Einführung in die Quantenphysik - physica.ch
Einführung in die Quantenphysik - physica.ch
Einführung in die Quantenphysik - physica.ch
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
12 <strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> Quantenpysik
12.1 E<strong>in</strong>leitung<br />
Wir s<strong>ch</strong>reiben das Jahr 1887. Gerade etabliert si<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Vorstellung von Li<strong>ch</strong>t als elektromagnetis<strong>ch</strong>e<br />
Welle, denn erst 1875 hat Hendrick Antoon Lorentz <strong>die</strong> entspre<strong>ch</strong>ende<br />
Theorie dazu formuliert. Vorher betra<strong>ch</strong>tete man Li<strong>ch</strong>t zwar au<strong>ch</strong> als Welle,<br />
jedo<strong>ch</strong> als me<strong>ch</strong>anis<strong>ch</strong>e Wellen.<br />
Elektronen waren no<strong>ch</strong> ni<strong>ch</strong>t bekannt, <strong>die</strong> sollten erst im Jahre 1897 dur<strong>ch</strong> Joseph<br />
John Thomson experimentell na<strong>ch</strong>gewiesen werden. Au<strong>ch</strong> waren weder Protonen<br />
no<strong>ch</strong> Neutronen bekannt. Selbst <strong>die</strong> Atomtheorie wurde von vielen Physikern als re<strong>in</strong>e<br />
Hypothese betra<strong>ch</strong>tet, obwohl <strong>die</strong> Chemiker damit viel erklären konnten.<br />
Soviel zur Ausgangslage.<br />
12.2 Photoeffekt erster Teil<br />
Es trug si<strong>ch</strong> im Jahre 1886 zu, dass He<strong>in</strong>ri<strong>ch</strong><br />
Hertz bei der Entladung e<strong>in</strong>er Elektrode beoba<strong>ch</strong>tete,<br />
dass <strong>die</strong> Funkenlänge dur<strong>ch</strong> Li<strong>ch</strong>t bee<strong>in</strong>flusst<br />
werden kann. 1887 dann führte Wilhelm<br />
Hallwa<strong>ch</strong>s <strong>die</strong> Experimente weiter. Er stellte fest,<br />
dass UV Strahlung negativ geladene Platten entladen<br />
und ungeladene Platten positiv aufladen<br />
konnte.<br />
Wiederholt man das Experiment mit dem <strong>in</strong> der<br />
Abbildung gezeigten Versu<strong>ch</strong>saufbau, so kann<br />
man <strong>die</strong>ses Ergebnis selbst na<strong>ch</strong>vollziehen.<br />
Ausserdem stellt man fest, dass man mit “normalem<br />
Li<strong>ch</strong>t“ ke<strong>in</strong>e Entladung herbeiführen<br />
kann. E<strong>in</strong>e Glasplatte im Strahlengang e<strong>in</strong>er UV<br />
– Lampe verh<strong>in</strong>dert ebenfalls e<strong>in</strong>e Reaktion des<br />
Elektroskops. Die nä<strong>ch</strong>ste Tabelle zeigt e<strong>in</strong>e Zusammenfassung<br />
der Resultate.<br />
12.3 S<strong>ch</strong>warzköperstrahlung<br />
Wilhelm Wien<br />
(1964-1928)<br />
Quelle: Wikipedia<br />
Verlassen wir den Photoeffekt<br />
mal und wenden wir uns<br />
e<strong>in</strong>em anderen physikalis<strong>ch</strong>en<br />
S<strong>ch</strong>auplatz zu. Es geht<br />
um s<strong>ch</strong>warze Körper. Dabei<br />
handelt es si<strong>ch</strong> um Objekte,<br />
wel<strong>ch</strong>e sämtli<strong>ch</strong>e e<strong>in</strong>fallende<br />
elektromagnetis<strong>ch</strong>e Strahlung<br />
absorbieren und <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es<br />
ihrer Temperatur entspre<strong>ch</strong>enden<br />
<strong>ch</strong>arakteristis<strong>ch</strong>en elektromagnetis<strong>ch</strong>enStrahlungs-<br />
spektrum wieder emittieren. Weil bei Raumtemperatur<br />
<strong>die</strong> emittierte Strahlung ni<strong>ch</strong>t si<strong>ch</strong>tbar ist, ers<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>en<br />
sol<strong>ch</strong>e Körper natürli<strong>ch</strong> s<strong>ch</strong>warz – deshalb der Name.<br />
He<strong>in</strong>ri<strong>ch</strong> Hertz l<strong>in</strong>ks (1857-1894) und<br />
Wilhelm Hallwa<strong>ch</strong>s (1859-1922) Quelle:<br />
Wikipedia und www.tu-dresden.de<br />
Aufbau des Experiments zum<br />
Photoeffekt: e<strong>in</strong>e Lampe (l<strong>in</strong>ks)<br />
beleu<strong>ch</strong>tet e<strong>in</strong>e Metallplatte auf e<strong>in</strong>em<br />
geladenen Elektroskop. Dazwis<strong>ch</strong>en<br />
kann si<strong>ch</strong> au<strong>ch</strong> no<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Glasplatte<br />
bef<strong>in</strong>den.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 2
Soweit so gut: dass Körper aufgrund ihrer Temperatur e<strong>in</strong>e <strong>ch</strong>arakteristis<strong>ch</strong>e Strahlung<br />
abgeben, hat bereits Gustav Robert Kir<strong>ch</strong>hoff 1859 ausgesagt. Das Problem lag<br />
<strong>in</strong> der Bes<strong>ch</strong>reibung des Verlaufs der abgestrahlten Leistung als Funktion der Wellenlänge.<br />
Dieser Verlauf ist <strong>in</strong> der nebenstehenden Abbildung gezeigt.<br />
1896 ma<strong>ch</strong>te Wilhelm Wien e<strong>in</strong>en ersten Vors<strong>ch</strong>lag zur Bes<strong>ch</strong>reibung der von e<strong>in</strong>em<br />
s<strong>ch</strong>warzen Körper emittierten Strahlung. Das Wiens<strong>ch</strong>e Strahlungsgesetz, wie es<br />
heute genannt wird, lautet<br />
c<br />
C · T<br />
U ( , T ) · e λ<br />
−<br />
λ = , (Wiens<strong>ch</strong>es Vers<strong>ch</strong>iebungsgesetz)<br />
5<br />
λ<br />
wobei U(λ,t) <strong>die</strong> spektrale Leistungsdi<strong>ch</strong>te <strong>in</strong><br />
(W/m 2 /m) ist und C, respektive c für empiris<strong>ch</strong>e<br />
Konstanten stehen. Wie man der<br />
nä<strong>ch</strong>sten Abbildung entnehmen kann,<br />
stimmt <strong>die</strong>se Formel nur für ganz kle<strong>in</strong>e<br />
Wellenlängen.<br />
1900 veröffentli<strong>ch</strong>te der englis<strong>ch</strong>e Physiker<br />
John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, e<strong>in</strong>e<br />
weitere Formel, <strong>die</strong> Li<strong>ch</strong>t <strong>in</strong>s Dunkel br<strong>in</strong>gen<br />
sollte:<br />
.<br />
T<br />
U ( λ, T ) = 8· π·<br />
c · k ·<br />
λ<br />
0 B 4<br />
Dabei steht c0 für <strong>die</strong> Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit und kB für <strong>die</strong> Boltzmann – Konstante.<br />
Diese Formel ist fals<strong>ch</strong>, weshalb sie 1905 vom englis<strong>ch</strong>en Physiker Sir James Hopwood<br />
Jeans korrigiert wurde zu<br />
Dies g<strong>in</strong>g als das Rayleigh – Jeans Gesetz <strong>in</strong><br />
<strong>die</strong> Ges<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>te e<strong>in</strong>. Fals<strong>ch</strong> ist <strong>die</strong> Formel aber<br />
immer no<strong>ch</strong>, wie man der Abbildung entnehmen<br />
kann. Sie bes<strong>ch</strong>reibt <strong>die</strong> Zusammenhänge<br />
nur bei hohen Wellenlängen ri<strong>ch</strong>tig.<br />
Am 19. Oktober des Jahres 1900 stellte Max<br />
Planck auf der Versammlung der Deuts<strong>ch</strong>en<br />
Physikalis<strong>ch</strong>en Gesells<strong>ch</strong>aft se<strong>in</strong> vorläufiges<br />
Strahlungsgesetz vor. Es handelte si<strong>ch</strong> um<br />
e<strong>in</strong>e Interpolation zwis<strong>ch</strong>en dem Strahlungsgesetz<br />
von Wien und dem von Rayleigh:<br />
C 1<br />
U ( , T ) · 5 c<br />
· T e 1 λ<br />
λ =<br />
λ<br />
−<br />
T<br />
U ( λ, T ) = 2· π·<br />
c0· kB·<br />
. (Rayleigh – Jeans Gesetz)<br />
4<br />
λ<br />
John William Strutt, 3. Baron Rayleigh<br />
(1842-1919) und Sir James Hopwood<br />
Jeans (1877-1946) (vl).<br />
Quelle: Wikipedia<br />
Man bea<strong>ch</strong>te, dass Planck – vergli<strong>ch</strong>en mit Wien – im Nenner ledigli<strong>ch</strong> no<strong>ch</strong> “-1“ ges<strong>ch</strong>rieben<br />
hat! Die empiris<strong>ch</strong>en Konstanten hat er vorderhand stehen lassen. Na<strong>ch</strong><br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 3
a<strong>ch</strong>t Wo<strong>ch</strong>en Arbeit hatte er es aber ges<strong>ch</strong>afft, <strong>die</strong> beiden Konstanten<br />
dur<strong>ch</strong> bekannte Naturkonstanten auszudrücken. Am 14.<br />
Dezember 1900 veröffentli<strong>ch</strong>te er <strong>die</strong> na<strong>ch</strong> ihm benannte Strahlungsformel<br />
2<br />
2· · c0 · h 1<br />
U ( , T ) · 5 h· c0<br />
kB · · T<br />
e 1<br />
λ<br />
π<br />
λ =<br />
.<br />
λ<br />
−<br />
Diese Strahlungsformel bes<strong>ch</strong>reibt <strong>die</strong> gemessenen Daten exakt.<br />
Die e<strong>in</strong>zige neue Grösse war das “h“ (Hilfskonstante) <strong>in</strong> der Funk-<br />
tion. Dieser uns<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>bare Bu<strong>ch</strong>stabe hat es hier aber <strong>in</strong> si<strong>ch</strong>: Zur physikalis<strong>ch</strong>en Erklärung<br />
des Spektrums e<strong>in</strong>es s<strong>ch</strong>warzen Körpers musste Planck annehmen, dass<br />
<strong>die</strong> Li<strong>ch</strong>tenergie ni<strong>ch</strong>t kont<strong>in</strong>uierli<strong>ch</strong> vom Körper abgegeben wird, sondern <strong>in</strong> bestimmten<br />
Paketen. Die Energie der Quanten, mit denen strahlenden Körper Energie<br />
austaus<strong>ch</strong>en ist stets e<strong>in</strong> ganzzahliges Vielfa<strong>ch</strong>es der Grösse h. Diese Idee war revolutionär!<br />
Heute wird <strong>die</strong>ses h Planck zu Ehren “Plancks<strong>ch</strong>es Wirkungsquantum“<br />
genannt.<br />
Planck selber hat – und das ist wi<strong>ch</strong>tig – ni<strong>ch</strong>t gesagt, dass <strong>die</strong> Strahlung selber gequantelt<br />
sei.<br />
12.4 Photoeffekt zweiter Teil<br />
Was hat obige Ges<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>te nun mit dem Photoeffekt zu tun? Werden<br />
wir glei<strong>ch</strong> sehen. Wir bef<strong>in</strong>den uns im Jahre 1902. Inzwis<strong>ch</strong>en<br />
s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> Elektronen als Ladungsträger beim Photoeffekt<br />
identifiziert worden (1899).<br />
Wir wollen an <strong>die</strong>ser Stelle e<strong>in</strong> eigenes Experiment zum Photoeffekt<br />
dur<strong>ch</strong>führen.<br />
Der Versu<strong>ch</strong>saufbau ist <strong>in</strong> der nebenstehenden Abbildung s<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong><br />
gezeigt:<br />
Li<strong>ch</strong>t fällt im Innern<br />
e<strong>in</strong>er Photozelle<br />
(Vakuum)<br />
auf e<strong>in</strong> Metall.<br />
Dabei hält e<strong>in</strong>e<br />
S<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong>e Darstellung des Experimentaufbaus<br />
zum Photoeffekt<br />
Blende das Li<strong>ch</strong>t vom R<strong>in</strong>g im Innern<br />
der Photozelle ab. Zwis<strong>ch</strong>en R<strong>in</strong>g<br />
und Metall wird e<strong>in</strong> Spannungsmesser<br />
angebra<strong>ch</strong>t. Fällt nun Li<strong>ch</strong>t auf<br />
das Metall, so werden Elektronen aus<br />
dem Metall herausgelöst und landen<br />
auf dem R<strong>in</strong>g, den sie negativ aufladen.<br />
So entsteht zwis<strong>ch</strong>en R<strong>in</strong>g und<br />
Metall e<strong>in</strong>e Spannung. Bei genügend grosser Spannung haben <strong>die</strong> Photoelektronen<br />
aus dem Metall aber ni<strong>ch</strong>t mehr genug k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie, um zum R<strong>in</strong>g zu gelan-<br />
E = q· U .<br />
gen. Es gilt dann k<strong>in</strong>,max<br />
max<br />
Max Planck (1858-<br />
1947)<br />
Quelle: www.s<strong>ch</strong>leswigholste<strong>in</strong>.de<br />
Philipp Eduard<br />
Anton (von)<br />
Lenard (1862-<br />
1947)<br />
Quelle: Wikipedia<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 4
In unserem Fall verwenden wir e<strong>in</strong>e Quecksilberdampflampe zur Beli<strong>ch</strong>tung. Ihr Li<strong>ch</strong>t<br />
wird mit Hilfe e<strong>in</strong>es Gitters zusätzli<strong>ch</strong> <strong>in</strong> se<strong>in</strong>e Spektrall<strong>in</strong>ien aufgespaltet, so dass<br />
mono<strong>ch</strong>romatis<strong>ch</strong>es Li<strong>ch</strong>t e<strong>in</strong>er bekannten Wellenlänge auf <strong>die</strong> Photozelle fällt.<br />
Resultate:<br />
Auswertung:<br />
Farbe Hg -<br />
Spektrall<strong>in</strong>ie<br />
Wellenlänge<br />
[nm]<br />
Frequenz<br />
[10 14 Hz]<br />
orange 579.07 5.2<br />
orange 576.96 5.2<br />
grün 546.07 5.5<br />
blau-violett 435.8 6.9<br />
violett 404.7 7.4<br />
UV 365.7 8.2<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 5<br />
Umax<br />
[V]<br />
Wmax<br />
[eV]<br />
Zur Auswertung tragen wir <strong>die</strong> maximale Energie der Photoelektronen Wmax (<strong>in</strong> eV)<br />
gegen <strong>die</strong> Frequenz (<strong>in</strong> 10 14 Hz) gegene<strong>in</strong>ander auf.
Analyse und Diskussion<br />
Genau wie wir bemerkte bereits 1902 der deuts<strong>ch</strong>e Physiker Philipp Lenard, dass<br />
beim Photoeffekt <strong>die</strong> Li<strong>ch</strong>t<strong>in</strong>tensität des e<strong>in</strong>gestrahlten Li<strong>ch</strong>tes ke<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>fluss auf <strong>die</strong><br />
Energie der abgestrahlten Elektronen hat.<br />
Dies ist seltsam, sollte do<strong>ch</strong> aufgrund der Wellennatur des Li<strong>ch</strong>tes mehr Energie auf<br />
<strong>die</strong> Elektronen übertragen werden, wenn <strong>die</strong> Intensität des Li<strong>ch</strong>tes – also <strong>die</strong> Amplitude<br />
der Li<strong>ch</strong>twelle – zunimmt.<br />
Erst Albert E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong> konnte den Effekt 1905 <strong>in</strong> se<strong>in</strong>em Werk “Über e<strong>in</strong>en <strong>die</strong> Erzeugung<br />
und Verwandlung des Li<strong>ch</strong>ts betreffenden heuristis<strong>ch</strong>en Gesi<strong>ch</strong>tspunkt" (Annalen<br />
der Physik, 17, 132 (1905)) erklären. Er s<strong>ch</strong>lug vor, dass ni<strong>ch</strong>t <strong>die</strong> Energie gequantelt<br />
ist, sondern sogar das Li<strong>ch</strong>t selber! Dies war ihm aber nur mögli<strong>ch</strong>, weil Max<br />
Planck zur Erklärung des Spektrums e<strong>in</strong>es s<strong>ch</strong>warzen Körpers ja bekanntermassen<br />
bereits e<strong>in</strong>e Quantelung der Energie angenommen hatte. Ironis<strong>ch</strong>erweise lehnte gerade<br />
Planck zu Beg<strong>in</strong>n <strong>die</strong> Theorie von Li<strong>ch</strong>tquanten vehement ab!<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 6
Zusammenfassung:<br />
Beim Photoeffekt treffen Li<strong>ch</strong>tquanten<br />
auf Metallelektronen und<br />
übertragen <strong>die</strong>sen e<strong>in</strong>en Teil ihrer<br />
Energie. Ist <strong>die</strong>ser Energieübertrag<br />
grösser als <strong>die</strong> Austrittsarbeit<br />
WA, so können <strong>die</strong> entspre<strong>ch</strong>enden<br />
Elektronen aus dem Metall<br />
austreten. Die Austrittsarbeit<br />
hängt vom verwendeten Kathodenmaterial<br />
ab und ist <strong>ch</strong>arakteristis<strong>ch</strong><br />
für e<strong>in</strong> Metall.<br />
Die Energie der abgelösten Elektronen<br />
ist unabhängig von der<br />
Li<strong>ch</strong>t<strong>in</strong>tensität und hängt nur von<br />
der Frequenz f des e<strong>in</strong>fallenden<br />
Li<strong>ch</strong>ts über E = h· f zusammen.<br />
Die Konstante h wird dabei als “Plancks<strong>ch</strong>es Wirkumsquantum“ bezei<strong>ch</strong>net und hat<br />
−34<br />
den Wert h = 6.626·10 Js .<br />
Als S<strong>ch</strong>luss folgt, dass <strong>die</strong> Energie von Li<strong>ch</strong>t <strong>in</strong> e<strong>in</strong>zelne Quanten aufgeteilt ist – <strong>die</strong>se<br />
Energieportionen nennt man Photonen. Obwohl <strong>die</strong>se Bezei<strong>ch</strong>nung e<strong>in</strong>e klassis<strong>ch</strong>e<br />
Teil<strong>ch</strong>envorstellung nahe legt, will sie ledigli<strong>ch</strong> nur sagen, dass <strong>die</strong> Energieportion<br />
h·f der Li<strong>ch</strong>twelle unteilbar ist.<br />
12.5 Innerer Photoeffekt<br />
Wenn man e<strong>in</strong>en Halbleiter mit Li<strong>ch</strong>t geeigneter<br />
Wellenlänge bestrahlt, so werden Elektronen<br />
aus ihrer festen B<strong>in</strong>dung mit Atomen gelöst.<br />
Dadur<strong>ch</strong> steigt <strong>die</strong> Leitfähigkeit des<br />
Halbleiters. In <strong>die</strong>sem Fall spri<strong>ch</strong>t man vom<br />
<strong>in</strong>neren Photoeffekt, weil dadur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> betroffenen<br />
Elektronen nur aus der B<strong>in</strong>dung herausgelöst<br />
werden, ni<strong>ch</strong>t aber aus dem Material<br />
selbst.<br />
Man nutzt <strong>die</strong>sen Effekt z.B. <strong>in</strong> der Photometrie<br />
<strong>in</strong> Luxmetern: Li<strong>ch</strong>t kann Elektronen aus<br />
Silizium herauslösen, wodur<strong>ch</strong> <strong>die</strong>se vom<br />
Valenz- <strong>in</strong> das Leitungsband angehoben<br />
werden. Die Leitfähigkeit stellt nun e<strong>in</strong> Mass<br />
für <strong>die</strong> Beleu<strong>ch</strong>tungsstärke dar.<br />
In Solarzellen wird auf <strong>die</strong>se Weise direkt Li<strong>ch</strong>tenergie <strong>in</strong> elektris<strong>ch</strong>e Energie umgewandelt.<br />
Aber au<strong>ch</strong> Leu<strong>ch</strong>tdioden funktionieren dank dem Photoeffekt – allerd<strong>in</strong>gs “umgekehrt“.<br />
Die Elektronen des elektris<strong>ch</strong>en Stromes werden kurzfristig von den Atomen<br />
des Materials festgehalten und geben dadur<strong>ch</strong> ihre Energie mit Hilfe von Photonen<br />
ab.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 7
12.6 Masse und Impuls der Photonen<br />
Die von E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong> ebenfalls 1905 veröffentli<strong>ch</strong>te spezielle Relativitätstheorie ermögli<strong>ch</strong>t<br />
e<strong>in</strong>e verblüffende Erweiterung der bisherigen Resultate. Gemäss E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong> kann<br />
2<br />
jeder Energie gemäss E = m· c au<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Masse zugeordnet werden. Komb<strong>in</strong>iert<br />
man das mit dem Ergebnis aus dem Photoeffekt, dass e<strong>in</strong> Li<strong>ch</strong>tquant <strong>die</strong> Energie<br />
hf<br />
E = h· f besitzt, so bekommt man für <strong>die</strong> Masse e<strong>in</strong>es Photons m = . 2<br />
c<br />
Aber aufgepasst: <strong>die</strong>se Masse hat das Photon nur im Flug, denn e<strong>in</strong> Photon kann nur<br />
bei Li<strong>ch</strong>tges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit existieren!<br />
Im Jahre 1916 erweiterte Albert E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong> se<strong>in</strong>e Li<strong>ch</strong>tquantenhypothese, <strong>in</strong>dem er für<br />
e<strong>in</strong> Photon au<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>en l<strong>in</strong>earen Impuls formulierte. Aus der klassis<strong>ch</strong>en Def<strong>in</strong>ition für<br />
den Impuls e<strong>in</strong>es Teil<strong>ch</strong>ens p = m· v = m· c und mit obiger Beziehung für <strong>die</strong> Masse<br />
hf<br />
m = e<strong>in</strong>es Photons, folgt für den Impuls e<strong>in</strong>es Li<strong>ch</strong>tquants sofort<br />
2<br />
c<br />
hf h<br />
p = = .<br />
c λ<br />
Wenn e<strong>in</strong> Photon auf Materie trifft, wird daher ni<strong>ch</strong>t nur Energie übertragen, sondern<br />
au<strong>ch</strong> Impuls, wie wenn es si<strong>ch</strong> um e<strong>in</strong>en klassis<strong>ch</strong>en Stoss handeln würde.<br />
12.6.1 Der Componeffekt<br />
1923 wurde von Arthur Compton e<strong>in</strong> Experiment dur<strong>ch</strong>geführt,<br />
das <strong>die</strong> Vermutung von Energie- und Impulsübertragung dur<strong>ch</strong><br />
Photonen untermauerte. Bei <strong>die</strong>sem<br />
Experiment wurden Röntgenstrahlen<br />
mit e<strong>in</strong>er gegebenen<br />
Wellenlänge λ auf e<strong>in</strong>e Kohlenstoffprobe<br />
ges<strong>ch</strong>ossen. Registriert<br />
wurde nun, unter vers<strong>ch</strong>iedenen<br />
W<strong>in</strong>keln, <strong>die</strong> Intensität und<br />
<strong>die</strong> Wellenlängen der gestreuten<br />
Röntgenstrahlen.<br />
Die nä<strong>ch</strong>ste Abbildung zeigt<br />
s<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong> Comptons Resultate<br />
für zwei vers<strong>ch</strong>iedene<br />
Streuw<strong>in</strong>kel. Man kann erkennen,<br />
dass – obwohl der e<strong>in</strong>fallende<br />
Röntgenstrahl nur e<strong>in</strong>e<br />
e<strong>in</strong>zige Wellenlänge aufweist,<br />
ist <strong>in</strong> den Spektren für <strong>die</strong> gestreuten<br />
Röntgenstrahlen e<strong>in</strong><br />
breites Spektrum an Wellenlängen<br />
vertreten. Ebenso auffällig<br />
Arthur Holly Compton<br />
(1892-1962)<br />
Quelle: nobelprize.org<br />
s<strong>in</strong>d zwei ausgeprägte Maxima. E<strong>in</strong>es davon liegt bei derselben Wellenlänge wie der<br />
e<strong>in</strong>fallende Röntgenstrahl. Das zweite Maximum vers<strong>ch</strong>iebt si<strong>ch</strong> mit grösser werden-<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 8
dem Streuw<strong>in</strong>kel zu grösseren Wellenlängen h<strong>in</strong>. Zwis<strong>ch</strong>en den beiden Maxima liegt<br />
<strong>die</strong> Wellenlängendifferenz ∆λ, <strong>die</strong> sogenannte Compton – Vers<strong>ch</strong>iebung.<br />
Compton <strong>in</strong>terpretierte <strong>die</strong> Streuung der Röntgenstrahlung an Kohlenstoff als Energie-<br />
und Impulsübertragung zwis<strong>ch</strong>en den e<strong>in</strong>fallenden Röntgenstrahlen und den<br />
locker gebundenen Elektronen im Kohlenstoff.<br />
Für <strong>die</strong> Compton – Vers<strong>ch</strong>iebung als Funktion des Streuw<strong>in</strong>kels φ erhält man na<strong>ch</strong><br />
e<strong>in</strong> wenig Mathematik<br />
h<br />
∆ λ = · ( 1− cosφ<br />
) ,<br />
mc<br />
wobei man <strong>die</strong> Grösse h<br />
als Compton – Wellenlänge bezei<strong>ch</strong>net. Diese hängt von<br />
mc<br />
der Masse des Teil<strong>ch</strong>ens ab, wel<strong>ch</strong>es <strong>die</strong> e<strong>in</strong>fallenden Strahlen streut. Im vorliegenden<br />
Fall haben locker gebundene Elektronen der Kohlenstoffprobe den Röntgenstrahl<br />
gestreut, also setzt man für <strong>die</strong> Masse m <strong>die</strong> Masse des Elektrons e<strong>in</strong>.<br />
12.7 Elektronen – neu betra<strong>ch</strong>tet<br />
Im Jahre 1924 stellte der französis<strong>ch</strong>e Physiker Pr<strong>in</strong>z Louis de<br />
Broglie <strong>in</strong> se<strong>in</strong>er Doktorarbeit (“Re<strong>ch</strong>er<strong>ch</strong>es sur la théorie des<br />
Quanta“) e<strong>in</strong>e Hypothese auf, für deren Gültigkeit es zunä<strong>ch</strong>st<br />
ke<strong>in</strong>erlei experimentelle H<strong>in</strong>weise gab. Wenn Li<strong>ch</strong>t Wellen- und<br />
Teil<strong>ch</strong>eneigens<strong>ch</strong>aften aufweist, dann triff <strong>die</strong>s viellei<strong>ch</strong>t au<strong>ch</strong><br />
für Elektronen zu. Verhalten si<strong>ch</strong> <strong>die</strong>se Teil<strong>ch</strong>en man<strong>ch</strong>mal wie<br />
Wellen? De Broglie vermutete, dass der Zusammenhang<br />
E = h ⋅ f , p =<br />
zwis<strong>ch</strong>en den Teil<strong>ch</strong>eneigens<strong>ch</strong>aften E, p und den Welleneigens<strong>ch</strong>aften<br />
f, λ ni<strong>ch</strong>t nur für Photonen, sondern au<strong>ch</strong> für Elektronen<br />
und andere Teil<strong>ch</strong>en zutrifft.<br />
De Broglie konnte mit se<strong>in</strong>er Hypothese e<strong>in</strong>ige Eigens<strong>ch</strong>aften der Atome erklären<br />
und s<strong>ch</strong>lug au<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>en experimentellen Test vor: "Wenn e<strong>in</strong> Elektronenstrahl e<strong>in</strong>e<br />
sehr kle<strong>in</strong>e Öffnung dur<strong>ch</strong>quert, so sollten Beugungsers<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>ungen auftreten."<br />
Wie kle<strong>in</strong> müssen <strong>die</strong>se Öffnungen se<strong>in</strong>? Beugungsers<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>ungen werden dann<br />
makroskopis<strong>ch</strong> si<strong>ch</strong>tbar, wenn der Dur<strong>ch</strong>messer d e<strong>in</strong>er Öffnung etwa von der glei<strong>ch</strong>en<br />
Grössenordnung wie <strong>die</strong> Wellenlänge λ ist, <strong>die</strong> wir aus<br />
2 2<br />
p h<br />
E = = 2<br />
2m 2mλ<br />
bere<strong>ch</strong>nen können. Die de-Broglie-Wellenlänge von Elektronen λ mit der k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>en<br />
Energie Ek bzw. der Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit v beträgt somit<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 9<br />
h<br />
λ<br />
h h<br />
λ = = ,<br />
2m<br />
E m ⋅ v<br />
e<br />
k<br />
e<br />
Pr<strong>in</strong>ce Louis-Victor<br />
Pierre Raymond de<br />
Broglie (1892-1987)<br />
Quelle: nobelprize.org
mit h = 6.63·10 -34 Js, me = 9.1·10 -31 kg. Werden Elektronen dur<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Spannung<br />
von e<strong>in</strong>igen Volt bes<strong>ch</strong>leunigt, so weisen sie Wellenlängen auf, <strong>die</strong> mit dem Atomabstand<br />
<strong>in</strong> Kristallen verglei<strong>ch</strong>bar s<strong>in</strong>d. Als Beugungsgitter können somit <strong>die</strong> Gitterebenen<br />
von Kristallen verwendet werden.<br />
12.7.1 Das Davisson – Germer Experiment<br />
Der erste Na<strong>ch</strong>weis der Elektronenbeugung gelang am 6.<br />
Januar 1927 Cl<strong>in</strong>ton Davisson und Lester Germer <strong>in</strong> den<br />
Laboratorien der Bell Telephone Company <strong>in</strong> New York.<br />
Sie ri<strong>ch</strong>teten e<strong>in</strong>en Elektronenstrahl auf e<strong>in</strong>en Nickelkristall<br />
(Atomabstand d = 0.215 nm) und beoba<strong>ch</strong>teten unter dem<br />
W<strong>in</strong>kel ϕ = 50° e<strong>in</strong> Beugungsmaximum erster Ordnung.<br />
Die ermittelte Wellenlänge von λ = 0.165 nm stimmte mit<br />
der Vorhersage de Broglies für <strong>die</strong> verwendete Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung<br />
von U = 54 V übere<strong>in</strong>.<br />
a) b)<br />
1937 erhielt Davisson den Nobelpreis für Physik für <strong>die</strong> Entdeckung<br />
der Beugung von Elektronen an Kristallen, zusammen mit<br />
George Paget Thomson, der <strong>die</strong> Existenz von Materiewellen im<br />
glei<strong>ch</strong>en Jahr, aber unabhängig von Davisson und Germer, na<strong>ch</strong>gewiesen<br />
hatte.<br />
Cl<strong>in</strong>ton Joseph Davisson (1881-<br />
1956) und Lester Halbert Germer<br />
(1896-1971) vl.<br />
Quelle: Wikipedia<br />
Versu<strong>ch</strong>saufbau von Davisson und Germer (a) und s<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong>e Darstellung der Resultate<br />
(b). Deutli<strong>ch</strong> ist <strong>in</strong> (b) das Beugungsmaximum 1. Ordnung bei e<strong>in</strong>em Streuw<strong>in</strong>kel von 50° zu<br />
erkennen. Quelle a):www.pctheory.uni-ulm.de<br />
George Paget<br />
Thomson (1892-1975)<br />
Quelle: www.nobelprize.org<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 10
12.7.1.1 Theoretis<strong>ch</strong>e Auswertung des Resultats<br />
Wir wollen nun <strong>die</strong> Ergebnisse <strong>die</strong>ses Experiments na<strong>ch</strong>vollziehen. Wie kommt es zu<br />
dem beoba<strong>ch</strong>teten Maximum bei e<strong>in</strong>em Streuw<strong>in</strong>kel von 50°? Nur unter e<strong>in</strong>em ganz<br />
bestimmten W<strong>in</strong>kel, dem Glanzw<strong>in</strong>kel ϑ, kann man also reflektierte Elektronen na<strong>ch</strong>weisen.<br />
Dies lässt si<strong>ch</strong> mit der Theorie von e<strong>in</strong>em Elektron als Teil<strong>ch</strong>en ni<strong>ch</strong>t erklären,<br />
sondern nur mit der Interferenz von Materiewellen. Betra<strong>ch</strong>ten wir deshalb für<br />
unsere Auswertung mal <strong>die</strong> Elektronen als Wellen, sogenannte Materiewellen.<br />
E<strong>in</strong> Kristall lässt si<strong>ch</strong> als<br />
regelmässige Anordnung<br />
von Atomen verstehen. Innerhalb<br />
<strong>die</strong>ser Betra<strong>ch</strong>tung<br />
kann man e<strong>in</strong>en Kristall<br />
au<strong>ch</strong> <strong>in</strong> sogenannte Netzoder<br />
Gitterebenen aufteilen.<br />
In der nebenstehenden Abbildung<br />
ist das Gitter für<br />
Graphit s<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong> dargestellt.<br />
Ri<strong>ch</strong>tet man e<strong>in</strong>en Elektronenstrahl<br />
unter vers<strong>ch</strong>iedenen<br />
E<strong>in</strong>fallsw<strong>in</strong>kel auf e<strong>in</strong>en dünnen Kristall,<br />
so dur<strong>ch</strong>dr<strong>in</strong>gt er <strong>die</strong>sen fast immer. Dabei<br />
werden <strong>die</strong> e<strong>in</strong>fallenden Elektronen am Kristall<br />
elastis<strong>ch</strong> gestreut oder reflektiert. Die von<br />
bena<strong>ch</strong>barten Ebenen gestreuten Elektronen<br />
können mite<strong>in</strong>ander <strong>in</strong>terferieren. Dies ist <strong>in</strong><br />
der nä<strong>ch</strong>sten Abbildung s<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong> dargestellt.<br />
Dabei stehen <strong>die</strong> roten L<strong>in</strong>ien für Ri<strong>ch</strong>tung<br />
der e<strong>in</strong>fallenden, respektive gestreuten<br />
Elektronen.<br />
Wie man der Abbildung sehr lei<strong>ch</strong>t entneh-<br />
Dreidimensionale Darstellung des Graphitgitters mit<br />
hervorgehobener S<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>ststruktur. Re<strong>ch</strong>ts daneben e<strong>in</strong>e Aufsi<strong>ch</strong>t<br />
auf e<strong>in</strong>e S<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>t, mit Visualisierung der Netzebenen. Die<br />
S<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>tabstände betragen d1=123pm und d2=213pm.<br />
men kann, tritt e<strong>in</strong> Interferenzmaximum dort auf, wo zwei Materiewellen, <strong>die</strong> an bena<strong>ch</strong>barten<br />
Gitterebenen reflektiert werden, den Gangunters<strong>ch</strong>ied ∆s = n⋅λ haben (n<br />
= 1, 2, 3, ...).<br />
In der Zei<strong>ch</strong>nung ist der zusätzli<strong>ch</strong>e Weg ∆s, den e<strong>in</strong> an der unteren<br />
Gitterebene reflektiertes Elektron zurücklegen muss, fett gezei<strong>ch</strong>net.<br />
Dem Dreieck entnehmen wir:<br />
1/ 2∆s<br />
∆s<br />
s<strong>in</strong>ϕ = = ⇒ ∆ s = 2d s<strong>in</strong>ϕ<br />
d 2d<br />
Ersetzt man den Gangunters<strong>ch</strong>ied no<strong>ch</strong> na<strong>ch</strong> ∆ s = n· λ , so erhält<br />
man <strong>die</strong> berühmte Braggs<strong>ch</strong>e Beziehung:<br />
n⋅ λ = 2d ⋅ s<strong>in</strong>ϕ n = 1, 2, 3,...<br />
William Henry Bragg<br />
(1862-1942).<br />
Quelle: Wikipedia<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 11
12.7.1.2 Die Elektronenbeugungsröhre im S<strong>ch</strong>ulversu<strong>ch</strong><br />
Die meisten S<strong>ch</strong>ulen verfügen ni<strong>ch</strong>t über <strong>die</strong><br />
te<strong>ch</strong>nis<strong>ch</strong>e Ausstattung, e<strong>in</strong>e Ri<strong>ch</strong>tungsabhängige<br />
Intensitätsmessung e<strong>in</strong>es an e<strong>in</strong>er Probe gestreuten<br />
Elektronenstrahls dur<strong>ch</strong>zuführen. In<br />
S<strong>ch</strong>ulen verwendet man deshalb für das Experiment<br />
meistens e<strong>in</strong>e Elektronenbeugungsröhre<br />
mit polykristall<strong>in</strong>er Graphitprobe. Das Pr<strong>in</strong>zip ist<br />
e<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong>: Elektronen dampfen aus dem Heizdraht<br />
aus und werden über <strong>die</strong> Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung<br />
UB bes<strong>ch</strong>leunigt. Diese treffen auf e<strong>in</strong>e<br />
Graphitfolie und werden an den Kristallebenen<br />
entspre<strong>ch</strong>end der Bragg-Reflexion gebeugt. Auf<br />
dem S<strong>ch</strong>irm entsteht e<strong>in</strong> Interferenzmuster (Helle<br />
R<strong>in</strong>ge).<br />
Die verwendete Graphitfolie ist polykristall<strong>in</strong>, besteht also aus Milliarden kle<strong>in</strong>ster<br />
Kristalle, von denen statistis<strong>ch</strong> gesehen immer genug <strong>die</strong> Braggs<strong>ch</strong>e Beziehung<br />
beim Bes<strong>ch</strong>uss der Probe mit e<strong>in</strong>em Elektronenstrahl erfüllen. Dies ist s<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong><br />
<strong>in</strong> der nä<strong>ch</strong>sten Abbildung gezeigt.<br />
Na<strong>ch</strong> dem Reflexionsgesetz ist der Ablenkw<strong>in</strong>kel<br />
doppelt so gross wie der Glanzw<strong>in</strong>kel.<br />
Er lässt si<strong>ch</strong> aus dem S<strong>ch</strong>irmabstand l und<br />
der Ablenkung r bere<strong>ch</strong>nen:<br />
tan(2 ϕ ) =<br />
An anderen Kristallen der Folie werden Elektronen<br />
um den glei<strong>ch</strong>en W<strong>in</strong>kel <strong>in</strong> andere<br />
Ri<strong>ch</strong>tungen abgelenkt. Deshalb ers<strong>ch</strong>e<strong>in</strong> auf<br />
dem Fluoreszenzs<strong>ch</strong>irm das Interferenzmuster<br />
als Kreisr<strong>in</strong>g mit Radius r, wie dargestellt.<br />
Beugungsbild e<strong>in</strong>es<br />
Elektronenstrahls an Graphit.<br />
Quelle: www.cip.physik.uni-muen<strong>ch</strong>en.de<br />
r<br />
l<br />
S<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong>e Darstellung e<strong>in</strong>er<br />
Elektronenbeugungsröhre.<br />
Quelle: www.pctheory.uni-ulm.de<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 12
12.8 Die S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>ger – Glei<strong>ch</strong>ung<br />
Wenn si<strong>ch</strong> Teil<strong>ch</strong>en als Welle ausbreiten können – so genannten Materiewellen –<br />
dann muss man <strong>die</strong>se Wellen au<strong>ch</strong> dur<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e mathematis<strong>ch</strong>e Funktion bes<strong>ch</strong>reiben<br />
Ψ x, y, z, t .<br />
können. Die allgeme<strong>in</strong>ste Variante <strong>die</strong>ser Wellenfunktion s<strong>ch</strong>reibt man ( )<br />
Diese Funktion wird normalerweise eher komplizierter Natur se<strong>in</strong>, transportiert e<strong>in</strong>e<br />
Materiewelle ja s<strong>ch</strong>liessli<strong>ch</strong> nebst Energie und Impuls au<strong>ch</strong> Masse und oft au<strong>ch</strong> no<strong>ch</strong><br />
Ladung. Es gibt <strong>in</strong> der Physik vers<strong>ch</strong>iedene Mögli<strong>ch</strong>keiten für <strong>die</strong> Funktion e<strong>in</strong>er Materiewelle.<br />
Wir wollen hier nur Fälle betra<strong>ch</strong>ten, bei denen si<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Raum- von den<br />
Zeitvariablen trennen lassen:<br />
( ) ( )<br />
i t<br />
x, y, z, t x, y, z · e ω −<br />
Ψ = Ψ<br />
Dabei ist ω <strong>die</strong> Kreisfrequenz der Materiewelle. Die Funktion Ψ stellt dabei nur den<br />
ortsabhängigen Teil der eigentli<strong>ch</strong> zeitabhängigen Wellenfunktion Ψ dar. Was kann<br />
man damit nun anfangen? Nun, <strong>die</strong> Funktion Ψ bes<strong>ch</strong>reibt e<strong>in</strong>e Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitswelle.<br />
Oder anders: <strong>die</strong> Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit, mit der e<strong>in</strong> Teil<strong>ch</strong>en <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Detektor zu<br />
2<br />
e<strong>in</strong>em bestimmten Zeitpunkt na<strong>ch</strong>gewiesen werden kann ist proportional zu Ψ .<br />
Dies nennt man <strong>die</strong> Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitsdi<strong>ch</strong>te und nur <strong>die</strong>se hat e<strong>in</strong>e physikalis<strong>ch</strong>e<br />
Bedeutung (ni<strong>ch</strong>t Ψ selber).<br />
Die Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit, e<strong>in</strong> Teil<strong>ch</strong>en an e<strong>in</strong>em Ort im Raum zu e<strong>in</strong>em<br />
2<br />
gewissen Zeitpunkt na<strong>ch</strong>zuweisen, ist proportional zu Ψ an <strong>die</strong>sem<br />
Raumpunkt.<br />
Wie erhält man aber <strong>die</strong> Wellenfunktion? Für Materiewellen hat<br />
Erw<strong>in</strong> S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>ger 1926 <strong>die</strong> Lösung gefunden. Für dreidimensionale<br />
Systeme lautet <strong>die</strong> zeitunabhängige S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>gerglei<strong>ch</strong>ung<br />
h<br />
8π<br />
m<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2<br />
· ∇ Ψ + UΨ = EΨ<br />
,<br />
2<br />
wobei ∇ das Quadrat des sogenannten Nabla-Operators ∇ ist.<br />
Man s<strong>ch</strong>reibt dafür häufig au<strong>ch</strong><br />
2 2 2<br />
2 ∂ ∂ ∂<br />
∇ = ∆ = + + .<br />
2 2 2<br />
∂x ∂y ∂z<br />
Allgeme<strong>in</strong> s<strong>ch</strong>reibt man <strong>die</strong> S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>ger – Glei<strong>ch</strong>ung <strong>in</strong> der Form<br />
ˆH Ψ = EΨ<br />
, mit<br />
2<br />
ˆ h<br />
H = − ∆ + U<br />
2<br />
8π<br />
m<br />
Erw<strong>in</strong> S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>ger<br />
(1887-1961)<br />
Quelle: unbekannt<br />
wobei ˆ H der Hamilton-Operator des Systems ist.<br />
In vielen Fällen bewegt si<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Materiewelle e<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong> <strong>in</strong> x –Ri<strong>ch</strong>tung und es wirken<br />
Kräfte auf das Teil<strong>ch</strong>en, wel<strong>ch</strong>e wir als Potential U(x) zusammenfassen. In <strong>die</strong>sem<br />
Fall lautet <strong>die</strong> zeitunabhängige S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>ger Glei<strong>ch</strong>ung für das Teil<strong>ch</strong>en<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 13
2 2<br />
h d Ψ<br />
− · + UΨ = EΨ<br />
2 2<br />
8π<br />
m dx<br />
Dies ist <strong>die</strong> e<strong>in</strong>dimensionale stationäre S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>ger Glei<strong>ch</strong>ung. Wirken ke<strong>in</strong>e Kräfte<br />
auf das Teil<strong>ch</strong>en, so ist U(x) = 0 und <strong>die</strong> Glei<strong>ch</strong>ung bes<strong>ch</strong>reibt dann e<strong>in</strong> freies Teil<strong>ch</strong>en.<br />
Die S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>ger Glei<strong>ch</strong>ung vere<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong>t si<strong>ch</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong>sem Fall zu<br />
2 2<br />
h d Ψ<br />
− · = EΨ<br />
.<br />
2 2<br />
8π<br />
m dx<br />
ikx<br />
Die allgeme<strong>in</strong>ste Lösung <strong>die</strong>ser Glei<strong>ch</strong>ung ist Ψ = e = cos kx + i s<strong>in</strong> kx , mit<br />
2<br />
8 mE<br />
π<br />
k = . Man er<strong>in</strong>nere si<strong>ch</strong> an <strong>die</strong> Wellenglei<strong>ch</strong>ung e<strong>in</strong>er harmonis<strong>ch</strong>en Welle <strong>in</strong><br />
2<br />
h<br />
der Me<strong>ch</strong>anik: cos kx respektive s<strong>in</strong> kx bes<strong>ch</strong>reibt e<strong>in</strong>e Welle mit der Wellenlänge<br />
2π<br />
λ = . Das im vorliegenden Fall betra<strong>ch</strong>tete Teil<strong>ch</strong>en besitzt nur k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie<br />
k<br />
2<br />
2 2<br />
p<br />
k h<br />
(U=0). Es ist daher E = . Ausserdem gilt aber au<strong>ch</strong> E = und deshalb eben-<br />
2<br />
2m<br />
8π<br />
m<br />
falls<br />
2 2<br />
2mk h h 2π<br />
h h<br />
p = = k = = !<br />
2<br />
8π m 2π λ 2π<br />
λ<br />
Das ist aber gerade <strong>die</strong> s<strong>ch</strong>on bekannte deBroglie Beziehung! Die S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>gerglei<strong>ch</strong>ung<br />
liefert also bei frei bewegli<strong>ch</strong>en Teil<strong>ch</strong>en e<strong>in</strong>e Aussage, <strong>die</strong> 1927 dur<strong>ch</strong> das<br />
Experiment von Davisson und Germer bestätigt worden ist!<br />
Für den Fall, dass U ≠ 0 ist, bleiben <strong>die</strong> obigen Lösungen <strong>die</strong> glei<strong>ch</strong>en, allerd<strong>in</strong>gs<br />
jetzt mit<br />
( )<br />
2<br />
8 m E U<br />
π −<br />
k = .<br />
2<br />
h<br />
12.8.1 Die Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitsdi<strong>ch</strong>te<br />
Wie wir bereits bemerkt haben, entspri<strong>ch</strong>t das<br />
2<br />
Quadrat der Wellenfunktion Ψ der Aufent-<br />
haltswahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit des Teil<strong>ch</strong>ens an e<strong>in</strong>em<br />
Ort. Nehmen wir no<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>mal <strong>die</strong> allgeme<strong>in</strong>e<br />
Lösung der e<strong>in</strong>dimensionalen, zeitunab-<br />
ikx<br />
hängigen S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>gerglei<strong>ch</strong>ung Ψ = Ψ 0 · e zur<br />
Hand. Dar<strong>in</strong> wurde ledigli<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Konstante 0 Ψ<br />
h<strong>in</strong>zugefügt. Bere<strong>ch</strong>nen wir nun <strong>die</strong> Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitsdi<strong>ch</strong>te:<br />
Ψ<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 14<br />
2<br />
Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitsdi<strong>ch</strong>te als Funktion<br />
des Ortes x.<br />
2 ikx<br />
2<br />
2 ikx<br />
2<br />
2 ikx ikx*<br />
2<br />
0· e 0· e 0· e · e 0<br />
Ψ = Ψ = Ψ = Ψ = Ψ .
Die letzte Abbildung zeigt <strong>die</strong> Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitsdi<strong>ch</strong>te<br />
2<br />
Ψ als Funktion des Ortes.<br />
Die Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitsdi<strong>ch</strong>te ist für jeden Ort <strong>die</strong>selbe – das Teil<strong>ch</strong>en ist an jedem<br />
Ort mit glei<strong>ch</strong>er Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit!<br />
12.9 Die heisenbergs<strong>ch</strong>e Uns<strong>ch</strong>ärferelation<br />
Die letzte Abbildung hat weit rei<strong>ch</strong>ende Konsequenzen! Für <strong>die</strong><br />
Bere<strong>ch</strong>nung der Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keitsdi<strong>ch</strong>te haben wir angenommen,<br />
dass k, und somit der Impuls der betra<strong>ch</strong>teten Welle<br />
exakt bekannt ist. Dann ist es aber offenbar unmögli<strong>ch</strong>, e<strong>in</strong>e<br />
Aussage über den Aufenthaltsort des Teil<strong>ch</strong>ens zu ma<strong>ch</strong>en!<br />
Der Physiker Werner Heisenberg hat <strong>die</strong>se Tatsa<strong>ch</strong>e 1927 mit<br />
se<strong>in</strong>er berühmten Unbestimmtheitsrelation dargestellt. Sie lautet<br />
für e<strong>in</strong>e Dimension<br />
h<br />
∆x· ∆px ≥ =<br />
4π 2<br />
ℏ<br />
und analog au<strong>ch</strong> für <strong>die</strong> anderen zwei Dimensionen y und z. Dies heisst ni<strong>ch</strong>ts anderes,<br />
als:<br />
12.10 Der Tunneleffekt<br />
es wird nie mögli<strong>ch</strong> se<strong>in</strong>, Ort und Impuls e<strong>in</strong>es Teil<strong>ch</strong>ens glei<strong>ch</strong>zeitig<br />
exakt zu bestimmen! Das Produkt aus Orts- und Impulsuns<strong>ch</strong>ärfe ist<br />
h<br />
stets glei<strong>ch</strong> oder grösser<br />
4π 2<br />
= ℏ !<br />
Na<strong>ch</strong> der klassis<strong>ch</strong>en Physik wird e<strong>in</strong> Teil<strong>ch</strong>en,<br />
dessen k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie kle<strong>in</strong>er ist<br />
als e<strong>in</strong>e Potentials<strong>ch</strong>welle, von <strong>die</strong>ser reflektiert.<br />
E<strong>in</strong> Beispiel: Wenn Sie e<strong>in</strong>en Fussball<br />
(Teil<strong>ch</strong>en) gegen e<strong>in</strong>e stabile Wand (Potentials<strong>ch</strong>welle)<br />
spielen, so kommt <strong>die</strong>ser wieder<br />
zurück.<br />
Na<strong>ch</strong> den Gesetzen der <strong>Quantenphysik</strong><br />
kann e<strong>in</strong> Teil<strong>ch</strong>en aber mit e<strong>in</strong>er ni<strong>ch</strong>t vers<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>denden<br />
Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit dur<strong>ch</strong><br />
e<strong>in</strong>e Potentials<strong>ch</strong>welle h<strong>in</strong>dur<strong>ch</strong> tunneln. Das würde dem klassis<strong>ch</strong>en Bild entspre<strong>ch</strong>en,<br />
dass Sie der oben s<strong>ch</strong>on erwähnte Fussball plötzli<strong>ch</strong> ni<strong>ch</strong>t mehr zurückkäme<br />
sondern auf der anderen Seite der Wand wieder auftau<strong>ch</strong>en würde.<br />
Die Tunnelwahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit wird dur<strong>ch</strong> den so genannten Transmissionskoeffizienten<br />
gegeben. E<strong>in</strong> Transmissionskoeffizient T = 0.030 besagt, dass von 1000 Teil<strong>ch</strong>en<br />
30 <strong>die</strong> Barriere dur<strong>ch</strong>tunneln und 970 reflektiert werden. Der Transmissionskoeffizient<br />
kann man näherungsweise wie folgt bes<strong>ch</strong>reiben:<br />
⎛ 2m(<br />
U −E<br />
) ⎞<br />
−2· ⎜ ⎟·<br />
L<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ℏ ⎠<br />
Werner Heisenberg<br />
(1901-1976).<br />
Quelle: Wikipedia<br />
T ≈e<br />
wobei L <strong>die</strong> Dicke der Potentials<strong>ch</strong>welle darstellt, U für <strong>die</strong> Höhe der S<strong>ch</strong>welle steht<br />
und E <strong>die</strong> k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie des Teil<strong>ch</strong>ens mit der Masse m ist.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 15
Problem Mit wel<strong>ch</strong>er k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>en Energie muss e<strong>in</strong> Elektron auf e<strong>in</strong>e Potentials<strong>ch</strong>welle<br />
mit e<strong>in</strong>er Höhe von U = 6eV und e<strong>in</strong>er Dicke von L = 0.70 nm ges<strong>ch</strong>ossen werden,<br />
damit es e<strong>in</strong>en Transmissionskoeffizienten von T = 0.0010 hat?<br />
12.10.1 Das Rastertunnelmikroskop<br />
Beim Rastertunnelmikroskop br<strong>in</strong>gt man e<strong>in</strong>e Metallspitze<br />
nahe an <strong>die</strong> zu untersu<strong>ch</strong>ende Oberflä<strong>ch</strong>e<br />
und legt e<strong>in</strong>e kle<strong>in</strong>e Spannung von etwa 10<br />
mV zwis<strong>ch</strong>en Probe und Metallspitze an. Der Abstand<br />
der Metallspitze zur Oberflä<strong>ch</strong>e stellt dabei<br />
für <strong>die</strong> <strong>in</strong> der Oberflä<strong>ch</strong>e sitzenden Elektronen e<strong>in</strong>e<br />
Potentials<strong>ch</strong>welle dar. Wird der Abstand ger<strong>in</strong>g<br />
genug (ke<strong>in</strong>e Berührung!), so können e<strong>in</strong>ige Elektronen<br />
dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong>se S<strong>ch</strong>welle h<strong>in</strong>dur<strong>ch</strong>tunneln und<br />
so den Tunnelstrom erzeugen.<br />
Normalerweise<br />
versu<strong>ch</strong>t<br />
man, <strong>die</strong>sen<br />
Tunnelstrom<br />
während des<br />
Fe – Atome auf e<strong>in</strong>er Ni – Oberflä<strong>ch</strong>e.<br />
Quelle: IBM<br />
12.11 Atomspektren<br />
Abfahrens der Oberflä<strong>ch</strong>e konstant zu halten.<br />
Dadur<strong>ch</strong> bleibt aber au<strong>ch</strong> der Abstand der Metallspitze<br />
zur Oberflä<strong>ch</strong>e konstant und es entsteht<br />
so s<strong>ch</strong>liessli<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Karte der Oberflä<strong>ch</strong>e,<br />
<strong>die</strong> man untersu<strong>ch</strong>t.<br />
Bevor <strong>die</strong> Quantentheorie entwickelt<br />
wurde, konnte <strong>die</strong> Physik<br />
au<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e andere Ers<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>ung<br />
ni<strong>ch</strong>t erklären. Es war <strong>die</strong> Tatsa<strong>ch</strong>e,<br />
dass Spektren von Atomen<br />
e<strong>in</strong>e Ansammlung von diskreten<br />
L<strong>in</strong>ien darstellten und ni<strong>ch</strong>t e<strong>in</strong>e<br />
kont<strong>in</strong>uierli<strong>ch</strong>e Emission oder Absorption von Li<strong>ch</strong>t zugrunde lag. Das Spektrum von<br />
Wasserstoff war bei weitem das e<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong>ste. Bereits 1885 hatte der s<strong>ch</strong>weizer Gymnasiallehrer<br />
Johann Jakob Balmer erkannt, dass man den si<strong>ch</strong>tbaren Anteil des Wasserstoffspektrums<br />
dur<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Formel darstellen konnte, wel<strong>ch</strong>e nur ganzzahlige Variablen<br />
enthält. Se<strong>in</strong> erkannter Zusammenhang ist heute als Balmer-Formel bekannt:<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= RH<br />
· ⎜ − 2 2 ⎟<br />
λ ⎝ 2 n ⎠ .<br />
Funktionsweise e<strong>in</strong>es RTM.<br />
Quelle: www.physik.uni-essen.de<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 16
5 1<br />
Dabei ist RH 1.0974·10 cm −<br />
= <strong>die</strong> Rydberg Konstante für Wasserstoff und n e<strong>in</strong>e ganze<br />
Zahl grösser glei<strong>ch</strong> 3. 1888 erweiterten der s<strong>ch</strong>wedis<strong>ch</strong>e Physiker Janne Rydberg<br />
und der s<strong>ch</strong>weizer Physiker Walter Ritz <strong>die</strong> Formel zur Rydberg – Ritz Formel zur<br />
Bere<strong>ch</strong>nung des Wasserstoffspektrums:<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= RH<br />
· ⎜ − 2 2 ⎟<br />
λ ⎝ n1 n2<br />
⎠<br />
Dabei s<strong>in</strong>d n1 und n2 beliebige ganze positive Zahlen, wobei n1
Und tatsä<strong>ch</strong>li<strong>ch</strong> dur<strong>ch</strong>dr<strong>in</strong>gen <strong>die</strong> meisten α-Teil<strong>ch</strong>en <strong>die</strong> Goldfolie ohne Ablenkung.<br />
Zur Überras<strong>ch</strong>ung Rutherfords gibt es aber au<strong>ch</strong> wel<strong>ch</strong>e, <strong>die</strong> um grosse W<strong>in</strong>kel ϑ,<br />
vere<strong>in</strong>zelt sogar bis zu 180°, gestreut werden.<br />
Dies kann nur so erklärt werden: E<strong>in</strong> sol<strong>ch</strong>es α-Teil<strong>ch</strong>en ist auf e<strong>in</strong>e positiv geladene<br />
Masse gestossen, wel<strong>ch</strong>e auf e<strong>in</strong> Gebiet konzentriert ist, das sehr viel kle<strong>in</strong>er ist als<br />
das Atom. Somit ergibt si<strong>ch</strong>:<br />
1<br />
Im Atomkern, dessen Dur<strong>ch</strong>messer nur rund des Atomdur<strong>ch</strong>messer<br />
100'000<br />
beträgt, s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> positive Ladung und nahezu <strong>die</strong> gesamte Masse des Atoms<br />
konzentriert.<br />
Die vergli<strong>ch</strong>en mit dem Kern fast masselosen Elektronen bilden <strong>die</strong> Atomhülle.<br />
Sie s<strong>in</strong>d negativ geladen und umkreisen wegen der elektris<strong>ch</strong>en Anziehungskraft<br />
den Kern, so wie <strong>die</strong> Planeten <strong>die</strong> Sonne wegen der Gravitationskraft.<br />
Obwohl es <strong>die</strong> Streuung von α-Teil<strong>ch</strong>en an e<strong>in</strong>er Goldfolie gut erklärt, steckt <strong>die</strong>ses<br />
Modell do<strong>ch</strong> no<strong>ch</strong> voller Widersprü<strong>ch</strong>e:<br />
E<strong>in</strong> Elektron auf e<strong>in</strong>er Kreisbahn wird ständig<br />
zum Mittelpunkt des Kreises h<strong>in</strong> bes<strong>ch</strong>leunigt.<br />
Vom s<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>genden Dipol her weiss man, dass<br />
e<strong>in</strong>e bes<strong>ch</strong>leunigte Ladung e<strong>in</strong>e elektromagnetis<strong>ch</strong>e<br />
Welle abstrahlt. Das Elektron müsste<br />
somit dauernd Energie verlieren. Es könnte<br />
si<strong>ch</strong> gar ni<strong>ch</strong>t auf der Kreisbahn halten, es<br />
müsste auf e<strong>in</strong>er Spiralbahn <strong>in</strong> den Kern stürzen.<br />
Atome s<strong>in</strong>d aber stabil. Das ist mit <strong>die</strong>sem<br />
Modell ni<strong>ch</strong>t zu verstehen.<br />
Auf der Spiralbahn um den Kern würde si<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Umlauffrequenz immer mehr<br />
erhöhen. Also würde au<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Frequenz der abgestrahlten elektromagnetis<strong>ch</strong>en<br />
Welle zunehmen und somit e<strong>in</strong> kont<strong>in</strong>uierli<strong>ch</strong>es Spektrum erzeugt.<br />
In Wirkli<strong>ch</strong>keit sendet e<strong>in</strong> leu<strong>ch</strong>tendes atomares Gas aber e<strong>in</strong> L<strong>in</strong>ienspektrum<br />
aus, das nur aus e<strong>in</strong>zelnen, deutli<strong>ch</strong> vone<strong>in</strong>ander unters<strong>ch</strong>iedenen<br />
Frequenzen besteht. Das rutherfords<strong>ch</strong>e Modell kann au<strong>ch</strong> <strong>die</strong>s ni<strong>ch</strong>t erklären.<br />
12.11.2 Das bohrs<strong>ch</strong>e Atommodell<br />
Der dänis<strong>ch</strong>e Physiker Nils Bohr (Nobelpreis 1922) ma<strong>ch</strong>te<br />
1913 e<strong>in</strong>en Versu<strong>ch</strong>, Plancks Quantenhypothese mit der klassis<strong>ch</strong>en<br />
Physik zu vermählen. Es war ni<strong>ch</strong>t das, was wir heute<br />
unter Quantenme<strong>ch</strong>anik verstehen, aber es war <strong>die</strong> erste Synthese<br />
von Quantentheorie und Me<strong>ch</strong>anik.<br />
Bohr ma<strong>ch</strong>te si<strong>ch</strong> zum rutherfords<strong>ch</strong>en Atommodell e<strong>in</strong>ige Gedanken.<br />
Ihm fiel auf, dass bei e<strong>in</strong>er Bere<strong>ch</strong>nungen des Abstandes<br />
des Elektrons zum Atomkern, basierend auf dem rutherfords<strong>ch</strong>en<br />
Atommodell, ke<strong>in</strong>e Grösse mit e<strong>in</strong>er Länge entstehen<br />
Nils Bohr (1885-1962).<br />
Quelle: Wikipedia<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 18
konnte. Wie au<strong>ch</strong>, <strong>in</strong> der klassis<strong>ch</strong>en Bere<strong>ch</strong>nung kommen ledigli<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Elementarladung<br />
e, <strong>die</strong> Masse des Elektrons me und <strong>die</strong> Permeabilität des Vakuums ε0 vor. Aus<br />
den E<strong>in</strong>heiten <strong>die</strong>ser Grössen lässt si<strong>ch</strong> aber ke<strong>in</strong>e Grösse mit der E<strong>in</strong>heit e<strong>in</strong>er Länge<br />
bilden. Um <strong>die</strong>s zu errei<strong>ch</strong>en, müsste no<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e zusätzli<strong>ch</strong>e physikalis<strong>ch</strong>e Grösse<br />
mit der E<strong>in</strong>heit Js vorhanden se<strong>in</strong>. Dies entspri<strong>ch</strong>t jedo<strong>ch</strong> gerade der E<strong>in</strong>heit des<br />
2<br />
ε 0h<br />
plancks<strong>ch</strong>en Wirkungsquantums h! Die Komb<strong>in</strong>ation hat <strong>die</strong> Dimension e<strong>in</strong>er<br />
2<br />
mee Länge und der Betrag beträgt etwa 0.16 nm, was <strong>in</strong> etwa verglei<strong>ch</strong>bar mit atomaren<br />
Abständen ist.<br />
Bohr entwickelte daraufh<strong>in</strong> se<strong>in</strong> Atommodell, <strong>in</strong> dem <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Atom e<strong>in</strong> Satz diskreter,<br />
stationärer Elektronenkreisbahnen existiert. Se<strong>in</strong> Modell fusst dabei auf mehreren<br />
Postulaten:<br />
Das Elektron kreist um den Atomkern auf e<strong>in</strong>er Quantenbahn, <strong>die</strong> dur<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>en<br />
ganz bestimmten diskreten Energiewert E, gekennzei<strong>ch</strong>net ist. Es strahlt<br />
bei <strong>die</strong>ser Kreisbewegung ke<strong>in</strong>e Energie ab. Für <strong>die</strong> Bewegung auf e<strong>in</strong>er<br />
Quantenbahn gilt e<strong>in</strong>e Quantenbed<strong>in</strong>gung. Das Produkt aus dem Umfang<br />
2π⋅r der Kreisbahn und dem Impuls p = mv des Elektrons muss e<strong>in</strong> ganzzahliges<br />
Vielfa<strong>ch</strong>es des plancks<strong>ch</strong>en Wirkungsquantums h se<strong>in</strong>, oder<br />
2π r ⋅ mv = n ⋅ h , wobei n = 1; 2; 3; ... Quantenzahl heisst. 1<br />
Energie wird nur abgestrahlt, wenn e<strong>in</strong> Elektron von e<strong>in</strong>er Kreisbahn auf e<strong>in</strong>e<br />
andere we<strong>ch</strong>selt.<br />
Geht das Atom von e<strong>in</strong>em Zustand höherer Energie E2 <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en Zustand<br />
niedrigerer Energie E1 über, so emittiert es e<strong>in</strong> Photon der Energie hf = E2 –<br />
E1.<br />
Mit <strong>die</strong>sem Modell hatte Bohr – obwohl e<strong>in</strong>ige Probleme bestanden (s. 12.11.2.2) –<br />
e<strong>in</strong>en grossen Wurf gema<strong>ch</strong>t. Wir wollen nun mal e<strong>in</strong>ige D<strong>in</strong>ge mit se<strong>in</strong>em Modell<br />
bere<strong>ch</strong>nen. Im Folgenden wollen wir das Wasserstoffatom betra<strong>ch</strong>ten – es ist das<br />
e<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong>ste aller Atome mit bekanntli<strong>ch</strong> nur e<strong>in</strong>em Proton und e<strong>in</strong>em Elektron.<br />
12.11.2.1 Bestätigungen des bohrs<strong>ch</strong>en Atommodells<br />
12.11.2.1.1 Atomgrösse – Ra<strong>die</strong>n der Elektronenbahnen<br />
Wie weit ist denn nun das Elektron vom Atomkern entfernt? Nun, au<strong>ch</strong> bei Bohr wird<br />
das Elektron dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Coulomkraft zwis<strong>ch</strong>en Elektron und dem Atomkern auf se<strong>in</strong>er<br />
F = F oder<br />
Bahn gehalten. Wir ma<strong>ch</strong>en den altbekannten Ansatz Z el<br />
v 1 e<br />
me = ·<br />
r 4π<br />
ε r<br />
2 2<br />
0<br />
1 DeBroglie fand na<strong>ch</strong>trägli<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Erklärung für <strong>die</strong>se etwas willkürli<strong>ch</strong> ers<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>ende<br />
Quantenbed<strong>in</strong>gung. Den Kreisbahnen des Elektrons entspre<strong>ch</strong>en Materiewellen, <strong>die</strong> rund um den<br />
Kern laufen. Ist der Bahnumfang 2πr e<strong>in</strong> ganzzahliges Vielfa<strong>ch</strong>es der Wellenlänge λ = h/mv, so<br />
entsteht e<strong>in</strong>e stehende Welle, deren S<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>gungsform si<strong>ch</strong> im Lauf der Zeit ni<strong>ch</strong>t verändert. Dies<br />
zei<strong>ch</strong>net e<strong>in</strong>e Quantenbahn vor allen anderen denkbaren Kreisbahnen aus! Aus 2πr = n⋅λ und<br />
h<br />
h<br />
λ = folgt 2 πr<br />
= n ⋅ also <strong>die</strong> Quantenbed<strong>in</strong>gung 2 πr<br />
⋅ mv = n ⋅ h .<br />
mv<br />
mv<br />
2<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 19
Aus der Quantenbed<strong>in</strong>gung 2π r ⋅ mv = n ⋅ h bekommt man für <strong>die</strong> Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit<br />
n· h<br />
v = , wel<strong>ch</strong>e wir <strong>in</strong> <strong>die</strong> letzte Formel e<strong>in</strong>setzen und na<strong>ch</strong> dem Radius r auflö-<br />
2π rme<br />
sen. Man erhält<br />
2<br />
2 ε 0 h<br />
r = n · . 2<br />
m πe<br />
Für n=1 ergibt <strong>die</strong>ser Ausdruck<br />
kannt ist.<br />
12.11.2.1.2 Atomspektren<br />
e<br />
11<br />
0 5.29·10<br />
−<br />
a m<br />
≈ , was als bohrs<strong>ch</strong>er Atomradius be-<br />
Na<strong>ch</strong>dem wir nun <strong>die</strong> Abstände e<strong>in</strong>es Elektrons vom Atomkern bere<strong>ch</strong>nen können,<br />
sollte es do<strong>ch</strong> au<strong>ch</strong> mögli<strong>ch</strong> se<strong>in</strong>, <strong>die</strong> Energien zu bere<strong>ch</strong>nen, <strong>die</strong> frei werden, wenn<br />
e<strong>in</strong> Elektron von Bahn zu Bahn hüpft.<br />
Für <strong>die</strong> potentielle Energie e<strong>in</strong>es Elektrons im Coulombfeld e<strong>in</strong>es Wasserstoffkerns<br />
gilt<br />
2 2<br />
4<br />
e e<br />
mee Epot<br />
= − = − = − .<br />
2<br />
2 2 2<br />
4π ε 0 r ⎛ 2 ε 4<br />
0 h ⎞ ε 0 n h<br />
4 π ε 0 ⎜ n · 2 ⎟<br />
⎝ π mee ⎠<br />
Für <strong>die</strong> k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie ergibt si<strong>ch</strong> analog<br />
2 2<br />
1 2 1 ⎛ n h ⎞<br />
k<strong>in</strong> = e = e ⎜ 2 2 2 ⎟<br />
2 2 4π<br />
r me<br />
E m v m<br />
.<br />
⎝ ⎠<br />
Hier müssen aber offensi<strong>ch</strong>tli<strong>ch</strong> no<strong>ch</strong> e<strong>in</strong> paar S<strong>ch</strong>ritte folgen. Wir ersetzen au<strong>ch</strong> hier<br />
2<br />
2 ε 0 h<br />
den Radius mit r = n · und bekommen<br />
2<br />
π m e<br />
e<br />
E<br />
⎛ n h e π m ⎞ ⎛ e m ⎞<br />
E<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
2 2 4 2 2<br />
4<br />
1 e 1 e 1<br />
k<strong>in</strong> = ⎜ 2 4 2 4 ⎟ = ⎜ 2 2 2 ⎟ = − pot<br />
2 4π men ε 0 h 2 4ε 0 n h 2<br />
Die Energie des Elektrons auf der Bahn n erhalten wir, wenn wir <strong>die</strong> potentielle und<br />
<strong>die</strong> k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie zusammenzählen zu<br />
1 1 m e<br />
En = Epot + Ek<strong>in</strong> = Epot − E pot = E pot = − .<br />
2 2 8ε<br />
4<br />
e<br />
2 2 2<br />
0 n h<br />
Für <strong>die</strong> Energiedifferenz zweier Elektronenbahnen folgt aus <strong>die</strong>sem Resultat glei<strong>ch</strong><br />
4 4 4<br />
mee mee mee ⎛ 1 1 ⎞<br />
∆ E = En − E<br />
2 n = − + =<br />
1 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎜ − 2 2 ⎟ .<br />
8ε 0 n2h 8ε 0 n1 h 8ε<br />
0 h ⎝ n1 n2<br />
⎠<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 20<br />
.
Dies ist aber gerade <strong>die</strong> Rydberg – Ritz<br />
Formel! Das bohrs<strong>ch</strong>e Atommodell erlaubt<br />
also e<strong>in</strong>e Erklärung für e<strong>in</strong>e Formel, wel<strong>ch</strong>e<br />
von Rydberg und Ritz 25 Jahre vorher empiris<strong>ch</strong><br />
aus dem Wasserstoffspektrum abgeleitet<br />
worden war! Demna<strong>ch</strong> entspre<strong>ch</strong>en<br />
<strong>die</strong> beoba<strong>ch</strong>tbaren Wasserstoffl<strong>in</strong>ien Elektronenübergängen<br />
zwis<strong>ch</strong>en Elektronenbahnen<br />
mit unters<strong>ch</strong>iedli<strong>ch</strong>er Quantenzahl<br />
n. Na<strong>ch</strong> ihren Entdeckern s<strong>in</strong>d vers<strong>ch</strong>iedene<br />
Übergangsserien unters<strong>ch</strong>iedli<strong>ch</strong> benannt<br />
worden. Die Balmer – Serie ist <strong>die</strong><br />
e<strong>in</strong>zige, wel<strong>ch</strong>e teilweise si<strong>ch</strong>tbare Übergänge<br />
besitzt.<br />
12.11.2.1.3 Der Franck-Hertz Versu<strong>ch</strong> – E<strong>in</strong>e weitere Bestätigung<br />
Niels Bohr wurde dur<strong>ch</strong> das Auftreten optis<strong>ch</strong>er Spektrall<strong>in</strong>ien zu se<strong>in</strong>em Atommodell<br />
veranlasste. Atome gehen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en anderen Energiezustand über, wenn sie e<strong>in</strong> Photon<br />
emittieren oder absorbieren. Das Atom kann das Photon allerd<strong>in</strong>gs nur dann absorbieren,<br />
wenn es genau <strong>die</strong> zur Energiedifferenz zwis<strong>ch</strong>en beiden Zuständen "passende"<br />
Energie hat.<br />
E<strong>in</strong> wi<strong>ch</strong>tiges Experiment, mit dem <strong>die</strong><br />
Existenz diskreter Energiezustände auf<br />
andere Weise bestätigt wurde, gelang<br />
1914 James Franck und Gustav Hertz.<br />
Atome können nämli<strong>ch</strong> ni<strong>ch</strong>t nur Energie<br />
von Photonen, sondern au<strong>ch</strong> von<br />
Elektronen absorbieren.<br />
Der Versu<strong>ch</strong> zeigt: Nur wenn das Elektron<br />
e<strong>in</strong>e für <strong>die</strong> Atomart <strong>ch</strong>arakteristis<strong>ch</strong>e<br />
M<strong>in</strong>destenergie mitbr<strong>in</strong>gt, kann es<br />
beim Zusammenstoss mit e<strong>in</strong>em Atom<br />
Energie an <strong>die</strong>ses abgeben. Der Stoss<br />
versetzt das Atom <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en höheren Energiezustand,<br />
der vom Grundzustand<br />
dur<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Energiestufe getrennt ist.<br />
Energiestufen des Wasserstoffatoms. Es s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> na<strong>ch</strong><br />
ihren Entdeckern benannten Übergangsserien<br />
e<strong>in</strong>gezei<strong>ch</strong>net (es fehlen <strong>die</strong> Bracket- und <strong>die</strong> Pfund-<br />
Serie).<br />
James Franck (1882-1964) und Gustav Ludwig<br />
Hertz (1887-1975) gewannen 1925 den<br />
Nobelpreis für Physik.<br />
Quelle: www.nobelprize.org<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 21
Der Versu<strong>ch</strong>saufbau enthält e<strong>in</strong>en mit<br />
Quecksilberdampf gefüllten Glaskolben,<br />
<strong>in</strong> dem si<strong>ch</strong> drei Elektroden bef<strong>in</strong>den:<br />
<strong>die</strong> Glühkathode K, das Anodengitter<br />
A und <strong>die</strong> Auffängerelektrode<br />
B.<br />
Die aus der Glühkathode austretenden<br />
Elektronen werden dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> regelbare<br />
Spannung Ub bis zum Anodengitter A<br />
bes<strong>ch</strong>leunigt und müssen ans<strong>ch</strong>liessend<br />
bis zur Auffängerelektrode B<br />
gegen e<strong>in</strong>e ger<strong>in</strong>ge Bremsspannung<br />
UG anlaufen.<br />
Man variiert <strong>die</strong> Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung<br />
Ub, misst den <strong>in</strong> der Auffängerelektrode<br />
B e<strong>in</strong>treffenden Elektronenstrom<br />
I und erhält den nebenstehend<br />
dargestellten Zusammenhang:<br />
Wie erklärt si<strong>ch</strong> <strong>die</strong>ser<br />
Verlauf?<br />
Aufbau des Franck – Hertz Versu<strong>ch</strong>s <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
s<strong>ch</strong>ematis<strong>ch</strong>en Darstellung.<br />
Beim Quecksilberatom beträgt <strong>die</strong><br />
Differenz zwis<strong>ch</strong>en der Energie E0<br />
des Grundzustands und der Energie<br />
E1 des niedrigsten angeregten Zustands<br />
∆E = E1 – E0 = 4.9 eV.<br />
Bei e<strong>in</strong>er Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung<br />
unter 4.9 V ist <strong>die</strong> k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie<br />
der Elektronen ger<strong>in</strong>ger als 4.9 eV. Zwis<strong>ch</strong>en den Elektronen und den Quecksilberatomen<br />
können nur elastis<strong>ch</strong>e Stösse, also Stösse ohne Energieaustaus<strong>ch</strong>, stattf<strong>in</strong>den.<br />
Mit zunehmender Spannung Ub errei<strong>ch</strong>en pro Zeite<strong>in</strong>heit immer mehr Elektronen<br />
das Anodengitter A. Alle besitzen genug Energie, <strong>die</strong> Bremsspannung Ub, zu<br />
überw<strong>in</strong>den, der Strom I steigt an.<br />
Bei e<strong>in</strong>er Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung knapp oberhalb 4.9 V haben <strong>die</strong> Elektronen<br />
unmittelbar vor dem Anodengitter A e<strong>in</strong>e k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie knapp über 4.9 eV. Dort<br />
f<strong>in</strong>den jetzt <strong>in</strong>elastis<strong>ch</strong>e Stösse statt: Die Elektronen geben 4.9 eV als Anregungsenergie<br />
an <strong>die</strong> Quecksilberatome ab. Mit der ihnen verbleibenden ger<strong>in</strong>gen k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>en<br />
Energie können sie ni<strong>ch</strong>t mehr gegen <strong>die</strong> Bremsspannung Ub, anlaufen. Sie<br />
fallen für <strong>die</strong> Strommessung aus. Der Strom I fällt stark ab.<br />
Bei e<strong>in</strong>em weiteren Anstieg der Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung deutli<strong>ch</strong> über 4.9 V h<strong>in</strong>aus<br />
errei<strong>ch</strong>en <strong>die</strong> Elektronen <strong>die</strong> k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie 4.9 eV s<strong>ch</strong>on immer weiter vor<br />
dem Anodengitter. Das Gebiet, <strong>in</strong> dem <strong>die</strong> <strong>in</strong>elastis<strong>ch</strong>en Stösse stattf<strong>in</strong>den, bewegt<br />
si<strong>ch</strong> vom Anodengitter A auf <strong>die</strong> Glühkathode K zu. Zwis<strong>ch</strong>en <strong>die</strong>sem Gebiet und<br />
dem Anodengitter werden <strong>die</strong> beim Stoss abgebremsten Elektronen no<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>mal bes<strong>ch</strong>leunigt.<br />
Der Strom I steigt also wieder an.<br />
Bei e<strong>in</strong>er Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung knapp oberhalb 9.8 V können <strong>die</strong> Elektronen<br />
bereits <strong>in</strong> der Mitte zwis<strong>ch</strong>en der Glühkathode K und dem Anodengitter A den ersten<br />
<strong>in</strong>elastis<strong>ch</strong>en Stoss dur<strong>ch</strong>fuhren und dabei 4.9 eV abgeben. Dana<strong>ch</strong> werden sie er-<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 22
neut bes<strong>ch</strong>leunigt und errei<strong>ch</strong>en unmittelbar vor dem Anodengitter no<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>mal <strong>die</strong><br />
k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie 4.9 eV. Sie können e<strong>in</strong>en zweiten <strong>in</strong>elastis<strong>ch</strong>en Stoss dur<strong>ch</strong>fuhren.<br />
Der Strom I fällt deshalb wiederum stark ab.<br />
E<strong>in</strong> dur<strong>ch</strong> <strong>in</strong>elastis<strong>ch</strong>en Elektronenstoss angeregtes Quecksilberatom kehrt aus dem<br />
ersten angeregten Zustand dur<strong>ch</strong> Emission e<strong>in</strong>es Photons der Energie hf = 4.9 eV <strong>in</strong><br />
den Grundzustand zurück.<br />
Der Franck – Hertz Versu<strong>ch</strong> bestätigt auf s<strong>ch</strong>öne Weise ebenfalls das bohrs<strong>ch</strong>e Atommodell,<br />
da er nur erklärt werden kann, wenn man davon ausgeht, dass si<strong>ch</strong> Elektronen<br />
nur <strong>in</strong> bestimmten Abständen um den Atomkern aufhalten dürfen.<br />
12.11.2.2 Probleme des Modells von Bohr<br />
Wir wollen es ni<strong>ch</strong>t vers<strong>ch</strong>weigen: au<strong>ch</strong> das bohrs<strong>ch</strong>e Atommodell hat bereits zur<br />
Zeit se<strong>in</strong>er Veröffentli<strong>ch</strong>ung mit Problemen zu kämpfen. Hier nur e<strong>in</strong> paar davon:<br />
Die Postulate lassen si<strong>ch</strong> ni<strong>ch</strong>t physikalis<strong>ch</strong> herleiten – ihr Erfolg legitimiert<br />
<strong>die</strong> zugrunde liegenden Annahmen!<br />
Das Vorhandense<strong>in</strong> <strong>ch</strong>emis<strong>ch</strong>er B<strong>in</strong>dungen erklärt das Modell ni<strong>ch</strong>t.<br />
Bei Atomen mit mehr als e<strong>in</strong>em Elektron kann das Modell <strong>die</strong> L<strong>in</strong>ienspektren<br />
ni<strong>ch</strong>t mehr vorhersagen.<br />
Die Annahme von s<strong>ch</strong>arf def<strong>in</strong>ierten Elektronenbahnen widerspri<strong>ch</strong>t der heisenbergs<strong>ch</strong>en<br />
Uns<strong>ch</strong>ärferelation.<br />
In den folgenden Jahren wurde das bohrs<strong>ch</strong>e Atommodell immer wieder angepasst<br />
und verfe<strong>in</strong>ert, um se<strong>in</strong>e Unzulängli<strong>ch</strong>keiten zu kompensieren. Mit dem Aufs<strong>ch</strong>wung<br />
der Quantenme<strong>ch</strong>anik wurde das Modell aber s<strong>ch</strong>lussendli<strong>ch</strong> abgelöst.<br />
12.12 Die S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>gerglei<strong>ch</strong>ung – Anwendungen<br />
Als Abs<strong>ch</strong>luss <strong>die</strong>ser <strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Quantenphysik</strong> – wobei wir uns eigentli<strong>ch</strong> bisher<br />
nur deren ges<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>tli<strong>ch</strong>e Entwicklung angesehen haben – wollen wir do<strong>ch</strong> no<strong>ch</strong><br />
e<strong>in</strong> paar Konsequenzen betra<strong>ch</strong>ten, <strong>die</strong> si<strong>ch</strong> dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Anwendung der S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>gerglei<strong>ch</strong>ung<br />
ergeben. Sie werden feststellen, dass <strong>die</strong> an ihre mathematis<strong>ch</strong>en Fähigkeiten<br />
gestellten Ansprü<strong>ch</strong>en dabei von m<strong>in</strong>imal bis extrem rei<strong>ch</strong>en, je na<strong>ch</strong> Problemstellung.<br />
Aber alles halb so wild...<br />
12.12.1 Das Elektron <strong>in</strong> der Falle<br />
In e<strong>in</strong>em ersten Beispiel berauben wir e<strong>in</strong><br />
Elektron se<strong>in</strong>er Freiheit und sperren es <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>en Kasten, <strong>in</strong> dem es si<strong>ch</strong> nur na<strong>ch</strong> l<strong>in</strong>ks<br />
oder na<strong>ch</strong> re<strong>ch</strong>ts bewegen kann. Sol<strong>ch</strong>e Elektronenfallen<br />
s<strong>in</strong>d te<strong>ch</strong>nis<strong>ch</strong> zu realisieren.<br />
Wir <strong>in</strong>teressieren uns aber im Moment nur für<br />
<strong>die</strong> theoretis<strong>ch</strong>e Seite.<br />
Die nebenstehende Abbildung zeigt den Verlauf<br />
des vom Elektron gesehenen Potentials<br />
als Funktion des Ortes. An den Orten x=0<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 23
und x=L soll <strong>die</strong> Potentials<strong>ch</strong>welle für das Elektron unendli<strong>ch</strong> ho<strong>ch</strong> se<strong>in</strong> (entspri<strong>ch</strong>t<br />
e<strong>in</strong>er unendli<strong>ch</strong> negativ geladenen Wand). Das Elektron wird also ni<strong>ch</strong>t <strong>in</strong> <strong>die</strong>se<br />
Wand e<strong>in</strong>dr<strong>in</strong>gen können. Das Elektron bef<strong>in</strong>det si<strong>ch</strong> <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em “Kasten“. Es kann si<strong>ch</strong><br />
dar<strong>in</strong> frei bewegen, aber es kann ni<strong>ch</strong>t <strong>in</strong> <strong>die</strong> “Wände“ e<strong>in</strong>dr<strong>in</strong>gen.<br />
Somit kann man aber <strong>die</strong> Wellenfunktion für <strong>die</strong> Berei<strong>ch</strong>e xL gerade auf-<br />
s<strong>ch</strong>reiben 2<br />
ψ = 0 für x = 0 und x = L<br />
Die S<strong>ch</strong>röd<strong>in</strong>gerglei<strong>ch</strong>ung für den Berei<strong>ch</strong> <strong>in</strong>nerhalb der Begrenzungen lautet dann<br />
2 2<br />
ℏ d ψ<br />
− = Eψ<br />
.<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
Folgende allgeme<strong>in</strong>e Funktion löst <strong>die</strong>se Glei<strong>ch</strong>ung (sie kennen sie bereits):<br />
ψ = A·s<strong>in</strong> kx + B·cos kx , mit<br />
2 2<br />
k ℏ<br />
E = .<br />
2m<br />
Wir müssen nun nur no<strong>ch</strong> überprüfen, wel<strong>ch</strong>e Mögli<strong>ch</strong>keiten auf unsere Problemstellung<br />
zutreffen. Also, bei x = 0 folgt ψ (0) = B . Die Randbed<strong>in</strong>gung verlangt aber ebenfalls<br />
ψ (0) = 0 , wodur<strong>ch</strong> automatis<strong>ch</strong> B = 0 folgt. Die gesu<strong>ch</strong>te Wellenfunktion hat also<br />
<strong>die</strong> Form<br />
ψ = A·s<strong>in</strong> kx .<br />
Die Amplitude beträgt an der Wand ψ ( L) = A·s<strong>in</strong> kL . Die zweite Randbed<strong>in</strong>gung verlangt<br />
aber wieder ψ ( L)<br />
= 0 . Wir könnten nun e<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong> A= 0 setzen, dann wäre aber<br />
<strong>die</strong> Wellenfunktion immer null, was der Situation entspre<strong>ch</strong>en würde, dass das Teil<strong>ch</strong>en<br />
gar ni<strong>ch</strong>t im Kasten wäre. Wir müssen uns etwas anderes e<strong>in</strong>fallen lassen. Die<br />
zweite Mögli<strong>ch</strong>keit <strong>die</strong> Randbed<strong>in</strong>gung zu erfüllen ist, das Argument des S<strong>in</strong>us bei<br />
x = L null werden zu lassen. Dies kann man errei<strong>ch</strong>en, wenn man als Werte von kL<br />
nur ganzzahlige Vielfa<strong>ch</strong>e von π zulässt: k· L = n· π mit n = 1,2,3, … . Damit lautet unsere<br />
Wellenfunktion dann<br />
·s<strong>in</strong> n<br />
2 2 2<br />
⎛ π ⎞<br />
n π<br />
ψ = A ⎜ x⎟<br />
, mit den Energieeigenwerten E = 2<br />
⎝ L ⎠ 2mL<br />
ℏ<br />
.<br />
Wir s<strong>in</strong>d aber no<strong>ch</strong> ni<strong>ch</strong>t am Ende. Die Wellenfunktion muss no<strong>ch</strong> normiert werden<br />
(Die Aufenthaltswahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit für das Teil<strong>ch</strong>en im gesamten Kasten muss 1<br />
betragen). Tun wir das, so erhalten wir e<strong>in</strong>en Ausdruck für A:<br />
∞<br />
−∞<br />
L<br />
* 2 2<br />
2<br />
A L<br />
2<br />
∫ ψ ψ dx = 1 = A · ∫ s<strong>in</strong> kx dx = oder A=<br />
.<br />
2<br />
L<br />
0<br />
2 Wir haben <strong>die</strong>s ni<strong>ch</strong>t bewiesen, man kann <strong>die</strong> Gültigkeit aber e<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong> zeigen. Glauben Sie es an<br />
<strong>die</strong>ser Stelle e<strong>in</strong>fa<strong>ch</strong>!<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 24
Die komplette Lösung unseres Problems lautet damit<br />
Energien:<br />
Wellenfuntion:<br />
12.12.1.1 Die Nullpunktsenergie<br />
2 2 2<br />
n π<br />
E = 2<br />
2mL<br />
ℏ<br />
mit n = 1,2,3, …<br />
2 ⎛ nπ ⎞<br />
ψ = ·s<strong>in</strong> ⎜ x⎟<br />
L ⎝ L ⎠ .<br />
Betra<strong>ch</strong>ten wir e<strong>in</strong>mal <strong>die</strong> Energieeigenwerte etwas genauer. Da, wie bereits bemerkt,<br />
n=0 ke<strong>in</strong>e Lösung se<strong>in</strong> darf, besitzt e<strong>in</strong> e<strong>in</strong>ges<strong>ch</strong>lossenes Teil<strong>ch</strong>en immer e<strong>in</strong>e<br />
Energie, <strong>die</strong> grösser ist als null. Der tiefste dazugehörige Energieeigenwert nennt<br />
man Nullpunktsenergie.<br />
Jedes Teil<strong>ch</strong>en, das bezügli<strong>ch</strong> se<strong>in</strong>er Bewegung Bes<strong>ch</strong>ränkungen unterliegt, besitzt<br />
im M<strong>in</strong>imum <strong>die</strong>se Nullpunktsenergie, wel<strong>ch</strong>e immer grösser als null ist!<br />
12.12.2 Der α – Zerfall<br />
Im Normalfall s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> Potentialwände ni<strong>ch</strong>t<br />
unendli<strong>ch</strong> ho<strong>ch</strong>. Betra<strong>ch</strong>ten wir e<strong>in</strong>mal <strong>die</strong> Situation<br />
des α – Strahlers 212 Po , mit e<strong>in</strong>er Halbwertzeit<br />
von 0.3µs und e<strong>in</strong>er Energie des abgestrahlten<br />
α – Teil<strong>ch</strong>ens von 8.785MeV . Die<br />
anziehenden Kernkräfte sollen genau dann ihre<br />
Wirkung verlieren, wenn si<strong>ch</strong> das entstandene<br />
α – Teil<strong>ch</strong>en (A=4) und der Rest des Kerns<br />
(A=208) no<strong>ch</strong> berühren. Dies ist der Fall bei<br />
e<strong>in</strong>em Abstand r von 3<br />
1 1<br />
3 3 { }<br />
d = 1.2 4 + 208 = 9.1fm<br />
.<br />
In <strong>die</strong>sem Abstand besitzt das Coulomb – Potential den Wert<br />
( − )<br />
2<br />
( − )<br />
[ ]<br />
1 q q 1 2· Z 2 e 2· Z 2 ·1.44 MeV · fm 2·82·1.44 MeV· fm<br />
= = = = = ,<br />
4π ε r 4π ε r r fm 9.1fm<br />
1 2<br />
U · · 26.2MeV<br />
0 0<br />
wobei mit Z-2 <strong>die</strong> Kernladung des verbleibenden Kerns geme<strong>in</strong>t ist. Das Potential<br />
errei<strong>ch</strong>t <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Abstand von r = 26.9 fm <strong>die</strong> Energie des alpha – Teil<strong>ch</strong>ens von<br />
11.65 MeV. Die Breite der Potentials<strong>ch</strong>welle beträgt also b = 26.9 fm − 9.1fm = 17.8 fm .<br />
3 Er<strong>in</strong>nern Sie si<strong>ch</strong> an <strong>die</strong> Kernphysik? Der Radius e<strong>in</strong>es Atomkerns lässt si<strong>ch</strong> na<strong>ch</strong><br />
bere<strong>ch</strong>nen, wobei<br />
r = m = fm ist.<br />
−15<br />
0 1.2·10 1.2<br />
r = r A<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 25<br />
K<br />
0 ·<br />
1<br />
3
Fazit: das α – Teil<strong>ch</strong>en hat zuwenig Energie, um über <strong>die</strong> Potentialbarriere zu gelangen.<br />
Dass 212 Po überhaupt e<strong>in</strong> α – Strahler ist, hängt damit zusammen, dass <strong>die</strong> α –<br />
Teil<strong>ch</strong>en mit e<strong>in</strong>er gewissen Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Barriere h<strong>in</strong>dur<strong>ch</strong> tunneln<br />
können. Bei 212 15<br />
Po beträgt <strong>die</strong> Wahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit etwa 2.5·10 −<br />
. E<strong>in</strong> α –Teil<strong>ch</strong>en mit<br />
7<br />
e<strong>in</strong>er Energie von 8.785 MeV besitzt e<strong>in</strong>e Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit von 2.371·10 m<br />
v = und<br />
s<br />
v<br />
21 1<br />
trifft damit mit e<strong>in</strong>er Frequenz von f = ≈ 1.3·10 gegen <strong>die</strong> Potentialbarriere. Dar-<br />
2d<br />
s<br />
aus lässt si<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Halbwertszeit von<br />
ln 2 ln 2<br />
λ 2.5·10 ·1.3·10<br />
−6<br />
T1 = = = 0.25·10 s<br />
−15 21 −1<br />
2<br />
bere<strong>ch</strong>nen, was dem beoba<strong>ch</strong>teten Wert von<br />
0.3 µs ziemli<strong>ch</strong> nahe kommt. Es bleibt allerd<strong>in</strong>gs<br />
zu erwähnen, dass <strong>die</strong> Sa<strong>ch</strong>e ni<strong>ch</strong>t<br />
immer so gut herauskommt, wie <strong>in</strong> <strong>die</strong>sem<br />
Beispiel 4 .<br />
Allerd<strong>in</strong>gs ist man nun <strong>in</strong> der Lage, unters<strong>ch</strong>iedli<strong>ch</strong>e<br />
Zerfallszeiten zu diskutieren. So<br />
hat z.B.<br />
238<br />
U e<strong>in</strong>e Halbwertzeit von<br />
T<br />
9<br />
= 4.5·10 y und das α – Teil<strong>ch</strong>en e<strong>in</strong>e E-<br />
1 2<br />
nergie von 4.2 MeV. Bei 228 U beträgt <strong>die</strong><br />
T = 9.1m<strong>in</strong> und das α – Teil-<br />
Halbwertzeit 1 2<br />
<strong>ch</strong>en hat e<strong>in</strong>e Energie von 6.7 MeV. Für beide Isotope beträgt <strong>die</strong> Höhe der Potentialbarriere<br />
knapp 30 MeV. Während <strong>die</strong> Energie des α - Teil<strong>ch</strong>ens der Barriere für<br />
228 228<br />
U nur etwa 60% höher ist, verr<strong>in</strong>gert si<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Breite der Potentialbarriere bei U<br />
um etwa den Faktor 2. Dies hat aber bereits e<strong>in</strong>e Verkürzung der Halbwertzeit um<br />
14<br />
den Faktor 3·10 zur Folge!<br />
4 Sie können unter http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alpdet2.html#c1 selbst<br />
vers<strong>ch</strong>iedene Isotope dur<strong>ch</strong>re<strong>ch</strong>nen.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 26<br />
s
Aufgaben<br />
1) a) Skizzieren und bes<strong>ch</strong>reiben Sie den Aufbau e<strong>in</strong>er Vakuumfotozelle und erklären Sie deren<br />
Funktionsweise.<br />
b) Warum muss <strong>die</strong> Fotozelle evakuiert se<strong>in</strong>?<br />
c) In der Physik wird zwis<strong>ch</strong>en <strong>in</strong>nerem und äusserem Fotoeffekt unters<strong>ch</strong>ieden. Wor<strong>in</strong> besteht<br />
der Unters<strong>ch</strong>ied?<br />
2) Parallel zu e<strong>in</strong>er Fotozelle wird e<strong>in</strong> Kondensator ges<strong>ch</strong>altet. Ans<strong>ch</strong>liessend wird sie auf unters<strong>ch</strong>iedli<strong>ch</strong>e<br />
Arten beleu<strong>ch</strong>tet. Skizzieren Sie <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>zigen U(t)-Diagramm <strong>die</strong> angegebenen<br />
Fälle. Sorgen Sie dafür, dass <strong>die</strong> e<strong>in</strong>zelnen Graphen <strong>in</strong> si<strong>ch</strong> konsistent s<strong>in</strong>d – <strong>die</strong> absoluten<br />
Werte s<strong>in</strong>d nebensä<strong>ch</strong>li<strong>ch</strong>. Zu Beg<strong>in</strong>n e<strong>in</strong>er Bestrahlung wird der Kondensator immer erst<br />
vollständig entladen.<br />
a) Die Fotozelle wird mit gelbem Li<strong>ch</strong>t hoher Intensität beleu<strong>ch</strong>tet.<br />
b) Die Fotozelle wird s<strong>ch</strong>wa<strong>ch</strong> mit gelbem Li<strong>ch</strong>t beleu<strong>ch</strong>tet.<br />
c) Die Fotozelle wird mit s<strong>ch</strong>wa<strong>ch</strong>em UV-Li<strong>ch</strong>t bestrahlt.<br />
d) Die Fotozelle wird mit UV-Li<strong>ch</strong>t hoher Intensität bestrahlt.<br />
3) E<strong>in</strong>e Fotozelle wird <strong>in</strong> zwei Versu<strong>ch</strong>en mit mono<strong>ch</strong>romatis<strong>ch</strong>em Li<strong>ch</strong>t der Wellenlänge λ1 =<br />
350 nm bzw. λ2 = 250 nm bestrahlt. Dur<strong>ch</strong> Anlegen e<strong>in</strong>er Gegenspannung von U1 = 3.55 V<br />
bzw. U2 = 4.97 V wird der Fotostrom vollständig kompensiert. Bere<strong>ch</strong>nen Sie aus den Angaben<br />
<strong>die</strong> Planck’s<strong>ch</strong>e Konstante.<br />
4) Wieder geht es um den Fotoeffekt:<br />
a) Wie gross ist <strong>die</strong> Austrittsarbeit e<strong>in</strong>er Fotokathode, wenn bei Bestrahlung mit Li<strong>ch</strong>t der<br />
Wellenlänge 220 nm der Fotoeffekt dur<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Gegenspannung von 1.85 V vollständig<br />
unterdrückt wird?<br />
b) Aus e<strong>in</strong>er Silberflä<strong>ch</strong>e, <strong>die</strong> mit mono<strong>ch</strong>romatis<strong>ch</strong>em Li<strong>ch</strong>t der Wellenlänge 150 nm beleu<strong>ch</strong>tet<br />
wird, werden Fotoelektronen ausgelöst. Die Wellenlänge, unterhalb der bei<br />
Silber der li<strong>ch</strong>telektris<strong>ch</strong>e Effekt e<strong>in</strong>setzt, ist 260 nm. Wie gross ist <strong>die</strong> Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit<br />
der herausgelösten Elektronen?<br />
5) Das gelbe Li<strong>ch</strong>t e<strong>in</strong>er Natriumlampe ist bei e<strong>in</strong>er Wellenlänge von 589 nm am hellsten. Wel<strong>ch</strong>e<br />
Energie haben <strong>die</strong> Photonen bei <strong>die</strong>ser Wellenlänge?<br />
6) E<strong>in</strong> Helium-Neon Laser emittiere rotes Li<strong>ch</strong>t bei e<strong>in</strong>er Wellenlänge von λ = 633 nm <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em<br />
Li<strong>ch</strong>tstrahl von 3.5 mm Dur<strong>ch</strong>messer und bei e<strong>in</strong>er Energieemissionsrate von 5.5 mW. Der<br />
gesamte Strahl werde von e<strong>in</strong>em Detektor absorbiert. Mit wel<strong>ch</strong>er Rate absorbiert der Detektor<br />
Photonen?<br />
7) Unter idealen Bed<strong>in</strong>gungen kann der Mens<strong>ch</strong> bereits e<strong>in</strong>e visuelle Wahrnehmung haben,<br />
wenn Li<strong>ch</strong>t der Wellenlänge 550 nm von der Netzhaut des Auges mit e<strong>in</strong>er Rate von rund 100<br />
Photonen pro Sekunde aufgenommen wird. Wie gross ist <strong>die</strong> zugehörige Energieabsorbtionsrate<br />
der Netzhaut?<br />
8) Wel<strong>ch</strong>en Energiebetrag können Radiostrahlung (λ = 200 m), Infrarotstrahlung (λ = 10 -6 m) und<br />
Röntgenstrahlung (λ = 10 -6 m) an e<strong>in</strong> Elektronübertragen?<br />
9) Natriumatome emittieren oder absorbieren Strahlung der Wellenlänge λ = 5.9·10 -7 m. Bere<strong>ch</strong>nen<br />
Sie <strong>die</strong> Energie der Photonen<br />
10) E<strong>in</strong>e Diode weist e<strong>in</strong>e Dur<strong>ch</strong>lassspannung von U0 = 0,65 V auf. Wel<strong>ch</strong>e Wellenlänge hat das<br />
von der Diode abgestrahlte Li<strong>ch</strong>t?<br />
11) E<strong>in</strong>e Leu<strong>ch</strong>tdiode für 950 nm leu<strong>ch</strong>tet trotz der Stromstärke 10mA ni<strong>ch</strong>t. Wel<strong>ch</strong>e E<strong>in</strong>satzspannung<br />
ist bei <strong>die</strong>ser Wellenlänge zu erwarten? Warum ist ke<strong>in</strong> Leu<strong>ch</strong>ten festzustellen?<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 27
12) Die Frequenz der e<strong>in</strong>fallenden Strahlung beträgt bei e<strong>in</strong>em Compton-Prozess f = 1.2·10 20 Hz.<br />
Wie groß ist <strong>die</strong> Frequenz der gestreuten Strahlung wenn <strong>die</strong> Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit der Elektronen<br />
na<strong>ch</strong> dem Stoss v=1.5·10 8 m/s ist?<br />
13) Bei e<strong>in</strong>em Streuexperiment mit Gammaquanten an freien Elektronen tritt e<strong>in</strong>e Wellenlängenänderung<br />
der Strahlung von ∆λ = 1.21·10 -12 m auf. Unter wel<strong>ch</strong>em W<strong>in</strong>kel ϕ werden <strong>die</strong> gestreuten<br />
Gammaquanten beoba<strong>ch</strong>tet?<br />
14) Wie gross war <strong>die</strong> Wellenlänge e<strong>in</strong>es Tennisballs, der von Greg Rusedski während ATP<br />
Champions Cup <strong>in</strong> Indian Wells am 14. März 1998 mit 239.8 km/h aufges<strong>ch</strong>lagen worden<br />
war? Die Masse e<strong>in</strong>es Tennisballs beträgt 57 g.<br />
15) E<strong>in</strong> anfängli<strong>ch</strong> ruhendes Elektron dur<strong>ch</strong>läuft <strong>die</strong> Bes<strong>ch</strong>leunigungsspannung U. Wel<strong>ch</strong>e de-<br />
Broglie Wellenlänge (<strong>in</strong> nm) muss dem bes<strong>ch</strong>leunigten Elektron zugeordnet werden?<br />
16) Wel<strong>ch</strong>e de-Broglie Wellenlänge weisen mit 500 kV bes<strong>ch</strong>leunigte Protonen auf? Warum haben<br />
glei<strong>ch</strong> s<strong>ch</strong>nelle neutrale H-Atome (fast) <strong>die</strong> glei<strong>ch</strong>e Wellenlänge?<br />
17) In e<strong>in</strong>em Experiment mit e<strong>in</strong>er Elektronenbeugungsröhre werden Elektronen mit e<strong>in</strong>er Spannung<br />
von 5 kV bes<strong>ch</strong>leunigt. Der Netzebenenabstand des Graphitkristalls im Elektronenstrahl<br />
beträgt a = 2.13·10 -10 m. Der Abstand des Kristalls vom S<strong>ch</strong>irm ist l = 13 cm. Der Dur<strong>ch</strong>messer<br />
e<strong>in</strong>es Beugungsr<strong>in</strong>ges wurde zu d = 2.15·10 -2 cm gemessen. Bere<strong>ch</strong>nen Sie aus <strong>die</strong>sen<br />
Angaben das Planck’s<strong>ch</strong>e Wirkungsquantum h.<br />
18) Wie s<strong>ch</strong>nell müsste e<strong>in</strong> Radfahrer (m = 80 kg) dur<strong>ch</strong> das Baseltor ( ∆x ≅ 3.0 m) fahren, damit<br />
er aufgrund der Impulsuns<strong>ch</strong>ärfe <strong>in</strong> erster Ordnung um 10° aus se<strong>in</strong>er ursprüngli<strong>ch</strong>en Ri<strong>ch</strong>tung<br />
abgelenkt wird?<br />
19) Wie gross ist <strong>die</strong> m<strong>in</strong>imale Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeitsuns<strong>ch</strong>ärfe e<strong>in</strong>er Kugel der Masse 500g deren Ort<br />
auf 10 -6 m genau bekannt ist?<br />
20) Wie gross ist <strong>die</strong> m<strong>in</strong>imale Ortsuns<strong>ch</strong>ärfe e<strong>in</strong>er Kugel von 5g, deren Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit zwis<strong>ch</strong>en<br />
350.000001 m/s und 350.00000 m/s liegt?<br />
21) E<strong>in</strong> 0.10 mm breiter Spalt wird mit dem Li<strong>ch</strong>t e<strong>in</strong>es He-Ne-Lasers senkre<strong>ch</strong>t beleu<strong>ch</strong>tet. Er hat<br />
<strong>die</strong> Wellenlänge λ = 633 nm. Das Li<strong>ch</strong>t trifft 3.0 m h<strong>in</strong>ter dem Spalt auf e<strong>in</strong>en S<strong>ch</strong>irm.<br />
a) Bere<strong>ch</strong>ne den Impuls p e<strong>in</strong>es Photons vor dem Spalt.<br />
b) Im Spalt wird der Ort e<strong>in</strong>es Photons auf ∆x = 0.10 mm festgelegt. S<strong>ch</strong>ätze mit der Uns<strong>ch</strong>ärferelation<br />
∆x⋅∆p ≥ 1<br />
ℏ den W<strong>in</strong>kel α ab, unter dem das Interferenzm<strong>in</strong>imum ers-<br />
2<br />
ter Ordnung ers<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>t.<br />
c) Bere<strong>ch</strong>ne <strong>die</strong> Breite des Beugungsflecks auf dem S<strong>ch</strong>irm, der dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> beiden M<strong>in</strong>ima<br />
erster Ordnung begrenzt wird.<br />
22) Der Aufenthaltsort e<strong>in</strong>es Elektrons im Atom ist auf den Berei<strong>ch</strong> der Atomhülle mit dem (ungefähren)<br />
Dur<strong>ch</strong>messer ∆x = 0.1 nm bes<strong>ch</strong>ränkt. Aus der Uns<strong>ch</strong>ärferelation folgt, dass das Elektron<br />
dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> E<strong>in</strong>s<strong>ch</strong>liessung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em so kle<strong>in</strong>en Raumberei<strong>ch</strong> zu e<strong>in</strong>er Bewegung gezwungen<br />
wird. Genauer gesagt: <strong>die</strong> dur<strong>ch</strong>s<strong>ch</strong>nittli<strong>ch</strong>e k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>e Energie des Elektrons kann<br />
ni<strong>ch</strong>t null se<strong>in</strong>. Es existiert also e<strong>in</strong> M<strong>in</strong>imalwert der k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>en Energie Ek,m, der als Nullpunktsenergie<br />
des Elektrons bezei<strong>ch</strong>net wird. Dieser M<strong>in</strong>imalwert lässt si<strong>ch</strong> <strong>in</strong> erster Näherung<br />
bere<strong>ch</strong>nen, wenn man annimmt, dass das Elektron <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>dimensionalen Berei<strong>ch</strong><br />
der Länge 0.10 mm e<strong>in</strong>ges<strong>ch</strong>lossen ist. Dieser Berei<strong>ch</strong> stellt <strong>die</strong> Ortsuns<strong>ch</strong>ärfe dar.<br />
a) Bere<strong>ch</strong>nen Sie über <strong>die</strong> Heisenberg's<strong>ch</strong>e Uns<strong>ch</strong>ärferelation den M<strong>in</strong>imalimpuls pm<strong>in</strong> =<br />
∆p des Elektrons (M<strong>in</strong>imalimpuls = Impulsuns<strong>ch</strong>ärfe).<br />
b) Bere<strong>ch</strong>nen Sie daraus <strong>die</strong> Nullpunktsenergie des Elektrons.<br />
23) Im Wasserstoffemissionsspektrum s<strong>in</strong>d L<strong>in</strong>ien bei folgenden Wellenzahlen zu beoba<strong>ch</strong>ten:<br />
82259, 97492, 102824, 105292, 106632 und 107440 cm -1 . Bere<strong>ch</strong>nen Sie daraus <strong>die</strong> Rydberg<br />
Konstante! H<strong>in</strong>weis: Wellenzahl bezei<strong>ch</strong>net den Kehrwert der Wellenlänge. Die Wellenzahl<br />
wird <strong>in</strong> cm -1 angegeben.<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 28
24) E<strong>in</strong> Teil<strong>ch</strong>en mit der Masse 6.65·10 -27 kg bef<strong>in</strong>det si<strong>ch</strong> <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em unendli<strong>ch</strong> hohen Potentialtopf<br />
der Breite L. Zum dritten Energieniveau gehört <strong>die</strong> Energie 2.00·10 -24 J. Wie gross ist L?<br />
25) Die Energie des ausgesandten α – Teil<strong>ch</strong>ens bei 226 Ra beträgt 4.8 MeV, beim 224 Ra h<strong>in</strong>gegen<br />
5.9 MeV. Wel<strong>ch</strong>es der beiden Isotope hat <strong>die</strong> grössere Halbwertzeit und warum?<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 29
Lösungen<br />
1)<br />
2)<br />
3) Es ist<br />
4)<br />
5)<br />
a) s. Skript<br />
b) Die relativ langsamen Fotoelektronen würden dur<strong>ch</strong> <strong>die</strong> Gasmoleküle gebremst und<br />
den R<strong>in</strong>g somit ni<strong>ch</strong>t errei<strong>ch</strong>en. Ausserdem würde O2 <strong>die</strong> Cäsiums<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>t oxi<strong>die</strong>ren<br />
und damit <strong>die</strong> Fotozelle unbrau<strong>ch</strong>bar ma<strong>ch</strong>en.<br />
c) Beim äusseren Photoeffekt verlassen <strong>die</strong> Elektronen vollständig das Metall, beim <strong>in</strong>neren<br />
Photoeffekt we<strong>ch</strong>seln sie nur <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e andere S<strong>ch</strong>i<strong>ch</strong>t (z.B. <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Solarzelle<br />
oder im Auge). (s. au<strong>ch</strong> Impulse Physik II, S. 196)<br />
15<br />
λ = ⇒ = bei U1 und λ = 250nm ⇒ f = 1.2·10 Hz<br />
14<br />
1 350nm f1 8.571·10 Hz<br />
bei U2. Gemäss nebenstehender Abbildung ist<br />
E = E −W<br />
El Li<strong>ch</strong>t A<br />
U · e = h· f −W<br />
2 2<br />
U · e = h· f −W<br />
1 1<br />
( U 2 − U1 ) · e = h· ( f2 − f1<br />
)<br />
( U −U<br />
) · e<br />
= =<br />
( f − f )<br />
2 1 −34<br />
h 6.63·10 Js<br />
a)<br />
b)<br />
2 1<br />
A<br />
A<br />
1 1<br />
c<br />
−19<br />
WA = h· f − U· e = h· − U· e = 6.07·10 J = 3.79eV<br />
.<br />
λ<br />
−19<br />
1 2<br />
6<br />
WAg ≈ 7.6455·10 J und EEl = ELi<strong>ch</strong>t − WAg = mv , also 1.11·10<br />
2<br />
m<br />
v = .<br />
s<br />
8 m<br />
3·10<br />
c −34 19<br />
· · 6.626·10 · s<br />
−<br />
E = h f = h = Js = 3.37·10 J<br />
−9<br />
λ<br />
589·10 m<br />
8 m<br />
3·10<br />
c −34 19<br />
6) Die Energie e<strong>in</strong>es Photons beträgt · · 6.626·10 · s<br />
−<br />
E = h f = h = Js = 3.14·10 J .<br />
−9<br />
λ<br />
633·10 m<br />
−3<br />
J<br />
5·10 ·1s<br />
16<br />
Die abgegebene Leistung bedeutet, dass pro Sekunde NPhotonen<br />
= s =<br />
1.59·10<br />
−19<br />
3.14·10 J<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 30
abgegeben werden. Umgere<strong>ch</strong>net auf <strong>die</strong> Flä<strong>ch</strong>e ergeben si<strong>ch</strong><br />
16 −1<br />
N 1.59·10 s<br />
21 −1 −2<br />
Q = = = 1.65·10 s m .<br />
3<br />
2<br />
A −<br />
⎛ 3.5·10 m ⎞<br />
⎜ ⎟ · π<br />
⎝ 2 ⎠<br />
8 m<br />
3·10<br />
c −34 19<br />
7) E<strong>in</strong> Photon hat <strong>die</strong> Energie · · 6.626·10 · s<br />
−<br />
E = h f = h = Js = 3.61·10 J . Pro<br />
−9<br />
λ<br />
550·10 m<br />
Sekunde werden vom Auge 100 Photonen aufgenommen, was e<strong>in</strong>er Energie von<br />
−19 1<br />
−17<br />
J<br />
P = 3.61·10 J·100<br />
= 3.6·10 .<br />
s s<br />
8) Die Lösungen s<strong>in</strong>d: 9.93·10 -28 J, 1.99·10 -19 J und 1.99·10 -16 J<br />
9) E = h· f = 2.1eV<br />
10) Bei e<strong>in</strong>er E<strong>in</strong>satzspannung von 0.65 V strahlt <strong>die</strong> Diode mit e<strong>in</strong>er Wellenlänge von λ = 1.91<br />
µm.<br />
11) Die Diode für 950 nm hat e<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>satzspannung von 1.31 V. Sie sendet Infrarotstrahlung aus,<br />
<strong>die</strong> für das Auge ni<strong>ch</strong>t si<strong>ch</strong>tbar ist.<br />
12) Die abgegebene Energie ist glei<strong>ch</strong> der k<strong>in</strong>etis<strong>ch</strong>en Energie der Elektronen, <strong>die</strong> jedo<strong>ch</strong> relativistis<strong>ch</strong><br />
zu bere<strong>ch</strong>nen ist. ∆ E = Ek<strong>in</strong> = Eges − E0<br />
. Das ist glei<strong>ch</strong><br />
∆ =<br />
m c<br />
⎛ v ⎞<br />
1−<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ c ⎠<br />
− = =<br />
hf0 − ∆E<br />
20<br />
f1 = = 1.01·10 Hz .<br />
h<br />
2<br />
E 0e<br />
2<br />
m0e 2<br />
0.15m0ec 4<br />
7.9·10 eV<br />
13) Aus λ ( 1 cosϕ<br />
)<br />
. Die Frequenz beträgt daher<br />
h<br />
∆ =<br />
mec aus ϕ = 60°<br />
.<br />
−<br />
∆λmec<br />
folgt dur<strong>ch</strong> e<strong>in</strong>e Umformung cosϕ = 1− = 0.5005 und dar-<br />
h<br />
14) Die Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit des Balls war 66.61 m/s. Damit folgt für <strong>die</strong> Wellenlänge<br />
−34<br />
h h 6.63·10 Js<br />
−34<br />
λ = = = = 1.75·10 m . Die Wellenlänge makroskopis<strong>ch</strong>er Objekte<br />
p m· v<br />
m<br />
0.057 kg·66.6<br />
s<br />
ist also bei weitem zu kle<strong>in</strong>, als dass si<strong>ch</strong> daran Welleneigens<strong>ch</strong>aften beoba<strong>ch</strong>ten liessen.<br />
1 2<br />
15) Na<strong>ch</strong> dem Energieerhaltungssatz gilt Ek<strong>in</strong> = qU = eU = m0· v . Aufgelöst na<strong>ch</strong> v erhält man<br />
2<br />
v =<br />
2eU =<br />
m<br />
2Ek<strong>in</strong><br />
. Mit p = m· v =<br />
m<br />
2eUm0 = 2Ek<strong>in</strong>m0 folgt für <strong>die</strong> deBroglie Wellenlän-<br />
0 0<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 31
h h hc<br />
ge λ = = = . Setzen wir für hc = 1240 eV·nm und für m0c<br />
p 2<br />
2E m 2 E m · c<br />
2 = 0.511<br />
MeV e<strong>in</strong>, so erhalten wir<br />
k<strong>in</strong> 0 k<strong>in</strong> 0<br />
1.226 nm<br />
λ = , wobei Ek<strong>in</strong> <strong>in</strong> eV e<strong>in</strong>zusetzen ist.<br />
E<br />
k<strong>in</strong><br />
16) E<strong>in</strong>setzen der Werte, <strong>in</strong> <strong>die</strong> unter Aufgabe 2 hergeleitete Formel<br />
h<br />
λ = =<br />
p<br />
h<br />
2E m<br />
=<br />
hc<br />
2<br />
2 E m · c<br />
, ergibt mit m0c 2 0.0286nm<br />
−5<br />
= 938MeV λ = = 4.·10 nm .<br />
500000<br />
k<strong>in</strong> 0 k<strong>in</strong> 0<br />
17) Die Wellenlänge bere<strong>ch</strong>nen wir mit λ<br />
r· a<br />
l<br />
d<br />
· a<br />
2<br />
l<br />
0.176·10 m<br />
Verwendung der deBroglie Beziehung das Plancks<strong>ch</strong>e Wirkungsquantum bere<strong>ch</strong>nen:<br />
−10<br />
= = = . Daraus können wir unter<br />
−10 −19 −31 −34<br />
h · 2emU 0.0176·10 m· 2·1.602·10 C·5000 V·9.109·10 kg 6.743·10 Js<br />
= λ = = .<br />
p<br />
18) Es gilt s<strong>in</strong>α<br />
p 2 xmv<br />
∆ ℏ<br />
= = , mit<br />
∆<br />
ℏ<br />
−36<br />
m<br />
v = = 1.27·10 .<br />
2∆xms<strong>in</strong> α<br />
s<br />
ℏ<br />
∆ p = und p = mv . Aufgelöst bekommt man<br />
2∆x<br />
19) Aus der Uns<strong>ch</strong>ärferelation ∆x· ∆p ≥<br />
2<br />
ℏ ∆p<br />
ℏ<br />
bekommt man ∆ v = ≥ . Daraus folgt für <strong>die</strong><br />
m 2m∆x<br />
28<br />
Uns<strong>ch</strong>ärfe der Ges<strong>ch</strong>w<strong>in</strong>digkeit 1·10 m −<br />
∆v ≥ .<br />
s<br />
20) Aus der Uns<strong>ch</strong>ärferelation ∆x· ∆p ≥<br />
2<br />
ℏ ℏ<br />
bekommt man ∆x ≥ . Daraus folgt für <strong>die</strong> Un-<br />
2m∆v<br />
−34<br />
1.0545·10 Js<br />
−27<br />
s<strong>ch</strong>ärfe des Ortes ∆x ≥ = 1·10 m .<br />
−3 −5<br />
m<br />
2·5·10 kg·10<br />
s<br />
21) Folgt...<br />
22) Folgt...<br />
23) Folgt...<br />
24) Die Energien bere<strong>ch</strong>nen si<strong>ch</strong> na<strong>ch</strong><br />
2 2<br />
n h<br />
E = . Daraus erhält man<br />
2<br />
8mL<br />
n h<br />
= = .<br />
8mE<br />
2 2<br />
−9<br />
L 6.1·10 m<br />
25) Ausgehend von der Annahme, dass für beide Isotope der Potentialverlauf für e<strong>in</strong> α – Teil<strong>ch</strong>en<br />
<strong>die</strong> glei<strong>ch</strong>e Höhe hat, wird dasjenige α - Teil<strong>ch</strong>en mit der grösseren Energie <strong>die</strong> ger<strong>in</strong>gere Barrierebreite<br />
vor si<strong>ch</strong> haben. Dadur<strong>ch</strong> steigt <strong>die</strong> Tunnelwahrs<strong>ch</strong>e<strong>in</strong>li<strong>ch</strong>keit rapide an. 224 Ra<br />
226<br />
müsste also e<strong>in</strong>e kle<strong>in</strong>ere Halbwertzeit haben als Ra . Dies ist au<strong>ch</strong> der Fall:<br />
224<br />
Ra<br />
1<br />
2<br />
Ra<br />
T = 3.66d<br />
gegenüber T = 1600 y .<br />
226<br />
1 2<br />
Kantonss<strong>ch</strong>ule Solothurn, Reto Basler Stotzer, www.<strong>physica</strong>.<strong>ch</strong> 32