Kleines Lehrbuch der Astronomie und Astrophysik - Astronomie.de
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<strong>Kleines</strong> <strong>Lehrbuch</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Astrophysik</strong><br />
M. Scholz<br />
Band 15: Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Atomspektren, Molekülspektren, Linienprofile, Strahlungstransport, Spektralanalyse
<strong>Kleines</strong> <strong>Lehrbuch</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong> <strong>und</strong> <strong>Astrophysik</strong> Band 15
M.Scholz<br />
<strong>Kleines</strong> <strong>Lehrbuch</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong> <strong>und</strong> <strong>Astrophysik</strong><br />
Band 15: Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Atomspektren, Molekülspektren, Linienprofile, Strahlungstransport, Spektralanalyse<br />
E-Book-Ausgabe 2009<br />
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Je<strong>de</strong> Verwertung<br />
außerhalb <strong><strong>de</strong>r</strong> engen Grenzen <strong>de</strong>s Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung <strong>de</strong>s Autors<br />
unzulässig.<br />
Bildnachweis: Wikipedia Commons, NASA, ESA, Autor
M.Scholz<br />
<strong>Kleines</strong> <strong>Lehrbuch</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong> <strong>und</strong> <strong>Astrophysik</strong><br />
Band 15<br />
Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Atomspektren, Molekülspektren, Linienprofile, Strahlungstransport, Spektralanalyse<br />
Ausgabe 2009<br />
mathias.scholz@t-online.<strong>de</strong>
INHALTSVERZEICHNIS<br />
PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER STERNSPEKTROSKOPIE ...................................................... 2<br />
Absorption <strong>und</strong> Emission von elektromagnetischer Strahlung ...................................................................................... 3<br />
Übergänge im Bohr-Sommerfeldschen Atommo<strong>de</strong>ll....................................................................................................... 4<br />
Das Wasserstoffatom ....................................................................................................................................................... 7<br />
Wellenfunktionen <strong>de</strong>s Wasserstoffatoms ................................................................................................................... 7<br />
Das Wasserstoffspektrum ......................................................................................................................................... 10<br />
Die Spektren <strong><strong>de</strong>r</strong> Alkalimetalle ...................................................................................................................................... 13<br />
Atome mit mehreren Elektronen ................................................................................................................................... 15<br />
Elektronenkonfigurationen von Ionen ...................................................................................................................... 17<br />
Russel-Saun<strong><strong>de</strong>r</strong>s-Kopplung ........................................................................................................................................ 18<br />
Das j-j -Kopplungsschema ......................................................................................................................................... 20<br />
Nomenklatur <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektralterme von Mehrelektronensystemen ............................................................................. 21<br />
Auswahlregeln........................................................................................................................................................... 22<br />
Interkombinationslinien ............................................................................................................................................ 23<br />
Verbotene Linien ....................................................................................................................................................... 24<br />
Das Heliumspektrum <strong>und</strong> die Spektren heliumartiger Ionen ........................................................................................ 25<br />
Spektren <strong><strong>de</strong>r</strong> Wasserstoffionen ..................................................................................................................................... 29<br />
Spektren molekularer Systeme (Molekülspektren) ....................................................................................................... 31<br />
Struktur <strong>und</strong> Beschreibung zweiatomiger Moleküle ................................................................................................ 32<br />
Die Born-Oppenheimer-Näherung, Molekülorbitale ................................................................................................ 33<br />
Vibrationsübergänge ................................................................................................................................................. 37<br />
Rotationsübergänge .................................................................................................................................................. 40<br />
Vibrations- Rotationsspektren .................................................................................................................................. 41<br />
Beispiele astronomisch relevanter Moleküle ............................................................................................................ 43<br />
I<strong>de</strong>ntifikation von Spektrallinien in stellaren Spektren................................................................................................ 44<br />
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien ................................................................................................................ 46<br />
Die Struktur einer Spektrallinie ...................................................................................................................................... 48<br />
Der Doppler-Effekt <strong>und</strong> die Dopplerverbreiterung ................................................................................................... 49<br />
Thermische Dopplerverbreiterung............................................................................................................................ 50<br />
Rotation von Sternen ................................................................................................................................................ 51<br />
Doppler Imaging ........................................................................................................................................................ 52<br />
Druckverbreiterung von Spektrallinien ......................................................................................................................... 55<br />
Die Inglis-Teller-Beziehung ........................................................................................................................................ 59<br />
Faltung doppler- <strong>und</strong> druckverbreiteter Profile - das Voigt-Profil ................................................................................. 60<br />
Strahlungstransport in Absorptionslinien (gg-Übergänge)........................................................................................... 61<br />
Lokales thermodynamisches Gleichgewicht (LTE) <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Kirchhoffsche Satz ........................................................... 65<br />
Linienabsorptionskoeffizienten ..................................................................................................................................... 66<br />
Kontinuierliche Absorption ............................................................................................................................................ 71
Geb<strong>und</strong>en-frei <strong>und</strong> frei-frei-Übergänge, Streuprozesse ................................................................................................ 71<br />
Absorptionskoeffizienten für gf-Übergänge ............................................................................................................. 72<br />
Absorptionskoeffizienten für ff-Übergänge .............................................................................................................. 73<br />
Streuprozesse ............................................................................................................................................................ 74<br />
Der Rosseland’sche mittlere Opazitätskoeffizient ......................................................................................................... 75<br />
Die Boltzmann-Gleichung ............................................................................................................................................ 78<br />
Die Saha-Gleichung ..................................................................................................................................................... 80<br />
Quantitative Spektralanalyse ...................................................................................................................................... 86<br />
Wachstumskurven ......................................................................................................................................................... 87<br />
Theoretische <strong>und</strong> empirische Wachstumskurven ..................................................................................................... 91<br />
Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong> Säulendichten verschie<strong>de</strong>ner Elemente aus einem Absorptionslinienspektrum ............................. 93<br />
Synthetische Spektren ................................................................................................................................................... 95<br />
Literatur<br />
In<strong>de</strong>x<br />
Die Numerierung <strong><strong>de</strong>r</strong> Formeln im Text setzt sich von Band 14 fort
Vorwort<br />
Das Ziel dieser mehrbändigen <strong>Lehrbuch</strong>reihe ist es, gr<strong>und</strong>legen<strong>de</strong> Erkenntnisse über die Welr<br />
außerhalb unserer Er<strong>de</strong> in systematischer Weise auf einem Niveau, <strong>de</strong>n man im amerikanischen als<br />
„un<strong><strong>de</strong>r</strong>graduate“ bezeichnen wür<strong>de</strong>, <strong>de</strong>m Leser ,äher zu bringen. Dabei wur<strong>de</strong> sowohl eine gewisse<br />
Ausführlichkeit als auch Aktualität (hier etwa 2007) – soweit das bei <strong>de</strong>n einzelnen Themenkomplexen<br />
überhaupt möglich ist – angestrebt. Gera<strong>de</strong> in <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong> <strong>und</strong> <strong>Astrophysik</strong> beobachtet man<br />
gegenwärtig innerhalb kürzester Zeiträume einen enormen Wissenszuwachs, wie man es bei an<strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
Wissenschaften in diesem Umfang her nur begrenzt kennt. Allein während <strong><strong>de</strong>r</strong> Arbeit an dieser<br />
Buchreihe erforschte die Raumson<strong>de</strong> „Galilei“ das Jupitersystem, erreichte „Cassini“ <strong>de</strong>n Saturn mit<br />
seinem komplexen Ringsystem <strong>und</strong> „Huygens“ die Oberfläche <strong>de</strong>s Saturnmon<strong>de</strong>s Titan; eine ganze<br />
Anzahl von „Transplutos“ mit „Eris“ an <strong><strong>de</strong>r</strong> Spitze wur<strong>de</strong>n ent<strong>de</strong>ckt, was u.a. dazu führte, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> neue<br />
Begriff „Zwergplanet“ in die astronomische Terminologie eingeführt wur<strong>de</strong> <strong>und</strong> die bekannten<br />
Merksätze für die Planeten unseres Sonnensystems nur noch bedingt gültig waren <strong>und</strong> umformuliert<br />
wer<strong>de</strong>n mußten …<br />
Während es vor 30 Jahren nicht son<strong><strong>de</strong>r</strong>lich schwierig war, die Anzahl <strong>und</strong> die Namen <strong><strong>de</strong>r</strong> Satelliten <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Planeten unseres Sonnensystems aufzusagen, ist das heute längst nicht mehr möglich. Man hat sogar<br />
<strong>de</strong>n Eindruck, daß es zunehmend schwieriger wird, für die neuent<strong>de</strong>ckten Objekte überhaupt Namen zu<br />
fin<strong>de</strong>n, wie die vielen noch vorläufigen Bezeichnungen <strong><strong>de</strong>r</strong> neuent<strong>de</strong>ckten Jupiter- <strong>und</strong> Saturnmon<strong>de</strong><br />
zeigen.Und schließlich soll in diesem Zusammenhang nur noch auf <strong>de</strong>n inflationären Zuwachs an<br />
Ent<strong>de</strong>ckungen von Exoplaneten allein im letzten Jahrzehnt hingewiesen wer<strong>de</strong>n, die uns viele neue<br />
Einsichten in die Struktur <strong>und</strong> Entstehung von Planeten <strong>und</strong> Planetensystemen gewährt haben. Gera<strong>de</strong><br />
an Planeten um weit entfernte Sterne entzün<strong>de</strong>t sich unsere Phantasie, wie die vielen künstlerischen<br />
Darstellungen beweisen, die man bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Recherche im Internet leicht auffin<strong>de</strong>n kann.<br />
Ziel dieser „Einführung“ in die <strong>Astronomie</strong> <strong>und</strong> <strong>Astrophysik</strong> ist es Leser anzusprechen, die einen nicht<br />
zu kompakten Einstieg in diese Wissenschaft in <strong>de</strong>utscher Sprache wünschen <strong>und</strong> auch daran<br />
interessiert sind, an die im Internet o<strong><strong>de</strong>r</strong> über Zeitschriften zugängliche Fachliteratur herangeführt zu<br />
wer<strong>de</strong>n. Angesprochen sind in erster Linie Schüler <strong><strong>de</strong>r</strong> Abiturstufe unserer Gymnasien, ihre Lehrer,<br />
Stu<strong>de</strong>nten <strong><strong>de</strong>r</strong> ersten Studienjahre sowie selbstverständlich auch die wachsen<strong>de</strong> Zahl an<br />
Liebhaberastronomen (so wie <strong><strong>de</strong>r</strong> Autor), die mehr wissen wollen über die Objekte, die sie in ihren<br />
„Backyard“- Observatorien o<strong><strong>de</strong>r</strong> an Volks- <strong>und</strong> Schulsternwarten beobachten.<br />
Auf Zitierungen wur<strong>de</strong> im Text – <strong>de</strong>m Charakter eines <strong>Lehrbuch</strong>es entsprechend – weitgehend<br />
verzichtet. Fachaufsätze lassen sich mittlerweile leicht über Google Scholar o<strong><strong>de</strong>r</strong> über das Astrophysics<br />
Data System (ADS) recherchieren.<br />
Zum Schluß müchte ich mich noch bei meinem Fre<strong>und</strong>en, Bekannten <strong>und</strong> Kollegen bedanken, dich<br />
mich mittelbar <strong>und</strong> unmittelbar während <strong><strong>de</strong>r</strong> Zeit <strong><strong>de</strong>r</strong> Erarbeitung dieser Buchreihe unterstützt haben.<br />
M.Scholz<br />
Herbst 2007
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Die Sternspektroskopie mußte bis in die zwanziger Jahre <strong>de</strong>s vorigen Jahrhun<strong><strong>de</strong>r</strong>ts im Wesentlichen<br />
ohne einer tiefgreifen<strong>de</strong>n theoretischen Begründung auskommen. Das än<strong><strong>de</strong>r</strong>te sich mit <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Entwicklung <strong><strong>de</strong>r</strong> ersten einfachen Atommo<strong>de</strong>lle („Planetenmo<strong>de</strong>ll“) die es zumin<strong>de</strong>st erlaubten (zuerst<br />
noch in halbmechanischer Weise), das Wasserstoffspektrum in seinen Gr<strong>und</strong>zügen zu verstehen. Mit<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Entwicklung <strong><strong>de</strong>r</strong> Quantenmechanik – insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e durch WERNER HEISENBERG (1901-1976) <strong>und</strong><br />
ERWIN SCHRÖDINGER (1887-1961) sowie durch <strong><strong>de</strong>r</strong> Erklärung <strong><strong>de</strong>r</strong> elementaren Absorptions- <strong>und</strong><br />
Emissionsvorgänge durch ALBERT EINSTEIN (1879-1955) – wur<strong>de</strong> die Atomspektroskopie nach <strong>und</strong><br />
nach auf ein festes F<strong>und</strong>ament gehoben <strong>und</strong> damit zu einem praktikablen Werkzeug sowohl für <strong>de</strong>n<br />
beobachten<strong>de</strong>n als auch für <strong>de</strong>n theoretisch arbeiten<strong>de</strong>n Astronomen mit weitreichen<strong>de</strong>n Konsequenzen<br />
auf die Interpretation von Sternspektren. Richtungsweisend in diesem Zusammenhang war das<br />
mehrfach überarbeitete Buch von ARNOLD SOMMERFELD (1868-1951) „Atombau <strong>und</strong> Spektrallinien“<br />
(erste Auflage 1919) <strong>und</strong> - im <strong>de</strong>utschsprachigen Raum - das Buch von ALBRECHT UNSÖLD (1905-<br />
1995) „Physik <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphären“ (erste Auflage 1937). Dazwischen lag die Entwicklung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
quantitativen Spektralanalyse auf Gr<strong>und</strong>lage <strong><strong>de</strong>r</strong> Ionisationstheorie von MEGHNAD SAHA (1893-1956),<br />
eine erste <strong>de</strong>taillierte Theorie <strong>de</strong>s inneren Aufbaus <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne von ARTHUR STANLEY EDDINGTON<br />
(1882-1944) <strong>und</strong> die Ent<strong>de</strong>ckung, daß die Energieabstrahlung <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne auf thermonuklearen<br />
Reaktionen tief in ihrem Inneren beruht.<br />
2
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Absorption <strong>und</strong> Emission von elektromagnetischer Strahlung<br />
Die Beobachtung, daß glühen<strong>de</strong> Gase ein Emissionslinienspektrum, glühen<strong>de</strong> Festkörper ein<br />
kontinuierliches Spektrum <strong>und</strong> kühle Gase, durch die kontinuierliches Licht dringt, ein<br />
Absorptionslinienspektrum besitzen, geht auf GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF (1824-1887) <strong>und</strong> ROBERT<br />
WILHELM BUNSEN (1812-1899) zurück (um 1859). Desweiteren stellten sie fest, daß für einen<br />
gegebenen Stoff die Emissionslinien <strong>und</strong> die Absorptionslinien immer die gleiche Position im<br />
Spektrum einnehmen, sie aber ansonsten für <strong>de</strong>n jeweiligen Stoff charakteristisch sind. Durch die<br />
I<strong>de</strong>ntifikation solcher Spektrallinien in <strong>de</strong>m Spektrum eines Sterns konnte man also auf die Existenz<br />
<strong>de</strong>s betreffen<strong>de</strong>n Stoffs in <strong>de</strong>m Stern schließen. Eine begrün<strong>de</strong>te Erklärung auf die Frage, warum es<br />
überhaupt Linienspektren gibt, gelang ihnen jedoch nicht. Dafür untersuchten sie im Detail das<br />
Emissions- <strong>und</strong> Absorptionsverhalten verschie<strong>de</strong>ner Festkörper <strong>und</strong> Gase <strong>und</strong> stellten die Hypothese<br />
auf, daß die spektrale Energieverteilung <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlung Bλ ( T ) , die ein „Schwarzer Körper“ emittiert,<br />
nur von <strong>de</strong>ssen Temperatur T <strong>und</strong> von keinen weiteren Parametern abhängt. Experimentell ließ sich ein<br />
solcher „Schwarzer Körper“ mit hoher Genauigkeit durch einen Hohlraum, <strong><strong>de</strong>r</strong> mit seiner Umgebung<br />
im thermodynamischen Gleichgewicht steht, darstellen. Deshalb spricht man auch heute noch oft von<br />
„Hohlraumstrahlung“ wenn man „Schwarzkörperstrahlung“ meint. Bereits um 1894 war die<br />
Energieverteilungsfunktion dieser Strahlung für verschie<strong>de</strong>ne Temperaturen experimentell sehr genau<br />
bekannt, aber <strong><strong>de</strong>r</strong> Versuch einer theoretische Begründung (z.B. im Rahmen <strong><strong>de</strong>r</strong> Maxwellschen<br />
Elektrodynamik) führte zu nicht auflösbaren Paradoxien („Ultraviolettkatastrophe“).<br />
Erst im Jahre 1900 gelang es MAX PLANCK (1858-1947) eine Formel herzuleiten (siehe (1.37)), welche<br />
die Energieverteilung <strong><strong>de</strong>r</strong> Schwarzkörperstrahlung in Einklang mit <strong>de</strong>n experimentellen Ergebnissen<br />
darzustellen vermochte <strong>und</strong> außer<strong>de</strong>m die zuvor von JOHN WILLIAM STRUTT (1842-1919, Lord<br />
Rayleigh) <strong>und</strong> JAMES HOPWOOD JEANS (1877-1946) einerseits <strong>und</strong> WILHELM WIEN (1864-1928)<br />
an<strong><strong>de</strong>r</strong>erseits erstellten Näherungsformeln (siehe (1.89) <strong>und</strong> (1.90)) als Grenzfälle erhielt. Der Preis, <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
dafür zu zahlen war, war beträchtlich. Man mußte sich von <strong><strong>de</strong>r</strong> Annahme verabschie<strong>de</strong>n, daß alle<br />
Vorgänge in <strong><strong>de</strong>r</strong> Natur kontinuierlich verlaufen <strong>und</strong> man mußte zur Kenntnis nehmen, daß die<br />
Erklärungskraft <strong><strong>de</strong>r</strong> klassischen Mechanik <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Maxwellschen Elektrodynamik offensichtlich an<br />
ihre Grenzen gestoßen ist. Eine neue Naturkonstante (das Planck’sche Wirkungsquantum h) erblickte<br />
das Licht <strong><strong>de</strong>r</strong> Welt <strong>und</strong> sollte bereits wenige Jahre später zum Schlüssel für die Erklärung <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome<br />
<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Atomspektren wer<strong>de</strong>n. Die Quantentheorie war geboren.<br />
1913 gelang es NIELS BOHR (1885-1962) mit ein paar wenigen Postulaten ein einfaches Atommo<strong>de</strong>ll<br />
zu entwickeln welches in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage war, die 1885 von JOHANN JAKOB BALMER (1825-1898) ad hoc<br />
erstellte Formel für die im optischen Bereich <strong>de</strong>s Spektrums liegen<strong>de</strong> Linienserie <strong>de</strong>s Wasserstoffs<br />
abzuleiten. Dieses Mo<strong>de</strong>ll wur<strong>de</strong> später von ARNOLD SOMMERFELD (1868-1951) zum Bohr-<br />
Sommerfeldschen Atommo<strong>de</strong>ll erweitert <strong>und</strong> spielte eine wichtige Rolle bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Entwicklung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
quantitativen astronomischen Spektroskopie im ersten Drittel <strong>de</strong>s vorigen Jahrhun<strong><strong>de</strong>r</strong>ts. Wegen seiner<br />
Anschaulichkeit wer<strong>de</strong>n die mit diesem Atommo<strong>de</strong>ll eingeführten Begriffe noch heute gern benutzt.<br />
Zu nennen sind z.B. Begriffe wie Term <strong>und</strong> Termschema, stationäre Elektronenbahn,<br />
Strahlungsübergang (transition) <strong>und</strong> Quantenzahl. Für alle diese Begriffe gibt es auch im mo<strong><strong>de</strong>r</strong>nen<br />
quantenmechanischen Atommo<strong>de</strong>ll mathematische (aber weniger anschauliche) Entsprechungen.<br />
3
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Übergänge im Bohr-Sommerfeldschen Atommo<strong>de</strong>ll<br />
Das Bohrsche Atommo<strong>de</strong>ll beruht auf folgen<strong>de</strong>n Postulaten, die erst in <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenmechanik<br />
(Schrödingergleichung) näher begrün<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n:<br />
1. Atome existieren in stationären Zustän<strong>de</strong>n mit diskreten Energien, die durch ganze Zahlen n (die<br />
man als Hauptquantenzahl bezeichnet) charakterisiert sind.<br />
2. Der Übergang von einem stationären Zustand n zu einem an<strong><strong>de</strong>r</strong>en stationären Zustand m erfolgt<br />
durch Emission o<strong><strong>de</strong>r</strong> Absorption eines Lichtquants (Photon) mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Energie<br />
ℏ ω = E − E<br />
[1.91]<br />
n m<br />
( ℏ = h / 2π<br />
)<br />
Für je<strong>de</strong>s Atom gibt es unendlich viele <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Zustän<strong>de</strong>, <strong><strong>de</strong>r</strong>en energetischer Abstand mit<br />
steigen<strong>de</strong>m n jedoch immer geringer wird:<br />
Stationäre Zustän<strong>de</strong> im Wasserstoffatom<br />
Alle diese diskreten Zustän<strong>de</strong> haben negative Energien, da es sich um Bindungszustän<strong>de</strong> han<strong>de</strong>lt, d.h.<br />
man muß Energie aufwen<strong>de</strong>n, um z.B. ein Elektron, welches sich in einem <strong><strong>de</strong>r</strong>artigen Zustand befin<strong>de</strong>t,<br />
aus <strong>de</strong>m Atom zu entfernen. Befin<strong>de</strong>t sich das Elektron im Gr<strong>und</strong>zustand (n=1), dann beträgt beim<br />
Wasserstoffatom <strong><strong>de</strong>r</strong> energetische Abstand bis zur Seriengrenze n →∝ 13.6 eV. Dieser Energiebetrag<br />
wird als Ionisationspotential (o<strong><strong>de</strong>r</strong> als 1. Ionisationsenergie) bezeichnet:<br />
E = E − E<br />
[1.92]<br />
p<br />
∝<br />
1<br />
4
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Mit größer wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n n benötigt man offensichtlich immer weniger Energie, um ein Elektron aus <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Elektronenhülle zu entfernen:<br />
E = E − E<br />
[1.93]<br />
i ∝ n<br />
Der Verlauf <strong><strong>de</strong>r</strong> Ionisationsenergie für n=1 zeigt einige interessante Gesetzmäßigkeiten. Ihr Wert ist<br />
sehr gering für Alkalimetalle (ca. 5 eV, Na, Ka, Rb, Cs) <strong>und</strong> sehr hoch (zwischen 10 eV <strong>und</strong> ca. 25 eV)<br />
für E<strong>de</strong>lgase (He, Ne, Ar, Kr, Xe). Aus diesem Gr<strong>und</strong> sind in fast allen Spektren mittlerer <strong>und</strong> später<br />
Spektraltypen Absorptionslinien von Alkalimetallen – z.T. in sehr starker Ausprägung – enthalten (z.B.<br />
die H <strong>und</strong> K-Linie <strong>de</strong>s einfach ionisierten Kaziums CaII). Linien von E<strong>de</strong>lgasen – insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e He,<br />
treten dagegen nur in sehr heißen Sternen (Spektraltyp O <strong>und</strong> B) bzw. in <strong>de</strong>n Spektren heißer<br />
Chromosphären (wie z.B. im Flashspektrum <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonne) auf.<br />
„Freie“ Elektronen, wie man sie in Plasmen o<strong><strong>de</strong>r</strong> als Leitungselektronen in Metallen antrifft, können<br />
je<strong>de</strong>n Energiewert annehmen. Im Unterschied zu <strong>de</strong>n Bindungszustän<strong>de</strong>n in Atomen spricht man hier<br />
von Kontinuumszustän<strong>de</strong>n.<br />
Mit diesem sehr einfachen Mo<strong>de</strong>ll lassen sich bereits ein paar wichtige Begriffe qualitativ erklären:<br />
Anregung<br />
Ein „angeregtes“ Atom ist ein Atom, bei <strong><strong>de</strong>r</strong> durch Energiezufuhr (z.B. durch Absorption eines<br />
Photons) ein Elektron aus <strong>de</strong>m Energieniveau n E auf ein Energieniveau E m mit m>n angehoben<br />
wur<strong>de</strong>. Dort verweilt es für kurze Zeit (im Mittel ca.<br />
eines Lichtquants<br />
5<br />
8<br />
10 − s) <strong>und</strong> „springt“ danach unter Aussendung<br />
hν = Em − En<br />
[1.94]<br />
wie<strong><strong>de</strong>r</strong> auf das Ausgangsniveau zurück.<br />
Ionisation<br />
Ist die <strong>de</strong>m Elektron zugeführte Energie größer als die zum entsprechen<strong>de</strong>n Energieniveau gehören<strong>de</strong><br />
Ionisationsenergie, dann kann das Elektron <strong>de</strong>n Atomverb<strong>und</strong> verlassen <strong>und</strong> energetisch einen<br />
Kontinuumszustand einnehmen. Es entsteht ein ionisiertes Atom, welches eine positive Ladung<br />
aufweist wobei <strong><strong>de</strong>r</strong> Ladungsüberschuß i<strong>de</strong>ntisch ist mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> fehlen<strong>de</strong>n Hüllenelektronen. In<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astrophysik</strong> ist es üblich, Ionisationszustän<strong>de</strong> durch eine angehängte römische Ziffer an das<br />
Elementesymbol zu kennzeichnen wobei die Ziffer I für <strong>de</strong>n nichtionisierten Zustand reserviert ist<br />
(<strong>de</strong>shalb neutraler Wasserstoff HI, ionisierter Wasserstoff HII).<br />
Rekombination<br />
Ein ionisiertes Atom existiert normalerweise nur eine begrenzte Zeit <strong>und</strong> zwar solange, bis es aus<br />
seiner Umgebung wie<strong><strong>de</strong>r</strong> ein freies Elektron „eingefangen“ hat. Dieser Vorgang, <strong><strong>de</strong>r</strong> die effektive<br />
Ladung <strong>de</strong>s Atoms wie<strong><strong>de</strong>r</strong> um eine Einheit verringert, bezeichnet man als Rekombination.<br />
Es zeigte sich schnell, daß das ursprüngliche Bohrsche Atommo<strong>de</strong>ll nur das Wasserstoffatom<br />
einigermaßen befriedigend zu beschreiben vermag. Es versagt z.B. völlig bei Mehrelektronen-
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
systemen. Deshalb wur<strong>de</strong>n von ARNOLD SOMMERFELD auf eine semiklassischen Art <strong>und</strong> Weise weitere<br />
Quantenzahlen eingeführt, um gewisse spektrale Beson<strong><strong>de</strong>r</strong>heiten (z.B. Linienaufspaltungen) zu<br />
erklären. Im Einzelnen han<strong>de</strong>lt es sich dabei (inklusive <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n) um folgen<strong>de</strong><br />
Quantenzahlen:<br />
n Hauptquantenzahl n={1,2,3,..., ∝ ) Energieniveaus<br />
l Nebenquantenzahl l={0,1,2,...,n-1} Bahndrehimpuls <strong><strong>de</strong>r</strong> e −<br />
m Magnetische Quantenzahl m={-l,...,l} (räumliche Ausrichtung <strong>de</strong>s Gesamtdrehimpulsvektors<br />
bei Vorhan<strong>de</strong>nsein<br />
eines äußeren Magnetfel<strong>de</strong>s,<br />
Richtungsquantelung)<br />
s Spinquantenzahl − 1 1 Orientierung <strong>de</strong>s Elektronene<br />
→ s = { − , }<br />
2 2 Spins<br />
J Rotationsquantenzahl Molekülspektroskopie<br />
v Schwingungsquantenzahl Molekülspektroskopie<br />
Eine bestimmte Kombination dieser Quantenzahlen für ein Atom mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Kernladungszahl Z<br />
charakterisiert jeweils ein bestimmtes Energieniveau in diesem Atom. Es wird in diesem<br />
Zusammenhang oft auch als Term bezeichnet. Die graphische Darstellung aller Terme eines neutralen<br />
Atoms, eines Ions o<strong><strong>de</strong>r</strong> eines Moleküls, nennt man <strong>de</strong>shalb Termschema o<strong><strong>de</strong>r</strong> – nach <strong>de</strong>m <strong>de</strong>utschen<br />
Astronomen WALTER GROTRIAN (1890-1954) – ein Grotrian-Diagramm. In diesem Diagramm wer<strong>de</strong>n<br />
die Wellenzahlen <strong><strong>de</strong>r</strong> Terme gewöhnlich über die diskreten Bahndrehimpulse aufgetragen. Die<br />
c ν = ν )<br />
Wellenzahl ν gibt dabei die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Lichtwellen pro Längeneinheit (m) im Vakuum an ( 0<br />
<strong>und</strong> ist ein Maß für die Energie. Manchmal verwen<strong>de</strong>t man aber auch direkt das Elektronenvolt (eV)<br />
als Einheit für die Ordinate.<br />
Für Mehrelektronensysteme können Grotrian-Diagramme eine sehr komplizierte Struktur annehmen.<br />
Der Übergang zwischen zwei Termen unterschiedlicher Energie führt zur Emission o<strong><strong>de</strong>r</strong> Absorption<br />
jeweils eines Lichtquants, <strong>de</strong>ssen Energie E = hν genau <strong><strong>de</strong>r</strong> Energiedifferenz dieser Terme entspricht.<br />
Im Diagramm wer<strong>de</strong>n die möglichen (d.h. durch Auswahlregeln erlaubten) Übergänge durch Linien<br />
zwischen <strong>de</strong>n Termen dargestellt <strong>und</strong> oftmals durch die Wellenlänge λ <strong><strong>de</strong>r</strong> beim Übergang emittierten<br />
Strahlung bezeichnet.<br />
Ein Grotrian-Diagramm stellt <strong>de</strong>mnach die Verbindung zwischen <strong>de</strong>m Linienspektrum <strong>und</strong> <strong>de</strong>n<br />
atomphysikalischen Parametern her <strong>und</strong> ist <strong>de</strong>shalb ein gern verwen<strong>de</strong>tes Hilfsmittel in <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
<strong>Astrophysik</strong>.<br />
6
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Das Wasserstoffatom<br />
Wasserstoff ist mit nur einem Proton <strong>und</strong> einem Elektron das leichteste <strong><strong>de</strong>r</strong> chemischen Elemente.<br />
Ungefähr 75% <strong><strong>de</strong>r</strong> gesamten Masse im Kosmos wird durch Wasserstoffatome gebil<strong>de</strong>t was be<strong>de</strong>utet,<br />
daß r<strong>und</strong> 90% aller Atome Wasserstoffatome sind. Es tritt als neutraler atomarer Wasserstoff (HI), als<br />
molekularer Wasserstoff H 2 , als ionisierter Wasserstoff (p, HII) <strong>und</strong> in Form von molekularen Ionen<br />
(z.B. 2 H + ) auf. Die elektromagnetische Strahlung, die Wasserstoffatome emittieren <strong>und</strong> absorbieren, ist<br />
eine <strong><strong>de</strong>r</strong> wichtigsten Informationsquellen <strong><strong>de</strong>r</strong> astronomischen Forschung. Deshalb sollen in diesem<br />
Abschnitt einige damit im Zusammenhang stehen<strong>de</strong>n Fragen im Detail behan<strong>de</strong>lt wer<strong>de</strong>n.<br />
Wellenfunktionen <strong>de</strong>s Wasserstoffatoms<br />
Ausgangspunkt für die quantenmechanische Behandlung <strong>de</strong>s Wasserstoffatoms ist die<br />
Schrödingergleichung, die unter Verwendung <strong>de</strong>s Hamilton-Operators ˆ H wie folgt geschrieben<br />
wer<strong>de</strong>n kann:<br />
ˆH ψ = Eψ<br />
[1.95]<br />
wobei E die Energie <strong>und</strong> ψ die Wellenfunktion darstellt.<br />
Ein Wasserstoffatom besteht aus einem Atomkern <strong><strong>de</strong>r</strong> Masse m p <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Kernladungszahl Z <strong>und</strong> die<br />
Wechselwirkung zwischen <strong>de</strong>m positiv gela<strong>de</strong>nen Atomkern Ze (e=Elementarladung) <strong>und</strong> <strong>de</strong>m<br />
Elektron erfolgt gemäß <strong>de</strong>m Coulombschen Gesetz<br />
2<br />
Ze<br />
F = − r n<br />
[1.96]<br />
4π<br />
ε r<br />
2<br />
0 n<br />
wobei n die Nummer <strong><strong>de</strong>r</strong> stationären Bahn kennzeichnet. Da es sich bei einem elektrischen Feld um ein<br />
konservatives Kraftfeld mit einem ortsabhängigen Potential han<strong>de</strong>lt, folgt daraus für das Coulomb-<br />
Potential<br />
( )<br />
V r<br />
2<br />
Ze<br />
= − [1.97]<br />
π ε<br />
4 0 rn<br />
<strong>und</strong> damit entsprechend <strong><strong>de</strong>r</strong> Hamilton –Funktion H = T + V ( r ) für <strong>de</strong>n Hamilton-Operator:<br />
Hˆ<br />
ℏ<br />
= − ∆ −<br />
Ze<br />
π ε<br />
2 2<br />
*<br />
2m 4 0 rn<br />
2<br />
p<br />
(T = kinetische Energie =<br />
2m<br />
*<br />
, Impulsoperator pˆ = −iℏ ∇ , ∆ ≡ Laplace-Operator )<br />
7<br />
[1.98]
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Da es sich bei <strong>de</strong>m Wasserstoffatom um ein Zweiteilchensystem han<strong>de</strong>lt, wur<strong>de</strong> für m in (1.98) die<br />
reduzierte Masse<br />
* e p<br />
m me<br />
me mp<br />
*<br />
m gewählt:<br />
m m ⎛ 1 ⎞<br />
= ≈ ⎜1− ⎟<br />
+ ⎝ 1836 ⎠ [1.99]<br />
me ist die Ruhemasse <strong>de</strong>s Elektrons <strong>und</strong> p m die Protonenmasse (~ 1836m e ).<br />
Obwohl die Elektronenmasse nur einen Bruchteil <strong><strong>de</strong>r</strong> Protonenmasse ausmacht, ist die Einführung von<br />
(1.99) wichtig. Sie erlaubt die Erfassung <strong><strong>de</strong>r</strong> Unterschie<strong>de</strong> in <strong>de</strong>n Spektren von Wasserstoff <strong>und</strong><br />
Deuterium, die sich bereits bei mittlerer spektraler Auflösung klar erkennen lassen.<br />
Damit kann entsprechend (1.95) die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom wie folgt<br />
aufgeschrieben wer<strong>de</strong>n:<br />
2 2<br />
⎡ ⎤<br />
ℏ Ze<br />
⎢− ∆ − − E⎥ψ ( r)<br />
= 0<br />
π ε<br />
*<br />
⎣ 2m 4 0 r ⎦<br />
8<br />
[1.100]<br />
Diese Gleichung läßt sich bei Einführung von Kugelkoordinaten analytisch lösen, wobei die Lösungen<br />
aus einem radialen Anteil <strong>und</strong> einem winkelabhängigen Anteil bestehen:<br />
( r, , ) R ( r) Y ( , )<br />
ψ ϑ ϕ = ϑ ϕ<br />
[1.101]<br />
nl lm<br />
Y lm stellen dabei Kugelflächenfunktionen dar; n, l <strong>und</strong> m sind die bereits aus <strong>de</strong>m Bohr-<br />
Sommerfeldschen Atommo<strong>de</strong>ll bekannten Quantenzahlen.<br />
Das (normierte) Quadrat dieser Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron in <strong>de</strong>m durch<br />
die Quantenzahlen n, l <strong>und</strong> m angegebenen Zustand an <strong><strong>de</strong>r</strong> Position r, ϑ, ϕ aufzufin<strong>de</strong>n. Dabei wird<br />
das Raumgebiet, in <strong>de</strong>m sich das Elektron mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 aufhält, gewöhnlich<br />
(insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e in <strong><strong>de</strong>r</strong> Chemie) als Orbital bezeichnet.<br />
Die Radialwellenfunktion hängt nur von <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Nebenquantenzahl l (die mit<br />
<strong>de</strong>m Bahndrehimpuls verknüpft ist) ab <strong>und</strong> ihr Quadrat gibt das Maximum <strong><strong>de</strong>r</strong> Aufenthaltswahrscheinlichkeit<br />
in radialer Richtung vom Atomkern an.<br />
Radiale Elektronendichteverteilung für verschie<strong>de</strong>ne Zustän<strong>de</strong> <strong>de</strong>s Wasserstoffatoms
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Im Gr<strong>und</strong>zustand n=0, l=0 entspricht ihr Maximum genau <strong>de</strong>m Radius <strong><strong>de</strong>r</strong> 1. Elektronenbahn im<br />
klassischen Bohrschen Atommo<strong>de</strong>ll („Bohr („Bohr-Radius“):<br />
2<br />
4π<br />
ε 0 ℏ<br />
r1 = ≈ 0.0529 nm<br />
* 2<br />
m e<br />
Der räumliche Anteil <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenfunktion (er hängt von <strong><strong>de</strong>r</strong> Nebenquantenzahl l <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> magnerischen<br />
Quantenzahl m ab) ist komplizierter <strong>und</strong> führt zusammen mit <strong>de</strong>m radialen Anteil zu folgen<strong>de</strong>n<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilungen:<br />
Die Graustufen geben die Wahrscheinlichkeit an, ein Elektron in <strong>de</strong>m dargestellten Raumbereich<br />
anzutreffen. Je dunkler die Farbe, <strong>de</strong>sto höher die Wahrscheinlichkeit.<br />
Die Nebenquantenzahlen l wer<strong>de</strong>n historisch durch Kleinbuchstaben bezeichnet, die folgend folgen<strong>de</strong><br />
Be<strong>de</strong>utung haben:<br />
s l=0 “sharp”<br />
p l=1 “principal”<br />
d l=2 “diffuse”<br />
f l=3 “f<strong>und</strong>amental”<br />
Die Begriffe “sharp” usw. stammen ursprünglich aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektroskopie <strong>und</strong> haben dort das Aussehen<br />
bestimmter Spektrallinien beschrieben.<br />
9<br />
[1.102]
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Untersucht man das Spektrum <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieeigenwerte <strong><strong>de</strong>r</strong> Lösungsfunktionen (1.101) <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Schrödingergleichung, dann erhält man für geb<strong>und</strong>ene Zustän<strong>de</strong> (E
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
in Absorption bei einigen weichen Röntgenquellen <strong>und</strong> in Infrarotspektren von Supernovaausbrüchen<br />
wie z.B. 1987A.<br />
n Name Bezeichner Spektralbereich Bereich in nm<br />
1 Lyman-Serie Ly UV 121.5 – 91.2<br />
2 Balmer-Serie H sichtbar 656.3 – 364.6<br />
3 Paschen-Serie P IR 1875.1 – 820.4<br />
4 Brackett-Serie Br IR 4051.1 – 1458.4<br />
5 Pf<strong>und</strong>-Serie Pf IR 7457.7 – 2278.8<br />
6 Humphreys-Serie Hu IR 12368.4 – 3281.4<br />
Es ist üblich, die wichtigsten individuellen Übergänge zusätzlich noch durch griechische Buchstaben<br />
zu bezeichnen. Die Linie Hα ist <strong>de</strong>mnach <strong><strong>de</strong>r</strong> Übergang mit ∆ n = 1 <strong><strong>de</strong>r</strong> Balmerserie. Die analoge<br />
Linie im UV-Spektrum <strong>de</strong>s Wasserstoffs wird <strong>de</strong>mnach mit Lyα <strong>und</strong> die zweite Linie ( ∆ n = 2 ) mit<br />
Ly β bezeichnet usw.<br />
Grotrian-Diagramm von atomarem Wasserstoff<br />
11
Feinstruktur <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Beobachtet man z.B. die H α -Linie bei sehr hoher spektraler Auflösung (z.B. mit einem Fabry-Perot-<br />
Interferometer), dann erkennt man, daß diese Linie in Wirklichkeit aus zwei eng benachbarten Linien<br />
(einem Dublett) besteht: man sagt, die Spektrallinie weist eine Feinstruktur auf.<br />
Diese Feinstrukturaufspaltung fin<strong>de</strong>t man bei fast allen Spektrallinien <strong>und</strong> stellt einen relativistischen<br />
Effekt dar, an <strong>de</strong>m <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronenspin maßgeblich beteiligt ist. Sie läßt sich <strong>de</strong>shalb aus <strong><strong>de</strong>r</strong> speziellrelativistischen<br />
Dirac-Gleichung <strong>de</strong>duzieren.<br />
Es gibt verschie<strong>de</strong>ne Möglichkeiten <strong><strong>de</strong>r</strong> Wechselwirkung <strong>de</strong>s Elektronenspins mit an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Quellen von<br />
Drehimpuls in einem Atom. Die wichtigste davon ist die Wechselwirkung <strong>de</strong>s Elektronenspins<br />
(dargestellt durch <strong>de</strong>n Vektor s ) mit <strong>de</strong>m Bahndrehimpuls l (Spin-Bahn-Kopplung). Der<br />
Gesamtdrehimpuls ergibt sich in diesem Fall aus <strong><strong>de</strong>r</strong> vektoriellen Addition dieser bei<strong>de</strong>n Größen <strong>und</strong><br />
wird mit j bezeichnet:<br />
j= l + s [1.106]<br />
Berücksichtigt man jetzt noch <strong>de</strong>n Kernspin i , dann ergibt sich für <strong>de</strong>n Gesamtdrehimpuls f <strong>de</strong>s Atoms<br />
f = j+ i<br />
Quantenmechanische Drehimpulse können nicht beliebige Werte annehmen. Bei einem<br />
Einelektronensystem sind z.B. für <strong>de</strong>n Gesamtdrehimpuls j nur die Werte = j ( j + 1)<br />
12<br />
j ℏ mit<br />
j = l ± s erlaubt. Das führt im Fall <strong>de</strong>s Wasserstoffatoms zu folgen<strong><strong>de</strong>r</strong> Aufsplittung <strong><strong>de</strong>r</strong> nl-Orbitale:<br />
Elektronen-<br />
Konfiguration<br />
l s j<br />
ns 0 1<br />
2 1<br />
2<br />
np 1 1<br />
2<br />
nd 2 1<br />
2<br />
nf 3 1<br />
2<br />
ns 1<br />
2<br />
np , np<br />
1 3<br />
,<br />
2 2 1 3<br />
2 2<br />
nd , nd<br />
3 5<br />
,<br />
2 2 3 5<br />
2 2<br />
nf , nf<br />
5 7<br />
,<br />
2 2 5 7<br />
2 2<br />
Danach besitzen alle Terme <strong>de</strong>s Wasserstoffatoms mit Ausnahme <strong><strong>de</strong>r</strong> s-Orbitale Dublettcharakter.<br />
Während im nichtrelativistischen Fall die Energie eines Zustan<strong>de</strong>s nur von <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n<br />
abhängt, gilt dieser Satz bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Berücksichtigung relativistischer Effekte, wie es <strong><strong>de</strong>r</strong> Spin darstellt,<br />
offensichtlich nicht mehr.<br />
Bei astronomischen Anwendungen wird <strong><strong>de</strong>r</strong> Effekt <strong><strong>de</strong>r</strong> Feinstrukturaufspaltung i.d.R. durch an<strong><strong>de</strong>r</strong>e<br />
Effekte wie Druckverbreiterung <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien über<strong>de</strong>ckt <strong>und</strong> hat damit zumin<strong>de</strong>st bei
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Untersuchungen im optischen <strong>und</strong> infraroten Spektralbereich nur eine geringe Be<strong>de</strong>utung (Ausnahme<br />
sind Sterne mit starken Magnetfel<strong><strong>de</strong>r</strong>n). Bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Untersuchung <strong><strong>de</strong>r</strong> Verteilung von neutralen<br />
Wasserstoff im kosmischen Raum hat dagegen ein weiterer Effekt, die sogenannte<br />
Hyperfeinstrukturaufspaltung <strong>de</strong>s 1s1 -Zustan<strong>de</strong>s im Wasserstoffatom, eine überragen<strong>de</strong> Be<strong>de</strong>utung, da<br />
2<br />
sie zur Emission <strong><strong>de</strong>r</strong> 21 cm-Radiowellenstrahlung führt, die radioastronomisch leicht zu beobachten ist.<br />
Nicht alle <strong>de</strong>nkbaren Übergänge zwischen Feinstrukturniveaus unterschiedlichen n sind möglich. Sie<br />
wer<strong>de</strong>n vielmehr durch Auswahlregeln eingeschränkt, die sich vollständig aus <strong>de</strong>m quantenmechanischen<br />
Formalismus ergeben. Für die astronomisch be<strong>de</strong>utsamen Dipol-Übergänge im<br />
Wasserstoffatom sind das im Einzelnen:<br />
∆ n<br />
zwischen verschie<strong>de</strong>nen n sind alle Übergänge erlaubt<br />
∆ l = ± 1<br />
∆ s = 0 (diese Bedingung ist im Wasserstoffatom wegen s = 1 2 immer erfüllt)<br />
∆ j = {0, + 1, − 1}<br />
∆ = {0, + 1, − 1} wichtig bei Vorhan<strong>de</strong>nsein eines Magnetfel<strong>de</strong>s (be<strong>de</strong>utsam für <strong>de</strong>n Zeeman-<br />
m j<br />
Effekt)<br />
Bei sogenannten Multipolübergängen kommen weitere Auswahlregeln ins Spiel bei <strong>de</strong>nen u.a. eine<br />
zusätzliche Quantenzahl - die Parität P - eine wichtige Rolle spielt.<br />
Die Spektren <strong><strong>de</strong>r</strong> Alkalimetalle<br />
Die Alkalimetalle o<strong><strong>de</strong>r</strong> die Elemente <strong><strong>de</strong>r</strong> ersten Hauptgruppe im Perio<strong>de</strong>nsystem (<br />
3 11 19 37 55 87<br />
Li, Na, Ka, Rb, Cs, Fr ) zeichnen sich dadurch aus, daß sich in ihrer äußersten Hülle nur ein<br />
Elektron aufhält, welches man oft - da es im Wesentlichen für das Zustan<strong>de</strong>kommen <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien<br />
verantwortlich ist - als „Leuchtelektron“ bezeichnet. Es verhält sich bei Anregung ähnlich wie das<br />
Elektron im Wasserstoffatom so daß es zwischen <strong>de</strong>m Wasserstoffspektrum <strong>und</strong> <strong>de</strong>n Alkalispektren<br />
starke Ähnlichkeiten gibt. Insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e lassen sich für die Linienserien geschlossene Ausdrücke<br />
ähnlich (1.105) aufschreiben. Im Gegensatz zum Wasserstoffatom können die Termdifferenzen jedoch<br />
nicht mehr in <strong><strong>de</strong>r</strong> Form<br />
R R<br />
−<br />
n m<br />
H H<br />
2 2<br />
dargestellt wer<strong>de</strong>n, wo m <strong>und</strong> n ganze Zahlen sind. Das gelingt erst wie<strong><strong>de</strong>r</strong>, wenn man<br />
Korrekturgrößen (die für je<strong>de</strong>s Element spezifisch sind) einführt, welche durch die Überlappung <strong>de</strong>s<br />
Valenzorbitals mit <strong>de</strong>n an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Orbitalen entstehen <strong>und</strong> im Wesentlichen von <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Bahndrehimpulsquantenzahl l abhängen:<br />
R R<br />
−<br />
1+ σ 1+<br />
ξ<br />
H H<br />
2 2<br />
13
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
σ <strong>und</strong> ξ bezeichnen diese Korrekturgrößen. Die wichtigsten Serien wer<strong>de</strong>n durch folgen<strong>de</strong><br />
Gleichungen dargestellt:<br />
a) Hauptserie<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= RH ⎜ − n {2,3, 4,...}<br />
2 2 ⎟ =<br />
λ ⎝ (1 + s*) ( n + p*)<br />
⎠<br />
b) 1. <strong>und</strong> 2. Nebenserie<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= RH ⎜ − n {3,4,5,...}<br />
2 2 ⎟ =<br />
λ ⎝ (2 + p*) ( n + d*)<br />
⎠<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= RH ⎜ − n {2,3, 4,...}<br />
2 2 ⎟ =<br />
λ ⎝ (1 + p*) ( n + s*)<br />
⎠<br />
c) Bergmann-Serie<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= RH ⎜ − n {4,5,6,...}<br />
2 2 ⎟ =<br />
λ ⎝ (3 + d*) ( n + f *) ⎠<br />
14<br />
[1.107]<br />
[1.108]<br />
[1.109]<br />
[1.110]<br />
Die 1. <strong>und</strong> 2. Nebenserie bil<strong>de</strong>n eine Folge von Spektrallinien, <strong><strong>de</strong>r</strong>en Linien meist paarweise<br />
zusammenliegen. Dabei erscheint die „s“-Linie scharf <strong>und</strong> die „d“-Linie diffus. Die Linien <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Hauptgruppe wur<strong>de</strong> ursprünglich von <strong>de</strong>n Spektroskopikern als „Prinzipalserie“ bezeichnet, was das<br />
Kürzel „p“ erklärt. Obwohl sich die Erklärung <strong><strong>de</strong>r</strong> Bergmann-Serie als „f<strong>und</strong>amentale“ Serie als Irrtum<br />
herausstellte, ist die Bezeichnung „f“ geblieben.<br />
In <strong>de</strong>n Gleichungen (1.107 - 8.110) wer<strong>de</strong>n diese Kürzel mit einem „*“ bezeichnet, was darauf<br />
hinweisen soll, daß es sich um keine echten Quantenzahlen han<strong>de</strong>lt, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n um reelle<br />
Konstanten, die für je<strong>de</strong>s Alkalimetall charakteristisch sind. Ihr Wert nimmt mit wachsen<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Ordnungszahl zu (Li: s*=0.4, p*~0; Cs: s*=0.87, p*~0.3) wobei jedoch die d* <strong>und</strong> f*-Werte erst ab<br />
<strong>de</strong>m Element Rubidium merklich von 0 abweichen.<br />
Setzt man diese Konstanten gleich Null, dann gehen die Serienspektren <strong><strong>de</strong>r</strong> Alkalimetalle in die Serien<br />
<strong>de</strong>s Wasserstoffspektrums über. Die Hauptserie entspricht dann <strong><strong>de</strong>r</strong> Lyman-Serie, die 1. <strong>und</strong> 2.<br />
Nebenserie <strong><strong>de</strong>r</strong> Balmer-Serie <strong>und</strong> die Bergmann-Serie <strong><strong>de</strong>r</strong> Paschen-Serie.<br />
Für die Bezeichnung <strong><strong>de</strong>r</strong> Terme in (1.107 - 8.110) hat sich folgen<strong>de</strong> Nomenklatur durchgesetzt:<br />
{Laufzahl}{Großbuchstabe <strong><strong>de</strong>r</strong> „effektiven“ Quantenzahl}<br />
(1.107) 1S - nP<br />
(1.108) 2P - nD<br />
(1.109) 1P - nS<br />
(1.110) 3D - nF
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Diese Bezeichnungsweise stammt ursprünglich von HENRY NORRIS RUSSELL (1877-1957) <strong>und</strong><br />
FREDERICK A.SAUNDERS <strong>und</strong> wird jetzt - mit einigen Ergänzungen, s.u. - zur quanten-mechanischen<br />
Beschreibung von Elektronenzustän<strong>de</strong>n allgemein verwen<strong>de</strong>t.<br />
Atome mit mehreren Elektronen<br />
Die quantenmechanische Beschreibung von Atomen mit mehreren Elektronen ist komplizierter, da<br />
man beispielsweise die Wechselwirkung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen untereinan<strong><strong>de</strong>r</strong> in <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronenhülle <strong>de</strong>s<br />
Atoms berücksichtigen muß. Das führt zu einigen neuen Effekten <strong>und</strong> zu im Vergleich zum<br />
Wasserstoffatom sehr komplexen Termdiagrammen. Unter Berück-sichtigung <strong>de</strong>s Pauliprinzips<br />
(nach<strong>de</strong>m in einem Atom keine zwei Elektronen in ihren Quantenzahlen übereinstimmen dürfen) ergibt<br />
sich darüber hinaus aus einer eingehen<strong>de</strong>n Analyse <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronenhülle von neutralen Atomen<br />
unterschiedlicher Kernladungszahl Z eine natürliche Erklärung <strong>de</strong>s Perio<strong>de</strong>nsystems <strong><strong>de</strong>r</strong> Elemente <strong>und</strong><br />
wie sich darin bestimmte chemische Eigenschaften von Element zu Element verän<strong><strong>de</strong>r</strong>n. Die<br />
Quantentheorie <strong><strong>de</strong>r</strong> Atomhülle bil<strong>de</strong>t <strong>de</strong>shalb die theoretische Gr<strong>und</strong>lage <strong><strong>de</strong>r</strong> Chemie als Wissenschaft.<br />
Genauso wie im Wasserstoffatom kann <strong><strong>de</strong>r</strong> Zustand eines Elektrons in einem Atom mit mehreren<br />
Elektronen durch die Quantenzahlen n, l, s <strong>und</strong> m ein<strong>de</strong>utig festgelegt wer<strong>de</strong>n. Da jetzt aber aufgr<strong>und</strong><br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> erweiterten Kombinationsmöglichkeiten <strong><strong>de</strong>r</strong> Bahn- <strong>und</strong> Eigendrehimpulse <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Drehimpulszustand <strong>de</strong>s Gesamtatoms komplexer wird (siehe Folgekapitel), wer<strong>de</strong>n auch <strong>de</strong>ssen<br />
Energieeigenwerte subtiler von <strong><strong>de</strong>r</strong> Kombination dieser Größen abhängen. Insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>s lassen sich<br />
keine allgemeine Seriengesetze mehr angeben, wenn das Atom mehr als ein Valenzelektron besitzt.<br />
Dabei versteht man unter Valenzelektronen die Elektronen, die sich in <strong>de</strong>n äußersten Orbitalen<br />
aufhalten. Sie haben gewöhnlich als sogenannte „Bindungselektronen“ eine große Be<strong>de</strong>utung bei <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Ausbildung von Bindungen zwischen <strong>de</strong>n Atomen.<br />
Je nach<strong>de</strong>m wie viele Valenzelektronen ein Atom besitzt, spricht man von Zwei -, Drei - o<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Vierelektronensystemen (usw.). Die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Valenzelektronen korrespondiert dabei mit <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Gruppennummer <strong>de</strong>s entsprechen<strong>de</strong>n (neutralen) Atoms im Perio<strong>de</strong>nsystem <strong><strong>de</strong>r</strong> Elemente.<br />
Alle in einer waagerechten Reihe angeordneten Elemente gehören zu jeweils einer Perio<strong>de</strong>, da sich die<br />
Verän<strong><strong>de</strong>r</strong>ung <strong><strong>de</strong>r</strong> chemischen Eigenschaften in je<strong><strong>de</strong>r</strong> dieser Reihen in gleicher o<strong><strong>de</strong>r</strong> ähnlicher Weise<br />
wie<strong><strong>de</strong>r</strong>holt. Diese Gesetzmäßigkeit wur<strong>de</strong> z.B. von DIMITRI IWANOWITSCH MENDELEJEW (1834-1907)<br />
(<strong><strong>de</strong>r</strong> unabhängig von JULIUS LOTHAR VON MEYER (1830-1895) das Perio<strong>de</strong>nsystem entwickelt hat)<br />
ausgenutzt, um damals noch unbekannte Elemente <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong>en Eigenschaften vorherzusagen.<br />
Das Perio<strong>de</strong>nsystem <strong><strong>de</strong>r</strong> Elemente beruht im Wesentlichen auf drei quantenmechanischen Prinzipien,<br />
welche für die Anordnung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen in einem Atom <strong><strong>de</strong>r</strong> Kernladungszahl=Ordnungszahl Z<br />
verantwortlich sind. Neben <strong>de</strong>m bereits behan<strong>de</strong>lten Beziehungen zwischen <strong>de</strong>n Quantenzahlen n, l<br />
<strong>und</strong> s gehören dazu das Pauli-Prinzip <strong>und</strong> die vier H<strong>und</strong>schen Regeln.<br />
2<br />
Im niedrigsten Zustand mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n=1 können sich nur 2n Elektronen befin<strong>de</strong>n. Das<br />
erklärt, daß die erste Perio<strong>de</strong> durch genau zwei Elemente - Wasserstoff <strong>und</strong> Helium - repräsentiert<br />
wird, die wegen l = n − 1 = 0 nur s-Orbitale ausbil<strong>de</strong>n. Bei n=2 sind bereits 8 Elektronenzustän<strong>de</strong><br />
möglich, welche <strong>de</strong>n Elementen Lithium (Z=3) bis Neon (Z=10) entsprechen. Die möglichen<br />
15
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Nebenquantenzahlen sind l=0 <strong>und</strong> l=1, d.h. bei diesen Elementen fin<strong>de</strong>t man sowohl s- als auch p-<br />
Orbitale. Wie sehen nun die Elektronenkonfigurationen im Einzelnen aus? Ein Lithiumatom ist quasi<br />
ein Helium-Atom, <strong>de</strong>m im Kern ein Proton <strong>und</strong> in <strong><strong>de</strong>r</strong> Hülle ein Elektron hinzugefügt wur<strong>de</strong>. Dieses<br />
2<br />
Elektron besetzt das 2s-Orbital so daß man als Elektronenkonfiguration 1s 2s<br />
erhält (die Hochzahl<br />
gibt die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen >1 in <strong>de</strong>m jeweiligen Zustand an). Fügt man diesem Atom ein weiteres<br />
Proton <strong>und</strong> ein Elektron hinzu, dann erhält man Beryllium, <strong>de</strong>ssen zusätzliches Elektron auch vom 2s -<br />
Orbital aufgenommen wird:<br />
<strong>und</strong> die Elektronenkonfiguration ist<br />
2 2<br />
1s 2s<br />
. Bei Bor mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Ordnungszahl 5 wird das erste p-Orbital belegt<br />
2 2<br />
1s 2s 2 p . Bei <strong>de</strong>n nächsten Elementen <strong><strong>de</strong>r</strong> 2. Perio<strong>de</strong> kommt die<br />
H<strong>und</strong>sche Regel ins Spiel <strong>und</strong> zwar in <strong><strong>de</strong>r</strong> Form, das je<strong>de</strong>s <strong><strong>de</strong>r</strong> m={-l,...,l} p-Orbitale ( m = {0, ± 1} )<br />
zuerst halb besetzt wird. Daraus ergibt sich z.B. für Stickstoff (Z=7) die Konfiguration<br />
für Sauerstoff (Z=8)<br />
erreicht:<br />
16<br />
2 2 3<br />
1s 2s 2 p <strong>und</strong><br />
2 2 4<br />
1s 2s 2 p . Die volle Besetzung <strong><strong>de</strong>r</strong> p-Orbitale wird schließlich bei Neon (Z=10)<br />
2 2 6<br />
1s 2s 2 p . Es ist mit 8 Außenelektronen ein E<strong>de</strong>lgas.<br />
Der Aufbau <strong><strong>de</strong>r</strong> dritten Perio<strong>de</strong> erfolgt analog <strong>de</strong>m <strong><strong>de</strong>r</strong> zweiten Perio<strong>de</strong> wobei es jedoch einen<br />
wesentlichen Unterschied gibt. Theoretisch könnte man annehmen, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> Zustand n=3 insgesamt 18<br />
Elektronen aufnehmen kann. Tatsächlich sind es aber wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um nur 8. Der Gr<strong>und</strong> dafür ist, daß die<br />
Nebenquantenzahl l <strong>de</strong>n Wert 2 annimmt was be<strong>de</strong>utet, daß die entsprechen<strong>de</strong>n Atome d-Orbitale<br />
besitzen. Sie wer<strong>de</strong>n zwar nicht aufgefüllt, haben aber chemisch eine große Be<strong>de</strong>utung bei <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Ausbildung von Verbindungen.<br />
Ab <strong><strong>de</strong>r</strong> 4. Perio<strong>de</strong> wer<strong>de</strong>n nach <strong>und</strong> nach auch die d-Orbitale mit Elektronen gefüllt. Solange sie noch<br />
unvollständig besetzt sind o<strong><strong>de</strong>r</strong> sie Kationen mit unvollständiger d-Besetzung bil<strong>de</strong>n können, spricht<br />
man von d- o<strong><strong>de</strong>r</strong> Übergangselementen. Es han<strong>de</strong>lt sich dabei um die Elemente mit Z=21 (Sc) bis Z=27
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
(Co) <strong>und</strong> Z=39 (Y) bis 46 (Pa). In dieser Zusammenstellung fin<strong>de</strong>t sich auch das astronomisch<br />
wichtige Eisen (Z=26) mit seiner komplizierten Elektronen-struktur <strong>und</strong> <strong>de</strong>m damit verb<strong>und</strong>enen<br />
spektralen Eigenschaften.<br />
Nun noch ein paar Worte zu <strong>de</strong>n Gruppen im Perio<strong>de</strong>nsystem. Als Hauptgruppen bezeichnet man die<br />
ersten bei<strong>de</strong>n <strong>und</strong> die letzten sechs Spalten, die an<strong><strong>de</strong>r</strong>en als Nebengruppen. Die erste Hauptgruppe<br />
bil<strong>de</strong>n (mit Ausnahme <strong>de</strong>s Wasserstoffs, <strong><strong>de</strong>r</strong> aber unter extremen Druckbedingungen metallische<br />
Eigenschaften annehmen kann) die Alkalimetalle. Als zweite Hauptgruppe folgen die Erdalkalimetalle<br />
mit <strong>de</strong>n für die astronomische Spektroskopie so wichtigen Element Kalzium. Sie besitzen außerhalb<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> abgeschlossenen Elektronenschalen (E<strong>de</strong>lgaskonfiguration) zwei s-Elektronen. Man fin<strong>de</strong>t sie<br />
<strong>de</strong>shalb oft als zweiwertige Ionen wie z.B. Mg ++ , Ca ++ . Die dritte Hauptgruppe ist durch eine<br />
abgeschlossene s-Schale <strong>und</strong> ein zusätzliches d-Elektron charakterisiert. Die dazugehörigen Elemente<br />
wer<strong>de</strong>n als Bor-Gruppe bezeichnet. Ihr folgt die Kohlenstoffgruppe mit <strong>de</strong>n wichtigen Elementen<br />
Kohlenstoff <strong>und</strong> Silizium. Die fünfte Hauptgruppe bezeichnet man als Stickstoffgruppe <strong>und</strong> die<br />
Sechste als Sauerstoffgruppe. Danach folgen die Halogene <strong>und</strong> die - aufgr<strong>und</strong> ihrer abgeschlossenen<br />
Elektronenkonfiguration - reaktionsträgen E<strong>de</strong>lgase.<br />
Elektronenkonfigurationen von Ionen<br />
Wenn ein Atom in seiner Gesamtheit nicht mehr elektrisch neutral ist, dann bezeichnet man es als ein<br />
Ion. Im Gegensatz zur Chemie spielen in <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astrophysik</strong> Ionen mit negativer Überschußladung -<br />
sogenannte Anionen - nur eine untergeordnete Rolle. Eine Ausnahme ist das Wasserstoff-Anion H − ,<br />
welches einen äußerst wichtigen Beitrag zur Opazität <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternmaterie kühler Sterne bis hin zur Sonne<br />
leistet.<br />
Kationen sind dagegen Atome, welche Elektronen abgegeben haben <strong>und</strong> die damit eine positive<br />
Überschußladung besitzen.<br />
Atome (<strong>und</strong> Moleküle) können durch verschie<strong>de</strong>ne Prozesse ionisiert wer<strong>de</strong>n. Von sehr großer<br />
Be<strong>de</strong>utung ist dabei die Stoßionisation, wo Elektronen bei inelastischen Stößen mit an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Atomen<br />
o<strong><strong>de</strong>r</strong> Ionen (aber auch einzelnen Elementarteilchen) aus <strong>de</strong>m Atomverb<strong>und</strong> herausgetrennt wer<strong>de</strong>n. Ist<br />
dabei <strong><strong>de</strong>r</strong> Stoßpartner ein entsprechend energiereiches Photon, dann spricht man auch von<br />
Photoionisation. Die Energie, die bei solch einem Ionisationsvorgang vom Stoßpartner aufzubringen<br />
ist, muß größer o<strong><strong>de</strong>r</strong> gleich <strong><strong>de</strong>r</strong> Ionisations-energie <strong>de</strong>s herauszulösen<strong>de</strong>n Elektrons sein.<br />
Wenn zwei Atome bzw. Ionen unterschiedlicher Kernladungszahl Z die gleiche<br />
Elektronenkonfiguration aufweisen (was ja durch einen Ionisationsvorgang erreicht wer<strong>de</strong>n kann),<br />
dann spricht man von isoelektronischen Elektronenkonfigurationen. Beispielsweise besitzen das<br />
zweifach ionisierte Beryllium Be ++ <strong>und</strong> das neutrale Helium He die gleiche Elektronenkonfiguration<br />
2<br />
1s , was auch ihre Spektren ähnlich macht. Ganz allgemein gilt, daß (zumin<strong>de</strong>st für Atome mit kleinen<br />
Z) isoelektronische Atome <strong>und</strong> Ionen sehr ähnliche Spektren besitzen, da sie sich nicht in ihrer<br />
Elektronenkonfiguration, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n hauptsächlich in ihrer effektiven Kernladung unterschei<strong>de</strong>n. So<br />
besitzen die wasserstoffartigen Ionen<br />
He , Li <strong>und</strong> Be<br />
+ ++ 3+<br />
auch wasserstoffähnliche Spektren.<br />
Genauso fin<strong>de</strong>t man Ähnlichkeiten zwischen <strong>de</strong>m neutralen Helium <strong>und</strong> <strong>de</strong>n Ionen<br />
17<br />
Li , Be <strong>und</strong> B<br />
+ ++ 3+<br />
,
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
die <strong>de</strong>shalb auch als heliumartige Ionen bezeichnet wer<strong>de</strong>n. Diese Reihe läßt sich natürlich fortsetzen.<br />
Allen ist gemeinsam, daß sich die äußeren Elektronen jeweils in einem elektrischen Feld <strong><strong>de</strong>r</strong> effektiven<br />
Ladung Z = Z − N + 1 bewegen, wobei N
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Beim Wasserstoffatom (einem Einelektronensystem) gilt die Auswahlregel ∆ l = ± 1.<br />
Bei<br />
Mehrelektronensystemen muß sie auf ∆ L = {0, ± 1} erweitert wer<strong>de</strong>n wobei die Einschränkung ∆ L = 0<br />
jedoch erst bei Elementen mit größeren Ordnungszahlen eine signifikante Rolle spielt.<br />
Der Betrag <strong>de</strong>s resultieren<strong>de</strong> Bahndrehimpulses (1.111) kann selbst nur gequantelte Werte annehmen<br />
( 1)<br />
L = L L + ℏ [1.113]<br />
wobei für die z-Komponente<br />
( Einheitsvektor in z-Richtung)<br />
M = L ℏ k k<br />
[1.114]<br />
z L<br />
mit M = {0, ± 1, ± 2,..., ± L}<br />
gilt (magnetische Quantenzahl <strong>de</strong>s Mehrelektronensystems). Analoge<br />
L<br />
Überlegungen gelten übrigens auch für <strong>de</strong>n Gesamtspin S eines Mehrelektronen-systems, wobei in<br />
diesem Fall für <strong>de</strong>n Betrag <strong>de</strong>s magnetische Spinmoment S M<br />
M<br />
gilt.<br />
e ℏ<br />
= 2 S ( S + 1) µ µ = − Bohrsches Magneton<br />
2m<br />
S B B<br />
e<br />
19<br />
[1.115]<br />
Kombiniert man L <strong>und</strong> S entsprechend (1.112), dann ergibt sich für <strong>de</strong>n resultieren<strong>de</strong>n<br />
Gesamtdrehimpuls J eines Systems aus i Valenzelektronen:<br />
( )<br />
J = J J + 1 ℏ mit J = L + M ≥ 0<br />
[1.116]<br />
<strong>und</strong> für <strong>de</strong>ssen z-Komponente<br />
z J J<br />
S<br />
( , 1, 2,..., 2, 1, )<br />
J = M ℏ k M = −J − J + − J + J − J − J<br />
[1.117]<br />
Der Vektor J kann in bezug auf die z-Richtung nur die Lagen einnehmen, die <strong>de</strong>n 2J+1 -möglichen J z -<br />
Werten entsprechen. Das wird <strong>de</strong>utlich, wenn man das Verhalten eines Atoms in einem äußeren Feld -<br />
z.B. einem Magnetfeld B - betrachtet. In diesem Fall spaltet sich das J -Niveaus in (2J+1) -Niveaus<br />
unterschiedlicher Energie auf (bei fehlen<strong>de</strong>m äußeren Feld haben sie alle die gleiche Energie). Man<br />
sagt, daß das Niveau mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Quantenzahl J genau (2J+1) -fach entartet ist.<br />
In <strong><strong>de</strong>r</strong> Quantenphysik spricht man übrigens ganz allgemein von <strong><strong>de</strong>r</strong> Entartung eines Zustan<strong>de</strong>s, wenn<br />
z.B. zu einem Energieeigenwert E n mehrere Eigenfunktionen ψ nk ( mit k = 1... r)<br />
gleicher Energie<br />
existieren, wobei r <strong>de</strong>n Grad <strong><strong>de</strong>r</strong> Entartung angibt. Da unter Einwirkung eines äußeren Fel<strong>de</strong>s die zu<br />
einem J-Wert gehören<strong>de</strong>n 2J+1 Niveaus energetisch aufgespalten wer<strong>de</strong>n, kann man in einem<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong>artigen Fall auch eine entsprechen<strong>de</strong> Aufspaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> davon betroffenen Spektrallinien beobachten.<br />
Führt die Einwirkung eines Magnetfel<strong>de</strong>s zu <strong><strong>de</strong>r</strong> Aufhebung <strong><strong>de</strong>r</strong> Entartung, dann spricht man vom<br />
Zeeman-Effekt während man analog dazu im Falle eines elektrischen Fel<strong>de</strong>s vom Stark-Effekt spricht.
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Letzterer ist ganz wesentlich für die Druckverbreiterung <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien, die in Sternatmosphären<br />
entstehen, verantwortlich.<br />
Dazu ein Beispiel. Die elektronische Zustand <strong>de</strong>s Alkalimetalls Natrium (Z=11) ist ein s-Zustand <strong>und</strong><br />
besitzt <strong>de</strong>mnach keinen Bahndrehimpuls. Nach (1.112) ist J=L+S=1/2. Der angeregte Zustand 3p<br />
besitzt dagegen einen L-Wert von 1 <strong>und</strong> je nach relativer Orientierung <strong><strong>de</strong>r</strong> Vektoren L <strong>und</strong> S ergibt<br />
sich für <strong>de</strong>n Betrag <strong>de</strong>s Gesamtdrehimpulses entwe<strong><strong>de</strong>r</strong> J=3/2 o<strong><strong>de</strong>r</strong> J=1/2. Das be<strong>de</strong>utet, die bei<strong>de</strong>n<br />
Zustän<strong>de</strong> sind energetisch aufgespalten was im Spektrum zur Na D 1 <strong>und</strong> zur Na D2 Linie bei<br />
λ 1 = 589.5932 nm bzw. 2 588.9965<br />
λ = nm führt.<br />
Ein weiteres Merkmal eines Terms ist <strong>de</strong>ssen Parität P. Es beschreibt das Verhalten einer<br />
Wellenfunktion gegenüber einer Inversion (Reflektion <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenfunktion am Ursprung, d.h. am<br />
Atomkern). Es gilt dabei (bei Vernachlässigung <strong>de</strong>s Spins)<br />
( ) = ± ( − )<br />
ψ r ψ r (r Ortsvektor) [1.118]<br />
Je nach <strong>de</strong>m, ob auf <strong><strong>de</strong>r</strong> rechten Seite das positive o<strong><strong>de</strong>r</strong> negative Vorzeichen gilt, spricht man von<br />
Zustän<strong>de</strong>n gera<strong><strong>de</strong>r</strong> bzw. ungera<strong><strong>de</strong>r</strong> Parität. Sie läßt sich bei einer gegebenen Elektronenkonfiguration<br />
leicht berechnen, in <strong>de</strong>m man entsprechend (1.111) die Bahndrehimpulse l aufsummiert <strong>und</strong> das<br />
Vorzeichen <strong><strong>de</strong>r</strong> Beziehung<br />
( 1)<br />
N<br />
li<br />
i<br />
−<br />
∑<br />
[1.119]<br />
bestimmt. Auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen in einem Atom hat die Parität keinen<br />
Einfluß, jedoch auf die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen <strong>de</strong>n Spektraltermen.<br />
Das j-j -Kopplungsschema<br />
Bei Atomen höherer Ordnungszahl (beginnend ungefähr bei Germanium, Z=32) müssen bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Spin-<br />
Bahnkopplung verstärkt relativistische Effekte berücksichtigt wer<strong>de</strong>n. Das führt zu einem etwas<br />
an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Kopplungsschema. Dazu betrachten wir <strong>de</strong>n gesamten Drehimpuls <strong>de</strong>s i-ten Elektrons j i ,<br />
welcher sich aus <strong><strong>de</strong>r</strong> vektoriellen Addition seines Bahndrehimpulses i l mit <strong>de</strong>m Eigendrehimpuls i s<br />
ergibt:<br />
ji = li + s i<br />
[1.120]<br />
Den Gesamtdrehimpuls J <strong>de</strong>s Atoms erhält man dann als Summe aller Drehimpulse <strong><strong>de</strong>r</strong> einzelnen<br />
Elektronen:<br />
J = ∑ j i<br />
[1.121]<br />
i<br />
Während man bei leichten Atomen L <strong>und</strong> S mit hoher Genauigkeit als Erhaltungsgrößen betrachten<br />
kann, ist das bei Atomen mit hoher Kernladungszahl nicht mehr <strong><strong>de</strong>r</strong> Fall, weil die Bahn-Spin-<br />
Wechselwirkung immer stärker wird <strong>und</strong> die Abweichungen zum nichtrelativistischen Grenzfall immer<br />
20
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
<strong>de</strong>utlicher hervortreten. Die Auflösung <strong><strong>de</strong>r</strong> Entartung <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieniveaus verstärkt sich mit<br />
wachsen<strong>de</strong>m Z mehr <strong>und</strong> mehr, wie folgen<strong>de</strong>s Termdiagramm zeigt:<br />
Das erklärt auch, weshalb man in <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektroskopie zwei verschie<strong>de</strong>ne Kopplungsschemata benötigt.<br />
Nomenklatur <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektralterme von Mehrelektronensystemen<br />
Je<strong><strong>de</strong>r</strong> Term in einem Grotriandiagramm läßt sich durch eine Kombination von Quantenzahlen<br />
ein<strong>de</strong>utig beschreiben. Im Fall <strong><strong>de</strong>r</strong> in <strong><strong>de</strong>r</strong> astronomischen Spektroskopie wichtigen L-S-Kopplung hat<br />
sich die folgen<strong>de</strong> Notation zur Beschreibung eines Spektralterms (bzw.- eines Energieniveaus)<br />
eingebürgert:<br />
Term = L Niveau = L<br />
[1.122]<br />
2S + 1 ( parität ) 2S + 1 ( parität )<br />
J<br />
Der führen<strong>de</strong> In<strong>de</strong>x gibt offensichtlich <strong>de</strong>n Entartungsgrad <strong>de</strong>s Spin-Zustan<strong>de</strong>s an, d.h. <strong>de</strong>ssen<br />
Multiplizität. L wird durch große lateinische Buchstaben gekennzeichnet: ein S-Zustand ist ein Zustand<br />
mit L=0, ein P-Zustand ein Zustand mit L=1 usw. Die Parität wird gewöhnlich nur dann als rechter<br />
oberer In<strong>de</strong>x - <strong>und</strong> zwar mit <strong>de</strong>m kleinen Buchstaben „o“ (für „odd“) - angegeben, wenn die Parität<br />
ungera<strong>de</strong> ist. An<strong><strong>de</strong>r</strong>nfalls läßt man ihn weg. Der In<strong>de</strong>x J, welcher ein Maß für <strong>de</strong>n Gesamtdrehimpuls<br />
ist, verwen<strong>de</strong>t man nur zur Kennzeichnung eines Niveaus um <strong>de</strong>ssen Entartung explizit<br />
aufzuschlüsseln. Das ist z.B. wichtig, wenn sich die strahlen<strong>de</strong>n o<strong><strong>de</strong>r</strong> absorbieren<strong>de</strong>n Atome in einem<br />
Magnetfeld befin<strong>de</strong>n <strong>und</strong> es dabei zu <strong><strong>de</strong>r</strong> bekannten Zeeman-Aufspaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien kommt.<br />
Das einfachste Mehrelektronensystem stellt das Heliumatom dar. Sein Gr<strong>und</strong>zustand ist offensichtlich<br />
2<br />
1s <strong>und</strong> ist damit (wegen Z=2) abgeschlossen (E<strong>de</strong>lgas) woraus S=0 <strong>und</strong> L=0 folgt. Damit ergibt sich<br />
ein einzelner Term 1 S mit <strong>de</strong>m Niveau gera<strong><strong>de</strong>r</strong> (positiver) Parität 1<br />
Der erste angeregte Zustand ist 1s2s , für <strong>de</strong>n sich entsprechend <strong>de</strong>m L-S-Schema L=0 sowie S=0 <strong>und</strong><br />
S=1 ergibt. Der Singulett-Zustand hat <strong>de</strong>mnach die Bezeichnung 1 S <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Triplet-Zustand die<br />
Bezeichnung 3 S . Die dazugehörigen Niveaus sind 1<br />
S 0 <strong>und</strong> 3<br />
1<br />
21<br />
S .<br />
0<br />
S , die einen energetischen Abstand von<br />
ca. 0.8 eV haben. An dieser Stelle greift eine <strong><strong>de</strong>r</strong> H<strong>und</strong>’schen Regeln. Sie besagt, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> Zustand mit
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> größten Multiplizität die geringste Energie besitzt. Deshalb liegt <strong><strong>de</strong>r</strong> 3 S -Term oberhalb <strong>de</strong>s 1 S -<br />
Terms im Grotrian-Diagramm von Helium.<br />
E in eV 1<br />
S 0<br />
1<br />
P 1<br />
1<br />
D 2<br />
1<br />
F 3<br />
3<br />
S 1<br />
3<br />
P 0,1,2<br />
3<br />
D 1,2,3<br />
3<br />
Der Elektronenkonfiguration 1s2p führt zu <strong>de</strong>n Niveaus<br />
Parität. Auch hier gilt, daß <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
1 o<br />
P -Term.<br />
Auswahlregeln<br />
22<br />
F<br />
2,3,4<br />
P , P <strong>und</strong> P mit jeweils ungera<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
3 o 3 o 3 o<br />
0 1 2<br />
3 o<br />
P -Term eine etwas geringere Energie (ca. 0.25 eV) besitzt als <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Die möglichen Strahlungsübergänge zwischen <strong>de</strong>n Termen von Mehrelektronensystemen wer<strong>de</strong>n<br />
ähnlich wie bei Atomen mit einem Leuchtelektron durch Auswahlregeln eingeschränkt. Im Einzelnen<br />
sind das:<br />
• ∆ J = {0} o<strong><strong>de</strong>r</strong> { − 1, + 1} für Dipol-Übergänge [1.123a-d]<br />
• J = 0 ↔ 0 ist verboten<br />
• ∆ M = {0, − 1, + 1}<br />
J<br />
• Laporte-Regel (nur Übergänge zwischen Termen unterschiedlicher Parität sind erlaubt)<br />
Diese Regeln wer<strong>de</strong>n in <strong><strong>de</strong>r</strong> Natur niemals verletzt weshalb man sie auch als „rigorose Auswahlregeln“<br />
bezeichnet. Bei Quadrupol-Übergängen gibt es weitere Einschränkungen z.B. ∆ J = {0} o<strong><strong>de</strong>r</strong> { ± 1, ± 2} ;<br />
J = 0 ↔ 0 <strong>und</strong><br />
1 1<br />
J = ↔ ist verboten; ∆ M J = {0, ± 1, ± 2} .<br />
2 2
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Folgen<strong>de</strong> Regeln resultieren aus <strong>de</strong>m LS-Schema:<br />
• ∆ S = 0<br />
[1.124a-e]<br />
• ∆ L = {0, − 1, + 1}<br />
• L = 0 ↔ 0 ist verboten<br />
• ∆ l = { − 1, + 1} <strong>und</strong> ∆ n = beliebig für Dipol-Übergänge<br />
• ∆ l = {0, − 2, + 2} <strong>und</strong> ∆ n = beliebig für Quadrupol-Übergänge<br />
Betrachten wir dazu die Auswirkung <strong><strong>de</strong>r</strong> Drehimpulserhaltung bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Absorption eines Photons durch<br />
ein Atom. Befin<strong>de</strong>t es sich im Gr<strong>und</strong>zustand (Drehimpuls verschwin<strong>de</strong>t) <strong>und</strong> absorbiert es in diesem<br />
Zustand ein Photon, <strong>de</strong>ssen Drehimpuls parallel zur Quantisierungsachse orientiert ist, dann muß es<br />
auch <strong>de</strong>ssen Drehimpuls genauso wie <strong>de</strong>ssen Energie vollständig übernehmen (Drehimpuls- <strong>und</strong><br />
Energieerhaltung). Das be<strong>de</strong>utet, daß sich dieses Atom nach <strong>de</strong>m Absorptionsvorgang im gleichen<br />
Drehimpulszustand befin<strong>de</strong>t wie das Photon vor <strong>de</strong>ssen Absorption: L=1, M L = 1.<br />
Der Photonenspin<br />
kann bekanntermaßen die Werte S=1 mit m = {0, ± 1} annehmen (welche die orthogonalen<br />
Polarisationszustän<strong>de</strong> eines klassischen elektromagnetischen Strahlungsfel<strong>de</strong>s bestimmen). Wählt man<br />
die Quantisierungsachse parallel zum Pointingvektor <strong>de</strong>s Strahlungsfel<strong>de</strong>s, dann muß <strong><strong>de</strong>r</strong> Zustand m=0<br />
verschwin<strong>de</strong>n <strong>und</strong> das Strahlungsfeld ist transversal. Die zirkulären Polarisationszustän<strong>de</strong> ergeben sich<br />
in diesem Bild durch eine Kombination <strong><strong>de</strong>r</strong> verbleiben<strong>de</strong>n Spinzustän<strong>de</strong> mit m = ± 1.<br />
Die Konsequenz<br />
für das betrachtete Atom besteht darin, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> Gr<strong>und</strong>zustand nicht entartet ist während <strong><strong>de</strong>r</strong> angeregte<br />
Zustand aus drei Drehimpulszustän<strong>de</strong>n besteht, die <strong>de</strong>n Spinzustän<strong>de</strong>n <strong>de</strong>s Photons entsprechen. Bei<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Wechselwirkung mit zirkular polarisierten Licht wer<strong>de</strong>n <strong>de</strong>shalb bei einem Absorptionsvorgang<br />
jeweils die Drehimpulszustän<strong>de</strong> bevorzugt mit Elektronen bevölkert, <strong>de</strong>ssen Drehimpuls gera<strong>de</strong> <strong>de</strong>m<br />
gesamten Drehimpuls (d.h. Gr<strong>und</strong>zustand plus Photon) entspricht. Aus diesen Überlegungen folgen<br />
sofort die Auswahlregeln (1.124b <strong>und</strong> c) sowie (1.123b).<br />
Für jj-Kopplung muß für eines <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen<br />
• ∆ j = {0, − 1, + 1}<br />
[3.124f]<br />
gelten.<br />
Interkombinationslinien<br />
Das Versagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Russell-Saun<strong><strong>de</strong>r</strong>s-Kopplung bei Elementen mit größerem Z äußert sich im Auftreten<br />
von sogenannten Interkombinationslinien in <strong><strong>de</strong>r</strong>en Spektren. Dabei han<strong>de</strong>lt es sich um Übergänge<br />
zwischen Singulett- <strong>und</strong> Triplettzustän<strong>de</strong>n mit ∆ S = 0 (z.B. Hg:<br />
23<br />
6 S ↔ 6 P bei λ = 253.7 nm ), die<br />
1 3<br />
0 1<br />
gemäß <strong><strong>de</strong>r</strong> LS-Kopplung eigentlich verboten sind. Dieses ursprünglich aus Experimenten abgeleitete<br />
Verhalten wird als Interkombinationsverbot bezeichnet. Es verbietet optische Übergänge zwischen<br />
Energieniveaus unterschiedlicher Multiplizität. Das be<strong>de</strong>utet natürlich nicht, daß es entsprechen<strong>de</strong><br />
Übergänge nicht gibt. Sie sind vielmehr metastabil, d.h. sie können gewöhnlich nicht über<br />
Strahlungsanregung besetzt wer<strong>de</strong>n da Photonen <strong>de</strong>n Spinzustand nicht än<strong><strong>de</strong>r</strong>n können. Technisch<br />
haben sie in <strong><strong>de</strong>r</strong> Laserphysik eine große Be<strong>de</strong>utung, wo sie für <strong>de</strong>n Aufbau von Besetzungsinversionen<br />
verwen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n.
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
In <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong> wer<strong>de</strong>n Interkombinationslinien durch das Ionensymbol <strong>de</strong>s entsprechen<strong>de</strong>n<br />
Elements gefolgt von einer (!) schließen<strong>de</strong>n eckigen Klammer <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge <strong><strong>de</strong>r</strong> emittierten<br />
Strahlung gekennzeichnet:<br />
Hg] (253.7 nm)<br />
CIII] (190.87 nm)<br />
Gewöhnlich wer<strong>de</strong>n in einem Grotriandiagramm <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Übergänge durch eine gestrichelte Linie<br />
dargestellt.<br />
Verbotene Linien<br />
Die Verletzung <strong><strong>de</strong>r</strong> Regeln (1.124b-e) kann die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> möglichen Spektrallinien in<br />
Mehrelektronenspektren beträchtlich erhöhen. Da die Übergänge, die zu <strong><strong>de</strong>r</strong>artigen Linien führen,<br />
unter „normalen“ Laborbedingungen nicht auftreten, spricht man von „verbotenen Linien“. Unter<br />
kosmischen Bedingungen (hohe Temperaturen, äußerst geringe Gasdichten) können sie jedoch schnell<br />
in Spektren - z.B. von Planetarischen Nebeln o<strong><strong>de</strong>r</strong> von manchen kataklysmischen Verän<strong><strong>de</strong>r</strong>lichen -<br />
dominieren <strong>und</strong> damit eine große astrophysikalische Be<strong>de</strong>utung erlangen (Energiebilanz,<br />
Kühlungsmechanismen interstellarer Gas- <strong>und</strong> Staubwolken).<br />
Die An- <strong>und</strong> Abregung erfolgt in diesem Fall weniger unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Einwirkung eines elektromagnetischen<br />
Fel<strong>de</strong>s son<strong><strong>de</strong>r</strong>n in erster Linie durch Stoßprozesse (z.B. druckbedingte Stöße, Elektronenstreuung). Da<br />
die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen <strong>de</strong>n betroffenen Termen um etwa 10 Größenordnungen<br />
geringer sind als bei erlaubten Übergängen, können sich bei geringer Gasdichte <strong>und</strong> entsprechend<br />
geringer Stoßwahrscheinlichkeit die Elektronen auf diesen metastabilen Energieniveaus ansammeln.<br />
Aufgr<strong>und</strong> ihrer absoluten Häufigkeit entstehen so in einem großen Volumen bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Abregung z.T.<br />
sehr intensive Emissionen. Aus ihrer Intensität lassen sich wertvolle Erkenntnisse über die Druck- <strong>und</strong><br />
Temperatur-verhältnisse im jeweiligen Emissionsgebiet gewinnen.<br />
Im grünen Teil <strong>de</strong>s Spektrums erfolgt die maximale Emission <strong>de</strong>s Planetarischen Nebels M57<br />
(Ringnebel) durch verbotene Linien <strong>de</strong>s zweifach ionisierten Sauerstoffatoms bei 495.9 <strong>und</strong> 500.7 nm<br />
24
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Verbotene Emissionen wer<strong>de</strong>n durch eckige Klammern, die <strong>de</strong>n Namen <strong>de</strong>s entsprechen<strong>de</strong>n Ions<br />
umschließen, gekennzeichnet. z.B.<br />
[OIII] (495.9 nm)<br />
[CIII] (190.7 nm)<br />
Verbotene Übergänge führen im Allgemeinen zu schwächeren Emissionslinien als Interkombinationsübergänge.<br />
In <strong><strong>de</strong>r</strong> Praxis wer<strong>de</strong>n aber bei<strong>de</strong> Arten selten sauber getrennt.<br />
Die in <strong>de</strong>n Spektren planetarischer Nebel auftreten<strong>de</strong>n Emissionen bei 495.9 nm <strong>und</strong> 500.7 nm wur<strong>de</strong>n<br />
1864 durch WILLIAM HUGGINS (1824-1910) ent<strong>de</strong>ckt <strong>und</strong> von ihm einen neuen hypothetischen Stoff -<br />
<strong>de</strong>m Nebulium - zugeschrieben. Erst 1927 konnte <strong><strong>de</strong>r</strong> amerikanische <strong>Astrophysik</strong>er IRA SPRAGUE<br />
BOWEN (1898-1973) zeigen, daß es sich bei diesen intensiven Emissionen um verbotene Übergänge<br />
<strong>de</strong>s<br />
2<br />
O + -Ions han<strong>de</strong>lt. Ähnliches ist auch über das „Coronium“ zu berichten, einem „Stoff“, <strong>de</strong>n man<br />
lange Zeit in <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonnenkorona vermutet hat bis En<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> dreißiger Jahre <strong>de</strong>s vorigen Jahrhun<strong><strong>de</strong>r</strong>ts<br />
BENGT EDLE’N (1906-1993) <strong>und</strong> WALTER GROTRIAN (1890-1954) auch diese Emissionen als<br />
„verbotene Linien“ i<strong>de</strong>ntifizieren konnten.<br />
Das Heliumspektrum <strong>und</strong> die Spektren heliumartiger Ionen<br />
Helium ist das zweithäufigste Element im Kosmos. Trotz<strong>de</strong>m wur<strong>de</strong> dieses E<strong>de</strong>lgas erst relativ spät<br />
(1895) von WILLIAM RAMSAY (1852-1916) ent<strong>de</strong>ckt, <strong><strong>de</strong>r</strong> es als Gas aus einem Uranmineral extrahierte<br />
(Helium-Atome entstehen beim α -Zerfall radioaktiver Elemente <strong>und</strong> Isotope). Das liegt u.a. daran,<br />
daß es auf <strong><strong>de</strong>r</strong> Er<strong>de</strong> recht selten ist. Es wird technisch i.d.R. aus Erdgas extrahiert. Interessant ist, daß<br />
eine Spektrallinie im gelben Bereich <strong>de</strong>s optischen Sonnenspektrums bereits einige Jahre vor RAMSAY<br />
(1868) von PIERRE JANSEN <strong>und</strong> kurz danach von NORMAN LOCKYER (1836-1920) im Flashspektrum<br />
ent<strong>de</strong>ckt <strong>und</strong> einem noch unbekanntem Stoff - eben <strong>de</strong>m Helium - (Sonnenstoff) zugeordnet wur<strong>de</strong>.<br />
2<br />
Die Elektronenstruktur von Helium ist im Gr<strong>und</strong>zustand 1s <strong>und</strong> stellt die stabilste E<strong>de</strong>lgaskonfiguration<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Elemente im Perio<strong>de</strong>nsystem dar. In bezug auf ein Elektron im Gr<strong>und</strong>zustand kann<br />
das an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Elektron, das sich in einem höheren energetischen Zustand befin<strong>de</strong>t, seinen Spin entwe<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
parallel (S=1) o<strong><strong>de</strong>r</strong> antiparallel (S=0) zum Gr<strong>und</strong>zustandselektron ausrichten. Für diese bei<strong>de</strong>n<br />
Konfigurationen hat sich die Bezeichnung Parahelium (für S=0) <strong>und</strong> Orthohelium (für S=1)<br />
eingebürgert. Aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>s Pauli-Verbots können sich nur im Parahelium bei<strong>de</strong> Elektronen<br />
gleichzeitig im 1s -Zustand aufhalten.<br />
Die Spektren von Ortho- <strong>und</strong> Parahelium unterschei<strong>de</strong>n sich relativ stark voneinan<strong><strong>de</strong>r</strong> so daß man<br />
anfänglich sogar von zwei verschie<strong>de</strong>nen Stoffen ausgegangen ist. So sind die Linien <strong>de</strong>s Orthoheliums<br />
wegen S=1 <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Spin-Bahn-Wechselwirkung immer Tripletts während Übergänge im Parahelium<br />
zu keiner Feinaufspaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> entsprechen<strong>de</strong>n Linien führen. Außer<strong>de</strong>m liegen die Terme <strong>de</strong>s Triplett-<br />
Systems energetisch tiefer als beim Parahelium so daß sich schon hieraus gravieren<strong>de</strong> Unterschie<strong>de</strong> in<br />
<strong>de</strong>n Spektren ergeben. Die Ursache dafür liegt in <strong>de</strong>n Symmetrieeigenschaften <strong><strong>de</strong>r</strong> Gesamtwellenfunktionen<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> entsprechen<strong>de</strong>n Atome. Deshalb entstehen aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Spinerhaltung<br />
25
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
(Interkombinationsverbot) auch zwei unabhängige Spektralserien, die im Wesentlichen im UV <strong>und</strong> im<br />
IR angesie<strong>de</strong>lt sind.<br />
Beim Helium beobachtet man zum ersten Mal auch metastabile Zustän<strong>de</strong>. Es han<strong>de</strong>lt sich dabei um<br />
Zustän<strong>de</strong>, aus <strong>de</strong>nen heraus die Möglichkeit eines Übergangs in <strong>de</strong>n energetisch bevorzugten<br />
Gr<strong>und</strong>zustand quasi nicht existiert. Es han<strong>de</strong>lt sich dabei z.B. um <strong>de</strong>n Term<br />
um <strong>de</strong>n<br />
26<br />
1<br />
2 S0 im Parazustand <strong>und</strong><br />
3<br />
2 S1 − Term im Orthozustand. Entsprechen<strong>de</strong> Elektronenzustän<strong>de</strong> können aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Auswahlregel für L (1.124) <strong>und</strong> aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>s Interkombinationsverbots nicht auf herkömmliche Art<br />
<strong>und</strong> Weise in <strong>de</strong>n Zustand<br />
1<br />
1 S0 überführt wer<strong>de</strong>n. (verbotener Übergang). Es gibt aber trotz<strong>de</strong>m<br />
Möglichkeiten, die sehr hohe Lebensdauer <strong><strong>de</strong>r</strong>artiger metastabiler Zustän<strong>de</strong> abzukürzen <strong>und</strong> zwar<br />
durch Stöße mit an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Atomen o<strong><strong>de</strong>r</strong> freien Elektronen. Für <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Wechselwirkungen gelten die<br />
Auswahlregeln für elektronische Übergänge nicht mehr.<br />
Helium tritt im Kosmos häufig in ionisierter Form in Erscheinung <strong>und</strong> zwar als einfach ionisiertes HeII<br />
o<strong><strong>de</strong>r</strong> als vollständig ionisiertes HeIII. Letzteres wird auf <strong><strong>de</strong>r</strong> Er<strong>de</strong> als Ergebnis eines α − Zerfalls eines<br />
radioaktiven Atoms beobachtet. Wie zu erwarten, besitzt HeII ein weitgehend wasserstoffähnliches<br />
Linienspektrum mit <strong>de</strong>m Unterschied, daß aufgr<strong>und</strong> von Z=2 die Bindung <strong>de</strong>s Elektrons an <strong>de</strong>n Kern<br />
2<br />
um ca. Z stärker ist als beim neutralen Wasserstoffatom. Der Übergang, <strong><strong>de</strong>r</strong> beim Wasserstoff zur<br />
Lyα -Linie führt <strong>und</strong> damit zur Emission eines Photons <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge 121.6 nm (UV), führt beim<br />
einfach ionisierten Helium zu einem Lichtquant <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge 30.4 nm (EUV). In Absorption fin<strong>de</strong>t<br />
man die korrespondieren<strong>de</strong> Linie z.B. im UV-Spektrum <strong><strong>de</strong>r</strong> interstellaren Materie wo sie ein wichtiger<br />
Indikator zur Bestimmung <strong><strong>de</strong>r</strong> Heliumhäufigkeit im Kosmos außerhalb <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne ist.<br />
Analog zu (1.105) läßt sich für HeII auch eine Serienformel für die Übergänge im optischen Bereich<br />
<strong>de</strong>s elektromagnetischen Spektrums angeben, aus <strong><strong>de</strong>r</strong> sich näherungsweise die Wellenlängen <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Spektrallinien berechnen lassen:<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= 4RHe ⎜ − 2 2 ⎟<br />
λ ⎝ n1 n2<br />
⎠<br />
Die Rydberg-Konstante R He für Helium läßt sich entsprechend (1.104) aus<br />
⎛ M ⎞ He<br />
RHe = ⎜ ⎟ R∝ = 1097.224 m<br />
⎝ M He + me<br />
⎠<br />
bestimmen, wobei man näherungsweise M = 4m<br />
setzen kann.<br />
−1<br />
He p<br />
[1.125]<br />
[1.126]<br />
Man beachte, daß die Linien, die sich aus Übergängen zwischen <strong>de</strong>n Hauptquantenzahlen n 1 = 4 <strong>und</strong><br />
n = {6,8,10,...} ergeben, fast die gleiche Wellenlänge besitzen wie die Wasserstofflinien <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
2<br />
Balmerserie. Deshalb lassen sich bei geringer spektraler Auflösung die Heliumabsorptionen von <strong>de</strong>n<br />
Wasserstoffabsorptionen in <strong>de</strong>n Spektren früher Spektraltypen nur schwer trennen.
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Die optische Linienserie <strong>de</strong>s einfach ionisierten Heliums wur<strong>de</strong> erstmalig von <strong>de</strong>m amerikanischen<br />
Astronomen EDWARD CHARLES PICKERING (1846-1919) im Spektrum <strong>de</strong>s Sterns ξ Puppis ent<strong>de</strong>ckt<br />
<strong>und</strong> wird seit<strong>de</strong>m als Pickering-Serie bezeichnet.<br />
Sie hatte zuerst zu einigen Irritierungen geführt, da die Laufvariable in (1.125) auch halbzahlige Werte<br />
annehmen muß, um die zusätzliche intermediäre Linie zwischen jeweils zwei Linien <strong><strong>de</strong>r</strong> Balmerserie<br />
erklären zu können.<br />
HeII-Absorptionen fin<strong>de</strong>t man aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> hohen Ionisationsenergie von ca. 24 eV nur bei<br />
Spektraltypen früher als O5. Die Feinklassifizierung dieser sehr heißen Sterne erfolgt häufig anhand<br />
<strong>de</strong>s Intensitätsverhältnisses <strong><strong>de</strong>r</strong> HeII-Linie bei 454.1 nm Wellenlänge zur HeI-Linie bei 447.1 nm<br />
wobei man ausnutzt, daß die HeII-Absorption bei steigen<strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur immer effektiver wird<br />
während die Linienstärke <strong><strong>de</strong>r</strong> Linien <strong>de</strong>s neutralen Heliums entsprechend abnehmen.<br />
Während HeII ein wasserstoffartiges Ion ist (ähnlich wie die Alkali-Atome), bezeichnet man Ionen mit<br />
nur zwei Elektronen als heliumartige Ionen. Sie haben in <strong><strong>de</strong>r</strong> astronomischen Spektroskopie eine große<br />
Be<strong>de</strong>utung, da sich aus ihrer Präsenz <strong>und</strong> aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Verteilung ihrer Elektronenzustän<strong>de</strong> wertvolle<br />
Informationen über die physikalischen Verhältnisse ihrer Aufenthaltsorte gewinnen lassen. Sie treten<br />
innerhalb eines großen Temperatur- <strong>und</strong> Dichtebereichs auf <strong>und</strong> sind unter gewissen Bedingungen in<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Lage, sehr intensive Spektrallinien zu erzeugen. Beispiele für <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Ionen sind LiII, NVI,<br />
MgXI, SiXIII, FeXXV o<strong><strong>de</strong>r</strong> OVII. Je schwerer die Ionen sind, <strong>de</strong>sto weiter verschieben sich die<br />
Übergänge in <strong>de</strong>n Gr<strong>und</strong>zustand in <strong>de</strong>n Röntgenbereich. Einige <strong><strong>de</strong>r</strong> intensivsten Emissionslinien im<br />
Röntgenspektrum <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonnenkorona wer<strong>de</strong>n durch heliumartige Ionen hervorgerufen. Bei ihrer<br />
Entstehung spielt nicht nur die Strahlungsanregung, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>s Anregungsprozesse durch<br />
Stoßprozesse (Elektronenstöße) eine wichtige Rolle. Einige Übergänge können überhaupt nur durch<br />
Stöße angeregt wer<strong>de</strong>n, weil für Strahlungsabsorption das Verbot (1.124a) besteht.<br />
Betrachten wir dazu als Beispiel ein angeregtes heliumartiges Ion, <strong>de</strong>ssen Elektron sich im Niveau n=2<br />
aufhält. Zu dieser Hauptquantenzahl gehören die Terme<br />
in das 1<br />
1 S -Niveau kann auf folgen<strong>de</strong> Art <strong>und</strong> Weise erfolgen:<br />
( →) Stoßanregung ( ⇒)<br />
Strahlungsanregung<br />
27<br />
1 o 3 o 3<br />
2 P , 2 P <strong>und</strong> 2 S . Der Strahlungsübergang
1. Resonanzübergang:<br />
1s2 p P ↔ 1s<br />
S<br />
1 2 1<br />
1,2,3 0<br />
2. Interkombinationsübergang:<br />
1s S → 1s2 p P<br />
2 1 3<br />
0 1,2,3<br />
1s S → 1s2s S ⇒ 1s2 p P<br />
2 1 3 3<br />
0 1 1,2,3<br />
1s S → 1s2s S → 1s2 p P<br />
2 1 3 3<br />
0 1 1,2,3<br />
1s2 p P → 1s<br />
S<br />
Strahlungsübergang<br />
3 2 1<br />
1,2,3 0<br />
1s2 p P → 1s2s S<br />
Strahlungsübergang<br />
3 3<br />
1,2,3 1<br />
3. Verbotener Übergang:<br />
1s S → 1s2s S<br />
2 1 3<br />
0 1<br />
1s2s S → 1s<br />
S<br />
Strahlungsübergang<br />
3 2 1<br />
1 0<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Im Fall <strong>de</strong>s astrophysikalisch sehr wichtigen OVII-Tripletts (Plasmadiagnostik) führen diese<br />
Übergänge zu folgen<strong>de</strong>n Emissionen im Röntgenbereich:<br />
Resonanzlinie λ = 2.16 nm W<br />
Interkombinationslinie λ = 2.18 nm X,Y<br />
Verbotene Linie λ = 2.21 nm Z<br />
Die Großbuchstaben W-Z wer<strong>de</strong>n gern in <strong><strong>de</strong>r</strong> Röntgenspektroskopie verwen<strong>de</strong>t, um die<br />
entsprechen<strong>de</strong>n Linien zu kennzeichnen. Aus <strong>de</strong>m Verhältnis <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienstärke zwischen <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Resonanzlinie <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> verbotenen Linie lassen sich sehr genau Informationen über die Elektronendichte<br />
im Emissionsgebiet gewinnen.<br />
Röntgenspektrum <strong>de</strong>s F5 IV-Sterns Prokyon im Bereich <strong>de</strong>s OVII-Tripletts. Von links nach rechts sind<br />
<strong>de</strong>utlich die W, X <strong>und</strong> Y (nicht aufgelöst) <strong>und</strong> Z-Linie zu erkennen. © J.-U.Ness et. al 2000<br />
28
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Ausschnitt aus <strong>de</strong>m Grotriandiagramm <strong>de</strong>s OVII-Ions mit <strong>de</strong>n dazugehörigen Röntgenübergängen.<br />
Spektren <strong><strong>de</strong>r</strong> Wasserstoffionen<br />
Der Wasserstoff kommt in ionisierter Form in zwei verschie<strong>de</strong>nen Arten vor. Einmal als positiv<br />
gela<strong>de</strong>nes Proton (HII) <strong>und</strong> einmal als Wasserstoff-Anion H − (Hydrid-Ion). Letzteres hat in <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Physik <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphären eine große Be<strong>de</strong>utung, da es im Wesentlichen für das Zustan<strong>de</strong>kommen<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> optischen Kontinuumsstrahlung <strong><strong>de</strong>r</strong> sonnenähnlichen Sterne verantwortlich ist.<br />
Um aus einem neutralen Wasserstoffatom ein Elektron zu entfernen, ist eine Energie von min<strong>de</strong>stens<br />
13.6 eV notwendig. Das be<strong>de</strong>utet, daß nur Photonen mit einer Wellenlänge ≤ 91.2 nm (UV) in <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Lage sind, Wasserstoffatome vollständig zu ionisieren. Wolken ionisierten Wasserstoffs treten <strong>de</strong>shalb<br />
nur in <strong><strong>de</strong>r</strong> Nähe sehr heißer Sterne auf, <strong><strong>de</strong>r</strong>en hochenergetische UV-Strahlung in diesen Wolken<br />
4<br />
thermalisiert wird. Das führt dazu, daß die mittlere Temperatur in HII-Wolken ungefähr 10 K erreicht.<br />
Die Rekombination erfolgt kaska<strong>de</strong>nartig <strong>und</strong> die dabei entstehen<strong>de</strong> Strahlung kann im UV-Bereich<br />
(Lyman-Serie) <strong>und</strong> im optischen Bereich (Balmer-Serie) <strong>de</strong>s elektromagnetischen Spektrums<br />
beobachtet wer<strong>de</strong>n.<br />
29
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Die Absorption von Strahlung mit einer Wellenlänge kleiner als <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge <strong><strong>de</strong>r</strong> Lyman-Grenze<br />
bei 91.2 nm führt dazu, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> kosmische Raum überall dort, wo Wasserstoffgas in nennenswerter<br />
Dichte vorkommt, für UV-Strahlung praktisch <strong>und</strong>urchsichtig wird. Die Sonne befin<strong>de</strong>t sich z.Z. in<br />
einem Raumbereich, <strong><strong>de</strong>r</strong> relativ frei von Wasserstoffgas ist. Deshalb können Sterne, die sich z.Z.<br />
innerhalb dieses „lokalen Bubbles“ aufhalten, mit Hilfe von Satelliten auch im EUV erfolgreich<br />
beobachtet wer<strong>de</strong>n.<br />
Ein auf <strong>de</strong>m ersten Blick ungewöhnliches Ion stellt das Hydrid-Ion H − dar. Hier wird <strong><strong>de</strong>r</strong> bei<br />
astronomischen Objekten selten beobachtete Fall realisiert, daß ein Ion einen Überschuß an negativer<br />
Ladung aufweist, während alle sonst astronomisch relevanten Ionen ausschließlich Kationen sind:<br />
− −<br />
H + e → H + γ<br />
Die Bindungsenergie ist mit E B = 0.754 eV sehr gering. Alle Photonen, <strong><strong>de</strong>r</strong>en Wellenlänge unter<br />
λ = 1653 nm liegt, sind in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage, dieses Ion wie<strong><strong>de</strong>r</strong> in <strong>de</strong>n neutralen Zustand zu überführen.:<br />
H + γ → H + e<br />
− −<br />
Dabei geht die überschüssige Energie <strong>de</strong>s Lichtquants in die kinetische Energie <strong>de</strong>s freigesetzten<br />
Elektrons über.<br />
Das ein Wasserstoffatom überhaupt in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage ist, ein weiteres Elektron zu bin<strong>de</strong>n, hängt damit<br />
zusammen, daß das reguläre Elektron ( E B = 13.6 eV) die positive Kernladung nicht vollständig<br />
abschirmen kann. Das erlaubt eine schwache elektromagnetische Bindung eines weiteren Elektrons -<br />
natürlich nur, soweit in <strong><strong>de</strong>r</strong> Umgebung dafür Geeignete vorhan<strong>de</strong>n sind. Insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e in <strong>de</strong>n<br />
Sternatmospären mittlerer Spektraltypen (G, F) existieren solche freien Elektronen in großer Zahl, die<br />
von leicht zu ionisieren<strong>de</strong>n Metallen wie Ca, Na, Mg <strong>und</strong> Fe stammen. Wie 1938 <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>de</strong>utschamerikanische<br />
Astronom RUPERT WILDT (1905-1976) ent<strong>de</strong>ckte, stellen für sonnenähnliche Sterne die<br />
H − -Ionen die dominieren<strong>de</strong> Opazitätsquelle im optischen Wellenlängenbereich dar. Bei sehr heißen<br />
Sternen gibt es dagegen zu wenige neutrale Wasserstoffatome, als daß sich H − -Ionen bil<strong>de</strong>n können.<br />
Bei Sternen später Spektraltypen reichen dagegen die Temperaturen nicht mehr aus, um genügend<br />
viele Metallatome zu ionisieren. Die Elektronendichte ist in diesem Fall einfach zu gering, um<br />
genügend Wasserstoff-Anionen bil<strong>de</strong>n zu können. Das be<strong>de</strong>utet, daß bei einer effektiven Temperatur<br />
unterhalb von ca. 3000 K so gut wie keine H − -Ionen mehr produziert wer<strong>de</strong>n. Das Plasma <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sternatmosphäre kann keine optische Strahlung mehr absorbieren <strong>und</strong> emittieren. Das führt dazu, daß<br />
das Gas in <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre im optischen Bereich nicht mehr länger strahlen kann <strong>und</strong> immer<br />
durchsichtiger wird (d.h. die Opazität nimmt ab). Hat ein Stern erst einmal diese Temperatur erreicht,<br />
dann kann er seine Leuchtkraft nur noch dadurch erhöhen, in <strong>de</strong>m er bei gleichbleiben<strong><strong>de</strong>r</strong> effektiver<br />
Temperatur seine Oberfläche vergrößert. Er wan<strong><strong>de</strong>r</strong>t im HRD in <strong>de</strong>n Riesenast ab.<br />
30
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Spektren molekularer Systeme (Molekülspektren)<br />
Beginnend beim Spektraltyp F3 <strong>und</strong> beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s ausgeprägt ab <strong>de</strong>m Spektraltyp G erscheinen mit<br />
fallen<strong><strong>de</strong>r</strong> effektiver Temperatur immer mehr Gruppen von Absorptionslinien in <strong>de</strong>n Sternspektren, die<br />
von einfachen zweiatomigen Molekülen wie CH, CN, CO, TiO, ZrO <strong>und</strong> VO stammen wobei<br />
insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e die Oxi<strong>de</strong> ungefähr ab <strong>de</strong>m Spektraltyp K5 verstärkt in Erscheinung treten.<br />
Bei <strong>de</strong>n Moleküllinien han<strong>de</strong>lt es sich oft um eine Aneinan<strong><strong>de</strong>r</strong>reihung einer Vielzahl von einzelnen<br />
Linien, die man gewöhnlich als „Band“ bezeichnet. Das CH-Molekül entsteht z.B. in nennenswerter<br />
Menge bereits in <strong>de</strong>n Atmosphären von F3-Sternen <strong>und</strong> bil<strong>de</strong>t (beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s gut sichtbar im Spektrum<br />
sonnenähnlicher Sterne <strong>und</strong> bei Sternen vom Spektraltyp K) bei einer Wellenlänge von ca. 430 nm eine<br />
Absorptionsban<strong>de</strong>, die bei geringer spektraler Auflösung wie eine einzelne Absorptionslinie aussieht.<br />
Diese „Linie“ erhielt 1814 von JOSEPH VON FRAUNHOFER (1787-1826) zur Kennzeichnung <strong>de</strong>n<br />
Großbuchstaben „G“ zugeordnet. Heute spricht man allgemein von <strong><strong>de</strong>r</strong> G-Ban<strong>de</strong> <strong>de</strong>s CH-Moleküls.<br />
Hochaufgelöstes Teilstück <strong>de</strong>s Sonnenspektrums im Bereich <strong>de</strong>s G-Ban<strong>de</strong>s. Ein Großteil <strong><strong>de</strong>r</strong> hier<br />
aufgelösten Absorptionslinien ergeben sich aus Übergängen zwischen <strong>de</strong>n quantisierten Rotations- <strong>und</strong><br />
Vibrationsübergängen <strong>de</strong>s CH-Moleküls.<br />
Es gibt nur relativ wenige Moleküle, die unter <strong>de</strong>n Temperatur- <strong>und</strong> Druckbedingungen einer<br />
Sternatmosphäre über längere Zeit stabil sind. Häufiger fin<strong>de</strong>t man sie in kühlen Regionen <strong>de</strong>s Kosmos<br />
wie z.B. in interstellaren Gas- <strong>und</strong> Staubwolken. Dort können sie sich bei niedrigen Temperaturen <strong>und</strong><br />
abgeschirmt von <strong><strong>de</strong>r</strong> kurzwelligen Strahlung heißer Sterne ansammeln <strong>und</strong> sogenannte Molekülwolken<br />
bil<strong>de</strong>n. Da bei <strong>de</strong>n darin herrschen<strong>de</strong>n Temperaturen um die 20 K nur nie<strong><strong>de</strong>r</strong>energetische Übergänge<br />
möglich sind (z.B. zwischen verschie<strong>de</strong>nen Rotationsfreiheitsgra<strong>de</strong>n), strahlen die Moleküle<br />
hauptsächlich im Mikro- <strong>und</strong> im Radiowellenbereich. Aus diesem Gr<strong>und</strong> ist die Beobachtung <strong>und</strong><br />
I<strong>de</strong>ntifizierung interstellarer Moleküle ein Hauptarbeitsgebiet <strong><strong>de</strong>r</strong> Millimeter- <strong>und</strong> Submillimeterastronomie<br />
gewor<strong>de</strong>n.<br />
31
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
In Sternspektren fin<strong>de</strong>t man naturgemäß fast ausschließlich die Signaturen sehr einfacher Moleküle.<br />
Nur sie können bei Temperaturen oberhalb von 3000 K überleben wobei die Bedingungen für<br />
chemische Verbindungen mit steigen<strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur sehr schnell schlechter wer<strong>de</strong>n. Die folgen<strong>de</strong>n<br />
Ausführungen beschränken sich <strong>de</strong>shalb auf zweiatomige Moleküle, da sie einfach strukturiert sind <strong>und</strong><br />
weil sie sich mittels quantenmechanischer Näherungsmetho<strong>de</strong>n für spektroskopische Zwecke<br />
genügend genau beschreiben lassen. Außer<strong>de</strong>m fin<strong>de</strong>t man nur ihre Linienban<strong>de</strong>n im optischen Bereich<br />
von Sternspektren.<br />
Struktur <strong>und</strong> Beschreibung zweiatomiger Moleküle<br />
Wenn sich zwei Atome gleicher Ordnungszahl (z.B. H2 , O 2 , homonuklear) o<strong><strong>de</strong>r</strong> zwei Atome<br />
unterschiedlicher Ordnungszahl (z.B. CO, TiO , heteronuklear) miteinan<strong><strong>de</strong>r</strong> verbin<strong>de</strong>n, dann bil<strong>de</strong>n sie<br />
zweiatomige Moleküle. Sie gelten per Definition als elektrisch neutral. Wer<strong>de</strong>n Ionen in die<br />
Betrachtung mit einbezogen (was bei astronomischen Fragestellungen häufig <strong><strong>de</strong>r</strong> Fall ist), dann spricht<br />
man besser von molekularen Systemen (z.B. 2 H + ), um sie von <strong>de</strong>n „echten“ Molekülen abzugrenzen.<br />
Die Verbindung einzelner Atome zu Molekülen <strong>und</strong> molekularen Systemen kann auf verschie<strong>de</strong>ne Art<br />
<strong>und</strong> Weise geschehen. Im Zusammenhang mit <strong>de</strong>n hier diskutierten Fragestellungen sind jedoch nur<br />
Verbindungen, bei <strong>de</strong>nen sich die Einzelatome gemeinsame Elektronen in ihrer Hülle teilen, von<br />
Be<strong>de</strong>utung. Man spricht in solchen Fällen von homöopolaren o<strong><strong>de</strong>r</strong> kovalenten Bindungen.<br />
Heteropolare o<strong><strong>de</strong>r</strong> Ionenbindungen, die z.B. für die überwiegen<strong>de</strong> Mehrzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Mineralaggregationen<br />
verantwortlich sind, spielen unter stellaren Bedingungen keine Rolle.<br />
Gr<strong>und</strong>sätzlich gelten die Beschreibungsmetho<strong>de</strong>n, wie man sie für Einzelatome entwickelt hat, auch<br />
für Moleküle. Auch hier ist <strong><strong>de</strong>r</strong> Ausgangspunkt die Schrödingergleichung (1.95). Da jetzt aber mehrere<br />
Atome beteiligt sind, muß <strong><strong>de</strong>r</strong> Hamilton-Operator entsprechend erweitert wer<strong>de</strong>n. Ziel ist es, die<br />
Entstehung von Bindungen zwischen neutralen Atomen (z.B. zwei Wasserstoffatomen o<strong><strong>de</strong>r</strong> zwei<br />
Sauerstoffatomen) zu verstehen <strong>und</strong> die möglichen molekularen Anregungszustän<strong>de</strong> vorherzusagen.<br />
Erschwerend wirkt, daß Moleküle aufgr<strong>und</strong> ihrer räumlichen Struktur neben <strong><strong>de</strong>r</strong> „elektronischen“<br />
Anregung noch weitere Freiheitsgra<strong>de</strong> besitzen, die bei Einzelatomen nicht auftreten können. Es<br />
han<strong>de</strong>lt sich dabei um Schwingungen entlang <strong><strong>de</strong>r</strong> Molekülachsen (Vibrationen) sowie um Rotationen,<br />
die jeweils einen eigenen Beitrag zur Gesamtenergie <strong>und</strong> damit zum Hamilton-Operator liefern:<br />
Eges = Eel + Evib + Erot<br />
[1.127]<br />
Eine exakte Lösung <strong><strong>de</strong>r</strong> Schrödingergleichung ist <strong>de</strong>shalb (selbst für das sehr einfache 2<br />
H + -Ion) nicht<br />
mehr möglich. Es wur<strong>de</strong>n aber im Laufe <strong><strong>de</strong>r</strong> Zeit eine Anzahl von Näherungsmetho<strong>de</strong>n entwickelt, die<br />
trotz<strong>de</strong>m eine durchaus befriedigen<strong>de</strong> theoretische Behandlung von Molekülen <strong>und</strong> molekularen<br />
Systemen ermöglichen. Für zweiatomige Moleküle ist in diesem Zusammenhang insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e die<br />
Born-Oppenheimer Approximation zu nennen.<br />
32
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Die Born-Oppenheimer-Näherung, Molekülorbitale<br />
Die Atomkerne von zweiatomigen Molekülen können im Molekülverb<strong>und</strong> eigene Bewegungen relativ<br />
zueinan<strong><strong>de</strong>r</strong> ausführen. Diese Bewegungen erfolgen aber aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> großen Trägheit <strong><strong>de</strong>r</strong> Kerne<br />
jedoch wesentlich langsamer als die Bewegung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen, die für die Bindung verantwortlich<br />
sind. Aus diesem Gr<strong>und</strong> läßt sich die „Bewegung“ <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen von <strong><strong>de</strong>r</strong> „Bewegung“ <strong><strong>de</strong>r</strong> Kerne<br />
quasi trennen in <strong>de</strong>m man für jeweils einen bestimmten festen Kernabstand d die Schrödingergleichung<br />
für das dazugehörige Coulombpotential löst. Technisch be<strong>de</strong>utet das, daß man <strong>de</strong>n Hamilton-Operator<br />
in zwei Terme aufspalten kann, <strong><strong>de</strong>r</strong>en erster Term die kinetische Energie <strong><strong>de</strong>r</strong> Kernbewegung <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
zweite Term die Energieanteile <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen beinhaltet:<br />
Hˆ = Tˆ + Hˆ<br />
[1.128]<br />
n el<br />
Der elektronische Anteil berücksichtigt dabei sowohl die Wechselwirkungen zwischen <strong>de</strong>n Elektronen<br />
als auch die Wechselwirkung zwischen <strong>de</strong>n Kernen <strong>und</strong> <strong>de</strong>n Elektronen sowie die kinetische Energie<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen..<br />
In solch einem Fall ist es legitim, auch die Gesamtwellenfunktion ψ als Produkt aus einer<br />
„Kernwellenfunktion“ ψ n <strong>und</strong> einer „Elektronenwellenfunktion“ ψ e zu betrachten:<br />
ψ = ψ nψ el<br />
[1.129]<br />
Einsetzen in (1.95) ergibt<br />
( )<br />
Hˆ ψ = Tˆ + Hˆ ψ ψ = Tˆ ψ ψ + Hˆ ψ ψ = Eψ<br />
[1.130]<br />
n el n el n n el el n el<br />
Jetzt kann man für je<strong>de</strong>n Kernabstand d die Elektronenwellenfunktion einzeln ausrechnen:<br />
ˆ<br />
elψ el elψ el<br />
H = E<br />
[1.131]<br />
Führt man diese Rechnungen durch, dann erhält man E el als Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Kernseparation d<br />
(manchmal auch als Bindungslänge bezeichnet)..<br />
Unter Berücksichtigung von (1.131) ergibt sich schließlich aus (1.130) die Schrödingergleichung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Kernwellenfunktion<br />
( )<br />
ˆ<br />
n el ψ n ψ n<br />
T + E = E<br />
[1.132]<br />
E el läßt sich als die potenzielle Energie einer Schwingung <strong><strong>de</strong>r</strong> Atomkerne eines diatomigen Moleküls<br />
interpretieren.<br />
Mit einer weiteren Approximation (Molekül als starrer Rotator) lassen sich zusätzlich noch<br />
Rotationszustän<strong>de</strong> erfassen, <strong><strong>de</strong>r</strong>en Energien gewöhnlich be<strong>de</strong>utend geringer sind als die <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Vibrationszustän<strong>de</strong>.<br />
33
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Betrachten wir im Folgen<strong>de</strong>n zwei Atome A <strong>und</strong> B mit <strong>de</strong>n Kernmassen M A <strong>und</strong> M B sowie <strong>de</strong>n<br />
Kernladungen A Z <strong>und</strong> Z B , die durch einen Abstand d voneinan<strong><strong>de</strong>r</strong> getrennt sind (Kern-Kern-Abstand).<br />
Der gemeinsame Schwerpunkt <strong>de</strong>s Moleküls sei S. Die Vektoren r A <strong>und</strong> r B sollen dann jeweils von S<br />
aus die Positionen <strong><strong>de</strong>r</strong> Atomkerne A <strong>und</strong> B angeben. Die Vektoren, welche die Position <strong><strong>de</strong>r</strong> jeweiligen<br />
Elektronen in Bezug auf S festlegen, wer<strong>de</strong>n im Folgen<strong>de</strong>n zusätzlich durch einen Zahlenin<strong>de</strong>x<br />
gekennzeichnet, wobei i die Elektronen durchnumeriert: r i . Die Abstän<strong>de</strong> zwischen <strong>de</strong>n Elektronen i<br />
<strong>und</strong> <strong>de</strong>n Kernen A <strong>und</strong> B sind dann entsprechend rAi <strong>und</strong> r Bi .<br />
Ausgeschrieben hat die Schrödingergleichung (1.95) für ein zweiatomiges Molekül folgen<strong>de</strong> Form,<br />
wobei N die Gesamtzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen angibt:<br />
⎛ ℏ ℏ ℏ ⎞<br />
⎜ − ∇ − ∇ − ∇ ⎟<br />
= −<br />
⎝ 2M 2M 2m<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
A<br />
2<br />
2<br />
B<br />
2 N<br />
∑<br />
2<br />
i ψ rA rB ri e ψ rA rB ri<br />
A B e i=<br />
1<br />
( , , ) ( E V ) ( , , )<br />
34<br />
[1.133]<br />
Der linke Teil stellt <strong>de</strong>n Operator für die kinetische Energie <strong>de</strong>s Gesamtmoleküls dar. Er besteht aus<br />
einem Anteil, <strong><strong>de</strong>r</strong> die kinetische Energie <strong><strong>de</strong>r</strong> Kernbewegung beschreibt <strong>und</strong> einem Anteil, <strong><strong>de</strong>r</strong> sich aus<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> kinetischen Energie <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen ergibt. Die Indizierung <strong>de</strong>s Laplace-Operators gibt an, auf<br />
welche Koordinaten er anzuwen<strong>de</strong>n ist.<br />
Die Bewegung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen erfolgt innerhalb eines Coulomb-Potentials V e . Dieses Potential muß<br />
die verschie<strong>de</strong>nen Formen <strong><strong>de</strong>r</strong> elektromagnetischen Wechselwirkungen zwischen <strong>de</strong>n einzelnen<br />
gela<strong>de</strong>nen Bestandteilen <strong>de</strong>s Moleküls beschreiben. Das betrifft Kern-Kern-Wechselwirkungen<br />
genauso wie Elektronen-Kern <strong>und</strong> Elektronen-Elektronen-Wechselwirkungen. Allgemein gilt:<br />
V<br />
e<br />
2 N N N N<br />
e ⎛ ri Z A ZB Z A Z ⎞<br />
B<br />
= ⎜ − − +<br />
4π<br />
ε ⎜<br />
⎟<br />
= = r = r = r d ⎟<br />
∑ ∑ ∑ ∑ [1.134]<br />
0 ⎝ i 2 j 1 j i 1 Ai i 1 Bi ⎠<br />
Berechnet man jetzt entsprechend (1.131) <strong>de</strong>n Anteil zur Bestimmung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen-wellenfunktion,<br />
dann ergibt sich:<br />
2 N ⎛ ℏ 2 ⎞<br />
⎜ − ∑∇<br />
i + Ve ⎟ψ<br />
e ri = Eeψ e ri<br />
2me<br />
i=<br />
1<br />
⎝ ⎠<br />
( ) ( )<br />
[1.135]<br />
Um die Energieeigenwerte als Funktion von d zu erhalten, muß diese Gleichung für je<strong>de</strong>n Abstand d<br />
zwischen <strong>de</strong>n Kernen A <strong>und</strong> B gelöst wer<strong>de</strong>n.<br />
Schauen wir uns zuerst die elektronischen Zustän<strong>de</strong> an, wie sie sich aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Lösung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Schrödingergleichung ergeben. Dazu betrachten wir zwei ungeb<strong>und</strong>ene Atome A <strong>und</strong> B, die sich<br />
immer näher kommen (d wird immer kleiner), bis sich aus <strong>de</strong>n separaten Atomorbitalen bei Erreichen<br />
<strong>de</strong>s Gleichgewichtsabstands d = r0<br />
Molekülorbitale ausgebil<strong>de</strong>t haben. Dabei gilt folgen<strong>de</strong><br />
Einschränkung. Besitzen die bei<strong>de</strong>n sich annähern<strong>de</strong>n Atome je ein einfach besetztes Orbital, tritt eine<br />
Aufspaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieterme in jeweils ein „bin<strong>de</strong>n<strong>de</strong>s“ Orbital mit geringer Energie <strong>und</strong> in ein<br />
„antibin<strong>de</strong>n<strong>de</strong>s“ Orbital höherer Energie auf. Bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Ausbildung <strong><strong>de</strong>r</strong> kovalenten Bindung besetzen
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
bei<strong>de</strong> Elektronen das bin<strong>de</strong>n<strong>de</strong> Orbital, wobei Energie frei wird. Die gleiche Energie muß wie<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
aufgewen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n, um die bei<strong>de</strong>n Atome wie<strong><strong>de</strong>r</strong> aus <strong>de</strong>m Molekülverb<strong>und</strong> zu lösen. Man nennt<br />
diesen Energiebetrag Dissoziationsenergie. Wenn sich - wie bei Helium - die bei<strong>de</strong>n Orbitale nicht<br />
energetisch unterschei<strong>de</strong>n, kommt es zu keiner kovalenten Bindung zwischen <strong>de</strong>n Atomen.<br />
Im Fall eines zweiatomigen Moleküls ist das Coulombpotential, unter <strong>de</strong>ssen Einfluß sich die<br />
Elektronen bewegen müssen, offensichtlich nicht mehr zentralsymmetrisch. Insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e wirkt in<br />
Richtung z <strong><strong>de</strong>r</strong> Verbindungslinie <strong><strong>de</strong>r</strong> bei<strong>de</strong>n Atome eine zusätzliche Feldkomponente, die - analog zum<br />
Starkeffekt - zu einer Aufhebung <strong><strong>de</strong>r</strong> Entartung von Energieniveaus führt. Die Nebenquantenzahl l (die<br />
für <strong>de</strong>n Bahndrehimpuls steht) ist <strong>de</strong>shalb keine „gute“ Quanztenzahl mehr. Etwas an<strong><strong>de</strong>r</strong>s sieht es für<br />
die magnetische Quantenzahl m l aus. Für sie ergibt sich (soweit sie sich auf die Kernverbindungslinie<br />
als Vorzugsrichtung bezieht) ein Wertevorrat gemäß<br />
l = m ℏ mit m = { l, l −1, l − 2, ... , − l}<br />
[1.137]<br />
z l l<br />
Im Rahmen <strong>de</strong>s Bohr-Sommerfeldschen Atommo<strong>de</strong>ll kann man sich vorstellen, daß <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Bahndrehimpulsvektor l <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen um die Kernverbindungslinie (= z-Achse) mit <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
gequantelten Komponente (1.137) präzediert. Um diesen Sachverhalt auch a<strong>de</strong>quat in die<br />
Beschreibung von Molekülen einfließen zu lassen, führt man in <strong><strong>de</strong>r</strong> Molekülphysik eine neue<br />
Quantenzahl λ ein, welche quasi die Nebenquantenzahl l <strong><strong>de</strong>r</strong> Atomphysik (zumin<strong>de</strong>st für die<br />
Bindungselektronen) ersetzt:<br />
λ = ml<br />
[1.138]<br />
λ kann nach (1.137) offensichtlich die Werte 0 bis l annehmen. Diese Werte wer<strong>de</strong>n in Analogie zu<br />
<strong>de</strong>n Bezeichnern s, p, d, f, … <strong><strong>de</strong>r</strong> Nebenquantenzahl l mit <strong>de</strong>n griechischen Buchstaben σ , π , δ , φ ,...<br />
bezeichnet. Ein σ -Orbital entspricht <strong>de</strong>mnach einer Wellenfunktion mit λ = 0 <strong>und</strong> m = 0. Es weist<br />
als einziges Molekülorbital keine Entartung auf, während alle Molekülorbitale mit λ > 0 gemäß<br />
(1.138) zweifach entartet sind. Aus <strong>de</strong>m Pauliprinzip folgt <strong>de</strong>shalb, daß ein σ -Orbital maximal 2<br />
Elektronen <strong>und</strong> alle an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Zustän<strong>de</strong> 4 Elektronen aufnehmen können.<br />
Um <strong>de</strong>n Quantenzustand eines zweiatomigen Moleküls mit genau einem Valenzelektron anzugeben,<br />
sind <strong>de</strong>mnach die Quantenzahlen n, λ <strong>und</strong> ml im Prinzip ausreichend. In <strong><strong>de</strong>r</strong> Bezeichnung <strong><strong>de</strong>r</strong> Terme<br />
wird oftmals noch ein In<strong>de</strong>x eingeführt, welcher angibt, aus welchem Einzelatom sich <strong><strong>de</strong>r</strong> jeweilige<br />
Term ergeben hat. Beim Wasserstoffmolekül erhält man z.B. folgen<strong>de</strong> Molekülorbitale, die sich in<br />
ihrer Parität unterschei<strong>de</strong>n:<br />
σ 1s → σ 1s + σ 1s<br />
bin<strong>de</strong>n<strong><strong>de</strong>r</strong> Zustand<br />
A B<br />
o<br />
σ 1s → σ 1s − σ 1s<br />
nichtbin<strong>de</strong>n<strong><strong>de</strong>r</strong> Zustand<br />
A B<br />
Sind an <strong><strong>de</strong>r</strong> Bindung mehrere Valenzelektronen beteiligt, dann kombinieren sich entsprechend <strong>de</strong>s LS-<br />
bzw. jj-Schemas die Einzeldrehimpulse <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen zu einem Gesamtdrehimpuls. In <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Molekülphysik wer<strong>de</strong>n mehrere Kopplungsfälle unterschie<strong>de</strong>n, von <strong>de</strong>nen an dieser Stelle nur <strong><strong>de</strong>r</strong> Fall<br />
erwähnt wer<strong>de</strong>n soll, wo die Größen s (Spin) <strong>und</strong> l (Bahndrehimpuls) an die Molekülachse (= z-Achse)<br />
35<br />
l
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
gekoppelt sind. Die Projektionen <strong><strong>de</strong>r</strong> Drehimpulse addieren sich unter dieser Bedingung algebräisch<br />
zur Projektion <strong>de</strong>s Gesamtdrehimpulses:<br />
L z = ± Λ ℏ mit Λ = ∑ ( ± λi<br />
)<br />
[1.139]<br />
i<br />
Analog zur Russel-Saun<strong><strong>de</strong>r</strong>s-Kopplung wer<strong>de</strong>n die jeweils zu Λ gehören<strong>de</strong>n Terme mit (griechischen)<br />
Großbuchstaben bezeichnet, wobei folgen<strong>de</strong> Zuordnung gilt:<br />
Λ: 0 1 2 3<br />
Σ Π Λ ∆<br />
Auch hier sind alle Zustän<strong>de</strong> ab Λ = 1 zweifach entartet.<br />
Wie bei <strong>de</strong>n Atomen wer<strong>de</strong>n Großbuchstaben zur Kennzeichnung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronenzustän<strong>de</strong> <strong>und</strong><br />
Kleinbuchstaben zur Kennzeichnung <strong><strong>de</strong>r</strong> Orbitale verwen<strong>de</strong>t. So be<strong>de</strong>utet z.B. 3 Π ein Zustand mit<br />
S=1 <strong>und</strong> Λ = 1. Der hochgestellte In<strong>de</strong>x 3 (Multiplizität) kennzeichnet dabei <strong>de</strong>n resultieren<strong>de</strong>n Spin S:<br />
*<br />
S = S ℏ mit<br />
= { , −1,..., − }<br />
[1.140]<br />
*<br />
S S S S<br />
*<br />
wobei S die Projektion auf z darstellt. Je nach Elektronenzahl nimmt<br />
Werte an. Die Multiplizität, die zu je<strong>de</strong>m durch Λgegebenen Zustand gehört, ist durch<br />
36<br />
*<br />
S ganz- o<strong><strong>de</strong>r</strong> halbzahlige<br />
Multiplizität = 2S+1 [1.141]<br />
gegeben. Das be<strong>de</strong>utet, daß es infolge <strong><strong>de</strong>r</strong> Kopplung zwischen L <strong>und</strong> S zu einer Aufspaltung <strong>de</strong>s zu<br />
einem bestimmten Λ-Wert gehören<strong>de</strong>n Terms in ein Multiplett von (1.141)-Termen kommen muß.<br />
Diese Terme unterschei<strong>de</strong>n sich durch die Quanztenzahl <strong>de</strong>s resultieren<strong>de</strong>n elektronischen<br />
Drehimpulses (in z-Richtung gemessen):<br />
*<br />
Ω = Λ + S<br />
[1.142}<br />
Diese Größe beschreibt nicht (wie bei einem Atom) <strong>de</strong>n Gesamtdrehimpuls, da <strong><strong>de</strong>r</strong> Anteil, <strong><strong>de</strong>r</strong> sich aus<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Rotation ergibt („Hantel-Drehimpuls“ N bei einem zweiatomigen Molekül) nicht berücksichtigt<br />
wird. Der Gesamtdrehimpuls J kann vielmehr aus <strong><strong>de</strong>r</strong> vektoriellen Addition <strong>de</strong>s Hanteldrehimpulses N<br />
mit <strong>de</strong>m <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen Ω berechnet wer<strong>de</strong>n:<br />
J = N + Ω [1.143]<br />
Bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Bezeichnung <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieterme in einem Molekül hat man sich an <strong><strong>de</strong>r</strong> Bezeichnungsweise <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Terme in Atomen orientiert (siehe 8.122):<br />
( )<br />
Term = Λ [1.144]<br />
2S + 1 parität<br />
Ω<br />
Die Multiplizität wird als linker oberer In<strong>de</strong>x an das Λ-Termsymbol geschrieben. Der rechte unteren<br />
In<strong>de</strong>x stellt <strong>de</strong>n resultieren<strong>de</strong>n Drehimpuls um die Kernverbindungslinie dar <strong>und</strong> wird oft weggelassen.
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Nicht alle <strong>de</strong>nkbaren elektronischen Übergänge zwischen <strong>de</strong>n einzelnen Molekültermen sind<br />
möglich. Sie wer<strong>de</strong>n - wie auch bei Einzelatomen - durch Auswahlregeln eingeschränkt.<br />
Insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e gilt:<br />
∆Λ = {0, + 1, −1}<br />
∆ S = {0}<br />
Bei (zumin<strong>de</strong>st leichten) Molekülen gilt <strong>de</strong>mnach auch das Interkombinationsverbot.<br />
37<br />
[1.145]<br />
Zum Abschluß dieses Kapitels soll nur noch kurz auf <strong>de</strong>n in <strong><strong>de</strong>r</strong> Molekülphysik wichtigen Begriff <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Hybridisierung eingegangen wer<strong>de</strong>n. Sie spielt eine beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s wichtige Rolle in <strong><strong>de</strong>r</strong> organischen<br />
Chemie, da sie maßgeblich die räumliche Struktur mehratomiger organischer Moleküle bestimmt. Man<br />
versteht darunter sogenannte „gerichtete“ Atomorbitale, die sich rein mathematisch z.B. durch<br />
Mischung von s- <strong>und</strong> p-Orbitalen am gleichen Atom ergeben. So lassen sich aus <strong>de</strong>n vier<br />
Wellenfunktionen 2s sowie 2px, 2py <strong>und</strong> 2pz insgesamt vier äquivalente sp3-Hybridorbitale<br />
konstruieren, die nach <strong>de</strong>n Ecken eines Tetrae<strong><strong>de</strong>r</strong>s ausgerichtet sind.<br />
Vibrationsübergänge<br />
Zweiatomige Moleküle können entlang ihrer Bindungsachse Schwingungen (Vibrationen) ausführen.<br />
Das ist leicht verständlich, wenn man sich die Potentialkurven V(r), d.h. die Energie in Abhängigkeit<br />
<strong>de</strong>s Abstan<strong>de</strong>s r <strong><strong>de</strong>r</strong> bei<strong>de</strong>n das Molekül bil<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Atome, anschaut.<br />
Potentialkurven für einige elektronische Zustän<strong>de</strong> eines zweiatomigen Moleküls
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Offensichtlich ähneln die Potentialkurven im Bereich ihres Minimums <strong>de</strong>m Potential eines<br />
harmonischen Oszillators. Wählt man ein Koordinatensystem, in <strong>de</strong>m das Atom A ruht, dann kann die<br />
Positionsän<strong><strong>de</strong>r</strong>ung <strong>de</strong>s Atoms B als Schwingung um die Gleichgewichtslage, die <strong>de</strong>m Minimum <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Funktion V(r) entspricht, beschrieben wer<strong>de</strong>n. Diese Gleichgewichtslage ist durch <strong>de</strong>n<br />
„Molekülabstand“ r 0 gegeben, <strong><strong>de</strong>r</strong> wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um von <strong>de</strong>m jeweiligen elektronischen Zustand abhängt<br />
(siehe Abbildung). Jetzt verschieben wir die Ordinate <strong>de</strong>s Koordinatensystems <strong><strong>de</strong>r</strong>art, daß sie genau<br />
durch r 0 geht <strong>und</strong> die Bewegung relativ zu diesen Punkt durch die neue Variable<br />
x<br />
r − r<br />
r<br />
0 = [1.146]<br />
0<br />
gemessen wird. In diesem Fall kann man das Potential V ( x ) wie folgt schreiben:<br />
k 2 2<br />
V ( x) = E + r0 x<br />
[1.147]<br />
2<br />
(k „Bindungskraftkonstante“= Rückstellkraft)<br />
Die Lösung <strong><strong>de</strong>r</strong> zu diesem Potential gehören<strong>de</strong>n Schrödingergleichung liefert - wie zu erwarten - einen<br />
diskreten Satz von Energieeigenwerten E n , die das Potential mit einem äquidistanten Abstand<br />
auffüllen:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
En = hν 0 ⎜ + n⎟<br />
⎝ 2 ⎠ [1.148]<br />
wobei ν 0 die Eigenfrequenz <strong>de</strong>s Gr<strong>und</strong>zustan<strong>de</strong>s <strong>und</strong> n die diskrete Schwingungsquantenzahl<br />
n={0,1,2,..} darstellt (bitte im Folgen<strong>de</strong>n nicht mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n atomarer Zustän<strong>de</strong><br />
verwechseln). Deshalb ergibt sich aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Auswahlregel ∆ n = ± 1 auch nur eine<br />
Strahlungsfrequenz beim Übergang benachbarter Vibrationsniveaus.<br />
Bei einem realen Molekül sind die Verhältnisse natürlich weitaus komplizierter. So kann z.B. bei<br />
einem realen Molekül <strong><strong>de</strong>r</strong> Kernabstand niemals <strong>de</strong>n Wert r=0 erreichen. Dehnt man dagegen das<br />
Molekül, dann darf <strong><strong>de</strong>r</strong> linke Ast <strong><strong>de</strong>r</strong> Potentialkurve selbstverständlich nicht ins Unendliche gehen,<br />
son<strong><strong>de</strong>r</strong>n muß sich asymptotisch <strong><strong>de</strong>r</strong> Dissoziationsenergie E diss annähern.<br />
Ein Potential, welches ungefähr diesen Bedingungen genügt, ist das sogenannte Morse-Potential (nach<br />
PHILIP MCCORD MORSE, 1903-1985):<br />
( ( ) ) 2<br />
0<br />
( ) 1 exp ( )<br />
V r = E + E − −a r − r<br />
[1.149]<br />
diss<br />
(a Parameter, <strong><strong>de</strong>r</strong> u.a. von <strong><strong>de</strong>r</strong> reduzierten Masse <strong>de</strong>s Moleküls abhängt. Er wird manchmal als Steife-<br />
Parameter bezeichnet <strong>und</strong> in<br />
1<br />
m − gemessen.)<br />
38
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Morse-Potential zur Mo<strong>de</strong>llierung <strong>de</strong>s Potentialverlaufs eines diatomigen Moleküls © B.M. Tissue<br />
Die Be<strong>de</strong>utung <strong>de</strong>s Morse-Potential besteht darin, daß sich mit diesem Potentialansatz die<br />
Schrödingergleichung (3.136) exakt lösen läßt. In diesem Fall erhält man für die Energieeigenwerte:<br />
2<br />
2 2<br />
⎛ 1 ⎞ h ν 0 ⎛ 1 ⎞<br />
En = hν 0 ⎜ + n⎟ − ⎜ + n⎟<br />
⎝ 2 ⎠ 4E ⎝ 2 ⎠ [1.150]<br />
diss<br />
Wie man leicht erkennt, füllen die Energieniveaus das Potential nicht mehr mit äquidistanten Abstand<br />
aus, d.h., daß die Abstän<strong>de</strong> zwischen <strong>de</strong>n Vibrationsniveaus mit wachsen<strong>de</strong>m n abnehmen. Im<br />
Gegensatz zum harmonischen Oszillator ergeben sich für Vibrationsübergänge folgen<strong>de</strong><br />
Auswahlregeln:<br />
∆ n = { ± 1, ± 2, ± 3, ...}<br />
[1.151]<br />
Man beachte außer<strong>de</strong>m, daß aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>ssen, daß für das Potenteial (1.149) ein rechtsseitiger<br />
Grenzwert existiert (die Dissiziationsenergie diss<br />
E ), die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieniveaus im Potential endlich<br />
ist. Weiter folgt daraus, daß im Fall eines Morsepotentials die maximale Vibrationsenergie<br />
offensichtlich <strong><strong>de</strong>r</strong> Dissoziationsenergie entsprechen muß.<br />
39
Rotationsübergänge<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Rotation <strong>und</strong> Vibration sind bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Analyse von Molekülspektren immer als Einheit zu betrachten. Da<br />
sich bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Anregung eines Vibrationsniveaus <strong><strong>de</strong>r</strong> mittlere Abstand zwischen <strong>de</strong>n Atomen A <strong>und</strong> B<br />
än<strong><strong>de</strong>r</strong>t, an<strong><strong>de</strong>r</strong>t sich <strong>de</strong>mentsprechend auch das Trägheitsmoment <strong>de</strong>s Moleküls auf diskrete Art <strong>und</strong><br />
Weise. Das hat wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um Auswirkungen auf das Rotationsverhalten, <strong>de</strong>ssen wichtigste Kenngröße in<br />
diesem Zusammenhang die Rotationsenergie E rot ist:<br />
I<br />
E ω<br />
2<br />
2<br />
rot = [1.152]<br />
I ist das Trägheitsmoment <strong>de</strong>s Moleküls <strong>und</strong> ω die Winkelgeschwindigkeit. Diese aus <strong><strong>de</strong>r</strong> klassischen<br />
Mechanik bekannte Formel muß natürlich modifiziert wer<strong>de</strong>n, damit sie sich auf ein<br />
quantenmechanisches Objekt anwen<strong>de</strong>n läßt. Da man ein zweiatomiges Molekül aufgr<strong>und</strong> seiner<br />
Hantelform als starren Rotator mit zwei Rotationsfreiheitsgra<strong>de</strong>n ansehen kann (da das<br />
Trägheitsmoment um die Kernverbindungslinie nahezu 0 ist, spielt dieser (dritte) Freiheitsgrad für die<br />
weiteren Betrachtungen keine Rolle), gilt für das jeweils zu diesen zwei Freiheitsgra<strong>de</strong>n gehören<strong>de</strong><br />
Trägheitsmoment<br />
m m<br />
=<br />
m + m<br />
A B 2<br />
I d<br />
A B<br />
40<br />
[1.153]<br />
wobei <strong><strong>de</strong>r</strong> Faktor vor <strong>de</strong>m Kernabstand d die reduzierte Masse µ <strong>de</strong>s Moleküls aus <strong>de</strong>n Atomen A <strong>und</strong><br />
B darstellt. Aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Schrödingergleichung folgt in diesem Fall für <strong>de</strong>n Drehimpuls p <strong>de</strong>s Moleküls:<br />
( 1)<br />
p = ℏ J J + = I ω = L<br />
[1.154]<br />
J ist dabei die Quantenzahl <strong>de</strong>s gesamten molekularen Drehimpulses (Rotationsquantenzahl), <strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
Wertevorrat durch<br />
J={0,1,2,3, …} [1.155]<br />
gegeben ist. Analog zur Drehimpulsquantisierung beim Atom kann man auch hier eine Art von<br />
magnetischer Quantenzahl mJ einführen, welche die z-Komponente <strong>de</strong>s Gesamtdreh-impulses L<br />
bestimmt:<br />
m = { + , −1,..., − }<br />
J<br />
J J J , z J<br />
L = ℏ m<br />
[1.156]<br />
Setzt man (1.154) in (1.152) ein, dann erhält man für die Rotationsenergie in bezug auf die zwei<br />
Rotationsachsen mit nichtverschwin<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Trägheitsmoment I<br />
2<br />
ℏ<br />
Erot = J J +<br />
2 I<br />
( 1)<br />
[1.157]<br />
Das be<strong>de</strong>utet, daß (ähnlich wie bei einem Atom) ein Energieniveau in bezug auf die dazugehörigen<br />
Rotationsniveaus (2 J+1) -fach entartet ist <strong>und</strong> damit die Übergänge zwischen diesen Niveaus zu einem
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Spektrum führen müssen, bei <strong>de</strong>nen bei Präsenz von elektrischen o<strong><strong>de</strong>r</strong> magnetischen Fel<strong><strong>de</strong>r</strong>n eine<br />
entsprechen<strong>de</strong> Aufspaltung in Einzellinien zu beobachten ist. Die Energiedifferenzen, die sich<br />
zwischen <strong>de</strong>n einzelnen Rotationszustän<strong>de</strong>n ergeben, liegen dabei in <strong><strong>de</strong>r</strong> Größenordnung von einigen<br />
Tausendstel bis Hun<strong><strong>de</strong>r</strong>ttausendstel eV. Das erklärt, warum Rotationsübergänge fast ausschließlich im<br />
Mikrowellenbereich <strong>de</strong>s elektromagnetischen Spektrums auftreten. Zum Abschluß soll noch darauf<br />
hingewiesen wer<strong>de</strong>n, daß wenn J=0 ist nach (1.157) auch E rot = 0 ist. Für die Rotation gibt es<br />
<strong>de</strong>mnach keine Nullpunktsenergie.<br />
Aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Quantisierung <strong><strong>de</strong>r</strong> Rotationsenergie folgt weiter die Auswahlregel<br />
∆ J = ± 1<br />
[1.158]<br />
<strong>und</strong> damit für das Spektrum<br />
2<br />
−1<br />
⎛ ⎞<br />
( ( ) )<br />
ℏ<br />
λ ( J ) = ⎜ J J + 1) − ( J −1)<br />
J ⎟<br />
⎝ 2 I<br />
⎠<br />
Es besteht aus äquidistanten Linien mit einem jeweiligen Abstand von<br />
2π c<br />
∆ λ = I<br />
ℏ<br />
41<br />
[1.159]<br />
[1.160]<br />
Lediglich für sehr große J macht sich schwach ein durch Zentrifugalkräfte verursachter Effekt<br />
bemerkbar, <strong><strong>de</strong>r</strong> dazu führt, daß die Linienabstän<strong>de</strong> ganz langsam abnehmen. In <strong><strong>de</strong>r</strong> astronomischen<br />
Spektroskopie hat dieser Effekt keine Be<strong>de</strong>utung <strong>und</strong> ist nicht einmal nachweisbar.<br />
Vibrations- Rotationsspektren<br />
Schon eine einfache Rekapitulation <strong><strong>de</strong>r</strong> in <strong>de</strong>n bei<strong>de</strong>n vorangegangenen Kapiteln beschriebenen<br />
Zusammenhänge zeigt, daß die Vibrations- <strong>und</strong> Rotationsenergiezustän<strong>de</strong> nicht unabhängig<br />
voneinan<strong><strong>de</strong>r</strong> betrachtet wer<strong>de</strong>n können. Eine Anregung eines Schwingungsfreiheitsgra<strong>de</strong>s führt zu<br />
einer Vergrößerung <strong>de</strong>s mittleren Abstan<strong>de</strong>s <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome in <strong>de</strong>m Molekül <strong>und</strong> än<strong><strong>de</strong>r</strong>t damit <strong>de</strong>ssen<br />
Massenträgheitsmoment. Das wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um hat nach (1.157) einen direkten Einfluß auf die<br />
Rotationsenergieniveaus. Die Auswahlregel ∆ J = ± 1 erzwingt darüber hinaus, daß mit je<strong><strong>de</strong>r</strong> Vibration<br />
auch eine Rotation angeregt wird was streng für alle heteronuklearen zweiatomigen Moleküle (wie z.B.<br />
CO, TiO) gilt.<br />
Von Be<strong>de</strong>utung ist, daß die Anregungsenergien für Rotationszustän<strong>de</strong> relativ klein sind. Eine<br />
Absorption erfolgt genau dann, wenn die Frequenz <strong>de</strong>s zu absorbieren<strong>de</strong>n Lichtquants mit <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
sogenannten Rotationszahl R<br />
ν (die sich aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Energie <strong>de</strong>s Rotationsniveaus ergibt) übereinstimmt.<br />
Bei <strong>de</strong>n astronomisch interessanten Molekülen liegen diese Frequenzen im fernen Infrarot sowie (bei<br />
Molekülen mit größeren I ) im Mikrowellenbereich. Sie eignen sich <strong>de</strong>shalb beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s gut zur<br />
Untersuchung <strong><strong>de</strong>r</strong> thermischen Verhältnisse in Stern-entstehungsgebieten sowie in kühlen<br />
Hüllenbereichen ausge<strong>de</strong>hnter Riesensterne.
Vibration-Rotationsspektrum von HBr-Molekülen<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Das Vibrationsspektrum von heteronuklearen zweiatomigen Molekülen weist eine typische<br />
Rotationsstruktur auf, die sich in zwei Bereiche, die symmetrisch zueinan<strong><strong>de</strong>r</strong> liegen, aufteilt.<br />
Betrachten wir dazu zwei übereinan<strong><strong>de</strong>r</strong>liegen<strong>de</strong> Vibrationsniveaus, <strong>de</strong>nen jeweils einige<br />
Rotationsquantenzahlen J’ (oberer Term) <strong>und</strong> J“ (unterer Term) zugeordnet sind. Der Bereich mit<br />
∆ J = − 1 ist <strong><strong>de</strong>r</strong> sogenannte P-Zweig (hier gilt J’=J“-1 ) während man <strong>de</strong>n Bereich mit ∆ J = + 1 als R-<br />
Zweig ( J’=J“+1 ) bezeichnet. Die als Symmetrieache dienen<strong>de</strong> Null-Linie ( ∆ J = 0 , „Q-Zweig“) fehlt<br />
meist (es gibt Ausnahmen).<br />
42
Absorption <strong>und</strong> Emission elektromagnetischer Strahlung<br />
Für die Energiedifferenzen R E ∆ bei Übergängen zwischen zwei unterschiedlichen Rotationsniveaus<br />
ergibt sich:<br />
' ' '' ''<br />
( ( 1) ( 1)<br />
)<br />
2<br />
ℏ<br />
∆ Erot = J J + − J J +<br />
2 I<br />
43<br />
[1.161]<br />
Dieses Ergebnis wie<strong><strong>de</strong>r</strong>spiegelt sofort die Äquidistanz <strong><strong>de</strong>r</strong> Rotationslinien was z.B. leicht zu erkennen<br />
ist, wenn man die Auswahlregel J’=J“+1 in die Gleichung einsetzt.<br />
Beispiele astronomisch relevanter Moleküle<br />
Im optischen Bereich von Sternspektren fin<strong>de</strong>t man gewöhnlich nur wenige Spektrallinien bzw.<br />
Ban<strong>de</strong>n, die auf Moleküle in Sternatmosphären hinweisen. Störend machen sich aber manchmal die<br />
Absorptionsban<strong>de</strong>n <strong>de</strong>s atmosphärischen Sauerstoffs (A-Ban<strong>de</strong>, λ = 760 bis 780 nm) <strong>und</strong> <strong>de</strong>s<br />
Wasserdampfes (z.B. λ = 1.34 - 1.45 µ m ) bei spektroskopischen Untersuchungen bemerkbar, welche<br />
die Sternspektren überlagern. Sie sind z.B. <strong>de</strong>utlich im roten Bereich <strong>de</strong>s Sonnenspektrums<br />
auszumachen - vorausgesetzt, es wur<strong>de</strong> von <strong><strong>de</strong>r</strong> Erdoberfläche aus aufgenommen.<br />
Die Präsenz von Molekülen erwartet man bei kühlen Sternen bzw. bei Sternen, die mit einer kühleren<br />
Gas- <strong>und</strong> Staubwolke umgeben sind, wie es z.B. bei jungen Protosternen <strong><strong>de</strong>r</strong> Fall ist. Beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s günstig<br />
für die Entstehung von teilweise sehr komplexen Molekülen sind kalte (T~20 K) interstellare Gas- <strong>und</strong><br />
Staubwolken, die man <strong>de</strong>shalb auch als „Molekülwolken“ bezeichnet. Aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> geringen<br />
Anregungsenergien lassen sie sich beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s gut mit <strong>de</strong>n Metho<strong>de</strong>n <strong><strong>de</strong>r</strong> Mikrometer- <strong>und</strong><br />
Millimeterastronomie beobachten, da die meisten Rotationsübergänge <strong><strong>de</strong>r</strong> darin vorkommen<strong>de</strong>n<br />
Moleküle in diesem Wellenlängenbereich stattfin<strong>de</strong>n. Außer<strong>de</strong>m sind kühlen Molekülwolken<br />
kosmogonisch außeror<strong>de</strong>ntlich interessant, da in ihnen neue Sterne <strong>und</strong> Planeten entstehen.<br />
Obwohl H 2 -Moleküle die weitaus meisten Teilchen in interstellaren Molekülwolken stellen (auf ca.<br />
10000 Wasserstoffmoleküle kommt ein Kohlenmonoxidmolekül), sind entsprechen<strong>de</strong> elektronische<br />
Absorptionsban<strong>de</strong>n nur sehr schwer <strong>und</strong> dann auch nur außerhalb <strong><strong>de</strong>r</strong> Erdatmosphäre zu beobachten,<br />
da sie sich im UV-Bereich ( λ 100 nm bis 110 nm) befin<strong>de</strong>n. Vibrationsban<strong>de</strong>n (in Emission) fin<strong>de</strong>t<br />
man dagegen im sichtbaren Rot bis zum mittleren Infrarot ( λ ~ 28.2 µ m ). Aber auch ihre<br />
Beobachtung erweist sich in <strong><strong>de</strong>r</strong> Praxis als technisch anspruchsvoll.<br />
Aufgr<strong>und</strong> seiner Symmetrie gehört das Wasserstoffmolekül H 2 bekanntlich zu <strong>de</strong>n homöopolaren<br />
Molekülen. Es besitzt also kein permanentes Dipolmoment wie z.B. das CH-Molekül. Deshalb sind<br />
elektronische Übergänge, bei <strong>de</strong>nen sich J um ± 1 än<strong><strong>de</strong>r</strong>t, verboten. Erlaubt sind dagegen Übergänge<br />
mit J=0 <strong>und</strong> J= ± 2. Für Vibrationsübergänge gelten <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Einschränkungen jedoch nicht, da sie<br />
unabhängig von <strong><strong>de</strong>r</strong> Drehimpulsquantenzahl J sind.<br />
Ein sehr wichtiger Übergang in diesem Zusammenhang ist z.B. <strong><strong>de</strong>r</strong> von J=3 nach J=1 unter Än<strong><strong>de</strong>r</strong>ung<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Vibrationsquantenzahl von n=1 nach n=0. Dabei wird eine IR-Linie bei λ = 2.12 µ m emittiert. Da<br />
sie in einem IR-Spektrum meist sehr gut auflösbar ist, gehört sie zu <strong>de</strong>n am besten untersuchten
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Moleküllinien <strong>de</strong>s interstellaren molekularen Wasserstoffs. Über ihre Intensität läßt sich z.B. die<br />
Verteilung von Wasserstoffmolekülen in einem Gasnebel erforschen.<br />
Aber auch in bestimmten Sternatmosphären können sich u.U. Wasserstoffmoleküle bil<strong>de</strong>n, die aber<br />
nicht stabil sind <strong>und</strong> <strong>de</strong>shalb besser als Quasimoleküle bezeichnet wer<strong>de</strong>n. Ihre Entstehung kann man<br />
sich in etwa wie folgt vorstellen: Unter gewissen Temperatur- <strong>und</strong> Druckverhältnissen kommt es in<br />
einer Sternatmosphäre öfters vor, daß zwei Wasserstoffatome sehr nahe beieinan<strong><strong>de</strong>r</strong> vorbeifliegen ohne<br />
sich bin<strong>de</strong>n zu können. Genau zu diesem Zeitpunkt kann das System jedoch ein eventuell vorhan<strong>de</strong>nes<br />
Strahlungsquant passen<strong><strong>de</strong>r</strong> Energie absorbieren <strong>und</strong> eines <strong><strong>de</strong>r</strong> bei<strong>de</strong>n Elektronen anregen. Da es dafür<br />
verschie<strong>de</strong>ne Möglichkeiten über einen größeren Energiebereich gibt (Streuung <strong><strong>de</strong>r</strong> Kerndistanzen<br />
während <strong><strong>de</strong>r</strong> Absorptionsvorgänge), wird man entsprechend stark gestreckte Einsenkungen im UV-<br />
Bereich <strong>de</strong>s Spektrums erwarten können. Beobachtungen mit <strong>de</strong>m International Ultraviolet Explorer<br />
(IUE) haben z.B. solche Einsenkungen im Bereich um λ = 160 nm bei bestimmten Weißen<br />
Zwergsternen nachgewiesen. Begegnen sich dagegen ein neutrales <strong>und</strong> ein ionisiertes<br />
Wasserstoffatom, dann entsteht kurzzeitig ein 2 H + -Quasimolekül mit einer etwas an<strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
spektroskopischen Signatur um 106 <strong>und</strong> 140 nm. Auch diese Absorptionen ließen sich in <strong>de</strong>n<br />
Atmosphären einiger heißer Weißer Zwergsterne zweifelsfrei nachweisen.<br />
Ein gera<strong>de</strong> für die Untersuchung von Sternentstehungsprozessen außergewöhnlich wichtiges Molekül<br />
ist das <strong>de</strong>s Kohlenmonoxids CO. Da seine Rotationsfreiheitsgra<strong>de</strong> durch Stöße mit an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Molekülen<br />
(insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e H 2 ) leicht angeregt wer<strong>de</strong>n können, stellt es ein mit <strong>de</strong>n Metho<strong>de</strong>n <strong><strong>de</strong>r</strong> Millimeter-<br />
wellenastronomie ( λ = 2.6 mm , Übergang zwischen J=1 <strong>und</strong> J=0 ) leicht zu beobachten<strong>de</strong>s<br />
„Tracermolekül“ für Wasserstoffmolekülwolken dar. Das gilt auch für die ähnliche Verbindung CS,<br />
die bei einer Frequenz von 48 GHz emittiert. Durch genaue Untersuchungen <strong><strong>de</strong>r</strong> CO- <strong>und</strong> CS-<br />
Emissionen von galaktischen Molekülwolken erhält man z.B. wertvolle Informationen über die Dichte<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> (ansonsten weitgehend unsichtbaren) Wasserstoffmoleküle sowie <strong><strong>de</strong>r</strong>en Temperaturverteilung im<br />
Emissionsgebiet.<br />
I<strong>de</strong>ntifikation von Spektrallinien in stellaren Spektren<br />
Am Anfang je<strong><strong>de</strong>r</strong> Untersuchung von Sternspektren steht die I<strong>de</strong>ntifikation <strong><strong>de</strong>r</strong> darin vorkommen<strong>de</strong>n<br />
Spektrallinien, d.h. <strong><strong>de</strong>r</strong> Bestimmung, zu welchen chemischen Elementen <strong>und</strong> zu welchen atomaren<br />
Übergängen sie jeweils gehören. Praktisch läuft das auf eine möglichst genaue Messung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Wellenlänge λ im Spektrum hinaus, bei <strong><strong>de</strong>r</strong> die entsprechen<strong>de</strong> Spektrallinie auftritt. Für wichtige <strong>und</strong><br />
häufig vorkommen<strong>de</strong> Übergänge sind die Wellenlängen bzw. Frequenzen aufgr<strong>und</strong> von<br />
Laboruntersuchungen sehr gut bekannt, so daß <strong><strong>de</strong>r</strong>en I<strong>de</strong>ntifikation - insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e, wenn man noch<br />
plausible Annahmen über <strong><strong>de</strong>r</strong>en Anregungsbedingungen in Sternatmosphären machen kann - meist<br />
keine Probleme macht. Entsprechen<strong>de</strong> Tabellenwerke sind seit langen Bestandteil <strong><strong>de</strong>r</strong> astronomischen<br />
<strong>und</strong> chemischen Fachliteratur. Schwieriger ist es, die teilweise dicht beieinan<strong><strong>de</strong>r</strong>liegen<strong>de</strong>n<br />
Absorptionslinien hochionisierter Metalle (z.B. Fe), wie sie zu Tausen<strong>de</strong>n in <strong>de</strong>n Spektren mittlerer<br />
<strong>und</strong> später Spektraltypen vorkommen, bestimmten Elementen o<strong><strong>de</strong>r</strong> Ionen verschie<strong>de</strong>ner<br />
Ionisationsgra<strong>de</strong> zuzuordnen. Hier helfen - wie bei <strong><strong>de</strong>r</strong> I<strong>de</strong>ntifikation verbotener Linien - oftmals nur<br />
theoretische Untersuchungen in Form <strong><strong>de</strong>r</strong> Berechnung <strong><strong>de</strong>r</strong> jeweils physikalisch möglichen Übergänge<br />
44
I<strong>de</strong>ntifikation von Spektrallinien in stellaren Spektren<br />
<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> dazugehörigen Übergangsfrequenzen aus atomphysikalischen Parametern weiter. Das gilt<br />
insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e für die reichhaltigen spektralen Merkmale von UV-Spektren heißer Sterne, die heute<br />
satellitengestützten Beobachtungen zugänglich, die aber im Labor kaum zu reproduzieren sind. Für die<br />
Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong> physikalischen Bedingungen, wie sie innerhalb einer Sternatmosphäre herrschen, ist es<br />
aber meist gar nicht notwendig, je<strong>de</strong> im Spektrum auftreten<strong>de</strong> Linie genau einem Atom o<strong><strong>de</strong>r</strong> Ion eines<br />
bestimmten Elementes zuordnen zu müssen. Für eine quantitative Spektralanalyse reichen meistens<br />
eine Anzahl repräsentativer Spektrallinien aus, wobei es mehr darauf ankommt weniger die Positionen<br />
(Bewegungszustand) als vielmehr die Linienprofile möglichst genau zu bestimmen. Deshalb gibt es<br />
auch nur recht wenige Sterne, bei <strong>de</strong>nen man eine lückenlose I<strong>de</strong>ntifikation <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien im<br />
sichtbaren Bereich überhaupt versucht hat. Ein solcher Stern ist z.B. die Sonne, <strong><strong>de</strong>r</strong>en Linien mit sehr<br />
sehr hoher Genauigkeit z.B. von MOORE, MINNAERT <strong>und</strong> HOUTGAST (1966) im Bereich zwischen<br />
293.5 nm <strong>und</strong> 877 nm erfaßt <strong>und</strong> i<strong>de</strong>ntifiziert wor<strong>de</strong>n sind. Die qualitative Spektralanalyse, zu <strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
Hauptarbeitsgebiet die Linieni<strong>de</strong>ntifikation gehört, gewinnt aber zunehmend an Be<strong>de</strong>utung bei <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Untersuchung von sogenannten peculiaren Sterne, also Sternen, die irgendwie stark von <strong><strong>de</strong>r</strong> Norm<br />
abweichen in <strong>de</strong>m sie z.B. Spektrallinien von Elementen enthalten, die man ansonsten nur selten in<br />
Sternspektren fin<strong>de</strong>t.<br />
Im Zeitalter <strong>de</strong>s Internet existieren mehrere webgestützte Datenbanken zur I<strong>de</strong>ntifikation stellarer<br />
Spektrallinien. Als Beispiel soll hier nur die „Vienna Atomic Line Database“ (VALD) <strong>de</strong>s<br />
Astronomischen Instituts <strong><strong>de</strong>r</strong> Universität Wien erwähnt wer<strong>de</strong>n, die prinzipiell für je<strong>de</strong>n interessierten<br />
Astronomen online verfügbar ist.<br />
Wie bereits beschrieben, bil<strong>de</strong>n alle erlaubten spektralen Übergänge zwischen zwei Termen ein<br />
Multiplett. Die dabei auftreten<strong>de</strong>n Linien haben oft eine unterschiedliche Stärke (Intensität) wobei sich<br />
die jeweiligen Intensitätsverhältnisse zwischen <strong>de</strong>n Linien <strong>de</strong>s Multipletts theoretisch vorhersagen<br />
lassen (Intensitätsverhältnisse zwischen Linien eines gleichen Multipletts variieren nur gering bei sich<br />
än<strong><strong>de</strong>r</strong>n<strong>de</strong>n Anregungsbedingungen). I<strong>de</strong>ntifiziert man z.B. eine Linie eines Multipletts in einem<br />
Sternspektrum, dann kann man anhand <strong><strong>de</strong>r</strong> Intensitätsunterschie<strong>de</strong> oftmals entschei<strong>de</strong>n, ob die Linie an<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Position einer weiteren Linie <strong>de</strong>s Multipletts zu <strong>de</strong>mselben Multiplett o<strong><strong>de</strong>r</strong> zu einem völlig an<strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
Übergang gehört. O<strong><strong>de</strong>r</strong> ein an<strong><strong>de</strong>r</strong>er Fall: Ordnet man beispielsweise einer schwachen Absorptionslinie<br />
einen bestimmten Übergang zu, fin<strong>de</strong>t aber an <strong><strong>de</strong>r</strong> Position einer stärkeren Linie <strong>de</strong>s gleichen<br />
Multipletts keine Anzeichen für eine <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Linie, dann muß die I<strong>de</strong>ntifikation offensichtlich falsch<br />
sein.<br />
In <strong><strong>de</strong>r</strong> mo<strong><strong>de</strong>r</strong>nen beobachten<strong>de</strong>n <strong>Astronomie</strong> wer<strong>de</strong>n immer mehr automatische Verfahren zur<br />
Untersuchung von Sternspektren eingesetzt. Dazu wer<strong>de</strong>n die Spektren digitalisiert (wenn noch<br />
Photoplatten verwen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n, erfolgt die Digitalisierung mittels Mikro<strong>de</strong>nsitometer, welche die<br />
Plattenschwärzung als Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge messen) <strong>und</strong> danach mit Hilfe von leistungsfähigen<br />
Computerprogrammen die spektralen Merkmale i<strong>de</strong>ntifiziert <strong>und</strong> kategorisiert. Diese mittlerweile<br />
vollautomatisch ablaufen<strong>de</strong>n Verfahren sind beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s bei Aufgabenstellungen erfolgreich (z.B.<br />
Surveys), wo es gera<strong>de</strong> auf die Gewinnung von umfangreichen <strong>und</strong> statistisch auswertbaren Material<br />
ankommt.<br />
Ein weiteres, neuerdings beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s bei UV-Spektren gern benutztes Verfahren ist die von CHARLES R.<br />
COWLEY mitentwickelte Metho<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> „wavelength coinci<strong>de</strong>nce statistics“ (WCS). Wie <strong><strong>de</strong>r</strong> Name<br />
45
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
schon sagt, han<strong>de</strong>lt es sich um ein statistisches Verfahren bei <strong>de</strong>m untersucht wird, ob bereits aus<br />
Laboruntersuchungen bekannte Spektrallinien im Spektrum eines Sterns nachweisbar sind o<strong><strong>de</strong>r</strong> nicht.<br />
Aus diesen Untersuchungen wer<strong>de</strong>n statistische Kennziffern gewonnen, die eine Beurteilung eines<br />
entsprechen<strong>de</strong>n Sternspektrums unter verschie<strong>de</strong>nen, vorher festgelegten Gesichtspunkten erlauben. So<br />
gesehen han<strong>de</strong>lt es sich bei diesem Verfahren nicht unbedingt um eine Metho<strong>de</strong> zur I<strong>de</strong>ntifizierung von<br />
Einzellinien son<strong><strong>de</strong>r</strong>n eher zur Bestimmung globaler spektraler Parameter, wie man sie z.B. für<br />
Klassifikationszwecke o<strong><strong>de</strong>r</strong> zur Suche nach Objekten mit beson<strong><strong>de</strong>r</strong>en Spektralmerkmalen benötigt. Da<br />
es relativ leicht algorithmierbar ist, bil<strong>de</strong>t es die Gr<strong>und</strong>lage von einigen recht leistungsfähigen<br />
Analyseprogrammen.<br />
Zum Abschluß sollen noch einige Punkte kurz angesprochen wer<strong>de</strong>n, welche die I<strong>de</strong>ntifikation von<br />
Spektrallinien in Sternspektren zumin<strong>de</strong>st erschweren:<br />
• zu geringe spektrale Auflösung (o<strong><strong>de</strong>r</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Prozeß <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienverbreiterung) führt zur Überlagerung<br />
(blending) von eng beeinan<strong><strong>de</strong>r</strong>liegen<strong>de</strong>n Linien, was <strong><strong>de</strong>r</strong>en I<strong>de</strong>ntifikation teilweise aussichtslos<br />
macht<br />
• Störungen durch atmosphärische Absorptionen <strong>und</strong> Emissionen (z.B. im roten <strong>und</strong> ultraroten<br />
Bereich <strong>de</strong>s sichtbaren Spektrums) über<strong>de</strong>cken stellare Spektralmerkmale<br />
• Spektroskopie in Wellenlängenbereichen, für die es nicht genügend, durch theoretische <strong>und</strong><br />
Laboruntersuchungen gestütztes I<strong>de</strong>ntifikationsmaterial gibt (z.B. UV)<br />
• schnell rotieren<strong>de</strong> Sterne (v sin i > 10 km/s) bzw. Sterne mit hoher Schwerebe-schleunigung an<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong>en „Oberfläche“ (z.B. Weiße Zwergsterne), bei <strong>de</strong>nen die Spektrallinien stark verbreitert<br />
wer<strong>de</strong>n (Dopplerverbreiterung, Druckverbreiterung)<br />
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
Betrachtet man eine Fotografie von einem linienreiches Spektrum - z.B. das eines G-Sterns - dann fällt<br />
auf, daß sich die Absorptionslinien in ihrer Linienstärke <strong>und</strong> ihrer Schwärzungs-verteilung stark<br />
unterschei<strong>de</strong>n. Noch <strong>de</strong>utlicher wird es, wenn man sich die Registrierkurve, die mit Hilfe eines<br />
Mikro<strong>de</strong>nsitomers gewonnen wur<strong>de</strong>, anschaut: Spektrallinien besitzen eine mehr o<strong><strong>de</strong>r</strong> weniger starke<br />
Verbreiterung innerhalb eines Frequenzintervalls ∆ν um die Wellenlänge λ 0 , die sich aus <strong>de</strong>m<br />
jeweiligen quantenmechanischen Übergang ergibt. Auch die Intensität <strong><strong>de</strong>r</strong> „Schwärzung“ S ( λ ) zeigt<br />
eine für die entsprechen<strong>de</strong> Linie charakteristische Verteilung als Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz, die man als<br />
Linienprofil bezeichnet.<br />
Das eine Spektrallinie nicht „unendlich“ dünn (scharf) sein kann, läßt sich ohne große Schwierigkeiten<br />
aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Quantenmechanik herleiten. Ursache dafür ist, das angeregte Zustän<strong>de</strong> in einem atomaren o<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
molekularen System immer nur eine endliche Lebensdauer ∆ t besitzen, was entsprechend <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Heisenbergschen Unschärferelation zwischen Energie E <strong>und</strong> Zeit t<br />
∆E ∆t ≥ ℏ<br />
sowie <strong><strong>de</strong>r</strong> Planckschen Beziehung<br />
∆ E = h ∆<br />
ν<br />
46
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
zu einer natürlichen Linienunschärfe ∆ ν führt.<br />
Mit einer Photonenenergie E = hc λ läßt sich diese „Unschärfe“ für einen elektronischen Übergang<br />
zwischen <strong>de</strong>n Zustän<strong>de</strong>n m <strong>und</strong> n wie folgt abschätzen:<br />
2<br />
λ ⎛ 1 1 ⎞<br />
∆λ ≈ ⎜ + ⎟<br />
2π c ⎝ ∆tm ∆tn<br />
⎠<br />
Da die typische Lebensdauer von angeregten Zustän<strong>de</strong>n in <strong><strong>de</strong>r</strong> Größenordnung von<br />
es im Bereich <strong>de</strong>s sichtbaren Spektrums keine schärferen Linien als ca.<br />
47<br />
[1.162]<br />
8<br />
10 − s liegt, kann<br />
5<br />
5 10 −<br />
⋅ nm Breite geben. Nur<br />
bei speziellen, sogenannten metastabilen Zustän<strong>de</strong>n, erwartet man weitaus geringere natürliche<br />
Linienbreiten. Bei <strong><strong>de</strong>r</strong>artigen Zustän<strong>de</strong>n langer Lebensdauer, die z.B. für die Entstehung „verbotener<br />
Linien“ verantwortlich sind, ist die natürliche Linienbreite noch um einige Größenordnungen geringer<br />
als bei <strong>de</strong>n normalen atomaren Strahlungsübergängen.<br />
Bei astronomischen Spektren läßt sich bereits apparativ bedingt nie die spektrale Auflösung erreichen<br />
die notwendig ist, um bis in <strong>de</strong>n Bereich <strong><strong>de</strong>r</strong> „natürliche Linienbreiten“ vorzustoßen (~0.1 m A ).<br />
Trotz<strong>de</strong>m zeigen Spektrallinien eine Struktur die darauf hinweist, daß es eine Anzahl von<br />
physikalischen Prozesse geben muß, die eine Spektrallinie über einen mehr o<strong><strong>de</strong>r</strong> weniger großen<br />
Frequenzbereich zu verschmieren vermögen. Diese Prozesse wer<strong>de</strong>n gewöhnlich unter <strong>de</strong>m Begriff <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
„Linienverbreiterung“ zusammengefaßt <strong>und</strong> sollen im Folgen<strong>de</strong>n diskutiert wer<strong>de</strong>n. Im Einzelnen<br />
han<strong>de</strong>lt es sich dabei um:<br />
• Natürliche Linienbreite o<strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlungsdämpfung (siehe (1.162)), Begrenzung <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienbreite<br />
durch die begrenzte Lebensdauer eines angeregten Zustan<strong>de</strong>s<br />
• Dopplerverbreiterung, verursacht durch die thermische Bewegung <strong><strong>de</strong>r</strong> angeregten Atome in<br />
einem Gas<br />
• Dopplerverbreiterung durch nichtthermische Effekte wie z.B. Rotation eines Sterns o<strong><strong>de</strong>r</strong> durch<br />
Vorgänge <strong><strong>de</strong>r</strong> Mikro- <strong>und</strong> Makroturbulenz in einer Sternatmosphäre (z.B. Konvektion)<br />
• Druckverbreiterung, verursacht durch Störungen, die durch Stöße mit an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Partikeln<br />
hervorgerufen wer<strong>de</strong>n <strong>und</strong> die Lebensdauer eines angeregten Zustan<strong>de</strong>s verkürzen<br />
(Stoßdämpfung)<br />
Durch die Untersuchung von Verbreiterungsmechanismen <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong>en Auswirkungen auf das<br />
Linienprofil lassen sich viele Informationen über die physikalischen Bedingungen am Ursprungsort <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Linienabsorption bzw. Linienemission (z.B. Sternatmosphäre, interstellare Gaswolke) ableiten.<br />
Linienprofile beinhalten be<strong>de</strong>utend mehr Informationen über das Ursprungsgebiet einer Spektrallinie<br />
als <strong><strong>de</strong>r</strong>en bloße I<strong>de</strong>ntifikation. Wenn man diese Informationen lesen kann, lassen sich z.B. im<br />
Zusammenspiel zwischen Beobachtung <strong>und</strong> Theorie erstaunlich genaue Mo<strong>de</strong>lle von<br />
Sternatmosphären entwickeln.<br />
o
Die Struktur einer Spektrallinie<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Eine Absorptionslinie ist im Wesentlichen ein Intensitätseinbruch im Kontinuum einer<br />
Strahlungsquelle. Ihre „tiefste“ Position erreicht sie bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge λ 0 (das ist die Position <strong>de</strong>s<br />
Linienkerns) während man <strong>de</strong>n Bereich rechts <strong>und</strong> links davon als „Linienflügel“ bezeichnet. Ist Ic, λ<br />
die Intensität <strong>de</strong>s Kontinuums <strong>und</strong> Iλ die Linienintensität, dann bestimmt das Verhältnis Iλ I , λ als<br />
Funktion von λ das Linienprofil. Ist diese Funktion bekannt (z.B. durch die Messung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Schwärzungsverteilung S ( λ ) , die im Wesentlichen <strong><strong>de</strong>r</strong> Verteilung I ( λ ) proportional ist), dann läßt<br />
sich daraus die besser handhabbare Äquivalentbreite W λ <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinie bestimmen:<br />
I − I<br />
= ∫ λ<br />
[1.163]<br />
c,<br />
λ λ<br />
Wλ d<br />
Ic,<br />
λ<br />
Physikalisch stellt sie ein Maß für die in <strong><strong>de</strong>r</strong> Linie absorbierte Energie dar.<br />
Während die natürliche Äquivalentbreite von Linien nur wenige Millionstel nm beträgt, liegt die<br />
Linienbreite von scharfen Linien im sichtbaren Spektralbereich meist bei einigen Hun<strong><strong>de</strong>r</strong>tstel nm. Eine<br />
genaue Bestimmung <strong><strong>de</strong>r</strong> Äquivalentbreite setzt <strong>de</strong>mnach eine genügend hohe Auflösung eines<br />
Spektrographen voraus. Häufig verwen<strong>de</strong>t man auch <strong>de</strong>n Terminus „Linienstärke“ als Synonym für<br />
W λ .<br />
Linienprofil einer Absorptionslinie<br />
Als relative Linieneinsenkung r λ bezeichnet man die Größe<br />
I − I<br />
c,<br />
λ λ<br />
λ = [1.164]<br />
Ic,<br />
λ<br />
r<br />
48<br />
/ c
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
<strong>und</strong> als Halbwertsbreite (FWHM = Full Width at Half-Maximum) die Größe ( ∆ λ)<br />
, bei <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
1 2<br />
I − I<br />
c,<br />
λ λ<br />
I − I<br />
c,<br />
λ λ<br />
gilt.<br />
0<br />
=<br />
1<br />
2<br />
49<br />
[1.165]<br />
Gewöhnlich benutzt man zur Darstellung eines Linienprofils eine genormte Darstellung, bei <strong><strong>de</strong>r</strong> die<br />
Intensität <strong>de</strong>s Kontinuums auf 1 gesetzt wird.<br />
Der Doppler-Effekt <strong>und</strong> die Dopplerverbreiterung<br />
Unter <strong>de</strong>m Doppler-Effekt (CHRISTIAN DOPPLER, 1803 - 1853) versteht man die Frequenz-än<strong><strong>de</strong>r</strong>ung<br />
∆ ν die auftritt, wenn sich eine Strahlungsquelle entwe<strong><strong>de</strong>r</strong> auf einen Beobachter zu o<strong><strong>de</strong>r</strong> von ihm<br />
wegbewegt. Dieser Effekt tritt bei je<strong><strong>de</strong>r</strong> Art von Wellenausbreitung auf, d.h. nicht nur bei<br />
elektromagnetischen Wellen son<strong><strong>de</strong>r</strong>n z.B. auch bei Schallwellen. Im Fall von Schallwellen kann man<br />
ihn leicht „hören“, in <strong>de</strong>m man z.B. auf <strong>de</strong>n Sirenenton eines vorbeifahren<strong>de</strong>n Krankenwagens achtet.<br />
Nähert sich das Fahrzeug, hört man einen hellen Ton (=höhere Frequenz), entfernt es sich, erscheint<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Ton tiefer (=geringere Frequenz). Dieser Effekt ist leicht zu verstehen, wenn man sich die<br />
Ausbreitung einer Kugelwelle einmal vom Standpunkt eines bewegten Beobachters <strong>und</strong> einmal vom<br />
Standpunkt einer bewegten Strahlungsquelle vergegenwärtigt. Da in <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong><br />
Relativgeschwindigkeiten u.U. sehr groß sein können, soll hier gleich <strong><strong>de</strong>r</strong> relativistische Fall für<br />
Lichtwellen behan<strong>de</strong>lt wer<strong>de</strong>n.<br />
Unter Anwendung <strong><strong>de</strong>r</strong> speziell-relativistischen Lorentz-Transformationen erhält man für die in einen<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> bei<strong>de</strong>n Bezugssysteme wahrgenommenen Frequenz ν ' (bei optischen Phänomenen kann man<br />
zwischen <strong>de</strong>n Fällen „bewegter Beobachter“ <strong>und</strong> „bewegte Lichtquelle“ nicht unterschei<strong>de</strong>n, da es nur<br />
auf die Relativgeschwindigkeit ankommt. Bei astronomischen Anwendungen wird i.d.R. die „Er<strong>de</strong>“ als<br />
ruhen<strong>de</strong>s System betrachtet.)<br />
1− β<br />
v<br />
ν ' = ν mit β =<br />
2<br />
1−<br />
β<br />
c<br />
c Lichtgeschwindigkeit<br />
[1.166]<br />
Durch Reihenentwicklung von (1.166 ) <strong>und</strong> unter Vernachlässigung aller Glie<strong><strong>de</strong>r</strong> ab 2. Ordnung erhält<br />
man <strong>de</strong>n klassischen Ausdruck<br />
⎛ v ⎞<br />
ν '= ν ⎜1± ⎟<br />
v<br />
⎝ S ⎠ [1.167]<br />
wobei v S die Ausbreitungsgeschwindigkeit <strong><strong>de</strong>r</strong> Welle (z.B. <strong><strong>de</strong>r</strong> einer Schallwelle) ist.
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Man beachte, daß es sich bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Geschwindigkeit v immer um die radiale Geschwindigkeitskomponente<br />
in Bezug auf <strong>de</strong>n Beobachter han<strong>de</strong>lt. Um die „wahre“ Geschwindigkeit zu bestimmen,<br />
muß zusätzlich noch die Richtung <strong>de</strong>s Geschwindigkeitsvektors <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlungsquelle bekannt sein.<br />
Der Wurzelausdruck in (1.166) führt noch zu einem weiteren Effekt, <strong><strong>de</strong>r</strong> beim klassischen<br />
Dopplereffekt nicht auftritt. Bewegt sich die Strahlungsquelle parallel zum Beobachter, dann ist<br />
klassisch wegen vr = vs cosϑ = 0 kein Dopplereffekt zu erwarten. Im relativistischen Fall muß man<br />
jedoch die Zeitdilatation beachten die dazu führt, daß die Frequenz ν auf<br />
2<br />
= − [1.168]<br />
v' v 1 β<br />
verringert erscheint. Dieser Effekt wird als transversaler Dopplereffekt bezeichnet <strong>und</strong> ist ein rein<br />
relativistischer Effekt. Er spielt auch erst bei sehr hohen Relativgeschwindigkeiten eine Rolle <strong>und</strong> kann<br />
bei <strong>de</strong>n meisten astronomischen Anwendungen vernachlässigt wer<strong>de</strong>n.<br />
Der Dopplereffekt ist ein äußerst wichtiges Hilfsmittel um die Bewegung von Himmelskörpern zu<br />
erforschen. Angenommen, bei einem Stern beobachtet man auf <strong><strong>de</strong>r</strong> Registrierkurve seines Spektrums<br />
λ = 656.28 nm ) eine Verschiebung <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienachse um 0.022 nm<br />
bei <strong><strong>de</strong>r</strong> H α -Linie <strong>de</strong>s Wasserstoffs ( 0<br />
zu längeren Wellenlängen hin. Das be<strong>de</strong>utet wegen<br />
∆ λ vr = [1.169]<br />
λ c<br />
0 0<br />
daß sich dieser Stern mit einer radialen Geschwindigkeit v r von 10 km/s von uns entfernen muß. Eine<br />
positive Wellenlängenverschiebung bezeichnet man gewöhnlich als Rotverschiebung (Strahlungsquelle<br />
entfernt sich) <strong>und</strong> eine negative als Violettverschiebung (Strahlungsquelle nähert sich). Bei<br />
spektroskopischen Doppelsternsystemen kann man leicht bei<strong>de</strong> Effekte beobachten, wenn man die<br />
Frequenzverschiebung <strong>de</strong>s Gesamtsystems aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>ssen gemeinsamer Bewegung im Raum heraus<br />
rechnet.<br />
Thermische Dopplerverbreiterung<br />
Was für einen Stern gilt, gilt natürlich auch für je<strong>de</strong>s strahlen<strong>de</strong> Atom. Dessen Bewegung in einem Gas<br />
ist bekanntlich thermischer Natur. Je nach <strong>de</strong>m, ob sich das Atom bei einem Emissions- o<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Absorptionsvorgang auf <strong>de</strong>n Beobachter zubewegt o<strong><strong>de</strong>r</strong> nicht, erfolgt eine radialgeschwindigkeitsabhängige<br />
Wellenlängenverschiebung zu längeren o<strong><strong>de</strong>r</strong> kürzeren Wellenlängen hin. Bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Entstehung<br />
von Spektrallinien muß man selbstverständlich alle Atome <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlungsquelle betrachten. Ihre<br />
Geschwindigkeitsverteilung wird bekannter-maßen bei einer gegebenen Temperatur T durch eine<br />
Maxwell-Verteilung beschrieben:<br />
2<br />
2 ⎛ mv<br />
⎞<br />
v ≈ v exp − v<br />
( )<br />
N dv ⎜ ⎟ d<br />
⎝ 2kT<br />
⎠<br />
50<br />
[1.170]<br />
Sie gibt die Anzahl N <strong><strong>de</strong>r</strong> Teilchen mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Geschwindigkeit v im Geschwindigkeitsbereich v+dv an.<br />
Da die radiale Geschwindigkeitskomponente je<strong>de</strong>s strahlen<strong>de</strong>n Atoms einen Beitrag zum
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
Dopplereffekt liefert, kommt es nicht nur zu einer „Unschärfe“ einer Spektrallinie, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n die<br />
Maxwell-Verteilung schlägt direkt auf das Linienprofil, d.h, auf die Intensitätsverteilung I ( λ ) entlang<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Linie, durch:<br />
( λ ) = ( λ )<br />
I I<br />
( ) 2<br />
λ λ<br />
⎛ 2<br />
−mc 0 − ⎞<br />
0 exp⎜<br />
⎟ 2<br />
⎜ 2 kT λ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
51<br />
[1.171]<br />
λ 0 ist die vom Dopplereffekt unbeeinflußte Wellenlänge. Da es sich bei diesem Profil um eine<br />
Gaußkurve han<strong>de</strong>lt, ergibt sich daraus (soweit die Linie noch nicht abgesättigt ist) für <strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
Halbwertsbreite (FWHM):<br />
2 kT ln 2<br />
( ∆ λ) 1 2 = λ0<br />
[1.172]<br />
2<br />
mc<br />
Die rein thermische Bewegung <strong><strong>de</strong>r</strong> Teilchen im Plasma einer Sternatmosphäre ist nicht die einzige<br />
Ursache für das Auftreten einer Dopplerverbreiterung. Auch makroskopische Bewegungen in Form<br />
von Strömungen (Konvektion), chaotischen Verwirbelungen <strong>und</strong> explosiven Prozessen (bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonne<br />
z.B. <strong><strong>de</strong>r</strong> Aufstieg <strong>und</strong> Zerfall von Protuberanzen) können sich im Dopplerprofil einer Spektrallinie<br />
nie<strong><strong>de</strong>r</strong>schlagen. Sie sind bei Detailuntersuchungen nicht zu vernachlässigen. Ihre Berücksichtigung<br />
erweist sich jedoch ohne genaue Kenntnis <strong><strong>de</strong>r</strong> makroskopischen Geschwindigkeitsfel<strong><strong>de</strong>r</strong> ( x, y, z)<br />
v in<br />
<strong>de</strong>n Sternatmosphären als nicht einfach. Es existieren jedoch mittlerweile verschie<strong>de</strong>ne Ansätze zur<br />
Berücksichtigung von Effekten <strong><strong>de</strong>r</strong> Mikro- <strong>und</strong> Makroturbulenz in Form von Korrekturen an (1.171),<br />
die <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Einflüsse auf das Dopplerprofil approximativ erfassen lassen.<br />
Rotation von Sternen<br />
Ein weiterer wichtiger Anwendungsfall <strong>de</strong>s Dopplereffekts in <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong> liegt in <strong><strong>de</strong>r</strong> Bestimmung<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Rotationsparameter von Einzelsternen. Man kann sich leicht vorstellen, daß man bei einem<br />
rotieren<strong>de</strong>n Stern (natürlich nur wenn nicht gera<strong>de</strong> auf einen <strong><strong>de</strong>r</strong> Rotationspole eines Sterns geschaut<br />
wird) an Stelle einer festen Frequenz quasi ein Strahlungsgemisch mit unterschiedlichen<br />
Dopplerverschiebungen erhält, da sich aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Rotation ein Teil <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternmaterie mit jeweils<br />
unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf <strong>de</strong>n Beobachter zu <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Teil von ihm weg bewegt.<br />
Bezeichnet man mit v R die Radialgeschwindigkeit eines Oberflächenelements am Rand <strong>de</strong>s Sterns,<br />
dann folgt aus (1.169) eine „Verschmierung“ einer Spektrallinie über <strong>de</strong>n Bereich<br />
2 vR ∆ λ = λ0<br />
[1.173]<br />
c<br />
0<br />
Durch diesen Vorgang bil<strong>de</strong>t eine Spektrallinie ein charakteristisches Rotationsprofil (im I<strong>de</strong>alfall ein<br />
Ellipsenbogen) aus, welches um so flacher wird, je größer v R ist. Auf diese Weise unterschei<strong>de</strong>t es<br />
sich <strong>de</strong>utlich von <strong>de</strong>n Profilen, die durch an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Verbreiterungsmechanismen hervorgerufen wer<strong>de</strong>n.<br />
Solange die Rotationsgeschwindkeit hoch ist (z.B. über 100 km/s), kann diese Art <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Linienverbreiterung in einem Spektrum dominieren. Bei kleineren Rotationsgeschwindigkeiten (z.B.
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
bei späten Hauptreihensternen mit v R 100 km/s ) bestimmt in vielen Fällen die<br />
Rotationsverbreiterung fast ausschließlich das Linienprofil. Da es zumin<strong>de</strong>st bei Sternen ohne<br />
wesentlicher Randverdunklung scharf begrenzt ist, ist ∆ λ entsprechend gut meßbar. Das betrifft<br />
insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e Sterne vom Spektraltyp A <strong>und</strong> B, bei <strong>de</strong>nen man Rotationsgeschwindigkeiten zwischen<br />
50 <strong>und</strong> 250 km/s festgestellt hat. Noch höhere Geschwindigkeiten (bis zu 350 km/s) wur<strong>de</strong>n bei<br />
Emissionsliniensternen früher Spektraltypen beobachtet (z.B. Oe, Be). Die Ausbildung <strong><strong>de</strong>r</strong> für diese<br />
Sterntypen charakteristischen Emissionslinien wird wahrscheinlich durch Gasverlust an ihrem Äquator<br />
(Zentrifugalkräfte) begünstigt, wobei kontinuierlich Material zum Aufbau <strong>und</strong> zur Aufrechterhaltung<br />
einer ausge<strong>de</strong>hnte Hülle nachgeliefert wird. In dieser dünnen Gashülle entstehen dann die in <strong>de</strong>n<br />
Spektren beobachteten Emissionslinien.<br />
Aus <strong><strong>de</strong>r</strong> bei manchen Sternen beobachteten periodischen Än<strong><strong>de</strong>r</strong>ungen <strong>de</strong>s Rotationsprofils konnte eine<br />
raffinierte Metho<strong>de</strong> zur bildmäßigen Rekonstruktion <strong><strong>de</strong>r</strong> „Sternoberfläche“ entwickelt wer<strong>de</strong>n die auch<br />
funktioniert, wenn sich <strong><strong>de</strong>r</strong> Stern selbst nicht im Teleskop auflösen läßt. Diese Metho<strong>de</strong> wird als<br />
„Doppler Imaging“ bezeichnet <strong>und</strong> wur<strong>de</strong> 1958 von ARMIN DEUTSCH vorgeschlagen.<br />
Doppler Imaging<br />
Solange sich ein Stern in einem Teleskop nicht räumlich auflösen läßt, erscheint es auf <strong>de</strong>m ersten<br />
Blick fast aussichtslos, Informationen über die flächenhafte Verteilung von Strukturen in <strong>de</strong>ssen<br />
Photosphäre durch Beobachtungen zu erhalten. Solche Informationen können aber durchaus in <strong>de</strong>n<br />
Sternspektren vorhan<strong>de</strong>n sein, wie bereits 1958 ARMIN DEUTSCH zeigen konnte.<br />
Angenommen, ein größerer „Sternfleck“ (ähnlich einem Sonnenfleck) wan<strong><strong>de</strong>r</strong>t aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Eigenrotation <strong>de</strong>s Sterns über die Sternoberfläche. Seine Radialgeschwindigkeit ist am Größten, wenn<br />
52
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
er entwe<strong><strong>de</strong>r</strong> gera<strong>de</strong> an einem Rand <strong>de</strong>s Sterns auftaucht o<strong><strong>de</strong>r</strong> am an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Rand <strong>de</strong>s Sterns wie<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
verschwin<strong>de</strong>t. Das Licht, welches von diesem Fleck emittiert wird, weist <strong>de</strong>shalb über <strong>de</strong>n Zeitraum<br />
einer halben Rotationsperio<strong>de</strong> eine wechseln<strong>de</strong> Rotverschiebung auf. Da sich seine Intensität von <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Umgebung unterschei<strong>de</strong>t, macht er sich im Linienprofil durch eine Einsenkung (er ist dunkler als seine<br />
Umgebung) o<strong><strong>de</strong>r</strong> durch eine Intensitätserhöhung (er ist heller als seine Umgebung) bemerkbar (also in<br />
Form von sogenannten „bumps“), wobei diese Abweichung von <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienkontur innerhalb einer<br />
halben Rotationsperio<strong>de</strong> über das gesamte Linienprofil wan<strong><strong>de</strong>r</strong>t. Eine genaue Analyse von Zeitreihen<br />
hochaufgelöster Spektren eines genügend schnell rotieren<strong>de</strong>n Sterns sollte <strong>de</strong>shalb Informationen über<br />
das Vorhan<strong>de</strong>nsein <strong>und</strong> die Verteilung von Strukturen in <strong><strong>de</strong>r</strong> Photosphäre <strong>de</strong>s jeweiligen Sterns liefern<br />
können. Von S.S.VOGT <strong>und</strong> G.D.PENROD ist 1983 an <strong>de</strong>m Stern HR 1099 (einem Verän<strong><strong>de</strong>r</strong>lichen vom<br />
Typ RS Canis Venaticorum) exemplarisch gezeigt wor<strong>de</strong>n, das die hier vorgestellten I<strong>de</strong>en auch<br />
wirklich funktionieren. Von Ihnen stammt übrigens die Bezeichnung „Doppler Imaging“, welches sich<br />
seit<strong>de</strong>m neben <strong>de</strong>m Begriff <strong><strong>de</strong>r</strong> „Doppler Tomographie“ für dieses spezielle bildgeben<strong>de</strong> Verfahren<br />
durchgesetzt hat.<br />
Die für die Analyse benutzten Spektrallinien müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllen um<br />
brauchbare Ergebnisse zu liefern. Ihr Profil sollte beispielsweise fast ausschließlich durch die Rotation<br />
festgelegt sein, was bei Rotationsgeschwindigkeiten von mehr als 20 km/s meistens <strong><strong>de</strong>r</strong> Fall ist.<br />
Außer<strong>de</strong>m dürfen sie noch keine Sättigung im Bereich ihres Minimums aufweisen (optisch dünne<br />
Linien). Durch mo<strong><strong>de</strong>r</strong>ne elektronische Aufnahmeverfahren konnte das Signal- zu-Rausch Verhältnis<br />
bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrengewinnung gegenüber fotografischen Verfahren um Einiges gesteigert wer<strong>de</strong>n, so daß<br />
sich geringe Verän<strong><strong>de</strong>r</strong>ungen in <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienkontur erfolgreich vermessen lassen. Unter bestimmten<br />
Umstän<strong>de</strong>n können aus einer Anzahl von solchen (eindimensionalen) Linienprofilen zweidimensionale<br />
(monochromatische) Intensitätsverteilungen auf <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternscheibe berechnet wer<strong>de</strong>n. Der zur Lösung<br />
dieses „inversen“ Problems notwendige Rechenaufwand ist zwar sehr hoch, aber die einzelnen Schritte<br />
von <strong><strong>de</strong>r</strong> Photometrie <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinie bis zum Zeichnen einer Intensitätskarte lassen sich sehr gut<br />
algorithmisieren.<br />
Bleibt noch die Frage zu beantworten, inwieweit man <strong>de</strong>n berechneten Intensitätsverteilungen glauben<br />
schenken darf. Diese Frage ist keineswegs trivial, da verschie<strong>de</strong>ne Helligkeitsverteilungen auf <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sternscheibe durchaus zu einer Abfolge ähnlicher Linienprofile (die aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>s Rauschens nicht<br />
unterscheidbar sind) führen können. Doppler Imaging gehört mathematisch gesprochen zu <strong>de</strong>n schlecht<br />
konditionierten Problemen <strong>und</strong> man muß viel Aufwand betreiben, um aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Klasse <strong><strong>de</strong>r</strong> möglichen<br />
Intensitätsverteilungen die jeweils Wahrscheinlichste zu fin<strong>de</strong>n. Ein Verfahren zur Lösung dieses<br />
Problems soll hier nur als Begriff erwähnt wer<strong>de</strong>n, die Maximum-Entropie-Metho<strong>de</strong>. Neuerdings<br />
gelangen auch mit steigen<strong>de</strong>n Erfolg evolutionäre Algorithmen zum Einsatz, um auf indirekte Art <strong>und</strong><br />
Weise Oberflächenkarten von Sternen aus Linienprofilen abzuleiten.<br />
Von <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonne weiß man, daß ihre Aktivitätszyklen physikalisch mit <strong>de</strong>m internen Dynamo zu tun<br />
haben, <strong><strong>de</strong>r</strong> für die Entstehung <strong>und</strong> Aufrechterhaltung <strong>de</strong>s solaren Magnetfel<strong>de</strong>s verantwortlich ist. Bei<br />
an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Sternen ist das natürlich ähnlich. In<strong>de</strong>m man Sternflecken untersucht, lassen sich wertvolle<br />
Informationen (oftmals im Zusammenspiel mit an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Beobachtungsverfahren) über eventuell<br />
vorhan<strong>de</strong>ne Magnetfel<strong><strong>de</strong>r</strong>, ihre Stärke <strong>und</strong> zeitliche Entwicklung gewinnen. Insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e die<br />
Einbeziehung von Spektrallinien, die durch lokale Magnetfel<strong><strong>de</strong>r</strong> aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>s Zeeman-Effektes in<br />
mehrere, unterschiedlich polarisierte Komponenten aufgespalten wer<strong>de</strong>n, führten zu wichtigen neuen<br />
53
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Erkenntnissen über die physikalischen Bedingungen bei magnetischen Sternen. Das indirekte<br />
Bildgebungsverfahren, welches auf <strong><strong>de</strong>r</strong> Ausnutzung bei<strong><strong>de</strong>r</strong> Effekte (also Doppler-Effekt <strong>und</strong> Zeeman-<br />
Effekt) beruht, liefert im Prinzip ähnliche Informationen wie die Magnetogramme <strong><strong>de</strong>r</strong> solaren<br />
<strong>Astronomie</strong> <strong>und</strong> wird <strong>de</strong>shalb auch als Zeeman-Doppler-Imaging bezeichnet.<br />
Entstehung eines “bumps“ im Dopplerprofil einer Spektrallinie durch eine kühlere <strong>und</strong> damit weniger<br />
intensiv strahlen<strong>de</strong> Struktur in <strong><strong>de</strong>r</strong> Photosphäre eines Sterns © J.B.Rice, 2002<br />
Temperaturverteilung in <strong><strong>de</strong>r</strong> Photosphäre <strong>de</strong>s Sterns ZU Lib, einem sehr aktiven RS CVn-Stern,<br />
abgeleitet aus Dopplerprofilen © K.G.Strassmeier et.al.<br />
54
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
Druckverbreiterung von Spektrallinien<br />
Die sogenannten Stoßdämpfung entsteht aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Wechselwirkung <strong><strong>de</strong>r</strong> angeregten Atome mit<br />
geeigneten Stoßpartnern immer dann, wenn die Dichte <strong>und</strong> damit <strong><strong>de</strong>r</strong> Druck eines Gases einen Wert<br />
erreicht, bei <strong>de</strong>m die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen in <strong><strong>de</strong>r</strong> gleichen Größenordung liegt wie <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Lebensdauer <strong><strong>de</strong>r</strong> angeregten Zustän<strong>de</strong> selbst. O<strong><strong>de</strong>r</strong> an<strong><strong>de</strong>r</strong>s ausgedrückt (H.A.LORENTZ), die „atomare<br />
Schwingung“ <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz ω0 = 2πν<br />
0 wird bei einem Stoß <strong><strong>de</strong>r</strong>art gestört, daß sie quasi „außer Phase“<br />
gerät was einer Dämpfung mit einer Dämpfungskonstanten γ gleichkommt. Klassisch läßt sich dieser<br />
Sachverhalt durch das Verhalten eines gedämpften harmonischen Oszillators beschreiben:<br />
ɺɺ x + γ xɺ + ω x = 0<br />
[1.175]<br />
2<br />
0<br />
Bei schwacher Dämpfung (was man bei optischen Strahlungsübergängen voraussetzen kann) ergibt<br />
sich als Lösungsfunktion:<br />
( )<br />
2<br />
⎛ γ t ⎞ ⎛<br />
2 γ ⎞<br />
0 exp cos⎜<br />
ω0<br />
⎟<br />
x t = x ⎜ − ⎟ − t<br />
⎝ 2 ⎠ ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
55<br />
[1.176]<br />
Um daraus das Linienprofil zu erhalten, führt man eine Fouriertransformation durch <strong>und</strong> berechnet<br />
daraus die frequenzabhängige Intensitätsverteilung I ( ω ) :<br />
γ / 2π<br />
I ( ω) = ≡ L<br />
2 ( ω0 −ω<br />
)<br />
2<br />
ω − ω + γ 4<br />
( )<br />
0<br />
[1.177]<br />
wobei die Dämpfungskonstante γ mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Lebensdauer <strong>de</strong>s angeregten Zustan<strong>de</strong>s folgen<strong><strong>de</strong>r</strong>-maßen<br />
verknüpft ist:<br />
1<br />
γ =<br />
2π t<br />
*<br />
∆ [1.178]<br />
Nach (1.162) führt eine Verringerung <strong><strong>de</strong>r</strong> Lebensdauer aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Heisenberg’schen<br />
Unschärferelation zu einer erhöhten Energieunschärfe <strong>und</strong> damit automatisch zu einer Verbreiterung<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien. Bei <strong>de</strong>n Stößen zwischen <strong>de</strong>n Atomen bzw. Molekülen kann es sich entwe<strong><strong>de</strong>r</strong> um<br />
elastische o<strong><strong>de</strong>r</strong> um inelastische Stöße (also mit Energieübertragung) han<strong>de</strong>ln. Bei inelastischen Stößen<br />
wird z.B. ein Teil <strong><strong>de</strong>r</strong> Anregungsenergie in kinetische o<strong><strong>de</strong>r</strong> innere Energie <strong>de</strong>s Stoßpartner überführt,<br />
was i.d.R. zu einer sofortigen Abregung, d.h. zu einer Verkürzung <strong><strong>de</strong>r</strong> Lebensdauer<br />
Zustan<strong>de</strong>s führt:<br />
2<br />
λ ⎛ 1 1 ⎞<br />
∆λ ≈ ⎜ + * ⎟<br />
2π<br />
c ⎜ tm t ⎟<br />
⎝<br />
∆ ∆<br />
n ⎠<br />
∆ t <strong>de</strong>s angeregten<br />
*<br />
n<br />
[1.179]<br />
Da viele Teilchen in einem Plasma elektrisch gela<strong>de</strong>n sind (Elektronen, Ionen), wird es bei einer<br />
Annäherung an einen Stoßpartner zur Überlagerung <strong><strong>de</strong>r</strong> einzelnen individuellen elektrischen Fel<strong><strong>de</strong>r</strong>
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
kommen, was zu einer zeitabhängigen Störung <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieniveaus <strong><strong>de</strong>r</strong> in einem Atom o<strong><strong>de</strong>r</strong> Ion<br />
geb<strong>und</strong>enen Elektronen führt. Dieser bereits 1913 von ANTONIO LO SURDO <strong>und</strong> JOHANNES STARK<br />
(1874-1957) unabhängig voneinan<strong><strong>de</strong>r</strong> ent<strong>de</strong>ckte Effekt (er wird seit<strong>de</strong>m Stark-Effekt genannt), liefert<br />
die gr<strong>und</strong>legen<strong>de</strong>n Mechanismen, die für das Profil einer druckverbreiterten Spektrallinie im<br />
wesentlichen verantwortlich sind. Der Stark-Effekt führt unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Präsenz eines starken elektrischen<br />
Fel<strong>de</strong>s E zu einer Aufspaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieniveaus <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome. Der Betrag <strong><strong>de</strong>r</strong> Aufspaltung ist dabei<br />
entwe<strong><strong>de</strong>r</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Feldstärke direkt proportional (linearer Stark-Effekt) o<strong><strong>de</strong>r</strong> hängt quadratisch von ihr ab<br />
(quadratischer Stark-Effekt). Der lineare Effekt wird nur bei Atomen beobachtet, die in <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Nebenquantenzahl l entartet sind. Diese Entartung wird durch <strong>de</strong>n Einfluß eines externen elektrischen<br />
Fel<strong>de</strong>s aufgehoben was zu einer Aufspaltung <strong>de</strong>s Niveaus E n in (2n-1) Komponenten führt. Je<strong>de</strong>m<br />
Wert von l sind bekanntlich aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>s Elektronenspins s genau zwei Werte von j<br />
(Gesamtdrehimpuls) zugeordnet <strong>und</strong> da es zu je<strong><strong>de</strong>r</strong> Haupt-quantenzahl n genau 2(n-1) Werte von j gibt,<br />
ist das entsprechen<strong>de</strong> Niveau auch (2(n-1)-fach entartet.<br />
Der quadratische Effekt tritt dagegen bei je<strong>de</strong>m Atom auf, da er zu einer <strong>de</strong>m Quadrat <strong>de</strong>s äußeren<br />
Fel<strong>de</strong>s E proportionalen Verschiebung <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieniveaus entlang <strong><strong>de</strong>r</strong> Energieachse (S-Niveaus) bzw.<br />
zu <strong><strong>de</strong>r</strong>en Aufspaltung (z.B. D- <strong>und</strong> F-Niveaus) führt. Erreicht die Feldstärke schließlich einen Wert, bei<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> es zu einer Aufhebung <strong><strong>de</strong>r</strong> Entartung <strong><strong>de</strong>r</strong> Multiplettzustän<strong>de</strong> kommt, dann geht <strong><strong>de</strong>r</strong> quadratische<br />
Effekt in <strong>de</strong>n linearen über.<br />
In Sternspektren ist <strong><strong>de</strong>r</strong> Stark-Effekt (im Unterschied zum Zeeman-Effekt) selbstverständlich niemals<br />
in seiner reinen Form zu beobachten. Dazu wären homogene makroskopische elektrische Fel<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
notwendig, die in Sternatmosphären nicht vorkommen. Bei Stoßprozessen bzw. bei nahen<br />
Vorübergängen von Ionen <strong>und</strong> Elektronen kommt es jedoch zu schnell wechseln<strong>de</strong>n Mikrofel<strong><strong>de</strong>r</strong>n, die<br />
zu einer jeweils individuellen <strong>und</strong> zeitlich verän<strong><strong>de</strong>r</strong>lichen Verschiebung <strong><strong>de</strong>r</strong> atomaren Energieniveaus<br />
im Sinne <strong>de</strong>s Stark-Effektes führen. In <strong><strong>de</strong>r</strong> Summe bedingt dieser Vorgang eine Verbreiterung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Spektrallinien die um so ausgeprägter ist, je häufiger <strong><strong>de</strong>r</strong>artige Wechselwirkungen stattfin<strong>de</strong>n. Da die<br />
Stoßwahrscheinlichkeit mit zunehmen<strong><strong>de</strong>r</strong> Dichte (also zunehmen<strong>de</strong>n Druck P) zunimmt, ist die<br />
Druckverbreiterung <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinien ein guter Indikator, um die Elektronen- <strong>und</strong> Ionendichte im<br />
Emissions- bzw. Absorptionsgebiet einer bestimmten Spektrallinie zu ermitteln.<br />
Lorentz- <strong>und</strong> Gaußprofil einer Spektrallinie im Vergleich<br />
56
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
Nicht unerwähnt soll bleiben, daß auch Stöße zwischen neutralen Atomen einen Beitrag zur<br />
Druckverbreiterung einer Spektrallinie liefern können. Bei einem nahen Vorübergang zwischen zwei<br />
neutralen Atomen wird u.U. für kurze Zeit ein Dipolmoment induziert (van <strong><strong>de</strong>r</strong> Waals-Kräfte), das<br />
wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um zu einer Abregung eines angeregten Zustan<strong>de</strong>s führen kann. Bei kühleren<br />
Hauptreihensternen vom Typ „Sonne“ überwiegt genau diese Art von Stoßdämpfung, die<br />
hauptsächlich von neutralen Wasserstoffatomen in <strong><strong>de</strong>r</strong> Photosphäre hervorgerufen wird. In solch<br />
einem Fall ist die Dämpfungskonstante γ (1.178) <strong>de</strong>m (reziproken) Abstand<br />
57<br />
n<br />
r − mit n=6 <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
beteiligten Atome proportional. Allgemeiner läßt sich die Dämpfungskonstante (o<strong><strong>de</strong>r</strong> allgemeiner, die<br />
„Verstimmung“ eines Emissions- bzw. Absorptionsvorgang) durch eine Beziehung <strong><strong>de</strong>r</strong> Form<br />
~ n C<br />
γ [1.180]<br />
n<br />
r<br />
darstellen. Der Exponent n hängt dabei von <strong><strong>de</strong>r</strong> Art <strong><strong>de</strong>r</strong> Wechselwirkung ab während C n als<br />
Wechselwirkungskonstante (die u.a. atomare Kenngrößen zusammenfaßt) bezeichnet wird.<br />
n Art <strong><strong>de</strong>r</strong> Wechselwirkung Niveaus Anwendung / Vorkommen<br />
2 Linearer Stark-Effekt entartet Balmer-Linien, bestimmte Heliumlinien (<br />
He + ); Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronendichte<br />
3 Eigendruckverbreiterung entartet Störung durch (neutrale) gleichartige<br />
Atome; tritt beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s bei Sternen späterer<br />
Spektraltypen auf; Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong> Gasdichte<br />
4 Quadratischer Stark-Effekt nicht entartet Heliumlinien bei frühen Spektraltypen;<br />
ausgeprägter bei Elementen größerer<br />
Ordnungszahl; Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronendichte<br />
6 van <strong><strong>de</strong>r</strong> Waals -Wechselwirkung nicht entartet Wechselwirkung bei Stöße mit neutralen<br />
Wasserstoff- o<strong><strong>de</strong>r</strong> an<strong><strong>de</strong>r</strong>en neutralen<br />
Atomen (Fremdgasverbreiterung);<br />
Hauptreihensterne, bei <strong>de</strong>nen nur ein<br />
Bruchteil <strong>de</strong>s Wasserstoffs in <strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
Atmosphären ionisiert vorliegt, z.B. Sonne;<br />
Das Linienprofil L( ω ω)<br />
0<br />
Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong> Gasdichte<br />
− , welches sich aufgr<strong>und</strong> von Kollissionen <strong><strong>de</strong>r</strong> strahlen<strong>de</strong>n Atome mit<br />
an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Teilchen ausbil<strong>de</strong>t, bezeichnet man als Dispersions- bzw. Lorentz-Profil. Es unterschei<strong>de</strong>t sich<br />
vom Gauß-Profil G ( ω ω)<br />
0<br />
− <strong>de</strong>s thermisch bedingten Dopplereffekts dadurch, das es im Zentral-<br />
bereich spitzer als eine Gaußkurve erscheint während es in <strong><strong>de</strong>r</strong> unteren Hälfte langsamer abfällt <strong>und</strong> auf<br />
diese Weise die auffälligen Linienflügel entstehen. Wenn jeweils einer von bei<strong>de</strong>n Effekten überwiegt,<br />
sind bei<strong>de</strong> Linienprofile gut voneinan<strong><strong>de</strong>r</strong> zu unterschei<strong>de</strong>n. An<strong><strong>de</strong>r</strong>erseits ergibt sich durch Überlagerung<br />
(genauer Faltung, s.u.) ein neues Profil, welches unter <strong>de</strong>m Namen Voigt-Profil bekannt ist.
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Bei <strong>de</strong>n Wechselwirkungen, die zum Stark-Effekt führen, spielen neben Ionen auch freie Elektronen<br />
eine Rolle, <strong><strong>de</strong>r</strong>en elektrische Fel<strong><strong>de</strong>r</strong> insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e Wasserstoff- <strong>und</strong> einige Heliumterme stören können<br />
(linearer Effekt). Eine <strong>de</strong>tailliertere Analyse <strong><strong>de</strong>r</strong> Wechselwirkungsvorgänge (die ja statistischer Natur<br />
sind) führt zu einem Linienprofil, welches nicht genau mit <strong>de</strong>m reinen Dispersionsprofil, welches sich<br />
aus <strong><strong>de</strong>r</strong> klassischen Theorie ergibt, übereinstimmt. Es wird als Holtsmark-Profil (J.HOLTSMARK, 1919)<br />
bezeichnet <strong>und</strong> berücksichtigt die gleichzeitige Störung eines angeregten Zustan<strong>de</strong>s durch mehrere<br />
gela<strong>de</strong>ne Teilchen in <strong>de</strong>ssen unmittelbarer Umgebung. Dadurch ist es in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage, insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e die<br />
Linienflügel von druckverbreiterten Spektrallinien genauer zu erfassen. Man verwen<strong>de</strong>t es z.B. um aus<br />
Balmerlinienprofilen Elektronendichten in Sternatmosphären abzuleiten.<br />
Da die Atmosphären von Riesen- <strong>und</strong> Überriesensternen relativ dünn sind, spielt bei ihnen die<br />
Druckverbreiterung keine o<strong><strong>de</strong>r</strong> nur eine untergeordnete Rolle. An<strong><strong>de</strong>r</strong>s sieht es schon bei <strong>de</strong>n weitaus<br />
kompakteren Hauptreihensternen aus. Die mittlere Zeit zwischen <strong>de</strong>n Stößen <strong><strong>de</strong>r</strong> Gasteilchen in ihren<br />
Atmosphären läßt sich leicht aus <strong><strong>de</strong>r</strong> kinetischen Gastheorie ableiten <strong>und</strong> beträgt<br />
1 m<br />
t = [1.181]<br />
2<br />
n d 16π<br />
kT<br />
wobei n die Teilchenzahldichte, m die Teilchenmasse, d <strong><strong>de</strong>r</strong> „Atomdurchmesser“ <strong>und</strong> T die kinetische<br />
*<br />
Temperatur ist. Setzt man t ≈ ∆ t (1.178) dann erkennt man, daß sich (vorausgesetzt, die Temperatur<br />
T ist an<strong><strong>de</strong>r</strong>weitig bekannt) aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Halbwertsbreite einer geeigneten Spektrallinie die Teilchenzahldichte<br />
n (<strong>und</strong> darüber <strong><strong>de</strong>r</strong> Gasdruck P) bestimmen läßt.<br />
Auswirkung unterschiedlichen Gasdrucks bei A-Überiesen <strong>und</strong> A-Zwergsternen auf eine Balmerabsorptionslinie<br />
Wie bereits erwähnt, sind die Linien <strong><strong>de</strong>r</strong> Balmerserie beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s leicht durch <strong>de</strong>n linearen Stark-Effekt<br />
zu beinflussen. Ihre Linienstärke ist <strong>de</strong>shalb ein wichtiges Kriterium, um Sterne gleichen Spektraltyps<br />
in unterschiedliche Leuchtkraftklassen einzuordnen. Aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Anregungsbedingungen betrifft das<br />
im Wesentlichen nur späte B-Typen <strong>und</strong> <strong>de</strong>n Spektraltyp A, bei <strong>de</strong>m die Balmerabsorptionen am<br />
<strong>de</strong>utlichsten ausgeprägt sind. Die Balmerlinien sind bei Überriesen vom Typ A be<strong>de</strong>utend schwächer<br />
58
Profil <strong>und</strong> Verbreiterung von Spektrallinien<br />
als bei Hauptreihensternen gleichen Spektraltyps. Die Ursache dafür liegt in <strong><strong>de</strong>r</strong> Zunahme <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Teilchenzahldichte (<strong>und</strong> damit <strong>de</strong>s Gasdrucks) in <strong><strong>de</strong>r</strong>en Atmosphären bei gleichzeitiger Abnahme <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sternradien.<br />
Die Druckverbreiterung kann u.U. solche Ausmaße annehmen, daß z.B. bei manchen Weißen<br />
Zwergsternen die Balmerabsorptionslinien über einen großen Bereich <strong>de</strong>s Kontinuums regelrecht<br />
verschmiert wer<strong>de</strong>n.<br />
Die Inglis-Teller-Beziehung<br />
Entsprechend (1.105) mit n=2 nehmen die Linienabstän<strong>de</strong> ∆ λ mit wachsen<strong>de</strong>m m immer mehr ab bis<br />
die Linienserie im Grenzfall m → ∞ bei λ = 364.6 nm in das Balmer-Grenzkontinuum übergeht.<br />
Unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Wirkung <strong>de</strong>s linearen Stark-Effektes wächst jedoch mit steigen<strong>de</strong>n n (Hauptquantenzahl)<br />
auch die <strong><strong>de</strong>r</strong> Aufspaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> Terme (2n-1) an, was unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Einwirkung von Mikrofel<strong><strong>de</strong>r</strong>n, die durch<br />
die Teilchen eines Elektronengases <strong><strong>de</strong>r</strong> Dichte N e erzeugt wer<strong>de</strong>n, zu einer Linienverbreiterung führt.<br />
Damit verschiebt sich die Grenze, ab <strong><strong>de</strong>r</strong> die Linien <strong><strong>de</strong>r</strong> Serie nicht mehr aufgelöst wer<strong>de</strong>n können<br />
(aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Überlappung <strong><strong>de</strong>r</strong> druckverbreiterten Spektrallinien), in Richtung höherer Wellenlängen.<br />
D.A.INGLIS <strong>und</strong> EDWARD TELLER (1908-2003) haben 1939 eine Beziehung abgeleitet, welches die<br />
Elektronendichte e N zu <strong><strong>de</strong>r</strong> Quantenzahl n m in Beziehung setzt, die zu <strong><strong>de</strong>r</strong> Linie im Bereich <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Seriengrenze gehört, die gera<strong>de</strong> noch aufgelöst wer<strong>de</strong>n kann:<br />
log N = 23.26 − 7.5log n unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Bedingung<br />
e m<br />
59<br />
T
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Faltung doppler- <strong>und</strong> druckverbreiteter Profile - das Voigt-Profil<br />
Die Spektrallinien realer Sterne stellen Überlagerungen zwischen dopplerverbreiterten <strong>und</strong> durch<br />
Druckeffekte verbreiterte Linien dar. Mathematisch wird das durch eine Faltung <strong>de</strong>s Gaußprofils<br />
( 0 − ) mit <strong>de</strong>m Dispersions- o<strong><strong>de</strong>r</strong> Lorentzprofils L( ω0 ω)<br />
( − ) entsteht:<br />
G ω ω<br />
H ω ω<br />
0<br />
0 0<br />
−∞<br />
60<br />
− erreicht, wodurch das Voigt-Profil<br />
∞<br />
H = L∗ G ≡ H ( ω − ω) = ∫ L( ω) G ( ω −ω<br />
) dω<br />
[1.183]<br />
(WOLDEMAR VOIGT, 1850-1919)<br />
Lei<strong><strong>de</strong>r</strong> gibt es keine analytische Lösung <strong>de</strong>s Faltungsintegrals (1.183), so daß es im praktischen Einsatz<br />
etwas schwierig anzuwen<strong>de</strong>n ist. Im allgemeinen Fall läßt sich das aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Faltung resultieren<strong>de</strong> Voigt-<br />
Profil<br />
H<br />
( ω)<br />
= 2<br />
V ( x,<br />
β )<br />
( ∆ ) 1 2<br />
ln 2<br />
π ω<br />
durch die Voigt-Funktion (auf π normiert)<br />
2 ( −y<br />
)<br />
β exp<br />
V ( x, β ) =<br />
dy<br />
π β<br />
( x y)<br />
[1.184]<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
+ −<br />
2<br />
[1.185]<br />
darstellen, wobei sich die Parameter x <strong>und</strong> β folgen<strong><strong>de</strong>r</strong>maßen berechnen lassen:<br />
β =<br />
ln 2<br />
( ∆ω)<br />
( ∆ω)<br />
Lorentz<br />
Gauß<br />
<strong>und</strong><br />
( ω −ω0<br />
)<br />
( ∆ω)<br />
x = 2 ln 2 Gauß<br />
[1.186]<br />
Die Delta-Werte sind dabei die jeweils vollen Halbwertsbreiten in Kreisfrequenzeinheiten <strong>und</strong> ω 0 die<br />
Mittenfrequenz <strong><strong>de</strong>r</strong> Linie.<br />
Früher verwen<strong>de</strong>te man zur Linienanalyse umfangreiche Tabellen <strong><strong>de</strong>r</strong> Voigt-Funktion in Abhängigkeit<br />
ihrer Parameter. Heute existieren eine ganze Anzahl effizienter numerischer Algorithmen zur<br />
Berechnung dieser Funktion, die in entsprechen<strong>de</strong>n Computerprogrammen zur automatischen Analyse<br />
von Spektrallinien verwen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n.<br />
Schaut mich sich das Voigt-Profil etwas genauer an, dann kann man zwei verschie<strong>de</strong>ne<br />
Strukturmerkmale unterschei<strong>de</strong>n. Der Linienkern ist fast auschließlich durch die thermische<br />
Dopplerverbreiterung bedingt, weshalb man auch von einem Doppler-Kern spricht. Druckeffekte<br />
führen dagegen zu ausla<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Linienflügeln, die <strong>de</strong>shalb oft auch als Dämpfungsflügel bezeichnet<br />
wer<strong>de</strong>n. Die Linienform wird dabei in erster Linie durch das Verhältnis <strong><strong>de</strong>r</strong> „Dämpfungsbreite“ zur<br />
„Dopplerbreite“ entsprechend (1.186a, Parameter ß) bestimmt. Das ist leicht einzusehen, da <strong><strong>de</strong>r</strong>
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Doppleranteil mit wachsen<strong>de</strong>n x exponentiell abfällt, die Dämpfung dagegen nur mit<br />
61<br />
2<br />
1 ∆ λ . Das führt<br />
bei größer wer<strong>de</strong>n<strong><strong>de</strong>r</strong> Dämpfungskonstante zwangsläufig zu einer immer ausgeprägteren Flügelbildung.<br />
Annähernd gilt dabei für <strong>de</strong>n Abstand ∆ λ von <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienmitte, wo sich die Dämpfungsflügel<br />
vom Dopplerkern lösen<br />
Lorentz ⎛ ∆ω<br />
⎞<br />
∆λ ≈ −log ⎜ ∆λ<br />
Doppler ⎟<br />
⎝ ∆ω<br />
⎠<br />
Doppler<br />
Voigt-Funktion für verschie<strong>de</strong>ne Werte <strong>de</strong>s Dämpfungsparameters ß © Unsöld, 1955<br />
Strahlungstransport in Absorptionslinien (gg-Übergänge)<br />
[1.187]<br />
Eine Absorptionslinie in einem Sternspektrum kann man in einem gewissen Sinn als ein Abbild <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Absorptionseigenschaften <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre in <strong>de</strong>m Wellenlängenbereich ∆ λ betrachten, <strong>de</strong>n die<br />
entsprechen<strong>de</strong> Spektrallinie ab<strong>de</strong>ckt. Ein Gr<strong>und</strong> dafür ist in <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperaturschichtung zu suchen <strong>und</strong><br />
zwar in <strong>de</strong>m Sinn, daß sich über <strong>de</strong>n heißen tieferen Schichten <strong>de</strong>s Sterns eine kühlere Gasschicht<br />
befin<strong>de</strong>t, in <strong><strong>de</strong>r</strong> das Gas quasi durchsichtig wird <strong>und</strong> an <strong><strong>de</strong>r</strong>en Oberfläche die elektromagnetische<br />
Strahlung in <strong>de</strong>n interstellaren Raum entweichen kann. Das entspricht in etwa <strong>de</strong>m Kirchhoff’schen<br />
Gr<strong>und</strong>versuch, bei <strong>de</strong>m eine kontinuierliche Strahlungsquelle durch ein durchsichtiges Behältnis mit<br />
einem kühleren Gas beobachtet wird <strong>und</strong> man genau an <strong>de</strong>n Positionen im Spektroskop dunkle Linien<br />
erkennen kann., wo das gleiche Gas bei hohen Temperaturen (wenn es quasi selbst strahlt)<br />
Emissionslinien zeigt. Um die Entstehung <strong>und</strong> das Profil einer Spektrallinie zu verstehen, muß man<br />
<strong>de</strong>mnach im Detail untersuchen was genau physikalisch mit einem kontinuierlichen Strahlungsfeld<br />
passiert (dargestellt durch eine Planck’sche Funktion Bλ gemäß (1.37)), wenn es aus <strong>de</strong>m Sterninneren
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
kommend die Sternatmosphäre durchquert. Diese Aufgabenstellung begrün<strong>de</strong>t die Theorie <strong>de</strong>s<br />
Energietransports durch Strahlung (Strahlungstransport, radiative transfer), welche gleichermaßen<br />
auch eine Theorie <strong>de</strong>s physikalischen Aufbaus von Sternatmosphären (soweit man konvektiven<br />
Energietransport vernachlässigen kann) ist. Sobald nämlich die gr<strong>und</strong>legen<strong>de</strong>n Prozesse <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Wechselwirkung eines gegebenen Strahlungsfel<strong>de</strong>s mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Materie bekannt sind, läßt sich im<br />
Umkehrschluß aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Auswertung von Sternspektren auf <strong>de</strong>n Aufbau <strong><strong>de</strong>r</strong> dazugehörigen<br />
Sternatmosphären schließen (quantitative Spektralanalyse).<br />
Die erste Frage, die beantwortet wer<strong>de</strong>n soll, ist die Frage, wie sich die Intensität I <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlung beim<br />
Durchgang durch eine rein absorbieren<strong>de</strong> Schicht verän<strong><strong>de</strong>r</strong>t. Zuvor soll präzisiert wer<strong>de</strong>n, was im<br />
Folgen<strong>de</strong>n unter Intensität I bzw. „spezifischer Intensität“ I ν bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz ν zu verstehen ist. dA<br />
soll ein Flächenelement sein, welches sich irgendwo im Strahlungsfeld befin<strong>de</strong>t. Die<br />
Ausbreitungsrichtung <strong>de</strong>s Strahlungsfel<strong>de</strong>s <strong>und</strong> die Richtung <strong>de</strong>s Normalenvektors n <strong>de</strong>s<br />
Flächenelements bil<strong>de</strong>n <strong>de</strong>n Winkel ϑ , so daß dAcosϑ die in Einstrahlungsrichtung projizierte Fläche<br />
ist. Die Strahlung selbst stammt aus <strong>de</strong>m Raumwinkelbereich dω <strong>und</strong> <strong>de</strong>m Frequenzbereich ν + dν<br />
.<br />
Pro Zeiteinheit dt strömt dann genau die Energie<br />
dE = Iν cosϑ<br />
dAdω dt dν<br />
[1.188]<br />
durch das Flächenelement dA. Hieraus läßt sich sofort die SI-Einheit für die spezifische Intensität<br />
ablesen: Watt pro Quadratmeter, Steradiant <strong>und</strong> Hertz ( W m ster Hz<br />
62<br />
−2 −1 − 1<br />
). Physikalisch stellt die<br />
spezifische Intensität bei kosmischen Objekten eine Flächenhelligkeit dar, die wegen<br />
dIν<br />
= 0<br />
[1.189]<br />
ds<br />
(wenn sich zwischen Beobachter <strong>und</strong> beobachtetes Objekt Vakuum befin<strong>de</strong>t) entfernungsunabhängig<br />
ist.<br />
Die Gesamtintensität I erhält man durch Integration über <strong>de</strong>n gesamten Frequenzbereich:<br />
∞<br />
I = ∫ I d<br />
[1.190]<br />
0<br />
ν ν<br />
Unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlungsflußdichte F ν versteht man die Leistung pro Flächeneinheit <strong>und</strong> Frequenzintervall,<br />
die sich aus (1.188) durch Integration über <strong>de</strong>n Raumwinkel ω , welche die Quelle am Himmel<br />
einnimmt, ergibt:<br />
1<br />
Fν = dE = Iν cosϑ<br />
dω<br />
dAdt dν<br />
∫ ∫ [1.191]<br />
Diese Größe hängt von <strong><strong>de</strong>r</strong> Entfernung von <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlungsquelle ab. Ein typisches Beispiel für diese<br />
Größe ist die Solarkonstante S.
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Integriert man über alle Frequenzen, dann erhält man mit (1.190):<br />
∫ ∫ [1.192]<br />
F = I cosϑ dω<br />
≈ Idω wenn die Winkelaus<strong>de</strong>hnung <strong><strong>de</strong>r</strong>Strahlungsquellesehr klein ist<br />
Integriert man (1.193) dagegen nur über einen Halbraum (Kugelschale), dann folgt für ein isotropes<br />
Strahlungsfeld:<br />
π 2 2π<br />
∫ ∫ [1.194]<br />
F = I cosϑ sinϑ<br />
dϑ dϕ = π I<br />
ϑ = 0 ϕ = 0<br />
Das ist die Strahlungsenergie, die pro Zeiteinheit die Einheitsfläche verläßt.<br />
Wie än<strong><strong>de</strong>r</strong>t sich nun die Strahlungsintensität, wenn sie eine absorbieren<strong>de</strong> Schicht durchläuft?<br />
Angenommen, an einer bestimmten Stelle R (vom Zentrum <strong>de</strong>s Sterns gemessen) sei die Intensität I.<br />
Ein kleines Stück weiter (also an <strong><strong>de</strong>r</strong> Position R + ds ) hat sich die Intensität aufgr<strong>und</strong> von<br />
Absorptionsprozessen um I + dI verän<strong><strong>de</strong>r</strong>t. Da es sich dabei um eine Abschwächung han<strong>de</strong>lt, ist dI<br />
ein negativer Wert. Bezeichnet man mit κ <strong>de</strong>n Absorptionskoeffizienten (welcher eine Materialeigenschaft<br />
darstellt <strong>und</strong> in diesem Beispiel die Absorptionsfähigkeit <strong>de</strong>s Sternplasmas beschreibt),<br />
dann gilt für die Verringerung <strong><strong>de</strong>r</strong> Intensität I über die Strecke ds<br />
dI<br />
− = κ ds<br />
[1.195]<br />
I<br />
Wie ein Blick auf ein Sternspektrum eindrucksvoll beweist, muß die Größe κ (<strong>und</strong> damit auch die<br />
Intensität I) eine (meist komplizierte) Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz ν sein:<br />
dIν<br />
− = κ ( ν ) ds<br />
[1.196]<br />
I<br />
ν<br />
Da κ ν nichts an<strong><strong>de</strong>r</strong>es ist als ein Wirkungsquerschnitt pro Volumeneinheit, wird er in einer reziproken<br />
1<br />
Längeneinheit gemessen (in SI in m − ). Er gibt <strong>de</strong>n Bruchteil <strong><strong>de</strong>r</strong> Intensitätsän<strong><strong>de</strong>r</strong>ung an, <strong>de</strong>n die<br />
Strahlung pro Meter Weg erfährt. Da die Absorptionsvorgänge durch Teilchen entlang <strong>de</strong>s Lichtwegs<br />
hervorgerufen wer<strong>de</strong>n, hängt κ ν offensichtlich von <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl dieser (absorbieren<strong>de</strong>n) Teilchen pro<br />
Volumeneinheit, also von <strong><strong>de</strong>r</strong>en Dichte ρ ab:<br />
κ<br />
ρ<br />
ν ɶ ν = (Massenabsorptionskoeffizient) [1.197]<br />
κ<br />
Diese Größe wird oft verwen<strong>de</strong>t, wenn man die Intensitätsän<strong><strong>de</strong>r</strong>ung, die beim Durchgang von<br />
Strahlung durch eine Gassäule mit <strong>de</strong>m Wirkungsquerschnitt 1 m² <strong>und</strong> einem Masseinhalt von 1 kg<br />
absorbieren<strong><strong>de</strong>r</strong> Materie auftritt, benötigt.<br />
Bezieht man ν<br />
κ auf jeweils ein absorbieren<strong>de</strong>s Teilchen, dann spricht man von einem atomaren<br />
Absorptionskoeffizienten <strong>und</strong> die Größe entspricht einem klassischen Streuquerschnitt, <strong><strong>de</strong>r</strong>en SI-<br />
Einheit bekanntlich m² ist.<br />
63
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Den Absorptionskoeffizienten κ ν kann man zur Definition einer weiteren, recht anschaulichen Größe -<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> optischen Tiefe τ ν - verwen<strong>de</strong>n. Diese neue Größe stellt ein Maß für die „Durchsichtigkeit“ einer<br />
Sternatmosphäre bei einer gegebenen Frequenz ν dar <strong>und</strong> wird über das Wegintegral über <strong>de</strong>n<br />
Absorptionskoeffizienten in radialer Richtung berechnet:<br />
r<br />
τ = ∫ κ dr<br />
[1.198]<br />
ν ν<br />
0<br />
dr bezeichnet in dieser Beziehung ein Wegelement längs <strong>de</strong>s Sternradius <strong>und</strong> wird von Außen nach<br />
Innen positiv gezählt während ds ein Wegelement längs eines Lichtstrahls ist. Betrachtet man die<br />
Intensität I ν <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlung, die radial aus <strong>de</strong>m Stern austritt (dr=ds), dann folgt aus (1.196) durch<br />
Integration<br />
( τ )<br />
I = I − [1.199]<br />
,0 exp<br />
ν ν ν<br />
d.h. die Intensität v,0<br />
Sternoberfläche auf ,0 / ν<br />
I <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlung, die aus einer optischen Tiefe von τ = 1 stammt, ist an <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
I e , d.h. auf r<strong>und</strong> 37 % ihres ursprünglichen Wertes gefallen.<br />
Medien, die bei einer bestimmten Frequenz ν eine optische Tiefe τ ν >> 1 besitzen, bezeichnet man bei<br />
dieser Frequenz als „optisch dick“; an<strong><strong>de</strong>r</strong>nfalls spricht man von „optisch dünnen“ Medien. Die<br />
Erdatmosphäre ist z.B. im Bereich <strong>de</strong>s sichtbaren Lichtes „optisch dünn“, während sie im fernen UV<br />
<strong>und</strong> im Röntgenbereich „optisch dick“ ist.<br />
In <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternmaterie fin<strong>de</strong>n natürlich nicht nur Absorptionsvorgänge statt. Analog zum<br />
Absorptionskoeffizienten κ ν kann <strong>de</strong>shalb auch ein Emissionskoeffizient ε ν eingeführt wer<strong>de</strong>n<br />
welcher angibt, wieviel Energie pro Sek<strong>und</strong>e <strong>und</strong> Kubikmeter bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz ν in <strong>de</strong>n Raumwinkel<br />
dω = 1 emittiert wird:<br />
dI = ε ds<br />
[1.200]<br />
ν ν<br />
O<strong><strong>de</strong>r</strong> an<strong><strong>de</strong>r</strong>s ausgedrückt, diese Beziehung erfaßt die längs <strong>de</strong>s Weges zusätzlich emittierte Energie so<br />
daß sich unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Voraussetzung, daß die Strahlung eine planparallele Schicht unter <strong>de</strong>m Winkel ϑ<br />
durchdringt, folgen<strong>de</strong> Bilanzgleichung aufstellen läßt:<br />
cos ( )<br />
dIν<br />
ϑ = − κν Iν<br />
ϑ + εν<br />
[1.201]<br />
ds<br />
Man beachte dabei, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> erste Summand richtungsabhängig <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> zweite richtungsunabhängig ist.<br />
Auch <strong><strong>de</strong>r</strong> Emissionskoeffizient ist gewöhnlich eine komplizierte Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz <strong>und</strong> hängt von<br />
<strong>de</strong>n physikalischen Bedingungen am Ort <strong><strong>de</strong>r</strong> Emissionsvorgänge ab.<br />
64<br />
ν
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Lokales thermodynamisches Gleichgewicht (LTE) <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Kirchhoffsche Satz<br />
Da Sternatmosphären einen radialen Temperaturgradienten aufweisen, können sie sich nicht im<br />
thermodynamischen Gleichgewicht befin<strong>de</strong>n. Thermodynamisches Gleichgewicht setzt voraus, daß<br />
überall die gleiche Temperatur T herrscht <strong>und</strong> das Strahlungsfeld isotrop ist - Bedingungen, die nach<br />
Definition genaugenommen nur für Schwarzen Strahler gelten. Im kosmischen Raum erfüllt lediglich<br />
das 3K Hintergr<strong>und</strong>strahlungsfeld weitgehend diese einschränken<strong>de</strong>n For<strong><strong>de</strong>r</strong>ungen.<br />
Es ist aber realistisch, die Bedingung <strong>de</strong>s thermodynamischen Gleichgewichts für ein Volumenelement<br />
dV innerhalb einer (nicht zu dünnen) Sternatmosphäre anzunehmen. In solch einem Fall spricht man<br />
von einem lokalen thermodynamischen Gleichgewicht, welches gewöhnlich mit LTE (local<br />
thermodynamil equilibrium) abgekürzt wird. Es erlaubt die uneingeschränkte Anwendung <strong>de</strong>s<br />
Kirchhoffschen Satzes, nach <strong><strong>de</strong>r</strong> das Absorptionsvermögen eines Mediums gleich seinem<br />
Emissionsvermögen ist, also mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Planck-Funktion Bν ( T ) :<br />
( )<br />
ε = κ B T<br />
[1.202]<br />
ν ν ν<br />
Das Verhältnis zwischen Emissionskoeffizient <strong>und</strong> Absorptionskoeffizient, welches für eine gegebene<br />
Temperatur T die Gleichung (1.202) erfüllt, wird gewöhnlich als „Ergiebigkeit“ o<strong><strong>de</strong>r</strong> im<br />
englischsprachigen Raum als „source function“ bezeichnet:<br />
ν<br />
ν = [1.203]<br />
κν<br />
S<br />
ε<br />
Mit dτ = − κ ds kann dann (1.201) wie folgt geschrieben wer<strong>de</strong>n:<br />
ν ν<br />
dIν<br />
cosϑ<br />
= Iν ( ϑ ) − Sν<br />
[1.204]<br />
dτ<br />
ν<br />
Diese lineare Differentialgleichung 1. Ordnung in <strong><strong>de</strong>r</strong> Form einer Strömungsgleichung nennt man in<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astrophysik</strong> Strahlungstransportgleichung. Sie gilt für jeweils eine bestimmte Frequenz <strong>und</strong> kann<br />
zur Behandlung von Strahlungstransportprozessen in Sternen verwen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n, bei <strong>de</strong>nen die<br />
Bedingung ∆ R / R
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
(da in <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre ein von innen nach außen verlaufen<strong>de</strong> Temperaturgradient herrscht, ist<br />
entgegen <strong><strong>de</strong>r</strong> Annahmen von LTE die Ergiebigkeit eine Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> optischen Tiefe was die<br />
Auswertung <strong>de</strong>s Integrals sehr erschwert).<br />
Im Allgemeinen läßt sich das Integral (1.206) bis auf einige Spezialfälle nur numerisch auswerten. Eine<br />
einfache analytische Lösung existiert jedoch für <strong>de</strong>n Fall, daß die Ergiebigkeitsfunktion ein<br />
gewichtetes Mittel aller ihrer Werte in Blickrichtung ist <strong>und</strong> man senkrecht auf die Sternatmosphäre<br />
schaut ( ϑ = 0 ):<br />
( )<br />
( τ ) ( τ )<br />
I = I exp − + S 1− exp − [1.207]<br />
ν ν 0 ν ν ν<br />
Angenommen, die Frequenz ν 0 entspricht genau <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienmitte einer Absorptionslinie.<br />
Dann lassen sich in Abhängigkeit <strong><strong>de</strong>r</strong> optischen Tiefe τ ν zwei Fälle unterschei<strong>de</strong>n:<br />
τ Grenzwert ν<br />
Intensität Iν τ ν >> 1 optisch dick exp ( −τ ) → 0 I<br />
0<br />
ν = S<br />
0 ν 0<br />
τ ν
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Zwischen diesen drei Strahlungsmechanismen existieren Zusammenhänge, die mittels <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Einsteinschen Übergangswahrscheinlichkeiten (Einstein-Koeffizienten) beschrieben wer<strong>de</strong>n können.<br />
Mögliche Strahlungsübergänge zwischen zwei Elektronenzustän<strong>de</strong>n <strong><strong>de</strong>r</strong> Energie 1 E <strong>und</strong> 2 E<br />
Mit 1 N <strong>und</strong> 2<br />
N (Besetzungszahl) soll jeweils die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome in einen <strong><strong>de</strong>r</strong> Zustän<strong>de</strong> mit <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Energie 1 E <strong>und</strong> 2 E bezeichnet wer<strong>de</strong>n, wobei E1 E2<br />
< gilt. Weiterhin sei ( )<br />
67<br />
uν = n ν hν<br />
die spektrale<br />
Energiedichte <strong>de</strong>s Strahlungsfel<strong>de</strong>s bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz ν . Dann gilt für die Zahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome, die durch<br />
Absorption eines Lichtquants vom Zustand 1 in <strong>de</strong>n Zustand 2 übergehen:<br />
− dN = u N B dt<br />
[1.208]<br />
1 ν 1 12<br />
Das Produkt uν B12<br />
gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an, mit <strong><strong>de</strong>r</strong> ein Photon hν aus <strong>de</strong>m umgeben<strong>de</strong>n<br />
Strahlungsfeld absorbiert wird. Die gesamte absorbierte Energie ist dann<br />
dE = hν dN<br />
[1.209]<br />
abs<br />
1<br />
Aufgr<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Wechselwirkung <strong>de</strong>s Atoms mit <strong>de</strong>m Nullpunktsstrahlungsfeld wird diese Energie durch<br />
spontane Emission wie<strong><strong>de</strong>r</strong> abgegeben:<br />
dE = hν dN<br />
[1.210]<br />
em<br />
2<br />
Deshalb muß zusätzlich zur induzierten Übergangswahrscheinlichkeit uν B21<br />
noch eine<br />
Übergangswahrscheinlichkeit A 21 eingeführt wer<strong>de</strong>n, welche die spontane Emission berücksichtigt.<br />
Für die Än<strong><strong>de</strong>r</strong>ung <strong><strong>de</strong>r</strong> Besetzungszahl <strong>de</strong>s Zustan<strong>de</strong>s E 2 gilt <strong>de</strong>mnach:<br />
( )<br />
− dN = u B + A N dt<br />
[1.211]<br />
2 ν 21 21 2<br />
Im stationären Fall müssen die sich aus (1.208) <strong>und</strong> (1.211) ergeben<strong>de</strong>n Zustandsbesetzungen gleich<br />
sein, was zu <strong><strong>de</strong>r</strong> Beziehung<br />
u N B = A N + u N B<br />
[1.212]<br />
ν 1 12 21 2 ν 2 21<br />
führt.
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Die Größen A21, B12 <strong>und</strong> B 21 sind die sogenannten Einstein-Koeffizienten. Physikalisch stellen sie<br />
Übergangswahrscheinlichkeiten dar:<br />
A 21 Übergangswahrscheinlichkeit für spontane Emission<br />
Spontane Emission fin<strong>de</strong>t immer dann statt, wenn sich das Elektron in einem oberen Niveau (hier 2)<br />
befin<strong>de</strong>t <strong>und</strong> spontan (unter Aussendung eines Photons) in ein unteres Niveau übergeht. Die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
spontanen Übergänge hängt dabei von <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl N2 <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome ab, die sich gera<strong>de</strong> im angeregten<br />
Zustand 2 befin<strong>de</strong>n sowie von <strong><strong>de</strong>r</strong> mittleren Lebensdauer dieses Zustan<strong>de</strong>s. Daraus folgt, daß <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Einstein-Koeffizient A 21 <strong>de</strong>n Kehrwert <strong><strong>de</strong>r</strong> Lebensdauer <strong>de</strong>s Zustan<strong>de</strong>s 2 angibt:<br />
68<br />
1<br />
A21 τ 2<br />
−<br />
= Die<br />
Zeitkonstante τ hängt dabei von <strong><strong>de</strong>r</strong> natürlichen Lebensdauer bzw. von <strong><strong>de</strong>r</strong> durch thermische <strong>und</strong><br />
Stoßprozesse verkürzte Lebensdauer <strong>de</strong>s entsprechen<strong>de</strong>n quantenmechanischen Zustan<strong>de</strong>s ab.<br />
B 12 Übergangswahrscheinlichkeit für Absorption<br />
Wahrscheinlichkeit dafür, daß aus <strong>de</strong>m umgeben<strong>de</strong>n Strahlungsfeld ein Photon <strong><strong>de</strong>r</strong> Energie ∆ E = hν<br />
entnommen wird <strong>und</strong> das Atom aus <strong>de</strong>m Zustand 1 in <strong>de</strong>n Zustand 2 übergeht. Es han<strong>de</strong>lt sich dabei<br />
um <strong>de</strong>n inversen Prozeß <strong><strong>de</strong>r</strong> stimulierten Emission. Dieser Vorgang wird manchmal auch als<br />
Strahlungsanregung bezeichnet.<br />
B 21 Übergangswahrscheinlichkeit für stimulierte Emission<br />
Die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> durch stimulierte Emission erzeugten Photonen hängt neben <strong><strong>de</strong>r</strong> Besetzungsdichte <strong>de</strong>s<br />
Niveaus 2 von <strong><strong>de</strong>r</strong> Richtung <strong>und</strong> Intensität <strong>de</strong>s Strahlungsfel<strong>de</strong>s mit <strong>de</strong>n Strahlungsmo<strong>de</strong>n ∆ E = hν<br />
ab. Stimulierte Emission wird z.B. bei Laser zur Lichtverstärkung ausgenutzt, nach<strong>de</strong>m durch<br />
„pumpen“ eine Besetzungsinversion zwischen <strong>de</strong>n Niveaus 1 <strong>und</strong> 2 erzeugt wur<strong>de</strong> (das entspricht nach<br />
(1.213) einem Zustand „negativer“ Temperatur).<br />
Geht man davon aus, daß im thermischen Gleichgewicht für das Verhältnis <strong><strong>de</strong>r</strong> Besetzungszahlen eine<br />
Boltzmann-Verteilung vorliegt, dann erhält man mit<br />
N2 g ⎛ 2 hν<br />
⎞<br />
= exp⎜<br />
− ⎟<br />
N1 g1 ⎝ k T ⎠<br />
die spektrale Energiedichte<br />
u<br />
ν<br />
A21<br />
1<br />
=<br />
B21 ⎛ g ⎞⎛ 1 B ⎞⎛ ⎛ 21 hν<br />
⎞ ⎞<br />
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ exp⎜ ⎟ −1⎟<br />
g B ⎝ k T ⎠<br />
⎝ 2 ⎠⎝ 12 ⎠⎝ ⎠<br />
[1.213]<br />
[1.214]<br />
Dabei bezeichnen die Größen g jeweils die statistischen Gewichte <strong><strong>de</strong>r</strong> Zustän<strong>de</strong> 1 <strong>und</strong> 2. Sie geben an,<br />
wie oft ein Niveau mit <strong>de</strong>m Gesamtdrehimpuls J entartet ist (also g=2J+1).
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Vergleicht man diese Formel mit <strong>de</strong>m Planckschen Strahlungsgesetz in <strong><strong>de</strong>r</strong> Form<br />
u<br />
ν<br />
=<br />
3<br />
8π hν<br />
1<br />
3<br />
c h<br />
dann ergibt sich<br />
⎛ ν ⎞<br />
exp⎜ ⎟ −1<br />
⎝ k T ⎠<br />
69<br />
[1.215]<br />
3<br />
8π hν<br />
A21 = B 3 12<br />
[1.216]<br />
c<br />
g<br />
B = B<br />
[1.217]<br />
12<br />
2<br />
g1<br />
21<br />
Im Fall, daß die bei<strong>de</strong>n Niveaus nicht entartet sind (d.h. g=1), stimmen die Einsteinkoeffizienten für<br />
Absorption <strong>und</strong> stimulierte Emission überein.<br />
Anstelle <strong>de</strong>s Koeffizienten B 12 verwen<strong>de</strong>t man oftmals eine Größe, die noch aus <strong><strong>de</strong>r</strong> klassischen<br />
Behandlung <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienemission stammt <strong>und</strong> als Oszillatorstärke f 12 für <strong>de</strong>n Absorptionsübergang<br />
E1 → E2<br />
bezeichnet wird:<br />
me<br />
f12 = hν B 2 12<br />
[1.218]<br />
π e<br />
Diese Größe wird gewöhnlich experimentell bestimmt. Sie kann aber auch (zumin<strong>de</strong>st für Wasserstoff)<br />
mit quantenmechanischen Metho<strong>de</strong>n berechnet wer<strong>de</strong>n. Im Fall <strong><strong>de</strong>r</strong> Balmer -Alpha <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Balmer-<br />
Beta -Linie gilt z.B. f23 = 0.637 <strong>und</strong> f24<br />
= 0.119 (hier sind die Indizes die Hauptquantenzahlen <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
betreffen<strong>de</strong>n Niveaus im Wasserstoffatom).<br />
Für <strong>de</strong>n Emissionsvorgang E2 → E 1 gilt eine zu (1.218) analoge Beziehung, wobei man die<br />
Oszillatorstärke (wegen Emission) mit einem Minuszeichen versieht. Mit (1.217) folgt dann die<br />
wichtige Beziehung:<br />
g1 f12 = − g2 f21<br />
[1.219]<br />
Sie sagt aus, daß sich bei Übergängen zwischen jeweils zwei Energieniveaus die Oszillatorstärken für<br />
Absorption <strong>und</strong> Emission wie die statistischen Gewichte <strong><strong>de</strong>r</strong> Endzustän<strong>de</strong> verhalten.<br />
Mit diesen Vorarbeiten sollte es nun gelingen, einen Zusammenhang zwischen <strong>de</strong>m<br />
Linienabsorptionskoeffizienten κ ( ν ) <strong>und</strong> <strong>de</strong>n atomaren Absorptionsprozessen herzustellen. Die<br />
Strahlungsenergie E ν , die bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz ν in einem Strahlungsfeld pro Zeiteinheit in einem<br />
Einheitsvolumen enthalten ist, entspricht <strong><strong>de</strong>r</strong> spektralen Energiedichte (gemessen in<br />
−3 − 1<br />
J m Hz )<br />
1<br />
uν = Iν dω<br />
c ∫ [1.220]<br />
c Lichtgeschwindigkeit
d.h.<br />
I<br />
ν<br />
cuν<br />
=<br />
4π<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Die Energie, die dabei pro Sek<strong>und</strong>e <strong>und</strong> Flächeneinheit aus <strong>de</strong>m Strahlungsfeld mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Intensität I ν<br />
<strong>und</strong> <strong>de</strong>m Öffnungswinkel dω entnommen wird, ist dann wegen (1.188) <strong>und</strong> (1.196) κ I cosϑ<br />
dν dω<br />
. Geht man davon aus, daß die Fläche senkrecht im Strahlungsfeld steht ( ϑ = 0 ) <strong>und</strong> man über die<br />
gesamte Spektrallinie um die Mittenfrequenz ν integriert, dann ergibt sich mit (1.220) für die gesamte<br />
pro Zeiteinheit <strong>und</strong> Einheitsfläche in <strong><strong>de</strong>r</strong> Linie absorbierte Energie<br />
cuν ∫ κν dν<br />
(gemessen in<br />
−2<br />
J m Hz<br />
) [1.221]<br />
Diese Energie muß durch elementare Absorptionsvorgänge von 2 N Atomen, die sich im Zustand 1 E<br />
befin<strong>de</strong>n <strong>und</strong> die jeweils innerhalb einer Sek<strong>und</strong>e die Energie hν = E2 − E1<br />
<strong>de</strong>m Strahlungsfeld<br />
entnehmen, vom absorbieren<strong>de</strong>n Gas aufgenommen wer<strong>de</strong>n. Außer<strong>de</strong>m ist noch die stimulierte<br />
Emission zu berücksichtigen, die zu einer Abgabe eines Extraquants an das Strahlungsfeld führt <strong>und</strong> in<br />
die Rechnung in Form einer „negativen Absorption“ eingeht. Daraus folgt mit (1.212), (1.213) <strong>und</strong><br />
(1.217)<br />
c ⎛ ⎛ hν<br />
⎞⎞<br />
hν ⎝ ⎝ k T ⎠⎠<br />
∫ κν dν = B12 N1<br />
⎜1− exp⎜<br />
− ⎟⎟<br />
[1.222]<br />
o<strong><strong>de</strong>r</strong> nach Einführung <strong><strong>de</strong>r</strong> Oszillatorstärke (1.218)<br />
2<br />
π e ⎛ ⎛ hν<br />
⎞⎞<br />
∫ κν dν = f12 N1<br />
⎜1− exp⎜<br />
− ⎟⎟<br />
[1.223]<br />
me c ⎝ ⎝ k T ⎠⎠<br />
Der Klammerausdruck berücksichtigt dabei explizit die durch das Strahlungsfeld stimulierte Emission.<br />
Für <strong>de</strong>n Linienabsorptionskoeffizienten κ gg ( ν ) gilt dann unter Einführung einer auf 1 normierten<br />
Linienverbreiterungsfunktion Φ ( ν ) :<br />
2<br />
∞<br />
⌢ π e ⎛ ⎛ hν<br />
⎞⎞<br />
κ gg ( ν ) = f12 N1 ⎜1− exp⎜ − ⎟⎟<br />
Φ ( ν ) mit Φ ( ν ') dν<br />
' = 1<br />
mec ⎝ k T ∫<br />
⎝ ⎠⎠<br />
−∞<br />
Der In<strong>de</strong>x gg weist auf geb<strong>und</strong>en-geb<strong>und</strong>en-Übergänge hin.<br />
70<br />
ν ν<br />
[1.224]<br />
Diese Funktion bestimmt das Profil einer Spektrallinie in Abhängigkeit von <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> an <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Absorption beteiligten Atome, <strong><strong>de</strong>r</strong>en Eigenschaften (Oszillatorstärke, absorbierte Frequenz) <strong>und</strong><br />
etweiigen Linienverbreitungsmechanismen (thermische Verbreiterung, Druckverbreiterung). Was die<br />
Linienverbreiterungsfunktion betrifft, hat die größte Be<strong>de</strong>utung das bereits vorgestellte Voigt-Profil.<br />
Es <strong>de</strong>ckt sowohl Strahlungsdämpfung, thermische Effekte als auch verschie<strong>de</strong>ne Druckverbreiterungsmechanismen<br />
ab.
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Kontinuierliche Absorption<br />
Neben <strong>de</strong>n im vorigen Abschnitt behan<strong>de</strong>lten geb<strong>und</strong>en-geb<strong>und</strong>en-Übergängen zwischen einzelnen<br />
diskreten Energieniveaus eines Atoms (o<strong><strong>de</strong>r</strong> Moleküls), die zu <strong>de</strong>n individuellen Linien in <strong>de</strong>n<br />
Sternspektren führen, existieren darüber hinaus noch sogenannte „geb<strong>und</strong>en-frei“ - Übergänge, bei<br />
<strong>de</strong>nen Elektronen aus <strong>de</strong>m Atomverb<strong>und</strong> gelöst wer<strong>de</strong>n (Photoionisation) sowie frei-frei-Übergänge,<br />
die sich auf die Wechselwirkung von freien Elektronen mit <strong>de</strong>m Coulomb-Feld von Ionen<br />
zurückführen lassen. Auch Streuprozesse zwischen Photonen <strong>und</strong> freien Elektronen sind in diesem<br />
Zusammenhang noch zu erwähnen. Alle diese Vorgänge führen zu signifikanten Abweichungen <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Kontinuumsstrahlung eines Sternspektrums in Bezug auf die Planck-Funktion Bν ( T ) <strong>und</strong> damit auf<br />
<strong>de</strong>ssen spektrale Energieverteilung. Zur Beschreibung dieser Abweichungen wird <strong><strong>de</strong>r</strong> kontinuierliche<br />
Absorptionskoeffizient κν ⌢ herangezogen, <strong><strong>de</strong>r</strong> von <strong><strong>de</strong>r</strong> Art <strong><strong>de</strong>r</strong> betrachteten Atome (z.B. Wasserstoff,<br />
Helium) o<strong><strong>de</strong>r</strong> Ionen (z.B. H − ) sowie von <strong>de</strong>n physikalischen Bedingungen in <strong>de</strong>n Sternatmosphären<br />
abhängt (z.B. Temperatur, Gas- <strong>und</strong> Elektronendruck). Aus diesem Gr<strong>und</strong> spielt er in <strong><strong>de</strong>r</strong> Theorie <strong>de</strong>s<br />
Sterninneren <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphären eine sehr wichtige Rolle, da diese Größe (in Form <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Opazität) im wesentlichen <strong>de</strong>n Energietransport im Sterninneren festlegt.<br />
Geb<strong>und</strong>en-frei <strong>und</strong> frei-frei-Übergänge, Streuprozesse<br />
Unter einem geb<strong>und</strong>en-frei-Übergang versteht man einen Übergang, bei <strong>de</strong>m ein im Atom geb<strong>und</strong>enes<br />
Elektron im Zustand mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n durch Absorption eines genügend energiereichen<br />
Photons E = hν<br />
in einen Kontinuumszustand (wo das Elektron einen beliebigen Wert von kinetischer<br />
γ<br />
Energie annehmen kann) überführt wird. Die Energiebilanz entspricht <strong>de</strong>m <strong>de</strong>s äußeren<br />
photoelektrischen Effekts:<br />
( )<br />
hν = E − E + E<br />
[1.225]<br />
Ion n kin<br />
E Ion ist dabei die Ionisationsenergie <strong>de</strong>s Atoms <strong>und</strong> E kin die kinetische Energie <strong>de</strong>s Elektrons in Bezug<br />
auf das Atom nach <strong>de</strong>m Absorptionsvorgang.<br />
Gleichung (1.225) lehrt, daß es für je<strong>de</strong>n Energiezustand n E genau eine Schwellenergie EIon − En<br />
geben muß, welches in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage ist, das Atom zu ionisieren. Diese (diskrete) Energie hängt von n ab<br />
<strong>und</strong> wird immer geringer, je größer n ist.<br />
Den umgekehrten Vorgang, bei <strong>de</strong>m ein Elektron von einem Atom (meist einem positiv gela<strong>de</strong>nen Ion)<br />
eingefangen wird, bezeichnet man als Rekombination. Dabei wird ein Photon <strong><strong>de</strong>r</strong> entsprechen<strong>de</strong>n<br />
Energiedifferenz emittiert (frei-geb<strong>und</strong>en-Übergang). Diese Art von kontinuierlicher Strahlung tritt<br />
unter gewissen Umstän<strong>de</strong>n auch beim Einfang von freien Elektronen durch neutrale Teilchen (z.B.<br />
Wasserstoffatomen) auf, wobei negativ gela<strong>de</strong>ne Ionen entstehen. Bei Hauptreihensternen wie <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sonne sind z.B. auf diese Weise entstan<strong>de</strong>ne H − -Ionen eine wichtige Quelle für die von <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Photosphäre im Bereich zwischen <strong>de</strong>m mittleren Infrarot <strong>und</strong> allen kürzeren Wellenlängen emittierten<br />
71
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Kontinuumsstrahlung. Die Ursache dafür ist die sehr geringe Ionisationsenergie von E Ion = 0.754 eV<br />
<strong>de</strong>s H − -Ions.<br />
Betrachtet man nochmals die Beziehung (1.225) im Hinblick auf Rekombinationsprozesse, dann<br />
erkennt man, daß sich an die Seriengrenze n → ∞ ein kontinuierliches Spektrum anschließen muß,<br />
welches man als Seriengrenzkontinuum bezeichnet. Während <strong><strong>de</strong>r</strong> erste Term <strong><strong>de</strong>r</strong> rechten Seite immer<br />
einen diskreten Energiewert darstellt, kann die kinetische Energie <strong>de</strong>s Elektrons im Prinzip je<strong>de</strong>n<br />
beliebigen Wert besitzen. Das hat zur Folge, daß die Frequenz ν <strong>de</strong>s bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Rekombination<br />
emittierten Photons auch je<strong>de</strong>n Wert oberhalb <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz ν = E / h annehmen kann<br />
(selbstverständlich unter Einhaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> Energiebilanz).<br />
Frei-frei-Übergänge sind dagegen „Übergänge“, bei <strong>de</strong>nen sich lediglich die kinetische Energie eines<br />
* *<br />
freien Elektrons än<strong><strong>de</strong>r</strong>t. Die Energiedifferenz<br />
Ekin − Ekin mit Ekin > Ekin<br />
wird dabei als Photon in das<br />
Strahlungsfeld abgegeben. Das passiert z.B. immer dann, wenn ein Elektron im Feld eines positiven<br />
Ions abgebremst wird, ohne daß es rekombiniert. Die Strahlung, die dabei entsteht, bezeichnet man als<br />
Bremsstrahlung <strong>und</strong> daß durch diesen Prozeß entstehen<strong>de</strong> kontinuierliche Spektrum als<br />
Elektronenbremskontinuum. Auch <strong><strong>de</strong>r</strong> umgekehrte Prozeß, bei <strong>de</strong>m ein Elektron, welches sich im<br />
Coulombfeld eines Ions bewegt, ein Photon absorbiert <strong>und</strong> dabei an kinetischer Energie gewinnt, ist<br />
möglich. Er liefert insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e bei hohen Elektronendichten (wie sie z.B. in heißen Koronen<br />
auftreten) einen Beitrag zum kontinuierlichen Absorptionskoeffizienten.<br />
Für Absorptionsprozesse in Sternatmosphären spielt auch die Streuung von Licht eine Rolle. In heißen<br />
Sternen, wo Metalle in hohen Ionisationsstufen vorkommen, ist beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s die Thomson-Streuung an<br />
freien Elektronen von Be<strong>de</strong>utung. Dabei wird die Energie von Photonen im Zuge eines elastischen<br />
Stoßes absorbiert <strong>und</strong> kurze Zeit später wie<strong><strong>de</strong>r</strong> reemittiert. Wird dagegen ein Teil <strong><strong>de</strong>r</strong> Photonenenergie<br />
zur Erhöhung <strong><strong>de</strong>r</strong> kinetischen Energie <strong>de</strong>s Elektrons aufgewen<strong>de</strong>t (inelastische Streuung), dann<br />
verringert sich die Frequenz <strong>de</strong>s reemittierten Photons <strong>und</strong> man spricht von Compton-Streuung.<br />
In kühleren Sternatmosphären ist dagegen die Rayleigh-Streuung an neutralen Wasserstoffatomen bei<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Berechnung <strong><strong>de</strong>r</strong> kontinuierlichen Absorptionskoeffizienten zu berücksichtigen.<br />
Absorptionskoeffizienten für gf-Übergänge<br />
In <strong><strong>de</strong>r</strong> Physik <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphären spielen die Absorptionskoeffizienten für Wasserstoff, Helium<br />
sowie für einige Metalle eine wichtige Rolle, da sie hauptsächlich für die Opazität <strong>de</strong>s stellaren<br />
Plasmas verantwortlich sind. Dabei wird <strong><strong>de</strong>r</strong> Absorptionskoeffizient in Form eines Streuquerschnitts<br />
i.d.R. auf ein einzelnes Atom o<strong><strong>de</strong>r</strong> Ion bezogen <strong>und</strong> <strong>de</strong>shalb als atomarer Absorptions-Streuquerschnitt<br />
σ ⌢ bezeichnet. Er läßt sich zumin<strong>de</strong>st in einfacheren Fällen (z.B. für Wasserstoff <strong>und</strong><br />
wasserstoffähnliche Ionen) mit quantenmechanischen Metho<strong>de</strong>n berechnen. Für ein Wasserstoffatom<br />
im Anregungszustand n ergibt sich z.B.<br />
4 4 10<br />
H 64 e 1 *<br />
gf ( ) =<br />
G<br />
6 5 3 gf<br />
⌢<br />
σ ν<br />
π<br />
3 3<br />
Z m e<br />
c h n<br />
ν<br />
für ν ≥ ν 0 [cgs; cm²] [1.226]<br />
72<br />
Ion
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Die dimensionslose Korrekturgröße<br />
*<br />
G gf , <strong><strong>de</strong>r</strong>en Wert nahe 1 liegt, bezeichnet man als Gauntfaktor. ν 0<br />
stellt die Frequenz dar, bei welcher <strong><strong>de</strong>r</strong> Absorptionsprozeß plötzlich einsetzt („Absorptionskante“ o<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Seriengrenze).<br />
Atomare Absorptionskoeffizienten <strong>de</strong>s neutralen Wasserstoffs für geb<strong>und</strong>en-frei-Übergänge für<br />
verschie<strong>de</strong>ne Hauptquantenzahlen n. Für n=1, 2 <strong>und</strong> 3 ergeben sich die Grenzkontinua für die Lyman-,<br />
Balmer- <strong>und</strong> Paschenserie mit <strong>de</strong>n λ0 = c / ν 0 -Werten von 91.2 nm, 364.7 nm <strong>und</strong> 820.6 nm.<br />
3<br />
Bei Atomen höherer Ordnungszahl ist <strong><strong>de</strong>r</strong> bei Wasserstoff zu 1/ν proportionale Verlauf komplizierter<br />
<strong>und</strong> weist Abweichungen in Form von „Peaks“ auf, die auf Resonanzprozesse mit Elektronen im<br />
gleichen Niveau zurückzuführen sind.<br />
Da <strong><strong>de</strong>r</strong> Absorptionskoeffizient <strong><strong>de</strong>r</strong> Wirkungsquerschnitt eines Absorptionsvorgangs multipliziert mit<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahldichte <strong><strong>de</strong>r</strong> absorbieren<strong>de</strong>n Atome ist, folgt aus (1.226) für Photoionisation aus <strong>de</strong>m Niveau<br />
n mit N 0,n = <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> neutralen Wasserstoffatome in diesem Zustand:<br />
4 4 10<br />
H 64 e 1<br />
*<br />
gf ( ) =<br />
N 6 5 3 0, n Ggf<br />
⌢<br />
κ ν<br />
π<br />
3 3<br />
Z m e<br />
c h n<br />
ν<br />
73<br />
[1.227]<br />
Um <strong>de</strong>n integralen g → f Absorptionskoeffizienten für eine Atomart (z.B. Wasserstoff) zu erhalten,<br />
müssen lediglich alle atomaren Absorptionskoeffizienten für alle möglichen Zustän<strong>de</strong> aufsummiert<br />
wer<strong>de</strong>n. Die Besetzungszahlen <strong><strong>de</strong>r</strong> einzelnen Zustän<strong>de</strong> ergeben sich bei thermischer Anregung für eine<br />
gegebene Temperatur aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Boltzmann-Gleichung.<br />
Absorptionskoeffizienten für ff-Übergänge<br />
Bei hohen Elektronendichten ist die Wahrscheinlichkeit groß, daß ein Elektron bei einem nahen<br />
Vorübergäng an einem positiv gela<strong>de</strong>nen Ion mit ihm für kurze Zeit zusammen einen Zustand<br />
ausbil<strong>de</strong>t, bei <strong>de</strong>m es in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage ist, entwe<strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlung zu absorbieren (Elektron gewinnt an<br />
kinetischer Energie, „inverse Bremsstrahlung“) o<strong><strong>de</strong>r</strong> zu emittieren (Elektron verliert kinetische
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Energie, thermische Bremsstrahlung). Die Präsenz <strong>de</strong>s Ions ist bei diesem Prozeß notwendig, damit die<br />
Energie- <strong>und</strong> Impulsbilanz entsprechend <strong><strong>de</strong>r</strong> Erhaltungssätze am En<strong>de</strong> ausgeglichen ist. Für <strong>de</strong>n<br />
Streuquerschnitt gilt dabei<br />
2 6<br />
8 Z e 1 *<br />
ff ( ) =<br />
G<br />
3 2 2 ff<br />
⌢<br />
σ ν<br />
( )<br />
3 2π<br />
c m k T<br />
e b<br />
ν<br />
74<br />
[1.228]<br />
wobei davon ausgegangen wird, daß die Geschwindigkeitsverteilung <strong><strong>de</strong>r</strong> freien Elektronen durch eine<br />
Maxwell-Verteilung <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur T gegeben ist.<br />
Der Absorptionskoeffizient ergibt sich in diesem Fall zu<br />
2 6<br />
8 Z e 1<br />
*<br />
ff ( ) =<br />
N 3 2 2 i Ne G ff<br />
⌢<br />
κ ν<br />
( )<br />
3 2π<br />
c m k T<br />
e b<br />
N i ist die Ionendichte <strong>und</strong> e<br />
ν<br />
[1.229]<br />
N die Elektronendichte. Sie hängt neben <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur von <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
stofflichen Zusammensetzung <strong>und</strong> vom Ionisationsgrad <strong><strong>de</strong>r</strong> stellaren Materie ab.<br />
Die Ausbildung einer nennenswerten ff-Absorption erfor<strong><strong>de</strong>r</strong>t große Elektronen- <strong>und</strong> Ionendichten bei<br />
hohen Temperaturen. <strong>und</strong> macht sich beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s im fernen IR sowie im Radiobereich bemerkbar. Bei<br />
heißen Sternen liefert <strong><strong>de</strong>r</strong> integrale ff-Absorptionskoeffizient einen wichtigen Beitrag zur Opazität <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sternmaterie. Bei <strong>de</strong>ssen Berechnung müssen alle ff-Absorptionskoeffizienten für alle möglichen<br />
Atomarten <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong>en Ionisationszustän<strong>de</strong> aufsummiert wer<strong>de</strong>n. Letztere erhält man durch Lösung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Saha-Gleichung.<br />
Streuprozesse<br />
In heißen Sternen liefert die Thomson-Streuung an freien Elektronen <strong>und</strong> bei kühleren Sternen die<br />
stark wellenlängenabhängige Rayleigh-Streuung Beiträge zum integralen kontinuierlichen<br />
Absorptionskoeffizienten. Streuung be<strong>de</strong>utet, daß ein Teil <strong>de</strong>s aus <strong>de</strong>m Sterninneren kommen<strong>de</strong>n<br />
Strahlungsstroms aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Blickrichtung heraus gelenkt wird, was effektiv einem Absorptionsvorgang<br />
entspricht obwohl dabei kein Photon absorbiert wird o<strong><strong>de</strong>r</strong> an<strong><strong>de</strong>r</strong>weitig einen Energieverlust erlei<strong>de</strong>t.<br />
Beginnen wir mit <strong><strong>de</strong>r</strong> elastischen Streuung von Photonen an freien Elektronen. Da kein<br />
Energieübertrag stattfin<strong>de</strong>t, än<strong><strong>de</strong>r</strong>t sich die kinetische Energie <strong>de</strong>s Elektrons <strong>und</strong> die Frequenz <strong>de</strong>s<br />
Photons nicht. Deshalb ist <strong><strong>de</strong>r</strong> Streuquerschnitt für Photonen aller Frequenzen gleich:<br />
2<br />
2 ⎛ ⎞<br />
⌢ 8π<br />
e<br />
σ T = ⎜ 2 ⎟ = ⋅<br />
3 ⎝ me c ⎠<br />
N κ σ =<br />
⌢ ⌢<br />
T T e<br />
[cgs,<br />
−25<br />
2<br />
6.65 10 cm [ cgs]<br />
[1.230]<br />
1<br />
cm − ] [1.231]<br />
Der Wert in <strong><strong>de</strong>r</strong> Klammer wird als klassischer Elektronenradius bezeichnet. ρ ist die Massendichte.<br />
Bil<strong>de</strong>t man das Verhältnis mit einem typischen Wert eines Streuquerschnitt für geb<strong>und</strong>en-frei-<br />
Übergänge, dann erkennt man, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> Wert für die Thomson-Streuung um ca. 9 Größenordnungen
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
kleiner ist als σ gf<br />
⌢ . Thomson-Streuung kann also nur bei sehr hohen Temperaturen (wo die meisten<br />
Atome im Gas komplett ionisiert sind <strong>und</strong> damit als Opazitätsquellen ausfallen) <strong>und</strong> entsprechen<strong>de</strong>n<br />
Elektronenzahldichten eine wesentliche Rolle spielen. Das trifft immer auf das tiefe Innere <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne<br />
<strong>und</strong> auf die Atmosphären <strong><strong>de</strong>r</strong> heißesten Sterne zu.<br />
Unter bestimmten Bedingungen kann ein Photon auch von einem locker geb<strong>und</strong>enen Elektron gestreut<br />
wer<strong>de</strong>n, wobei das Elektron an Energie gewinnt <strong>und</strong> in einen Kontinuumszustand übergeht (Ionisation)<br />
während das Photon an Energie verliert, d.h. „röter“ wird. Den Vorgang <strong><strong>de</strong>r</strong> inelastischen<br />
Photonenstreuung bezeichnet man gewöhnlich als Compton-Effekt. Er spielt bei Temperaturen über<br />
8<br />
10 K eine Rolle, wo er die fast ausschließlich durch Thompson-Streuung bedingte Opazität um r<strong>und</strong><br />
20% reduzieren kann.<br />
Erfolgt die Streuung an ganzen Atomen (o<strong><strong>de</strong>r</strong> Molekülen), dann beobachtet man eine auffällige<br />
Wellenlängenabhängigkeit <strong>de</strong>s Streuquerschnitts (1.230):<br />
⌢ ⌢ ⎛ λ ⎞<br />
σ σ<br />
⎝ λ ⎠<br />
0<br />
R = T ⎜ ⎟<br />
4<br />
75<br />
[1.232]<br />
Diese Form <strong><strong>de</strong>r</strong> Streuung, die als Rayleigh-Streuung bezeichnet wird, ist z.B. für die blaue Farbe <strong>de</strong>s<br />
Taghimmels verantwortlich. In kühlen Sternatmosphären bzw. in <strong>de</strong>n ausge<strong>de</strong>hnten Hüllen von<br />
Riesensternen liefert sie einen nicht zu vernachlässigen<strong>de</strong>n Beitrag zum kontinuierlichen<br />
Absorptionskoeffizienten.<br />
Der Rosseland’sche mittlere Opazitätskoeffizient<br />
Die frequenzabhängige Gesamtopazität <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternmaterie ergibt sich aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Summe <strong><strong>de</strong>r</strong> einzelnen, die<br />
Abweichungen von <strong><strong>de</strong>r</strong> Planck’schen Funktion beschreiben<strong>de</strong>n Absorptionskoeffizienten aller Atom-<br />
<strong>und</strong> Molekülsorten (<strong><strong>de</strong>r</strong> Boltzmann-Faktor berücksichtigt die stimulierte Emission, siehe Abschnitt<br />
8.2.4.2):<br />
⌢ ⌢ ⌢ ⎛ ⎛ hν<br />
⎞⎞<br />
⌢ ⌢<br />
κν ρ ⎣κ gg ν κ gf ν κ ff ν ⎦ ⎜ ⎜ ⎟⎟<br />
κT κ R ν<br />
⎝ ⎝ kT ⎠⎠<br />
( Zusammensetzung, , T ) = ⎡ ( ) + ( ) + ( ) ⎤ 1− exp − + + ( )<br />
[1.233]<br />
Die Gesamtabsorption hängt also nicht nur von <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenz <strong>de</strong>s Lichts, welches absorbiert wird, ab,<br />
son<strong><strong>de</strong>r</strong>n auch von <strong><strong>de</strong>r</strong> chemischen Zusammensetzung, <strong><strong>de</strong>r</strong> Dichte (auch Elektronendichte) <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Temperatur <strong>de</strong>s stellaren Plasmas. Deshalb ist die Funktion κ ν für eine konkrete Sternatmosphäre nur<br />
sehr schwer zu berechnen.
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Verlauf <strong>de</strong>s (gesamten) kontinuierlichen Absorptionskoeffizienten für eine kühle (Sonne, 5000 K) <strong>und</strong><br />
(rechts) für eine heiße Sternatmosphäre ( τ Sco , 28000 K). Die Abszisse gibt die Wellenlänge in o<br />
A (<br />
10<br />
10 − m) an, die Ordinate <strong>de</strong>n integralen Absorptionskoeffizienten in<br />
76<br />
2<br />
m pro Atom.<br />
An<strong><strong>de</strong>r</strong>erseits spielen in <strong><strong>de</strong>r</strong> Theorie <strong>de</strong>s Strahlungstransports über alle Frequenzen integrierte Größen<br />
wie die Intensität I <strong>und</strong> <strong>de</strong>n Strahlungsstrom F eine wichtige Rolle, so daß es vernünftig ist, nach einem<br />
für <strong><strong>de</strong>r</strong>en Berechnung geeigneten mittleren Absorptionskoeffizienten zu suchen. Um das zu erreichen,<br />
hat man <strong>de</strong>n Begriff <strong><strong>de</strong>r</strong> „grauen“ Atmosphäre eingeführt. Es han<strong>de</strong>lt sich dabei um eine spezielle<br />
(wenn auch nicht son<strong><strong>de</strong>r</strong>lich gute) Approximation, um die Strahlungstransportgleichung (1.204) für<br />
∞<br />
eine integrale spezifische Intensität I = ∫ I d <strong>und</strong> eine integrale Ergiebigkeit S = ∫ S d zu lösen.<br />
0<br />
ν ν<br />
Der Absorptionskoeffizient ist hier nur noch eine Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Dichte <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur <strong>und</strong> stellt<br />
ein harmonisches Mittel über alle Frequenzen dar. Er wird nach SVEN ROSSELAND (1894-1985) als<br />
Rosseland’scher Mittelwert o<strong><strong>de</strong>r</strong> Rosseland’scher mittlerer Opazitätskoeffizient κ bezeichnet. Er läßt<br />
sich mit (1.233) wie folgt <strong>de</strong>finieren:<br />
0<br />
( )<br />
∞<br />
1 dBν T<br />
1 ∫ dν<br />
∞<br />
κ 0 ν dT π 1 dBν T<br />
= =<br />
∞<br />
3<br />
κ dBν ( T ) a cT ∫ κ dT<br />
0 ν<br />
∫ dν<br />
dT<br />
( )<br />
dν<br />
−16 −3 −4<br />
= 7.56⋅ 10<br />
Strahlungskonstante<br />
a Ws m K<br />
∞<br />
0<br />
ν ν<br />
[1.234]
Strahlungstransport in Absorptionslinien<br />
Dieser Opazitätsmittelwert wird mit großem Erfolg in „optisch dicken“ Fällen angewen<strong>de</strong>t, d.h.<br />
beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Berechnung <strong>de</strong>s Strahlungstransports im tiefen Inneren <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne. Er ist jedoch in<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Praxis - wie bereits erwähnt - nicht einfach zu berechnen. Da <strong><strong>de</strong>r</strong> Rosseland’sche Mittelwert aber in<br />
vielen Anwendungsfällen <strong><strong>de</strong>r</strong> stellaren <strong>Astrophysik</strong> benötigt wird, wur<strong>de</strong> er als Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
chemischen Zusammensetzung <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternmaterie, sowie <strong><strong>de</strong>r</strong>en Dichte <strong>und</strong> Temperatur tabelliert o<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
an<strong><strong>de</strong>r</strong>weitig (z.B. über Datenbanken im Internet, siehe „The Opacity Project“, //vizier.ustrasbg.fr/topbase/op.html)<br />
zugänglich gemacht. Trägt man <strong>de</strong>n Logarithmus dieser Größe für<br />
verschie<strong>de</strong>ne Elementezusammensetzungen über <strong>de</strong>n Logarithmus <strong><strong>de</strong>r</strong> Massedichte ρ <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Temperatur T auf, dann erhält man das sogenannte „Kappa-Gebirge“.<br />
Rosseland-Opazität als Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Dichte <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur für verschie<strong>de</strong>ne Elementezusammensetzungen.<br />
Die gestrichelte Linie stellt die mittlere Opazität solarer Materie vom heißen<br />
Zentrum nach Außen dar.<br />
Ein von <strong><strong>de</strong>r</strong> Größenordnung her guter Mittelwert für <strong>de</strong>n Rosseland-Absorptionskoeffizienten für die<br />
Photosphäre <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonne ist<br />
κ<br />
−6 −1<br />
≈ 10 cm bei einer optischen Tiefe von 1<br />
77<br />
τ = . Die mittlere freie<br />
Weglänge l γ eines Photons von ~ 10 km (entspricht <strong>de</strong>m Kehrwert von κ ) erklärt somit, warum <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sonnenrand außergewöhnlich scharf erscheint.<br />
Für optisch dicke Schichten in Sternen kann man das universellen Fick’schen Diffusionsgesetz,<br />
welches die Form<br />
1 dn<br />
j = − vlγ<br />
[1.235]<br />
3 dr
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
hat, anwen<strong>de</strong>n, wenn man die darin enthaltenen Größen auf Strahlung bezieht. Dabei ist die „mittlere“<br />
Geschwindigkeit <strong><strong>de</strong>r</strong> Partikel v, also die <strong><strong>de</strong>r</strong> Photonen, gleich <strong><strong>de</strong>r</strong> Lichtgeschwindigkeit c ist ( v → c );<br />
die Teilchendichte n entspricht <strong><strong>de</strong>r</strong> Photonendichte, also nach (1.41)<br />
4 ( ) σ ( )<br />
I T T r<br />
n = =<br />
c hν c hν<br />
<strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Diffusionsfluß j <strong>de</strong>m Photonenfluß j γ , d.h. gemäß (1.42):<br />
j<br />
( )<br />
γ ν<br />
( )<br />
L r<br />
=<br />
4<br />
2<br />
π r hν<br />
Eingesetzt in (1.235) ergibt<br />
4<br />
( ) 1 ( )<br />
L r dT r<br />
= − σ<br />
[1.236]<br />
π r κ dr<br />
2<br />
4 3<br />
<strong>und</strong> damit<br />
( )<br />
dT 3 κ L r<br />
= − [1.237]<br />
3 2<br />
dr 16π<br />
σT<br />
r<br />
was be<strong>de</strong>utet, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlungstransport immer in Richtung <strong>de</strong>s Temperaturgradienten (d.h. radial<br />
vom heißen Sterninneren zur kühlen Sternoberfläche) erfolgt.<br />
Die Boltzmann-Gleichung<br />
Aussagen darüber, wie die Elektronen bei einer bestimmten Temperatur T auf die einzelnen<br />
Energieniveaus von neutralen bzw. teilweise ionisierter Atome verteilt sind, liefert unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Bedingung<br />
<strong>de</strong>s thermodynamischen Gleichgewichts die Boltzmann-Verteilung. Bei einer sehr geringen<br />
Temperatur erwartet man, daß sich alle Atome im niedrigsten energetischen Zustand, <strong>de</strong>m<br />
Gr<strong>und</strong>zustand, befin<strong>de</strong>n. Mit zunehmen<strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur wer<strong>de</strong>n überwiegend durch Stoßprozesse<br />
immer mehr Atome angeregt, so daß die Besetzungszahlen N i <strong><strong>de</strong>r</strong> angeregten Zustän<strong>de</strong> ansteigen. Es<br />
bil<strong>de</strong>t sich jeweils ein Gleichgewichtszustand zwischen Stoßanregung <strong>und</strong> anschließen<strong><strong>de</strong>r</strong> „Abregung“<br />
durch Abstrahlung aus, die für je<strong>de</strong> Atomsorte <strong>und</strong> für je<strong>de</strong> Temperatur T charakteristisch ist..<br />
Bezeichnet man mit ∆ En = En − E0<br />
die Energiedifferenz zwischen <strong>de</strong>m Gr<strong>und</strong>zustand <strong>und</strong> einem<br />
angeregten Zustand mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n, dann entwickeln sich die Besetzungszahlen mit <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Temperatur T gemäß<br />
Nn gn ⎛ ∆En<br />
⎞<br />
= exp⎜<br />
− ⎟<br />
N0 g0 ⎝ kT ⎠<br />
78<br />
[1.238]
Boltzmann-Gleichung<br />
zumin<strong>de</strong>st solange die überwiegen<strong>de</strong> Zahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome weiterhin im Gr<strong>und</strong>zustand verbleibt ( Nn
Die Saha-Gleichung<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
In Sternspektren fin<strong>de</strong>t man oft Spektrallinien, die <strong>de</strong>m gleichen Element, aber unterschiedlichen<br />
Ionisationsstufen angehören. Ein Beispiel ist die bekannte H <strong>und</strong> K-Linie <strong>de</strong>s einfach ionisierten<br />
Kalziums bei 396.9 nm <strong>und</strong> 393.4 nm, die oft zusammen mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Linie <strong>de</strong>s neutralen Kalziums bei<br />
422.6 nm zu beobachten sind. Da man davon ausgehen kann, daß die Äquivalentbreite einer<br />
Spektrallinie (siehe (1.163)) <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome bzw. Ionen proportional ist, welche diese Linien<br />
hervorrufen, kann man - wie MEGHNAD SAHA (1893-1956) zuerst gezeigt hat - aus <strong>de</strong>m Verhältnis <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Äquivalentbreiten <strong><strong>de</strong>r</strong> Linien benachbarter Ionisationsstufen die Sterntemperatur bestimmen. Dazu<br />
müssen im Prinzip nur die für das jeweilige Element in <strong>de</strong>n entsprechen<strong>de</strong>n Ionisationsstufen gelten<strong>de</strong>n<br />
Ionisationspotentiale E Ion, n sowie die aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Boltzmann-Gleichung folgen<strong>de</strong>n Besetzungszahlen<br />
bekannt sein.<br />
Bei steigen<strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur nimmt entsprechend <strong><strong>de</strong>r</strong> Maxwell-Verteilung (1.170) <strong><strong>de</strong>r</strong> Anteil <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome<br />
mit kinetischen Energien, die größer sind als die Ionisationsenergien, immer mehr zu so daß es bei<br />
Zusammenstößen zum Herauslösen von Elektronen aus <strong>de</strong>n Elektronenschalen <strong><strong>de</strong>r</strong> Stoßpartner kommt.<br />
Dieser Vorgang wird als Stoßionisation bezeichnet <strong>und</strong> als Ionisationsbedingung kann man grob<br />
schreiben:<br />
kT ∼ E = E − E<br />
[1.241]<br />
Ion, n ∞ n<br />
bzw. für die Ionisation aus <strong>de</strong>m Gr<strong>und</strong>zustand<br />
kT ∼ E = E − E<br />
[1.242]<br />
Ion,1<br />
∞ 1<br />
Die Beziehung (1.241) drückt dabei nur <strong>de</strong>n trivialen Fakt aus, daß sich bereits angeregte Atome<br />
leichter ionisieren lassen als Atome, die sich im Gr<strong>und</strong>zustand befin<strong>de</strong>n. Um zu bestimmen, wie stark<br />
die einzelnen Ionisationsstufen in einem Gas vertreten sind, muß die Boltzmann-Gleichung insofern<br />
modifiziert wer<strong>de</strong>n, daß die bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Ionisation frei wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Elektronen in <strong><strong>de</strong>r</strong> Berechnung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Zustandssumme Berücksichtigung fin<strong>de</strong>n.<br />
Im thermodynamischen Gleichgewicht (daß man bei nicht zu geringen Gasdichten voraus-setzen kann)<br />
stellt sich gemäß <strong><strong>de</strong>r</strong> Reaktionsgleichung<br />
Atom Ion e −<br />
+<br />
bei einer gegebenen Temperatur immer ein Gleichgewicht zwischen Ionisation <strong>und</strong> Rekombination ein.<br />
Diesen Gleichgewichtszustand bezeichnet man als Ionisationsgleichgewicht <strong>und</strong> das dieses<br />
Gleichgewicht ausmachen<strong>de</strong> Gemisch aus neutralen Atomen, Ionen <strong>und</strong> freien Elektronen Plasma. Bei<br />
einem Gas aus nur einer Atomsorte stellt dieses Plasma eine Mischung aus neutralen Atomen sowie<br />
aus Ionen unterschiedlicher Ionisationsstufen dar, in welches zusätzlich noch ein freies<br />
„Elektronengas“ eingebettet ist. Ein reales Plasma (wie es z.B. in <strong>de</strong>n Sternen vorkommt) ist dann<br />
wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um eine Mischung aus <strong>de</strong>n „Plasmen“ unterschiedlicher Elemente in unterschiedlichen<br />
Konzentrationen.<br />
80
Saha-Gleichung<br />
Im einfachsten Fall reicht es aus, zwei verschie<strong>de</strong>ne Zustän<strong>de</strong> - z.B. <strong>de</strong>n Gr<strong>und</strong>zustand <strong>und</strong> die erste<br />
Ionisationsstufe - zu betrachten. Erinnert wer<strong>de</strong>n soll in diesem Zusammenhang daran, daß die<br />
Ionisationsstufen in <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong> mit römischen Ziffern bezeichnet wer<strong>de</strong>n, welche <strong>de</strong>m<br />
Elementsymbol nachgestellt sind. Römisch eins kenzeichnet immer neutrale Atome <strong>und</strong> römisch zwei<br />
einfach ionisierte Atome - im Fall von Wasserstoff z.B. HI <strong>und</strong> HII. Die Energie, die zur Ablösung<br />
eines Elektrons aus <strong>de</strong>m Atomverb<strong>und</strong> führt, setzt sich aus zwei Teilen zusammen <strong>und</strong> zwar aus <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Ionisationsenergie <strong>de</strong>s Elektrons im Zustand n <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> kinetischen Energie <strong>de</strong>s beim<br />
Ionisationsvorgangs freigesetzten Elektrons<br />
2<br />
p<br />
E = EIon<br />
+<br />
2m<br />
e<br />
wobei p <strong><strong>de</strong>r</strong> Impuls <strong>und</strong> m e die Masse <strong>de</strong>s Elektrons ist. Eingesetzt in die Boltzmann-Gleichung ergibt<br />
sich<br />
2<br />
Nr 1, m gr 1, mg ⎛ + + e EIon, r + Er+ 1, m − Er, n + p 2m<br />
⎞ e<br />
= exp⎜<br />
Nr , n g ⎜<br />
−<br />
⎟<br />
r, n<br />
kT<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
81<br />
[1.243]<br />
wobei die Größe r die Ionisationsstufe indiziert. Das zusätzlich eingeführte statistische Gewicht g e gibt<br />
die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> quantenmechanischen Zustän<strong>de</strong> an, die für das freigesetze Elektron möglich sind, um<br />
2<br />
genau in <strong>de</strong>n Kontinuumszustand mit <strong><strong>de</strong>r</strong> kinetischen Energie p 2m e zu gelangen. Nach <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Quantenmechanik muß man, um dieses statistische Gewicht zu bestimmen, von einem endlichen<br />
Phasenraumvolumen ausgehen. Aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Heisenberg’schen Unschärferelation folgt, daß man zwei<br />
Teilchen mit gleichem Spin immer dann in Bezug auf ihre Position <strong>und</strong> ihren Impuls als i<strong>de</strong>ntisch<br />
ansehen kann, wenn die Beziehung dpidxi = h erfüllt ist, wobei <strong><strong>de</strong>r</strong> In<strong>de</strong>x i über die jeweils 3 Impuls<strong>und</strong><br />
Ortskoordinaten <strong>de</strong>s Phasenraumes läuft. Demnach sind Teilchen, die sich im Phasenraum<br />
innerhalb einer Zelle <strong><strong>de</strong>r</strong> Größe<br />
3<br />
3<br />
∏ dxidpi = h befin<strong>de</strong>n, physikalisch nicht zu unterschei<strong>de</strong>n. Da die<br />
i=<br />
1<br />
Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> vom Maximalimpuls p max <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen abhängigen Phasenraumzellen in einem<br />
Volumen V gleich<br />
4 π p V / 3 ist, ergibt sich (da Elektronen Ferminien mit <strong>de</strong>m Spin ± 1 2 sind <strong>und</strong><br />
3<br />
max<br />
<strong>de</strong>shalb zwei Elektronen unterschiedlicher Spinquantenzahl genau eine Phasenraumzelle belegen<br />
3 3<br />
können) für die „Besetzungszahl“ dieses Volumens 8 pmax V / ( 3h<br />
)<br />
Zustandssumme <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen im Impulsbereich von p bis p+dp<br />
π . Daraus folgt für die<br />
2<br />
8π p V<br />
Z ( p) dp = dp<br />
[1.244]<br />
3<br />
h<br />
<strong>und</strong> aufgr<strong>und</strong><br />
2<br />
3 2<br />
( ) 8π p 8π<br />
v<br />
Z p m<br />
ge = dp = dp = dv<br />
[1.245]<br />
N V N h N h<br />
e<br />
3 3<br />
e e e<br />
N = Elektronendichte , v Elektronengeschwindigkeit<br />
e
geht (1.243) in<br />
⎛ 1 2 ⎞<br />
3 N , 1, , v<br />
1, 1, 8 Ion r r m r n e<br />
r m g<br />
E E E m<br />
r m π m<br />
+<br />
+ +<br />
⎜ + − +<br />
e<br />
2 ⎟ 2<br />
Ne = exp v dv<br />
3 ⎜ −<br />
⎟<br />
Nr , n gr , n h ⎜ kT<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
über.<br />
2 2<br />
Daraus folgt wegen ( )<br />
die Saha-Gleichung in <strong><strong>de</strong>r</strong> Form<br />
∞<br />
0<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
π<br />
∫ v exp − v d v = nach Integration über alle Geschwindigkeiten<br />
4<br />
( ) 3<br />
π m kT<br />
N 2 2<br />
r+ 1, m gr + 1, m e ⎛ EIon, r + Er+ 1, m − Er,<br />
n ⎞<br />
Ne<br />
= exp<br />
3 ⎜ −<br />
⎟<br />
Nr , n gr , n h ⎝ kT ⎠<br />
Die in (1.247) enthaltene Größe<br />
3 2<br />
π me kT<br />
21 3 2 −3<br />
2.41 10<br />
2<br />
⎡2 ⎤<br />
nQ = T m<br />
e ⎢ ≈ ×<br />
h ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
82<br />
[1.246]<br />
[1.247]<br />
[1.248]<br />
wird manchmal als Quantenkonzentration <strong><strong>de</strong>r</strong> Elektronen bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur T bezeichnet. Damit läßt<br />
sich im Fall <strong>de</strong>s Ionisationsgleichgewichts von Wasserstoff (Photoionisation)<br />
−<br />
H + γ e + p<br />
n<br />
die Saha-Gleichung folgen<strong><strong>de</strong>r</strong>maßen<br />
( )<br />
N Hn gn<br />
⎡ ε n ⎤<br />
= exp ⎢− ⎥<br />
Ne N p nQ ⎣ k T ⎦<br />
mit<br />
e<br />
2<br />
n = 2 <strong>und</strong> ε n EIon ( E1 En<br />
)<br />
g n<br />
[1.249]<br />
− = + − aufschreiben. Man beachte, Wasserstoff kann nur einmal<br />
durch Entfernen eines Elektrons ionisiert wer<strong>de</strong>n, weshalb <strong><strong>de</strong>r</strong> r-In<strong>de</strong>x im Folgen<strong>de</strong>n weggelassen<br />
wird.<br />
Der Anteil <strong><strong>de</strong>r</strong> neutralen Wasserstoffatome bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur T ergibt sich dagegen unter<br />
Berücksichtigung aller Anregungszustän<strong>de</strong> zu<br />
( )<br />
N H<br />
∞<br />
I 1 ⎡ ε n ⎤<br />
= ∑ gn<br />
exp ⎢− ⎥<br />
[1.250]<br />
Ne N p nQ n=<br />
1 ⎣ k T ⎦<br />
e
Saha-Gleichung<br />
<strong>und</strong> unter Einführung <strong><strong>de</strong>r</strong> Zustandssumme Z<br />
( )<br />
N H I Z ⎡ EIon<br />
⎤<br />
= exp ⎢ ⎥<br />
Ne N p nQ ⎣ k T ⎦<br />
e<br />
Z = g<br />
⎛ E<br />
−<br />
− E ⎞<br />
⎝ ⎠<br />
83<br />
[1.251]<br />
∞<br />
n 1<br />
∑ n exp⎜<br />
⎟<br />
[1.252]<br />
n=<br />
1 k T<br />
Eine genauere Untersuchung von (1.252) zeigt jedoch, daß die Summe lim Z ⇒ ∞ divergiert. Dieses<br />
physikalisch unsinnige Ergebnis kann jedoch pragmatisch auf einen Wert <strong><strong>de</strong>r</strong> Größenordnung 1<br />
reduziert wer<strong>de</strong>n, wenn man <strong>de</strong>n größten n-Wert so wählt, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> von n abhängige Bohrsche Radius<br />
−<br />
( )<br />
r = a n , a = 0.53⋅ 10 m <strong>de</strong>s angeregten Wasserstoffatoms die gleiche Größenordnung erreicht<br />
n<br />
2 10<br />
0 0<br />
wie <strong><strong>de</strong>r</strong> mittlere Abstand <strong><strong>de</strong>r</strong> einzelnen Atome im Wasserstoffgas. Das Verhältnis zwischen ionisierten<br />
Atomen zu neutralen Atomen läßt sich dann in sehr guter Näherung durch folgen<strong>de</strong> Beziehung<br />
ausdrücken:<br />
N p nQ<br />
⎡ E<br />
e<br />
Ion ⎤<br />
≈ exp<br />
N ( H I ) N<br />
⎢− e k T<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
n→∞<br />
[1.253]<br />
Im Unterschied zur Boltzmann-Gleichung erscheint in <strong><strong>de</strong>r</strong> Saha-Gleichung explizit die<br />
Elektronendichte N e als Ausdruck für die Druckabhängigkeit <strong>de</strong>s statistischen Gewichts <strong><strong>de</strong>r</strong> freien<br />
Elektronen. Das be<strong>de</strong>utet, daß das Ionisationsverhalten eines Gases im thermo-dynamischen<br />
Gleichgewicht nicht nur von <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur T, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n auch vom Umgebungsdruck P bzw. <strong><strong>de</strong>r</strong> Dichte<br />
ρ abhängt. O<strong><strong>de</strong>r</strong> an<strong><strong>de</strong>r</strong>s ausgedrückt: Erhöhung <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur för<strong><strong>de</strong>r</strong>t Ionisation, Erhöhung <strong>de</strong>s<br />
(Elektronen-) Drucks begünstigt Rekombination. Mit diesen Erkenntnissen läßt sich die im Band 14<br />
vorgestellte Spektralsequenz in ihren Gr<strong>und</strong>zügen leicht verstehen, <strong>de</strong>nn sie ist nichts an<strong><strong>de</strong>r</strong>es als das<br />
optisch sichtbare Resultat aus <strong>de</strong>n Besetzungszahlen <strong><strong>de</strong>r</strong> angeregter Zustän<strong>de</strong> sowie <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Ionisationsgra<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> verschie<strong>de</strong>nen, in <strong>de</strong>n Sternatmosphären vorkommen<strong>de</strong>n Elemente als Funktion<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur. Der Unterschied zwischen <strong>de</strong>n Spektren von Riesensternen <strong>und</strong> Hauptreihensternen<br />
gleicher effektiver Temperatur ergibt sich dagegen aus <strong><strong>de</strong>r</strong> höheren Ionisationsrate in <strong>de</strong>n Atmosphären<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Riesensterne aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>s im Vergleich zu <strong>de</strong>n kompakteren Hauptreihensternen geringeren<br />
Drucks.<br />
Element Z II [eV] III [eV] VII [eV] XIX [eV]<br />
H 1 13.6 - -<br />
He 2 24.6 54.4 -<br />
C 6 11.3 24.4 -<br />
N 7 14.5 29.6 667.0<br />
O 8 13.6 35.1 739.3<br />
Na 11 5.1 47.3 208.5
Element Z II [eV] III [eV] VII [eV] XIX [eV]<br />
K 19 4.3 31.8 117.6 4934<br />
Ca 20 6.1 11.9 127.2 5129<br />
Fe 26 7.9 16.2 125.0 1456<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Ionisationsenergien für einfache (II) <strong>und</strong> doppelte Ionisation (III) sowie für die Ionisationsstufen VII<br />
<strong>und</strong> XIX für einige in Sternatmosphären häufig beobachtete Elemente<br />
Anstelle <strong>de</strong>s Verhältnisses von ionisierten Atomen zu neutralen Atomen ist es oftmals anschaulicher,<br />
<strong>de</strong>n jeweiligen Anteil in Bezug auf alle Atome <strong>de</strong>s Elements in einem Gas anzugeben. Betrachten wir<br />
dazu wie<strong><strong>de</strong>r</strong> die Ionisation von reinem Wasserstoff. Im Ionisationsgleichgewicht gilt offensichtlich<br />
N = N + N <strong>und</strong> N = N<br />
[1.254]<br />
H I II II e<br />
wobei die Indizes die Ionisationszustän<strong>de</strong> I (neutral) <strong>und</strong> II (ionisiert) an <strong>de</strong>n Anzahldichten<br />
kennzeichnen. Der Ionisationsgrad soll im Folgen<strong>de</strong>n mit X gekennzeichnet wer<strong>de</strong>n, d.h.<br />
N<br />
X<br />
N<br />
II = [1.255]<br />
H<br />
Dieser Wert ist gleich 1, wenn <strong><strong>de</strong>r</strong> Wasserstoff vollständig ionisiert ist <strong>und</strong> gleich 0, wenn das<br />
Wasserstoffgas nur aus neutralen Atomen besteht. Aus (1.254) folgt dann<br />
( )<br />
N = 1− X N <strong>und</strong> N = X N<br />
[1.256]<br />
I H II H<br />
Damit kann man die Saha-Gleichung (1.253) auf folgen<strong>de</strong> Form bringen:<br />
2<br />
N II Ne X ⎡ EIon<br />
⎤<br />
= NH ≈ nQ<br />
exp −<br />
e<br />
NH 1−<br />
X<br />
⎢<br />
k T<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
84<br />
[1.257]<br />
Betrachtet man das Wasserstoffgas als i<strong>de</strong>ales Gas, dann gilt für <strong>de</strong>ssen Druck bekanntlich P = NkT ,<br />
wobei sich die Teilchenanzahldichte aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Summe aller Teilchensorten im Gas, also <strong><strong>de</strong>r</strong> neutralen<br />
<strong>und</strong> ionisierten Wasserstoffatome sowie <strong><strong>de</strong>r</strong> freien Elektronen, zusammensetzt. Daraus folgt<br />
( )<br />
P = 1+ X NH kT <strong>und</strong> eingesetzt in (1.257)<br />
2<br />
X k T ⎡ EIon<br />
⎤<br />
= n exp<br />
2<br />
Q −<br />
e<br />
1−<br />
X P<br />
⎢<br />
k T<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
Im Zentrum <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonne erwartet man einen Druck in <strong><strong>de</strong>r</strong> Größenordnung von<br />
Temperatur von ca.<br />
[1.258]<br />
16<br />
2.3⋅ 10 Pa <strong>und</strong> eine<br />
7<br />
1.5⋅ 10 K . Die Gleichung (1.258) liefert für diese Werte überraschen<strong><strong>de</strong>r</strong>weise nur<br />
einen Anteil von r<strong>und</strong> 75 % ionisierten Wasserstoffs, obwohl man erwarten kann, daß unter <strong>de</strong>n im<br />
Sonnenkern herrschen<strong>de</strong>n Temperatur- <strong>und</strong> Druckverhältnissen <strong><strong>de</strong>r</strong> gesamte Wasserstoff im ionisierten<br />
Zustand vorliegt. Der Gr<strong>und</strong> dafür ist, daß die Anwendung von (1.258) auf das Sonneninnere in
Saha-Gleichung<br />
mehrfacher Hinsicht problematisch ist <strong>und</strong> dabei zugleich auch die Grenzen <strong><strong>de</strong>r</strong> Saha-Gleichung<br />
aufgezeigt wer<strong>de</strong>n. Zuerst einmal ist die Annahme falsch, daß die solare Materie nur aus Wasserstoff<br />
besteht. Das freie Elektronengas <strong>und</strong> damit die Größe N e wird nicht nur von <strong>de</strong>n Elektronen <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Wasserstoffatome, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n auch aller an<strong><strong>de</strong>r</strong>en ionisiert im Sonneninneren vorkommen<strong>de</strong>n Elemente<br />
gespeist. Insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e „Metalle“ mit relativ geringen Ionisationspotentialen sind bei Hauptreihensternen<br />
wichtige Lieferanten für freie Elektronen. Ein weiterer wichtiger Punkt ist, daß die Dichte im<br />
Sonnenzentrum so groß ist, daß man die einzelnen Wasserstoffatome nicht mehr als isolierte<br />
Einzelteilchen, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n nur noch als miteinan<strong><strong>de</strong>r</strong> wechselwirken<strong>de</strong> Ensembles von Teilchen betrachten<br />
darf. Das be<strong>de</strong>utet konkret, daß <strong><strong>de</strong>r</strong> mittlere Abstand <strong><strong>de</strong>r</strong> Wasserstoffatome bei <strong>de</strong>m im Sonnenzentrum<br />
herrschen<strong>de</strong>n Druck in die Größenordnung <strong>de</strong>s Bohrschen Atomradius gelangt. Wie man im Rahmen<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Quantenmechanik zeigen kann, führt in solch einem Fall die Wechselwirkungen <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome<br />
untereinan<strong><strong>de</strong>r</strong> zu einer Reduzierung <strong><strong>de</strong>r</strong> Besetzungswahrscheinlichkeit <strong><strong>de</strong>r</strong> geb<strong>und</strong>enen Zustän<strong>de</strong> mit<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Folge, daß mehr Atome ionisiert wer<strong>de</strong>n als die Saha-Gleichung vorhersagt. Das entspricht<br />
genaugenommen einer effektiven Absenkung <strong>de</strong>s Ionisationspotentials <strong>de</strong>s Gr<strong>und</strong>zustan<strong>de</strong>s. Man kann<br />
sich daß mit einer einfachen Überschlagsrechnung leicht plausibel machen. Vergegenwärtigen wir uns<br />
dazu die Bedingungen im Zentrum <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonne. Die Dichte liegt dort in <strong><strong>de</strong>r</strong> Größenordnung von<br />
5 3<br />
1.7 10 kg m −<br />
⋅ . Das be<strong>de</strong>utet, daß die Teilchenzahldichte <strong><strong>de</strong>r</strong> Wasserstoffatome ungefähr bei<br />
N ≈ ρ⊙<br />
m<br />
H z p<br />
~10 m<br />
32 −3<br />
liegt. Der mittlere Abstand zwischen <strong>de</strong>n Atomen läßt sich dann mit<br />
l<br />
3<br />
4π N H<br />
−11<br />
≈ 3 ~1.3⋅ 10 m<br />
leicht abschätzen. Diese Größe muß man mit <strong>de</strong>m Atomradius, <strong><strong>de</strong>r</strong> über die Beziehung<br />
r = a n<br />
0<br />
2<br />
mit <strong>de</strong>m Bohrschen Atomradius a 0 <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Hauptquantenzahl n verb<strong>und</strong>en ist, verglichen wer<strong>de</strong>n. Da<br />
−11<br />
a0<br />
= 5.3⋅ 10 m beträgt <strong>und</strong> damit l < a0<br />
ist, kann es im Sonnenzentrum Wasserstoff we<strong><strong>de</strong>r</strong> im<br />
Gr<strong>und</strong>zustand noch in irgen<strong>de</strong>inem angeregten Zustand geben. Unter <strong>de</strong>n dort herrschen<strong>de</strong>n<br />
Bedingungen läßt sich (1.257) offensichtlich nicht mehr vernünftig anwen<strong>de</strong>n, was selbstverständlich<br />
auch für die Kernregionen an<strong><strong>de</strong>r</strong>er Sterne gilt. Die Saha-Gleichung liefert jedoch sehr genaue<br />
Resultate, wenn man sie auf die Atmosphären <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne anwen<strong>de</strong>t.<br />
85
Quantitative Spektralanalyse<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Die Saha- <strong>und</strong> die Boltzmann-Gleichung lehrt, daß man allein aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Betrachtung <strong><strong>de</strong>r</strong> Stärke einzelner<br />
ausgewählter Spektrallinien verschie<strong>de</strong>ner Elemente niemals ohne weiteres auf die relativen Anteile<br />
dieser chemischen Elemente in <strong><strong>de</strong>r</strong> betreffen<strong>de</strong>n Sternatmosphäre schließen kann. Eine beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s<br />
starke Absorptionslinie in einem Sternspektrum be<strong>de</strong>utet noch lange nicht, daß das zu dieser Linie<br />
gehören<strong>de</strong> Element in <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre auch beson<strong><strong>de</strong>r</strong>s häufig vorkommt. Das Gegenteil ist<br />
oftmals <strong><strong>de</strong>r</strong> Fall, wie die starken Kalziumlinien im kurzwelligen Bereich <strong>de</strong>s Sonnenspektrums<br />
beweisen. Eine Abschätzung mittels <strong><strong>de</strong>r</strong> Saha-Gleichung zeigt, daß in <strong><strong>de</strong>r</strong> Sonnenatmosphäre auf ein<br />
Kalzium-Atom ungefähr 2 Millionen Wasserstoffatome kommen, die wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um (nach <strong><strong>de</strong>r</strong> Boltzmann-<br />
Gleichung) überwiegend <strong>de</strong>n ersten angeregten Zustand besetzen. Das erklärt zugleich die geringe<br />
Präsenz <strong><strong>de</strong>r</strong> Balmerlinien im Sonnenspektrum. Im Gegensatz dazu sind die Kalziumatome unter<br />
solaren Bedingungen (T~6000 K) aufgr<strong>und</strong> ihres geringen Ionisationspotentials von 6.1 eV<br />
(Wasserstoff 13.6 eV) fast alle einfach ionisiert. Die Ionen selbst befin<strong>de</strong>n sich wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um<br />
überwiegend im Gr<strong>und</strong>zustand. Damit sind sie sehr effektiv in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage, Photonen, <strong><strong>de</strong>r</strong>en Frequenz<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> H- <strong>und</strong> K-Linie entsprechen, zu absorbieren.<br />
Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienstärke einiger ausgewählter Absorptionslinien als Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur<br />
respektive Spektraltyp<br />
Hieraus erkennt man, daß es nicht einfach ist, aus einem gegebenen optischen Spektrum eines Sterns<br />
globale Informationen über die physikalischen Bedingungen in <strong>de</strong>ssen Atmosphäre (Temperatur- <strong>und</strong><br />
Druckschichtung, Energietransport, chemische Zusammensetzung etc.) abzuleiten. Der Weg, um diese<br />
Schwierigkeit zu überwin<strong>de</strong>n, besteht darin, das Problem von zwei Seiten her anzugehen. Die eine<br />
Seite besteht in <strong><strong>de</strong>r</strong> Entwicklung einer Theorie <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphären, aus <strong><strong>de</strong>r</strong> sich sogenannte<br />
„synthetische Spektren“ berechnen lassen. Die an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Seite setzt an <strong>de</strong>n Spektren selbst an, aus <strong><strong>de</strong>r</strong>en<br />
Parametern (Energieverteilung, Linieni<strong>de</strong>ntifikationen, Linienstärken bzw, Profile etc.) man versucht,<br />
die Größen abzuleiten, die wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um als Eingabeparameter für die theoretischen Mo<strong>de</strong>llatmosphären<br />
fungieren. Die bei<strong>de</strong> Seiten zusammenführen<strong>de</strong> Hypothese ist dabei, daß ein synthetisches Spektrum,<br />
86
Quantitative Spektralanalyse<br />
welches aus einem theoretischen Atmosphärenmo<strong>de</strong>ll abgeleitet wur<strong>de</strong> <strong>und</strong> das im Wesentlichen mit<br />
einem beobachteten Spektrum übereinstimmt, die Annahme rechtfertigt, daß auch das <strong>de</strong>m<br />
synthetischen Spektrum zugr<strong>und</strong>eliegen<strong>de</strong> Atmosphärenmo<strong>de</strong>ll die physikalischen Parameter <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
realen Sternatmosphäre innerhalb <strong>de</strong>s angestrebten Genauigkeitsintervalls richtig wie<strong><strong>de</strong>r</strong>spiegelt. In <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Praxis han<strong>de</strong>lt es sich dabei um einen iterativen Prozeß, bei <strong>de</strong>m versucht wird, über eine Folge von<br />
verschie<strong>de</strong>n komplexen Analyseschritten die Parameter einer Mo<strong>de</strong>llatmosphäre solange zu variieren,<br />
bis die Abweichungen zwischen <strong>de</strong>m synthetischen Spektrum <strong>und</strong> <strong>de</strong>m beobachteten Spektrum<br />
möglichst verschwin<strong>de</strong>n. Dem liegt weiterhin die Annahme zugr<strong>und</strong>e, daß sich ein bestimmtes<br />
synthetisches Spektrum auch nur aus einem ganz bestimmten Atmosphärenmo<strong>de</strong>ll ergibt<br />
(Ein<strong>de</strong>utigkeitsprinzip). Der sehr hohe Rechenaufwand, <strong><strong>de</strong>r</strong> mit dieser Methodik verb<strong>und</strong>en ist, wird<br />
mittels <strong><strong>de</strong>r</strong> heute verfügbaren Computertechnik klaglos bewältigt. Der Aufwand drumherum<br />
(Vermessung <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektren, experimentelle Bestimmung atomphysikalischer Größen wie z.B.<br />
Oszillationsstärken für die einzelnen Elemente etc.) ist aber geblieben.<br />
Mit <strong><strong>de</strong>r</strong> nicht leichten Aufgabe <strong><strong>de</strong>r</strong> Datengewinnung durch Analyse von Sternspektren, um daraus z.B.<br />
die chemische Zusammensetzung einer Sternatmosphäre abzuleiten, beschäftigt sich die quantitative<br />
Spektralanalyse. Im Folgen<strong>de</strong>n sollen einige Metho<strong>de</strong>n, die dabei zur Anwendung gelangen, in ihren<br />
Gr<strong>und</strong>zügen erläutert wer<strong>de</strong>n.<br />
Wachstumskurven<br />
Schon rein intuitiv ist es klar, daß die Stärke von Spektrallinien - o<strong><strong>de</strong>r</strong> genauer, die in ihnen absorbierte<br />
Energie - irgend etwas mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> am Absorptionsvorgang beteiligten Atome / Ionen zu tun<br />
haben muß. Um diese innerhalb <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienkontur absorbierten Energie zu quantifizieren, wur<strong>de</strong> die<br />
Äquivalentbreite W λ (1.163) eingeführt. Der Integrant in dieser Beziehung ist die Linieneinsenkung<br />
R<br />
I − I<br />
c,<br />
λ λ<br />
λ = [1.259]<br />
Ic,<br />
λ<br />
die sich unter Einführung <strong><strong>de</strong>r</strong> Ergiebigkeit S λ (1.207) auch folgen<strong><strong>de</strong>r</strong>maßen schreiben läßt:<br />
R<br />
S<br />
= 1− 1− exp − [1.260]<br />
( ( τ ) )<br />
λ<br />
λ<br />
Ic,<br />
λ<br />
λ<br />
Wir wählen hier wie im Folgen<strong>de</strong>n die Wellenlänge λ als Funktionsargument, da die häufig zur<br />
Analyse verwen<strong>de</strong>ten Spektren Gitterspektren sind, die eine in λ lineare Dispersion aufweisen. Der<br />
In<strong>de</strong>x c kennzeichnet <strong>de</strong>n Kontinuumswert in <strong><strong>de</strong>r</strong> unmittelbaren Nähe von λ . λ 0 ist die Wellenlänge<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Linienmitte (also dort, wo bei einer optisch dünnen Linie die Linieneinsenkung am größten ist).<br />
Die Gr<strong>und</strong>i<strong>de</strong>e besteht nun darin, daß in einer Gasschicht <strong><strong>de</strong>r</strong> Dicke ds gemäß (1.196) die Absorption<br />
von <strong>de</strong>m (frequenzabhängigen) Absorptionskoeffizienten κ ν abhängt. Dieser wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um ist eine<br />
Funktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl i<br />
N <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome (siehe (1.224)), die sich jeweils in <strong>de</strong>m für <strong>de</strong>n<br />
Absorptionsvorgang verantwortlichen Besetzungszustand befin<strong>de</strong>n sowie <strong><strong>de</strong>r</strong> Oszillatorenstärke für<br />
87
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
<strong>de</strong>n Übergang i → k , also f ik . Eine Frage, die sich in diesem Zusammenhang stellt, ist die Frage, wie<br />
sich eine Absorptionslinie (ausgedrückt durch Wλ ) mit wachsen<strong>de</strong>n N i (bezogen auf eine Gassäule<br />
mit <strong>de</strong>m Volumen V) verän<strong><strong>de</strong>r</strong>t. Die Funktion, welche diese Än<strong><strong>de</strong>r</strong>ung beschreibt, bezeichnet man als<br />
Wachstumskurve (curve of growth). Betrachten wir dazu eine isotherme Gasschicht über einer Schicht,<br />
die kontinuierlich strahlt <strong>und</strong> auf die wir senkrecht drauf schauen (was in erster Näherung <strong>de</strong>n<br />
Verhältnissen einer Sternatmosphäre entspricht). Die Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome im Zustand i, die in <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Projektion auf eine Einheitsfläche entfallen, sei n i . Alle diese Atome sind in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage, im thermo-<br />
dynamischen Gleichgewicht einen Teil <strong><strong>de</strong>r</strong> um λ 0 emittierten kontinuierlichen Strahlung zu<br />
absorbieren, was zu einer Abnahme <strong>de</strong>s Strahlungsflusses <strong>und</strong> damit zu einem bestimmten W λ -Wert<br />
führt. Verdoppelt man gedanklich die Schichtdicke (o<strong><strong>de</strong>r</strong>, was <strong>de</strong>m äquivalent ist, man verdoppelt die<br />
Teilchendichte bei Beibehaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> Schichtdicke), dann vergrößert sich auch die Äquivalentbreite um<br />
<strong>de</strong>n Faktor 2 unter <strong><strong>de</strong>r</strong> Voraussetzung, daß die absorbieren<strong>de</strong> Gasschicht optisch dünn ist. Allgemeiner<br />
gesagt, bei optisch dünnen Linien (bei <strong>de</strong>nen man quasi bis zum „Bo<strong>de</strong>n“ <strong><strong>de</strong>r</strong> Schicht schauen kann)<br />
besteht eine direkte Proportionalität zwischen <strong><strong>de</strong>r</strong> Äquivalentbreite <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Anzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> am<br />
Absorptionsvorgang beteiligten Atome in Sichtlinie. Um das zu verifizieren, lösen wir die<br />
Strahlungstransportgleichung für diesen einfachen Fall (siehe 8.199) <strong>und</strong> berechnen die optische Tiefe<br />
τ λ über das Linienprofil:<br />
2<br />
⌢ ⌢ π e ⎛ ⎛ h c ⎞⎞<br />
τ λ = ∫ nx κik ds ≈ nx κik s = N x fik Ni<br />
⎜1− exp⎜<br />
⎟⎟<br />
Φ ( λ )<br />
[1.261]<br />
me c ⎝ ⎝ k T λ ⎠⎠<br />
n x ist die Teilchenzahldichte <strong>de</strong>s Elements X in <strong><strong>de</strong>r</strong> Schicht, x x<br />
88<br />
n s = N die Säulendichte <strong>und</strong> ( ) λ Φ<br />
die auf 1 normierte Linienverbreiterungsfunktion. Die Zahlen i <strong>und</strong> k indizieren <strong>de</strong>n<br />
quantenmechanischen Übergang, <strong><strong>de</strong>r</strong> zur Absorption führt.<br />
Mit (1.163) <strong>und</strong> (1.199) ergibt sich folgen<strong><strong>de</strong>r</strong> Ausdruck für die Äquivalentbreite W λ <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Absorptionslinie:<br />
∞<br />
( 1- exp ( ) )<br />
W = ∫ −τ<br />
dλ<br />
[1.262]<br />
λ λ<br />
0<br />
woraus unter Beachtung von (1.261) für optisch dünne Linien ( τ λ
Quantitative Spektralanalyse<br />
Wie sieht es aber aus, wenn das Gas optisch dick ist o<strong><strong>de</strong>r</strong> - an<strong><strong>de</strong>r</strong>s ausgedrückt - wenn von <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Linienmitte ausgehend die gesamte aus <strong>de</strong>m Kontinuum im Bereich <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektrallinie stammen<strong>de</strong><br />
Energie absorbiert wird. In diesem Fall hat die Linieneinsenkung ihren größten möglichen Wert<br />
erreicht <strong>und</strong> die Linienflügel können sich nur noch verbreitern. Im Prinzip lassen sind dabei drei<br />
verschie<strong>de</strong>ne „Linientypen“ auszumachen, die sich durch ihr konkretes Linienprofil unterschei<strong>de</strong>n.<br />
Mo<strong><strong>de</strong>r</strong>at starke Linien wer<strong>de</strong>n z.B. lediglich im Bereich ihres Dopplerkerns optisch dick während sehr<br />
starke Linien auch im Bereich <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienflügel das Licht vollständig absorbieren. Ist die optische Tiefe<br />
nur im Bereich <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienmitte >1, dann spricht man von starken Linien. Schwache Linien absorbieren<br />
dagegen Licht nur teilweise. Sie stellen <strong>de</strong>n optisch dünnen Typ dar.<br />
Betrachten wir als Erstes eine sogenannte starke Absorptionslinie. Obwohl (1.262) über <strong>de</strong>n gesamten<br />
Wellenlängenbereich integriert wird, sind selbstverständlich nur wenige nm rechts <strong>und</strong> links vom<br />
Linienkern wirklich optisch dick. Der Wellenlängenbereich λ0 ± ∆ λ , in <strong>de</strong>m τ λ >> 1 gilt, ist<br />
offensichtlich sehr eng. Das ist auch zu erwarten , wenn man sich einmal <strong>de</strong>n asymptotischen Verlauf<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Linienverbreiterungsfunktion vergegenwärtigt. Es ist also vernünftig, das Integral (1.262) über die<br />
Linie in drei Teile aufzuteilen, bei <strong>de</strong>nen nur <strong><strong>de</strong>r</strong> Bereich um <strong>de</strong>n Linienkern optisch dick ist:<br />
λ −∆ λ λ +∆λ ∞<br />
∫ ( 1- exp( τ ) ) λ ∫ ( 1- exp( τ ) ) λ ∫ ( 1- exp(<br />
τ ) ) λ<br />
[1.264]<br />
0 0<br />
W ≈ − d + − d + − d<br />
λ λ λ λ<br />
0<br />
λ −∆ λ λ +∆λ<br />
mit τ = κ Φ(<br />
λ )<br />
λ<br />
x ik<br />
0 0<br />
⌢<br />
N . Da <strong><strong>de</strong>r</strong> erste <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> letzte Summand in (1.264) bei gesättigten Linien keine<br />
große Rolle spielen, bleibt wegen ( τ )<br />
W λ<br />
≈ 2∆<br />
λ<br />
exp − 5 wird <strong>und</strong> Kollisionsprozesse (Gasdruck) zwischen <strong>de</strong>n Atomen noch keine so<br />
große Rolle spielen.<br />
Bei sehr starken Linien überwiegt dagegen die Stoßdämpfung, was mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Dämpfungskonstanten γ zu<br />
einer Äquivalentbreite von<br />
W λ<br />
≈<br />
⌢<br />
N κ γ<br />
x ik<br />
π<br />
[1.266]<br />
führt. Die Linienflügel wachsen überproportional an während das Linienzentrum durch die Dämpfung<br />
nur schwach berührt wird. Hier beobachtet man ein Anwachsen <strong><strong>de</strong>r</strong> Äquivalentbreite, die proportional<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Quadratwurzel <strong><strong>de</strong>r</strong> Säulendichte <strong><strong>de</strong>r</strong> absorbieren<strong>de</strong>n Teilchen ist.
optisch dünne Linien Wλ ~ N x<br />
gesättigte mo<strong><strong>de</strong>r</strong>at starke Linien (Gauß-Profil) Wλ ~ lnN x<br />
gesättigte druckverbreiterte Linien (Lorentz-Profil) Wλ ~ N x<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
In <strong>de</strong>m man <strong>de</strong>n Logarithmus <strong><strong>de</strong>r</strong> Äquivalentbreiten über <strong>de</strong>n Logarithmus <strong><strong>de</strong>r</strong> Größe N x aufträgt,<br />
erhält man die graphische Darstellung <strong><strong>de</strong>r</strong> Wachstumskurve für einen bestimmten Übergang <strong>de</strong>s<br />
Elements x.<br />
Theoretische Wachstumskurve, die aus einem linearen Anstieg, einem relativ flachen Plateau <strong>und</strong> <strong>de</strong>m<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Quadratwurzel <strong><strong>de</strong>r</strong> Säulendichte proportionalen Anstieg besteht.<br />
In <strong><strong>de</strong>r</strong> Praxis wählt man jedoch oft einen etwas an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Weg, <strong><strong>de</strong>r</strong> es erlaubt, alle interessieren<strong>de</strong>n<br />
Übergänge in einem Diagramm zu erfassen. Dazu trägt man als Ordinate <strong>de</strong>n Logarithmus aus<br />
Äquivalentbreite dividiert durch die Zentralwellenlänge auf. Dadurch wird diese Achse unabhängig<br />
von einem konkreten quantenmechanischen Übergang. Als Abszisse wählt man dagegen <strong>de</strong>n<br />
Logarithmus aus Säulendichte N <strong>und</strong> Oszillatorenstärke f. Letztere ist ja ein Maß dafür, wie<br />
wahrscheinlich ein bestimmter Übergang stattfin<strong>de</strong>t. Je größer f ist, <strong>de</strong>sto häufiger wird <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
entsprechen<strong>de</strong> Übergang in <strong><strong>de</strong>r</strong> Gassäule realisiert. Wie bereits erwähnt, gibt es ganze Tabellenwerke<br />
(bzw. Datenbanken, die im Internet abrufbar sind), aus <strong>de</strong>nen man für verschie<strong>de</strong>ne Elemente <strong>und</strong><br />
90
Quantitative Spektralanalyse<br />
Übergänge die (meist experimentell bestimmten) f-Werte entnehmen kann. Einen ersten Überblick<br />
bietet z.B. „Allen’s Astrophysical Quantities“ (Ed. N.Cox, Springer 1999, S. 69 ff.).<br />
Allgemeine Wachstumskurve für die Sonnenphotosphäre © (Aller, 1971)<br />
Theoretische <strong>und</strong> empirische Wachstumskurven<br />
Die Wachstumskurve war bis vor ein, zwei Jahrzehnten ein wichtiges Hilfsmittel zur Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Elementehäufigkeiten sowie an<strong><strong>de</strong>r</strong>er physikalischer Parameter von realen Sternatmosphären aus<br />
geeigneten optischen Spektren im Rahmen einer Grobanalyse. Seit<strong>de</strong>m ist ihre Be<strong>de</strong>utung in <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
stellaren <strong>Astrophysik</strong> etwas zurückgegangen. Durch die Verfügbarkeit leistungsfähiger Rechentechnik<br />
können heute bessere <strong>und</strong> genauere Metho<strong>de</strong>n eingesetzt wer<strong>de</strong>n, die sich komplett algorithmisieren<br />
lassen. Diese Metho<strong>de</strong>n beruhen (vereinfacht gesagt) darauf, daß man Sternatmosphären im Computer<br />
mo<strong>de</strong>lliert <strong>und</strong> für diese Mo<strong>de</strong>lle numerisch Spektren ableitet, die sich wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um mit realen Spektren<br />
vergleichen lassen. Derartige berechnete Sternspektren wer<strong>de</strong>n gewöhnlich als synthetische Spektren<br />
bezeichnet. Aus <strong>de</strong>n Abweichungen zwischen realem <strong>und</strong> synthetischem Spektrum gewinnt man<br />
wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um Daten, mit <strong>de</strong>nen man das Atmosphärenmo<strong>de</strong>ll weiter verbessern kann so daß ein iterativer<br />
Ablauf entsteht an, <strong>de</strong>ssen Ziel es ist, eine größtmögliche Übereinstimmung zwischen <strong>de</strong>n bei<strong>de</strong>n<br />
Spektren (synthetisch <strong>und</strong> empirisch) zu erreichen. Der große Vorteil bei diesem Verfahren liegt darin<br />
begrün<strong>de</strong>t, daß sich im Gegensatz zur Metho<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Wachstumskurve physikalische Größen<br />
schichtenabhängig berechnen lassen, während die Wachstumskurve genaugenommen nur über die<br />
Atmosphärenschicht gemittelte Größen liefert.<br />
91
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Die theoretische Berechnung von Wachstumskurven für verschie<strong>de</strong>ne Elemente erfor<strong><strong>de</strong>r</strong>t die genaue<br />
Kenntnis atomphysikalischer Größen (z.B. f-Werte) sowie die Berücksichtigung einer Vielzahl<br />
weiterer, voneinan<strong><strong>de</strong>r</strong> abhängiger Größen wie Dämpfungskonstanten (γ ), Turbulenzgeschwin-<br />
digkeiten <strong>und</strong> Dopplerprofile, die wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um von <strong><strong>de</strong>r</strong> Temperatur T <strong>und</strong> vom Gasdruck P abhängen.<br />
Um einen Zusammenhang zwischen <strong>de</strong>n theoretischen Kurven <strong>und</strong> einem konkreten Sternspektrum<br />
herstellen zu können, konstruiert man für eine Anzahl von Linien eines geeigneten Elements (z.B. Fe)<br />
aus <strong><strong>de</strong>r</strong>en auf <strong>de</strong>m Spektrum gemessenen Äquivalentbreiten Wg eine empirische Wachstumskurve.<br />
Wie man das macht, soll ohne allzu sehr ins Detail zu gehen, an dieser Stelle kurz erläutert wer<strong>de</strong>n. Als<br />
Ordinate wählt man die Größe lg ( g )<br />
W λ <strong>und</strong> als Abszisse hat sich <strong><strong>de</strong>r</strong> Logarithmus aus <strong>de</strong>m Produkt<br />
aus statistischem Gewicht k g , <strong><strong>de</strong>r</strong> Oszillatorenstärke f ik sowie <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge <strong><strong>de</strong>r</strong> Linienmitte λ 0 als<br />
geeignet erwiesen. In dieses Diagramm wer<strong>de</strong>n die Meßdaten von möglichst vielen Linien mit jeweils<br />
gleichem Ausgangsniveau k <strong>und</strong> gleichen Ionisationszustand r eingezeichnet (charakterisiert durch die<br />
Energie E rk ). Damit ergibt sich immer jeweils genau ein Teilstück <strong><strong>de</strong>r</strong> Wachstumskurve. Dasselbe<br />
führt man für Linien, die an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Werte von E rk repräsentieren, durch. Diese Teilstücke sind um einen<br />
gewissen Betrag ∆ x in <strong><strong>de</strong>r</strong> Abszisse gegeneinan<strong><strong>de</strong>r</strong> verschoben. Nach (1.261) kann man für <strong>de</strong>n<br />
⌢<br />
κ λ für die Linienmitte (unter Zusammenfassung aller konstanten Werte<br />
Absorptionskoeffizienten ( )<br />
ik<br />
<strong>und</strong> mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Halbwertsbreite ∆ ω in Frequenzeinheiten)<br />
⌢<br />
κ<br />
N f<br />
= ⋅<br />
∆ω<br />
rk ik<br />
ik s const s<br />
mit<br />
0<br />
( ) exp<br />
N N g ⎛ E ⎞ N<br />
N = ∑ N = − ⋅ ∑ N<br />
⎝ ⎠<br />
rk r k rk r<br />
rk r ⎜ ⎟<br />
r<br />
Nr Nr Zr T k T Nr<br />
∑ ∑<br />
92<br />
[1.267]<br />
schreiben. Die Zustandssumme Z r läßt sich für eine gegebene Sternatmosphäre (Annahme<br />
gleichmäßige Temperatur T) <strong>und</strong> für eine Atomsorte als konstant ansehen. Für die Absorption über die<br />
Schichtdicke s bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Wellenlänge λ 0 ergibt sich dann:<br />
⌢<br />
⎛ Erk<br />
⎞<br />
κik s = const ⋅( gk fik<br />
λ0<br />
) exp⎜ − ⎟<br />
⎝ k T ⎠<br />
Diese Gleichung wird handlicher, wenn man sie logarithmiert:<br />
⌢<br />
E<br />
lg ik lg k ik 0 lg<br />
k T<br />
rk<br />
( κ s) = C + ( g f λ ) − ( e)<br />
[1.268]<br />
Hieraus läßt sich erkennen, daß die Größe, um die sich jeweils ein Teilstück <strong><strong>de</strong>r</strong> Wachstumskurve für<br />
einen bestimmten k-Wert verschiebt ( ∆ x ), linear abhängig von <strong><strong>de</strong>r</strong> Anregungsenergie E rk dieses<br />
Zustan<strong>de</strong>s ist. Trägt man ∆ x für verschie<strong>de</strong>ne Kurvenstücke über E rk auf, dann läßt sich aus <strong>de</strong>m<br />
Anstieg <strong><strong>de</strong>r</strong> Gera<strong>de</strong>n die Anregungstemperatur T bestimmen, welche in <strong><strong>de</strong>r</strong> Boltzmann-Gleichung<br />
(1.238) das Verhältnis <strong><strong>de</strong>r</strong> jeweiligen Besetzungszahlen festlegt.<br />
Um die komplette Wachstumskurve zu erhalten, müssen die einzelnen Kurvenstücke unter<br />
Beibehaltung <strong><strong>de</strong>r</strong> Ordinatenwerte aufeinan<strong><strong>de</strong>r</strong> „aufgeschoben“ wer<strong>de</strong>n. Die auf diese Weise
Quantitative Spektralanalyse<br />
konstruierte Kurve muß anschließend mit einer passen<strong>de</strong>n theoretischen Wachstumskurve (durch<br />
Verschieben <strong><strong>de</strong>r</strong> Letzteren inkl. <strong><strong>de</strong>r</strong> Abszissenteilung) zur Deckung gebracht wer<strong>de</strong>n, was auch durch<br />
<strong>de</strong>n ausgeprägten linearen Teil meist recht gut gelingt.<br />
Aus <strong>de</strong>m Verlauf <strong><strong>de</strong>r</strong> empirischen Kurve im Bereich sehr starker Linien (Dämpfungsteil <strong><strong>de</strong>r</strong> Kurve,<br />
abhängig von γ ) kann schließlich durch einen Vergleich mit unterschiedlich parametrisierten<br />
theoretischen Kurven <strong><strong>de</strong>r</strong> Gasdruck P in <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre bestimmt wer<strong>de</strong>n.<br />
Theoretische Wachstumskurven mit unterschiedlicher Dämpfung. k g ist <strong><strong>de</strong>r</strong> Dämpfungskonstante γ<br />
proportional, die im wesentlichen das Lorentz-Profil einer druckverbreiterten Spektrallinie bestimmt.<br />
Weitere wichtige Parameter, die Einfluß auf Wachstumskurven haben <strong>und</strong> sich <strong>de</strong>shalb daraus auch<br />
<strong>de</strong>duzieren lassen, sind die (gauß’schen) Geschwindigkeitsfel<strong><strong>de</strong>r</strong> mikroturbulenter Strömungen sowie<br />
Effekte, die mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Größe <strong><strong>de</strong>r</strong> Schwerebeschleunigung in <strong><strong>de</strong>r</strong> Atmosphärenschicht im Zusammenhang<br />
stehen.<br />
Ableitung <strong><strong>de</strong>r</strong> Säulendichten verschie<strong>de</strong>ner Elemente aus einem<br />
Absorptionslinienspektrum<br />
Wachstumskurven verschie<strong>de</strong>ner Elemente sind untereinan<strong><strong>de</strong>r</strong> meist ähnlich <strong>und</strong> können, in <strong>de</strong>m man<br />
sie in einem Diagramm zur Deckung bringt, zu einer für <strong>de</strong>n jeweiligen Stern charakteristischen<br />
Wachstumskurve zusammengefaßt wer<strong>de</strong>n. Aus solch einer allgemeinen Wachstumskurve lassen sich<br />
die Säulendichten <strong><strong>de</strong>r</strong> einzelnen in <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre vorhan<strong>de</strong>nen Elemente bestimmen. Dazu<br />
wählt man eine Anzahl von Absorptionslinien, die unterschiedlichen quantenmechanischen<br />
Übergängen entsprechen <strong>und</strong> für die sowohl die statistischen Gewichte als auch die Oszillatorstärken<br />
mit ausreichen<strong><strong>de</strong>r</strong> Genauigkeit bekannt sind. Mit einer geeigneten Metho<strong>de</strong> (z.B. Dreieckinterpolation<br />
bei schwachen Linien) bestimmt man für diese Linien auf einem Photometerschrieb (o<strong><strong>de</strong>r</strong> mit einem<br />
93
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Computerprogramm) die Äquivalentbreiten W g . Mit diesen Meßwerten geht man in die<br />
Wachstumskurve <strong>und</strong> liest auf <strong><strong>de</strong>r</strong> horizontalen Achse <strong>de</strong>n Abszissenwert ab. Daraus läßt sich bei<br />
gegebenen k g <strong>und</strong> f ik die Säulendichte <strong><strong>de</strong>r</strong> Atome, die in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage sind, Strahlung bei <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Wellenlänge λ 0 zu absorbieren, ausrechnen. In <strong>de</strong>m man das für verschie<strong>de</strong>ne Linien eines Elements<br />
macht, kann man anschließend mit Hilfe <strong><strong>de</strong>r</strong> Boltzmann - bzw. <strong><strong>de</strong>r</strong> Saha-Gleichung die Zahl <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Atome, die sich in <strong>de</strong>n einzelnen möglichen Anregungs- bzw. Ionisationszustän<strong>de</strong>n befin<strong>de</strong>n,<br />
berechnen <strong>und</strong> daraus wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um die Gesamtzahl <strong><strong>de</strong>r</strong> in <strong><strong>de</strong>r</strong> Einheitssäule befindlichen Teilchen <strong>de</strong>s<br />
entsprechen<strong>de</strong>n Elements bestimmen.<br />
Die Ableitung stellarer Parameter aus <strong><strong>de</strong>r</strong> alleinigen Analyse von Wachstumskurven wird gewöhnlich<br />
als Grobanalyse bezeichnet. Sie erlaubt zwar einen ersten Überblick über <strong>de</strong>n physikalischen Zustand<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre. Für <strong>de</strong>tailliertere Untersuchungen ist sie jedoch weniger gut o<strong><strong>de</strong>r</strong> höchstens als<br />
Einstieg geeignet. Deshalb folgt gewöhnlich auf die Grobanalyse noch eine Feinanalyse. Bei ihr<br />
kommt es insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e auf ein gutes Zusammenspiel zwischen theoretischer Mo<strong>de</strong>llierung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sternatmosphäre (Eingabewerte sind die aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Grobanalyse gewonnenen Werte für T, P, chemische<br />
Zusammensetzung, Turbulenzanteile etc.) <strong>und</strong> <strong>de</strong>m Vergleich <strong><strong>de</strong>r</strong> Ergebnisse mit <strong>de</strong>n aus <strong>de</strong>n Spektren<br />
abgeleiteten Parametern an. Das Prinzip besteht darin, daß man über einen iterativen Vorgang, bei<br />
<strong>de</strong>nen immer bessere Mo<strong>de</strong>llatmosphären berechnet wer<strong>de</strong>n, man theoretisch Äquivalentbreiten<br />
bestimmt, die sich mit <strong>de</strong>n Linienbreiten im originalen Sternspektrum vergleichen lassen. Aus <strong>de</strong>n<br />
Abweichungen „Beobachtung - Rechnung“ zwischen <strong>de</strong>n einzelnen Iterationsstufen ergeben sich<br />
Korrekturen, die zur jeweiligen Verbesserung <strong>de</strong>s Atmosphärenmo<strong>de</strong>lls genutzt wer<strong>de</strong>n. Aus dieser<br />
Verfahrensweise wur<strong>de</strong> die mo<strong><strong>de</strong>r</strong>ne Metho<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> synthetischen Spektren entwickelt, über die im<br />
folgen<strong>de</strong>n Abschnitt noch etwas Genaueres zu berichten sein wird.<br />
Mittels <strong><strong>de</strong>r</strong> Grob- <strong>und</strong> Feinanalyse konnten erstmalig die Häufigkeitsverteilung <strong><strong>de</strong>r</strong> Elemente in <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Sonne <strong>und</strong> einiger ausgewählter Sterne (<strong><strong>de</strong>r</strong> „Klassiker“ ist hier <strong><strong>de</strong>r</strong> B0-Stern τ Sco ) bestimmt wer<strong>de</strong>n.<br />
In diesem Zusammenhang sind insbeson<strong><strong>de</strong>r</strong>e die bahnbrechen<strong>de</strong>n Arbeiten <strong><strong>de</strong>r</strong> Kieler Schule unter<br />
ALBRECHT UNSÖLD (1905-1995) in <strong>de</strong>n 30iger <strong>und</strong> 40iger Jahren <strong>de</strong>s vorigen Jahrhun<strong><strong>de</strong>r</strong>ts zu<br />
erwähnen.<br />
Ein bemerkenswertes Ergebnis <strong><strong>de</strong>r</strong> quantitativen Spektralanalyse war auch <strong><strong>de</strong>r</strong> Nachweis <strong>de</strong>s<br />
Metallarmuts <strong><strong>de</strong>r</strong> Population II -Sterne, <strong><strong>de</strong>r</strong> sich kosmologisch begrün<strong>de</strong>n läßt <strong>und</strong> ihre Ursache in <strong>de</strong>m<br />
hohen Alter <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne hat.<br />
94
Quantitative Spektralanalyse<br />
Synthetische Spektren<br />
Ein großes Problem bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Auswertung linienreicher Sternspektren stellen die sogenannten „Blends“<br />
dar. Sie entstehen, wenn nahe beieinan<strong><strong>de</strong>r</strong> liegen<strong>de</strong> Linien von <strong>de</strong>m verwen<strong>de</strong>ten Spektrographen nicht<br />
mehr aufgelöst wer<strong>de</strong>n können <strong>und</strong> damit im Spektrum als eine (meist <strong>de</strong>formierte) Linie erscheinen<br />
o<strong><strong>de</strong>r</strong> wenn die Linienflügel einer Linie durch an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Linien beeinflußt wer<strong>de</strong>n. In bei<strong>de</strong>n Fällen ist die<br />
genaue Messung <strong><strong>de</strong>r</strong> Äquivalentbreiten mit Schwierigkeiten verb<strong>und</strong>en o<strong><strong>de</strong>r</strong> ganz unmöglich. Um<br />
dieses Problem abzuschwächen bzw. ganz zu umgehen, wur<strong>de</strong> in <strong>de</strong>n 60ziger Jahren <strong>de</strong>s vorigen<br />
Jahrhun<strong><strong>de</strong>r</strong>ts die Metho<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Spektralsynthese entwickelt. Das zugr<strong>und</strong>e liegen<strong>de</strong> Prinzip läßt sich in<br />
etwa folgen<strong><strong>de</strong>r</strong>maßen beschreiben: Aus einem Atmosphärenmo<strong>de</strong>ll wer<strong>de</strong>n für einen gegebenen<br />
Spektralbereich für alle interessieren<strong>de</strong>n Elemente <strong>und</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong>en Übergänge die Linienabsorptionskoeffizienten<br />
berechnet. Wenn man sie zusammenaddiert <strong>und</strong> daraus <strong>de</strong>n zu erwarten<strong>de</strong>n spektralen<br />
Strahlungsfluß bestimmt, dann erhält man ein sogenanntes synthetisches Spektrum. Dieses läßt sich<br />
dann mit <strong>de</strong>m Apparateprofil eines Spektrographen gegebener Auflösung „falten“ (was einer<br />
„Verschmierung“ <strong><strong>de</strong>r</strong> Details <strong>de</strong>s künstlichen Spektrums entspricht) <strong>und</strong> es ergibt sich ein Spektrum,<br />
daß sich nun direkt mit einem realen Sternspektrum vergleichen läßt. Dreh- <strong>und</strong> Angelpunkt an diesem<br />
Verfahren ist offensichtlich eine möglichst genaue <strong>und</strong> <strong>de</strong>taillierte Mo<strong>de</strong>llierung <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphäre.<br />
Zu diesem Zweck wur<strong>de</strong>n eine ganze Reihe von Softwarepaketen entwickelt, die <strong>de</strong>n Verlauf <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
wesentlichsten physikalischer Größen wie T, P <strong>und</strong> ρ für eine bestimmte Ausgangsmasse, effektive<br />
Temperatur <strong>und</strong> chemische Zusammensetzung (Metallizität) in einer Sternatmosphäre über einen<br />
großen Parameterbereich (meist unter Annahme von LTE, aber immer öfters wer<strong>de</strong>n auch die<br />
Gleichungen für das NLTE numerisch integriert) zu berechnen erlauben. Mittlerweile gibt es ganze<br />
Bibliothekten von Atmosphärenmo<strong>de</strong>llen, die über das Internet abrufbar sind. Auch die zu ihrer<br />
Berechnung verwen<strong>de</strong>ten Programme (die meist unter Unix / Linux laufen) können meist frei aus <strong>de</strong>m<br />
Netz heruntergela<strong>de</strong>n wer<strong>de</strong>n. Sehr häufig wird z.B. das 4-parametrische Atmosphärenmo<strong>de</strong>ll von<br />
ROBERT KURUCZ eingesetzt, welches als Eingabeparameter Teff , log g (Schwerebeschleunigung an <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Oberfläche), vmt (Mikroturbulenzeschwindigkeit) <strong>und</strong> [ X / H ] (Metallizität) verwen<strong>de</strong>t. Derartige<br />
Mo<strong>de</strong>lle dienen wie<strong><strong>de</strong>r</strong>um als „Eingabeparameter“ für Programmpakete, die in <strong><strong>de</strong>r</strong> Lage sind, für eine<br />
Vielzahl von atomaren Übergängen <strong>und</strong> unter <strong>de</strong>n Mo<strong>de</strong>llbedingungen die Strahlungstransportgleichung<br />
zu lösen. Eine mo<strong><strong>de</strong>r</strong>ne Softwarelösung zur Berechnung synthetischer Spektren<br />
berücksichtigt z.B. 26 chemische Elemente, über 150 Ionisationszustän<strong>de</strong>, bis zu 100000<br />
Energieniveaus <strong>und</strong> vermag die Absorptionskoeffizienten von einigen Millionen bb-Übergängen zu<br />
berechnen. Dabei ist natürlich zu bemerken, daß diese Programme stetig weiterentwickelt wer<strong>de</strong>n <strong>und</strong><br />
sich ihr Einsatz nicht nur auf klassische Sterne beschränkt. Weitere Anwendungsgebiete über<strong>de</strong>cken<br />
beispielsweise die Mo<strong>de</strong>llierung von Akkretionsscheiben (z.B. bei bestimmten Typen von<br />
verän<strong><strong>de</strong>r</strong>lichen Sternen), von protoplanetaren Scheiben bis hin zur Berechnung von Spektren ganzer<br />
Galaxien unterschiedlicher Populationszusammensetzung. Die Genauigkeit <strong><strong>de</strong>r</strong>artiger Mo<strong>de</strong>lle hängt<br />
dabei mit entschei<strong>de</strong>nd von <strong><strong>de</strong>r</strong> Qualität <strong><strong>de</strong>r</strong> in sie eingehen<strong>de</strong>n atomphysikalischen Parameter ab. Sie<br />
wer<strong>de</strong>n <strong>de</strong>shalb in <strong><strong>de</strong>r</strong> VALD (Vienna Atomic Line Database) akribisch gesammelt <strong>und</strong> gepflegt <strong>und</strong><br />
sind über das Internet abrufbar (z.B. ams.astro.univie.ac.at/vald/ ).<br />
95
Beobachtetes Spektrum<br />
Theorie <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternatmosphären<br />
• Geometrie<br />
• Hydrodynamik<br />
• Thermodynamik<br />
• Strahlungstransport<br />
• Atomphysik<br />
Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Sternspektroskopie<br />
Prinzipieller Ablaufplan <strong><strong>de</strong>r</strong> Berechnung eines synthetischen Spektrums aus einem Sternmo<strong>de</strong>ll<br />
Vergleich zwischen einem Echelle-Spektrum <strong>de</strong>s pekuliaren Sterns Chi Lup (ausgezogene Linie) mit<br />
einem synthetischen Spektrum (punktierte Linie, berechnet mit SYNTHE) für einen kleinen<br />
Wellenlängenausschnitt im UV-Bereich © J.C.Brandt et.al 1998<br />
Wie obige Abbildung zeigt, können synthetische Spektren reale Sterne nicht perfekt reproduzieren<br />
obwohl die Genauigkeit <strong><strong>de</strong>r</strong> Ännäherung doch bemerkenswert ist. Das ist einmal <strong>de</strong>n<br />
unausweichlichen Vereinfachungen geschul<strong>de</strong>t, die genaugenommen erst eine Mo<strong>de</strong>llierung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
komplexen Vorgänge in einer Sternatmosphäre ermöglichen (z.B. LTE statt NLTE, unvollständige<br />
o<strong><strong>de</strong>r</strong> ungenaue Liniendaten, Vernachlässigung bestimmter Ionisations-mechanismen). Deshalb ist <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Vergleich mit realen (Referenz-) Sternen unumgänglich, um systematisch die Mo<strong>de</strong>llparameter <strong>und</strong><br />
die Algorithmen zu verbessern. Ziel ist es immer, ein Atmosphärenmo<strong>de</strong>ll zu berechnen, welches das<br />
beobachtete Spektrum möglichst optimal reproduziert. Erst daraus ergeben sich dann tiefere<br />
Einsichten in die Physik <strong><strong>de</strong>r</strong> einzigen für uns sichtbaren Bereiche eines Sterns.<br />
96<br />
Synthetisches Spektrum<br />
Mathematisches Mo<strong>de</strong>ll<br />
Numerische Lösung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Gr<strong>und</strong>gleichungen
Literatur zum Thema<br />
K. Lindner: Taschenbuch <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Astronomie</strong>, Fachbuchverlag Leipzig, 1997<br />
H. Bernhard, K.Lindner, M.Schukowski: Wissensspeicher <strong>Astronomie</strong>, Volk <strong>und</strong> Wissen 1995<br />
A.Unsöld, B.Baschek: Der neue Kosmos, Springer-Verlag 2004<br />
A.Weigert, H.J. Wendker: <strong>Astronomie</strong> <strong>und</strong> <strong>Astrophysik</strong>. Ein Gr<strong>und</strong>kurs, Wiley-VCH 2004<br />
H. Karttunen et.al.: F<strong>und</strong>amental Astronomy, Springer-Verlag 2000<br />
B.W. Jones: Discovering the Solar System, Wiley 2000<br />
McBri<strong>de</strong>, Gilmour: Introduction to the Solar System, Cambridge University Press 2004<br />
C.R.Cowley: The Theory of Stellar Spectra, Gordon and Breach 1970<br />
J.B.Kahler: Sterne <strong>und</strong> ihre Spektren, Spektrum-Verlag 1994<br />
J.Tennyson: Astronomical Spectroscopy, Imperial College 2005<br />
D.C.Clayton: Principles of Stellar Evolution an Nucleosynthesis, University Chicago Press<br />
S.A.Kaplan: Physik <strong><strong>de</strong>r</strong> Sterne, BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft 1980<br />
M.Salaris, S.Cassisi: Evolution of Stars and Stellar Population, Wiley 2005<br />
98
In<strong>de</strong>x<br />
Absorption, kontinuierliche 71<br />
Absorptionskante 73<br />
Absorptionskoeffizient 63, 64, 66, 72-77, 87, 92, 95<br />
Absorptionslinienspektrum 3, 93<br />
Alkalimetalle 5, 13, 14, 17<br />
Anregung 5, 13, 32, 40, 41, 73<br />
Äquivalentbreite 48, 80, 87-90<br />
Aufenthaltswahrscheinlichkeit 8<br />
Auswahlregeln 6, 13, 22, 23, 26, 37, 39<br />
Balmer, Johann Jakob 3, 10<br />
Balmer-Serie 11, 14<br />
Bergmann-Serie 14<br />
Besetzungszahl 67, 81<br />
Bindungszustän<strong>de</strong> 4<br />
Bohr, Niels 3<br />
Bohr-Radius 9<br />
Bohr-Sommerfeldsches Atommo<strong>de</strong>ll 3, 4, 5, 8, 35<br />
Boltzmann-Gleichung 73, 78-81, 83, 86, 92<br />
Boltzmann-Verteilung 68, 78<br />
Born-Oppenheimer-Näherung 32, 33<br />
Bowen, Ira Sprague 25<br />
Bremsstrahlung 72, 73<br />
Chromosphäre 5<br />
Compton-Streuung 72<br />
Cowley, Charles R. 45<br />
Cox, N. 91<br />
Deutsch, Armin 52<br />
Dirac-Gleichung 12<br />
Dissiziationsenergie 39<br />
Doppler Imaging 52, 53<br />
Doppler, Christian 49<br />
Dopplereffekt 50, 51, 89<br />
Dopplerverbreiterung 46, 47, 49, 50, 51, 60<br />
Druckverbreiterung 12, 20, 46, 47, 55-59, 70<br />
Eddington, Arthur Stanley 2<br />
E<strong>de</strong>lgaskonfiguration 17<br />
A<br />
B<br />
C<br />
D<br />
E<br />
100<br />
Edle’n, Bengt 25<br />
Eigenzustän<strong>de</strong> 10<br />
Einstein, Albert 2<br />
Einstein-Koeffizienten 67, 68<br />
Elektronenbremskontinuum 72<br />
Elektronengas 80, 85<br />
Elektronenspin 12, 56<br />
Emissionslinienspektrum 3<br />
Energieeigenwerte 38<br />
Energietransport 62, 71, 86<br />
Entartung 10, 19, 21, 35, 56, 79<br />
Fabry-Perot-Interferometer 12<br />
Feinstrukturaufspaltung 12<br />
Ficksche Diffusionsgesetz 77<br />
Flashspektrum 5, 25<br />
Fraunhofer, Joseph von 31<br />
Frei-frei-Übergänge 71<br />
Gauntfaktor 73<br />
Gauß-Profil 57, 89<br />
Geb<strong>und</strong>en-frei-Übergänge 71<br />
Grotrian, Walter 6, 25<br />
Grotrian-Diagramm 6, 11, 22<br />
Gr<strong>und</strong>zustand 4, 9, 21, 23, 25-27, 78-81, 85, 86<br />
F<br />
G<br />
H<br />
Halbwertsbreite 49, 51, 58, 92<br />
Hamilton –Funktion 7<br />
Hamilton-Operator 7, 32, 33<br />
Heisenberg, Werner 2<br />
Heisenbergsche Unschärferelation 55, 81<br />
Heliumatom 21<br />
Heliumspektrum 25<br />
Holtsmark, J. 58<br />
Holtsmark-Profil 58<br />
Huggins, William 25<br />
H<strong>und</strong>sche Regeln 15, 21<br />
Hydrid-Ion 29, 30<br />
Hyperfeinstrukturaufspaltung 13
Inglis, D.A. 59<br />
Inglis-Teller-Beziehung 59<br />
Interkombinationslinien 23, 24, 28<br />
Interkombinationsübergang 28<br />
Interkombinationsverbot 23, 26, 37<br />
Ionen 7, 17, 27, 30, 32, 44, 55, 56, 58, 59, 71, 72, 80, 86, 87<br />
Ionen, heliumartige 18, 25, 27<br />
Ionisation 5, 75, 80, 83, 84<br />
Ionisationspotential 4<br />
Jansen, Pierre Jules 25<br />
Jeans, James Hopwood 3<br />
j-j -Kopplungsschema 20<br />
I<br />
J<br />
K<br />
Kirchhoff, Gustav Robert 3<br />
Kontinuumsstrahlung 29, 71, 72<br />
Kontinuumszustän<strong>de</strong> 5, 10<br />
Kurucz, Robert 95<br />
Leuchtelektron 13, 22<br />
Leuchtkraftklasse 52, 58<br />
Linienabsorptionskoeffizient 66, 69, 70, 95<br />
Linienbreite, natürliche 47<br />
Linieneinsenkung 48, 87, 89<br />
Linienflügel 48, 57, 58, 89, 95<br />
Linienprofil 46, 47, 48, 51-53, 55, 57, 58, 88, 89<br />
Lo Surdo, Antonio 56<br />
Lockyer, Norman 25<br />
Lorentz, H.A. 55<br />
Lorentzprofil 60<br />
Lorentz-Transformation 49<br />
Lyman-Serie 10<br />
L<br />
M<br />
Massenabsorptionskoeffizient 63<br />
Maxwell-Verteilung 50, 51, 74, 80<br />
Mehrelektronensysteme 19, 21, 22<br />
Men<strong>de</strong>lejew, Dimitri Iwanowitsch 15<br />
Metallizität 95<br />
Meyer, Julius Lothar von 15<br />
Moleküle, zweiatomige 32<br />
Molekülorbitale 33, 34, 35<br />
Molekülspektren 1, 2, 31, 40<br />
101<br />
Morse, Philip McCord 38<br />
Morse-Potential 38, 39<br />
Multiplettzustän<strong>de</strong> 56<br />
Multiplizität 18, 21, 22, 23, 36<br />
Nullpunktsstrahlungsfeld 67<br />
N<br />
O<br />
Opazität 17, 30, 71, 72, 74, 75, 77<br />
Orbital 8, 13, 15, 16, 34, 35, 37<br />
Oszillatorenstärke 69, 70, 87, 90, 92<br />
P<br />
Parität 13, 20, 21, 22, 35<br />
Paschen-Serie 14<br />
Pauli-Prinzip 15, 18, 35<br />
Penrod, G.D. 53<br />
Perio<strong>de</strong>nsystem 13, 15, 17, 25<br />
Photo-Effekt 71<br />
Photoionisation 17, 71, 73, 82<br />
Pickering, Edward Charles 27<br />
Pickering-Serie 27<br />
Planck, Max 3<br />
Plancksches Strahlungsgesetz 69<br />
Plancksches Wirkungsquantum 3<br />
Planetarische Nebel 24<br />
Pointingvektor 23<br />
Polarisationszustän<strong>de</strong> 23<br />
Protosterne 43<br />
Radialwellenfunktion 8<br />
Ramsay, William 25<br />
Rayleigh-Streuung 72, 74, 75<br />
Rekombination 5, 29, 71, 72, 80, 83<br />
Resonanzlinie 28<br />
Resonanzübergang 28<br />
Robert Wilhelm, Bunsen 3<br />
Röntgenspektrum 27, 28<br />
Rosseland, Sven 76<br />
Rosseland’sche mittlere Opazitätskoeffizient 75<br />
Rotationsübergänge 40, 41, 43<br />
Russell, Henry Norris 15<br />
Russell-Saun<strong><strong>de</strong>r</strong>s-Kopplung 18, 23, 36<br />
Rydberg, Johannes Robert 10<br />
Rydberg-Konstante 10, 26<br />
R
S<br />
Saha, Meghnad 2, 80<br />
Saha-Gleichung 18, 74, 79, 80, 82-86, 94<br />
Säulendichte 88, 89, 90, 94<br />
Saun<strong><strong>de</strong>r</strong>s, Fre<strong><strong>de</strong>r</strong>ick A. 15<br />
Schrödinger, Erwin 2<br />
Schrödingergleichung 4, 7, 8, 10, 32-34, 38, 39, 40<br />
Schwarzer Körper 3<br />
Seriengrenze 4, 59, 72, 73<br />
Sommerfeld, Arnold 2, 3, 6<br />
source function, Ergiebigkeit 65<br />
Spektralanalyse, quantitative 86<br />
Spektrallinien, Feinstruktur 12<br />
Spektrum, kontinuierliches 3, 72<br />
Spektrum, synthetisches 86, 87, 95<br />
Spin-Bahn-Kopplung 12<br />
Spinzustän<strong>de</strong> 23<br />
Stark, Johannes 56<br />
Stark-Effekt 19, 56, 58<br />
Stern, Rotation 51<br />
Sternatmosphäre 30, 31, 44, 45, 47, 51, 59, 61, 64-66, 75, 76,<br />
86-88, 92-96<br />
Stoßdämpfung 47, 55, 57, 89<br />
Stoßprozesse 24, 27, 68, 78<br />
Strahlungstransport 1, 2, 61, 62, 78, 95<br />
Strahlungstransportgleichung 65, 76, 88<br />
Strahlungsübergang 3, 27, 28<br />
Streuprozesse 71, 74<br />
Strömungsgleichung 65<br />
Strutt, John William (Lord Rayleigh) 3<br />
Teller, Edward 59<br />
Termdiagramm 15<br />
Termschema 3, 6, 10<br />
Thomson-Streuung 72, 74<br />
Tracermolekül 44<br />
T<br />
102<br />
Übergangswahrscheinlichkeiten 20, 24, 67, 68<br />
Ultraviolettkatastrophe 3<br />
Unsöld, Albrecht 2, 94<br />
U<br />
V<br />
Valenzelektron 15, 35<br />
Verbotene Linien 24, 28<br />
Verbotener Übergang 28<br />
Vibrations- Rotationsspektren 41<br />
Vibrationsspektrum 42<br />
Vibrationsübergänge 37, 39, 43<br />
Vienna Atomic Line Database 45, 95<br />
Vogt, S. S. 53<br />
Voigt, Wol<strong>de</strong>mar 60<br />
Voigt-Profil 57, 60, 70<br />
W<br />
Wachstumskurven 87, 91- 94<br />
Wasserstoffatom 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15, 19, 26, 29, 30, 44, 69,<br />
72<br />
Wasserstoffionen, Spektren 29<br />
Wasserstoffspektrum 2, 10, 13<br />
Weiße Zwergstern 44<br />
Wien, Wilhelm 3<br />
Wildt, Rupert 30<br />
Wirkungsquerschnitt 63, 73<br />
Zeeman-Doppler-Imaging 54<br />
Zeeman-Effekt 19, 54, 56<br />
Z