 2 2 2+2
NO 2 2 2 2+2 1
ANHANG
30/35 Leitprogramm Quantenchemie

Anhang 2
Mediothek für die Schüler
Kapitel 1
Keine Mediothek.
Kapitel 2
Elemente Chemie II. Unterrichtswerk für die Sekundarstufe II. Stuttgart 1989 (Ernst Klett Verlag).
Dickerson R. E., Geis I.:
Chemie – eine lebendige und anschauliche Einführung.
Weinheim 1986 (VCH Verlagsgesellschaft).
Sexl R., Raab I, Steeruwitz:
Eine Einführung in die Physik, Teil 6.
Wien 1989 - 90 (Überreuter).
Kapitel 3
Dickerson R. E., Geis I.:
Chemie – eine lebendige und anschauliche Einführung.
Weinheim 1986 (VCH Verlagsgesellschaft).
Kapitel 4
ANHANG
31/35 Leitprogramm Quantenchemie

Dickerson R. E., Geis I.:
Chemie – eine lebendige und anschauliche Einführung.
Weinheim 1986 (VCH Verlagsgesellschaft).
The CRC Handbook of CHEMISTRY and PHYSICS 63 th Ed. , CRC Press, Inc., Boca Raton Florida.
Kapitel 5
Elemente Chemie II. Unterrichtswerk für die Sekundarstufe II. Stuttgart 1989 (Ernst Klett Verlag).
Kapitel 6
Keine Mediothek.
ANHANG
32/35 Leitprogramm Quantenchemie

Anhang 3
ANHANG
Experimentier- und anderes Material für
die Schüler
Kapitel 1
Versuch 1.1: Wasserbecken
Versuche 1.2 bis 1.6 : Weiche Schraubenfeder; zwei Stative
Versuche 1.3 und 1.7: Stimmgabeln mit gleicher Frequenz
Versuch 1.8: Laser; optische Vorrichtung für das Beugungsexperiment (Stative, Schiene,
Spalt, Wandschirm etc...)
Kapitel 2
Versuch 2.1 Photoeffekt
Elektroskop, Zinkplatte, Quecksilberdampflampe, Glasplatte
Versuch 2.2 Kathodenstrahlen
Kathodenstrahlröhre, Magnet
Versuch 2.3 Wasserstoffspektrum
Gasentladungsröhre mit Wasserstoff oder Wasserstofflampe, (Hand-Spektrometer,
andere Lampen (z. B. Natrium-, Quecksilber-, Kaliumdampflampen)
Versuch 2.4 Elektronenbeugung
Kathodenstrahlröhre, dünne Metallfolie
Die Geräte sollten in der Physikabteilung vorhanden sein.
33/35 Leitprogramm Quantenchemie

Kapitel 3 bis 7
Es werden keine besonderen Apparaturen benötigt.
Anhang 4
Von den Autoren benutzte Quellen
Anhang 4a: Als Grundlage benützte Quellen
Einführung, Arbeitsanleitung und Anhänge
[0.1] Caprez W. et al.: Leitprogramm Kohlenhydrate.
Winterthur Oktober 1991 (ETH Institut für Verhaltenswissenschaft).
Aufbau
[0.1] Baars G.: Chemie, das Denken in Modellen. Bern 1991
Kapitel 2
[2.1] Amann W., Eisner W., Gietz P., Maier J., Schierle W., Stein R.: Elemente Chemie II.
Unterrichtswerk für die Sekundarstufe II .
Stuttgart 1989 (Ernst Klett Verlag).
[2.2] Dickerson R. E. , Geis I. :
Chemie - eine lebendige und anschauliche Einführung.
Weinheim 1986 (VCH Verlagsgesellschaft).
[2.3] Sexl, Raab, Steeruwitz: Physik, Teil 6 . Wien 1978 (Ueberreuter)
ANHANG
34/35 Leitprogramm Quantenchemie

Kapitel 3 und 4
ANHANG
[3.1] Symmetrie, Molekülstrukturen und Molekülschwingungen, Skript zum Präferenzkurs Chemie,
von Arnold Wey (= 1992), Kantonsschule Chur.
[3.2] Baars G.: Chemie, das Denken in Modellen.
Kapitel 5
Kapitel 6 und 7
Physikalische Chemie , Atkins, VCH.
Chemie, Das Basiswissen der Chemie in Schwerpunkten, Mortimer, Georg ThiemeVerlag.
Baars G.: Chemie, das Denken in Modellen.
Anhang 4b Zitierte Quellen
Kapitel 4
Die Figuren auf Seite 75 unten wurden mit freundlicher Genehmigung des Autors aus [3.2] entnommen.
Sonst:
Keine Zitate
35/35 Leitprogramm Quantenchemie