Bonus--Malus Systeme und Markov--Ketten - Fachrichtung Mathematik
Bonus--Malus Systeme und Markov--Ketten - Fachrichtung Mathematik
Bonus--Malus Systeme und Markov--Ketten - Fachrichtung Mathematik
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Fakultät <strong>Mathematik</strong> <strong>und</strong> Naturwissenschaften, <strong>Fachrichtung</strong> <strong>Mathematik</strong>, Institut für Mathematische Stochastik<br />
BONUS–MALUS SYSTEME UND<br />
MARKOV–KETTEN<br />
Klaus D. Schmidt<br />
Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN, 24.11.2011
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 2 von 61
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 3 von 61
Prolog: Internet–Portale<br />
Internet–Portale liefern im allgemeinen<br />
einen Vergleich von Prämien für das nächste Jahr,<br />
aber<br />
keinen Vergleich von Prämien für spätere Jahre <strong>und</strong><br />
keinen Vergleich von Versicherungsleistungen.<br />
Die Prämien für spätere Jahre hängen von den zukünftigen Schadenzahlen <strong>und</strong><br />
damit von dem verwendeten <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> System ab.<br />
Bei Verwendung eines <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Systems<br />
verringert sich die Prämie für das Folgejahr bei einem schadenfreien<br />
aktuellen Jahr <strong>und</strong><br />
erhöht sich die Prämie für das Folgejahr in Abhängigkeit von der Anzahl<br />
der Schäden im aktuellen Jahr.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 4 von 61
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 5 von 61
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 6 von 61
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 7 von 61
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 8 von 61
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 9 von 61
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 10 von 61
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 11 von 61
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 12 von 61
Beispiel (1)<br />
Wir betrachten ein <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> System mit vier Klassen i 1, 2, 3, 4 <strong>und</strong><br />
den zugehörigen Prämienniveaus hi bezüglich einer Gr<strong>und</strong>prämie :<br />
Klasse i Prämienniveau hi<br />
1 125%<br />
2 100%<br />
3 80%<br />
4 64%<br />
Interpretation der Klassen des <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Systems:<br />
Klasse 1: <strong>Malus</strong> Klasse<br />
Klasse 2: Einstiegsklasse<br />
Klassen 3 <strong>und</strong> 4: <strong>Bonus</strong> Klassen<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 13 von 61
Beispiel (2)<br />
Für das <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> System sollen die folgenden Einstufungs– <strong>und</strong><br />
Übergangsregeln gelten:<br />
Jeder neue Versicherungsnehmer wird in die Einstiegsklasse 2<br />
eingestuft.<br />
Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im<br />
folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in Klasse 4).<br />
Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im<br />
folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in Klasse 1).<br />
Meldet der Versicherungsnehmer mindestens zwei Schäden, so wird er<br />
im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in Klasse 1) eingestuft.<br />
Möglicher Verlauf eines Versicherungsvertrages:<br />
Jahr 0 1 2 3 4 5<br />
Klasse 2 3 1 2 3 4<br />
<br />
Schäden 0 2 0 0 0 . . .<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 14 von 61
Beispiel (3)<br />
Mögliche Übergänge:<br />
neue alte Klasse<br />
Klasse 1 2 3 4<br />
1 <br />
2 <br />
3 <br />
4 <br />
Die Übergangswahrscheinlichkeiten von einer alten zu einer neuen Klasse<br />
werden durch eine Übergangsmatrix<br />
Q <br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 3<br />
0, 7<br />
0<br />
0, 3<br />
0<br />
0, 7<br />
0, 1<br />
0, 2<br />
0<br />
0<br />
0, 1<br />
0, 2<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0 0 0, 7 0, 7<br />
beschrieben (deren Koordinaten noch zu begründen sind).<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 15 von 61
Beispiel (4)<br />
Die Einstufungsregel wird durch eine Anfangsverteilung q<br />
q <br />
dargestellt (Einstufung eines neuen Versicherungsnehmers in die<br />
Einstiegsklasse 2).<br />
0<br />
B<br />
@<br />
Die Koordinaten der Übergangsmatrix Q qi,j i,j1,2,3,4 <strong>und</strong> der<br />
Anfangsverteilung q qi i1,2,3,4 werden wie folgt interpretiert:<br />
qi ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neuer Versicherungsnehmer<br />
sich bei Beginn des Vertrages in der Klasse i befindet.<br />
qi,j ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherungsnehmer nach<br />
Ablauf eines Versicherungsjahres von Klasse j nach Klasse i wechselt.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 16 von 61<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A
Beispiel (5)<br />
Im Jahr k 0, 1, 2, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die Klassen<br />
1, 2, 3, 4 durch den Vektor<br />
q k<br />
Q k q<br />
Es gilt 1qk P4 i1 qk<br />
i<br />
1.<br />
Dabei bezeichnet<br />
der Vektor 1 die Summe der Einheitsvektoren ei <strong>und</strong><br />
die Matrix Q k die k–te Potenz der Matrix Q mit Q 0 I,<br />
wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet<br />
(deren Spaltenvektoren die Einheitsvektoren sind).<br />
Interpretation der Koordinaten von q k analog zu der der Koordinaten von<br />
q 0 q<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 17 von 61
Beispiel (6)<br />
Desweiteren ist die Prämienstruktur des <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Systems durch den<br />
Vektor<br />
h <br />
0<br />
B<br />
@<br />
1, 25<br />
1, 00<br />
0, 80<br />
0, 64<br />
1<br />
C<br />
A<br />
gegeben.<br />
Daraus ergibt sich für das erwartete Prämienniveau im Jahr k 0, 1, 2, <br />
<strong>und</strong> damit<br />
h q k <br />
4X<br />
i1<br />
hiq k<br />
i<br />
h q k h Q k q<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 18 von 61
Beispiel (7)<br />
k<br />
q<br />
0 1 2 4<br />
k<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 3<br />
0<br />
0, 7<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 16<br />
0, 35<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 129<br />
0, 210<br />
0, 181<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0 0<br />
0, 49 0, 480<br />
h q k 1 0, 9350 0, 8636 0, 8230<br />
k<br />
q<br />
8 16 <br />
k<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 106<br />
0, 171<br />
0, 219<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 103<br />
0, 167<br />
0, 219<br />
1<br />
C<br />
A <br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 103<br />
0, 167<br />
0, 219<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0, 504 0, 511<br />
0, 511<br />
h q k 0, 8013 0, 7979 0, 7979<br />
Das erwartete Prämienniveau stabilisiert sich bei 79, 79.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 19 von 61
Beispiel (8)<br />
Fragen:<br />
Unter welchen Bedingungen stabilisieren sich für jede Anfangsverteilung<br />
q die Wahrscheinlichkeitsverteilungen q k für k ?<br />
Unter welchen Bedingungen stabilisieren sich für jede Anfangsverteilung<br />
q die erwarteten Prämien h q k für k ?<br />
Wegen<br />
q k Q k q<br />
betreffen diese Fragen die Struktur der Übergangsmatrix Q.<br />
Wie ist die Übergangsmatrix zu bestimmen?<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 20 von 61
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 21 von 61
Stochastische Vektoren <strong>und</strong> Matrizen<br />
Ein Vektor q m heißt stochastischer Vektor, wenn 0 q <strong>und</strong> 1 q 1 gilt.<br />
Eine Matrix Q m¢m heißt stochastische Matrix, wenn für alle j 1, , m<br />
der j–te Spaltenvektor Qej von Q ein stochastischer Vektor ist.<br />
Lemma. Sei Q m¢m eine stochastische Matrix <strong>und</strong> sei q m ein<br />
stochastischer Vektor. Dann gilt:<br />
1 Q 1 .<br />
Qq ist ein stochastischer Vektor.<br />
Für alle k ist Q k eine stochastische Matrix.<br />
Für alle k ist Q k q ein stochastischer Vektor.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 22 von 61
Invarianz (1)<br />
Sei Q eine stochastische Matrix.<br />
Ein stochastischer Vektor q heißt invariant unter Q, wenn<br />
gilt.<br />
Qq q<br />
Lemma. Sei q ein stochastischer Vektor, für den die Folge Q k qk 0<br />
konvergent ist. Dann ist der stochastische Vektor<br />
invariant unter Q.<br />
q lim<br />
k Qk q<br />
Problem: Finde Bedingungen an Q, die die Existenz eines invarianten<br />
stochastischen Vektors gewährleisten.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 23 von 61
Invarianz (2)<br />
Der stochastische Vektor<br />
q 1<br />
671<br />
0<br />
B<br />
@<br />
69<br />
112<br />
147<br />
343<br />
1<br />
C<br />
A <br />
ist invariant unter der stochastischen Matrix<br />
Q <br />
0<br />
B<br />
@<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 103<br />
0, 167<br />
0, 219<br />
0, 511<br />
0, 3 0, 3 0, 1 0<br />
0, 7 0 0, 2 0, 1<br />
0 0, 7 0 0, 2<br />
0 0 0, 7 0, 7<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 24 von 61<br />
1<br />
C<br />
A<br />
1<br />
C<br />
A
Ergodizität (1)<br />
Eine stochastische Matrix Q heißt<br />
schwach ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit<br />
lim<br />
k Qk ej q<br />
für alle j 1, , m.<br />
(stark) ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit<br />
<strong>und</strong><br />
für alle i, j 1, , m.<br />
lim<br />
k Qk ej q<br />
qi e i q 0<br />
Die Einheitsmatrix ist nicht schwach ergodisch.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 25 von 61
Ergodizität (2)<br />
Lemma. Sei Q schwach ergodisch. Dann gibt es genau einen<br />
(unter Q invarianten) stochastischen Vektor q derart,<br />
dass für jeden stochastischen Vektor q<br />
<strong>und</strong><br />
gilt.<br />
lim<br />
k Qkq q<br />
n<br />
1 X1<br />
lim Q<br />
n n<br />
k0<br />
k q q<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 26 von 61
Ergodizität (3)<br />
Satz. Sei Q eine stochastische Matrix. Dann sind äquivalent:<br />
Q ist stark ergodisch.<br />
Es gibt ein k mit e i Qk ej 0 für alle i, j 1, , m.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 27 von 61
Ergodizität (4)<br />
Folgerung. Sei Q eine stochastische Matrix mit<br />
Dann ist Q stark ergodisch.<br />
Beispiel. Die stochastische Matrix<br />
ist stark ergodisch.<br />
q1,1 0<br />
qi,i1 0 für i 1, , m 1<br />
qi,i 1 0 für i 2, , m<br />
Q <br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 3 0, 3 0, 1 0<br />
0, 7 0 0, 2 0, 1<br />
0 0, 7 0 0, 2<br />
0 0 0, 7 0, 7<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 28 von 61<br />
1<br />
C<br />
A
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 29 von 61
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> (1)<br />
Sei M 1, , m eine endliche Menge <strong>und</strong> sei Ykk 0 eine Folge von<br />
Zufallsvariablen mit Werten in M. Wir bezeichnen M als Zustandsraum der<br />
Folge Ykk 0 .<br />
Die Verteilung von Yk ist durch die Wahrscheinlichkeiten<br />
q k<br />
i<br />
PYk i<br />
mit i M <strong>und</strong> damit durch den stochastischen Vektor<br />
q k <br />
0<br />
B<br />
@<br />
q k<br />
1<br />
.<br />
q k<br />
m<br />
bestimmt.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 30 von 61<br />
1<br />
C<br />
A
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> (2)<br />
Die Folge Ykk 0 heißt (homogene) <strong>Markov</strong>–Kette, wenn es<br />
eine stochastische Matrix Q m¢m <strong>und</strong><br />
einen stochastischen Vektor q m<br />
gibt derart, dass für alle n 0 <strong>und</strong> i0, i1, , in M<br />
P<br />
" n\<br />
k0<br />
Yk ik<br />
#<br />
<br />
nY<br />
k1<br />
gilt. In diesem Fall gilt q 0 q <strong>und</strong> wir nennen<br />
Q die Übergangsmatrix <strong>und</strong><br />
q die Anfangsverteilung<br />
der <strong>Markov</strong>–Kette Ykk 0 .<br />
qi k ,i k 1<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 31 von 61<br />
!<br />
qi 0
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> (3)<br />
Lemma. Sei Ykk 0 eine <strong>Markov</strong>–Kette mit Übergangsmatrix Q <strong>und</strong><br />
Anfangsverteilung q.<br />
Für alle k 0 gilt<br />
q k Q k q<br />
Insbesondere gilt q 0 q.<br />
Für alle k 0 <strong>und</strong> i, j M gilt<br />
PYk1 iYk j qi,j<br />
Für alle n 0 <strong>und</strong> i0, i1, , in, in1 M gilt<br />
"<br />
˛ n\<br />
#<br />
˛<br />
P Yn1 in1 ˛ Yk ik PYn1 in1Yn in<br />
˛<br />
k0<br />
(<strong>Markov</strong>–Eigenschaft).<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 32 von 61
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 33 von 61
Konstruktion (1)<br />
Zur Konstruktion eines <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Systems auf der Gr<strong>und</strong>lage von<br />
Schadenzahlen für einen homogenen Bestand betrachten wir<br />
eine Folge von Zufallsvariablen Nkk 0 mit Werten in 0,<br />
einen Zustandsraum M 1, , m mit m 2,<br />
eine Abbildung M ¢ 0 M <strong>und</strong><br />
eine Abbildung h M 0, .<br />
Wir interpretieren<br />
Nk als die zufällige Anzahl der Schäden im Jahr k,<br />
M als die Menge der möglichen <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Klassen <strong>und</strong><br />
hM als die Menge der möglichen Prämienniveaus<br />
<strong>und</strong> bezeichnen als Übergangsfunktion.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 34 von 61
Konstruktion (2)<br />
Wir betrachten ferner eine Zufallsvariable Y0 mit Werten in M <strong>und</strong> setzen für<br />
k <br />
Yk Yk 1, Nk 1<br />
Dann nimmt auch Yk mit k nur Werte in M an.<br />
Wir interpretieren<br />
Y0 als die zufällige Einstiegsklasse im Jahr 0,<br />
Yk mit k als die zufällige <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Klasse im Jahr k<br />
(die durch die <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Klasse Yk 1 <strong>und</strong> die der Anzahl der Schäden<br />
Nk 1 im Vorjahr bestimmt ist), <strong>und</strong><br />
hYk als das zufällige Prämienniveau im Jahr k<br />
(das durch die neue <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Klasse Yk bestimmt ist).<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 35 von 61
Verteilung der Schadenzahlen<br />
Wir nehmen an, dass die Folge Nkk 0<br />
unabhängig <strong>und</strong> identisch verteilt <strong>und</strong><br />
ist.<br />
unabhängig von Y0<br />
Für r 0 setzen wir<br />
Wir setzen ferner<br />
ENk <br />
pr PNk r<br />
X<br />
r PNk r <br />
r0<br />
X<br />
r pr<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 36 von 61<br />
r0
Notation<br />
Der Vektor q mit<br />
qi PY0 i<br />
ist ein stochastischer Vektor (Anfangsverteilung).<br />
Für alle r 0 ist die Matrix Qr mit<br />
q r<br />
j<br />
1 falls j, r i<br />
i,j<br />
<br />
0 sonst<br />
eine stochastische Matrix (Übergangsmatrix für den Fall von r Schäden).<br />
Wegen P r0 1 ist auch die Matrix<br />
Q <br />
X<br />
pr Q r<br />
r0<br />
eine stochastische Matrix (Übergangsmatrix).<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 37 von 61
Ergebnis<br />
Satz. Die Folge Ykk 0 ist eine <strong>Markov</strong>–Kette mit Übergangsmatrix Q <strong>und</strong><br />
Anfangsverteilung q.<br />
Aufgr<strong>und</strong> des Satzes ist für alle k 0 der Vektor<br />
ein stochastischer Vektor mit q k<br />
i<br />
q k<br />
Q k q<br />
PYk i für alle i M.<br />
Die Anfangsverteilung q <strong>und</strong> die Übergangsmatrix Q des <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong><br />
Systems ist damit aus den Eigenschaften des stochastischen Prozesses<br />
Nkk 0 abgeleitet.<br />
Im Hinblick auf die Konvergenz der erwarteten jährlichen Prämienniveaus<br />
bleibt die Ergodizität der Übergangsmatrix Q zu prüfen. Diese ist durch die<br />
Übergangsregel bestimmt.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 38 von 61
Beispiel (9)<br />
Wir betrachten ein <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> System mit vier Klassen.<br />
Der Wechsel der Klasse nach Ablauf eines Versicherungsjahres sei durch die<br />
folgenden Ein– <strong>und</strong> Umstufungsregeln bestimmt:<br />
Jeder Versicherungsnehmer wird zunächst in die Einstiegsklasse 2<br />
eingestuft.<br />
Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im<br />
folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in der höchsten<br />
Klasse 4).<br />
Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im<br />
folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in der<br />
niedrigsten Klasse 1).<br />
Meldet der Versicherungsnehmer zwei (oder mehr) Schäden, so wird er<br />
im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in die Klasse 1)<br />
eingestuft.<br />
Wir wählen also M 1, 2, 3, 4.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 39 von 61
Beispiel (10)<br />
Des weiteren sei die Verteilung der Anzahl der Schäden Nk im<br />
Versicherungsjahr k 0 durch<br />
gegeben. Dann gilt ENk 0, 4.<br />
r pr<br />
0 0,7<br />
1 0,2<br />
2 0,1<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Einstufungsregel für das Versicherungsjahr 0 setzen wir<br />
q2 PY0 2 1<br />
<strong>und</strong> erhalten damit die Anfangsverteilung<br />
q <br />
0<br />
B<br />
@<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A<br />
TU Dresden, 24.11.2011<br />
0<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 40 von 61
Beispiel (11)<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Umstufungsregel definieren wir die Übergangsfunktion<br />
M ¢ 0 M durch<br />
mit j M <strong>und</strong> erhalten zunächst<br />
j, 0 minj 1, 4<br />
j, 1 maxj 1, 1<br />
j, 2 maxj 2, 1<br />
Q 0 <br />
Q 1 <br />
0<br />
B<br />
@<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0 0 0 0<br />
1 0 0 0<br />
0 1 0 0<br />
0 0 1 1<br />
1 1 0 0<br />
0 0 1 0<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 0<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 41 von 61<br />
1<br />
C<br />
A<br />
1<br />
C<br />
A
Beispiel (12)<br />
Q 2 <br />
<strong>und</strong> sodann die Übergangsmatrix<br />
0<br />
B<br />
@<br />
1 1 1 0<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
1<br />
C<br />
A<br />
Q p0Q 0 p1Q 1 p2Q 2<br />
<br />
der <strong>Markov</strong>–Kette Ykk 0 .<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 3 0, 3 0, 1 0<br />
0, 7 0 0, 2 0, 1<br />
0 0, 7 0 0, 2<br />
0 0 0, 7 0, 7<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 42 von 61<br />
1<br />
C<br />
A
Beispiel (13)<br />
Darstellung der Daten im Standardtableau:<br />
Schadenzahl Klasse i Wahrscheinlichkeit<br />
r 1 2 3 4 pr<br />
0 2 3 4 4 0,7<br />
1 1 1 2 3 0,2<br />
2 1 1 1 2 0,1<br />
qi 0 1 0 0<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 43 von 61
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 44 von 61
Kollektives Modell<br />
Wir verfeinern nun unsere Annahmen an die Folge der Schadenzahlen<br />
Nkk 0 <strong>und</strong> beziehen die Schadenhöhen mit ein:<br />
Wir nehmen an,<br />
dass für jedes Jahr k 0 ein kollektives Modell<br />
Nk, Xk,ss<br />
vorliegt, also die Folge der Schadenhöhen Xk,ss unabhängig <strong>und</strong><br />
identisch verteilt <strong>und</strong> unabhängig von Nk ist,<br />
dass die kollektiven Modelle voneinander unabhängig sind,<br />
dass die Folge Nkk 0 identisch verteilt <strong>und</strong> unabhängig von Y0 ist, <strong>und</strong><br />
dass die Familie Xk,sk 0, s identisch verteilt ist.<br />
Wir setzen EN <strong>und</strong> EX .<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 45 von 61
Erwarteter Gesamtschaden<br />
Der Gesamtschaden in Jahr k 0 ist definiert als<br />
Sk <br />
N Xk<br />
Xk,s<br />
s1<br />
Für den erwarteten Gesamtschaden gilt dann<br />
ESk EN EX <br />
Wir können daher zur Vereinfachung annehmen, dass die erwarteten<br />
Schadenhöhen alle gleich 1 sind 1, <strong>und</strong> erhalten<br />
ESk <br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 46 von 61
Erwartete Prämie (1)<br />
Wir bezeichnen die noch zu bestimmende Gr<strong>und</strong>prämie pro Jahr mit<br />
Aufgr<strong>und</strong> des zufälligen Prämienniveaus<br />
ist auch die Prämie<br />
<br />
hYk <br />
Zk hYk <br />
im Versicherungsjahr k 0 zufällig. Für die erwartete Prämie gilt<br />
EZk E hYk EhYk <br />
mX<br />
hi PYk i<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 47 von 61<br />
i1
Erwartete Prämie (2)<br />
Mit<br />
h <br />
ergibt sich aus der letzten Gleichung<br />
EZk <br />
0<br />
B<br />
@<br />
h1<br />
.<br />
hm<br />
1<br />
C<br />
A<br />
mX<br />
hi PYk i h q k h Q k q<br />
i1<br />
Problem: Bestimme die Gr<strong>und</strong>prämie in Abhängigkeit von der Laufzeit des<br />
Versicherungsvertrages.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 48 von 61
Äquivalenzprinzip für ein einzelnes Jahr<br />
Das Äquivalenzprinzip für Jahr k 0 besteht in der Forderung<br />
Für die Gr<strong>und</strong>prämie gilt daher<br />
<strong>und</strong> damit<br />
EZk ESk <br />
h Q k q <br />
h Q k q 1<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 49 von 61
Äquivalenzprinzip für mehrere Jahre (1)<br />
Das Äquivalenzprinzip auf der Basis der ersten n Jahre besteht in der<br />
Forderung<br />
n X1<br />
EZk <br />
k0<br />
n X1<br />
ESk <br />
Für die Gr<strong>und</strong>prämie n auf der Basis der ersten n Jahre gilt daher<br />
<strong>und</strong> damit<br />
n<br />
n X1<br />
h Q k q <br />
k0<br />
k0<br />
n X1<br />
n h Q k q n <br />
k0<br />
n n<br />
1 X1<br />
h<br />
n<br />
k0<br />
Q k ! 1<br />
q<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 50 von 61
Äquivalenzprinzip für mehrere Jahre (2)<br />
Spezialfälle:<br />
Ist q invariant unter Q, so gilt Q k q q <strong>und</strong> damit<br />
n <br />
<br />
h q<br />
für alle n 0.<br />
Ist Q schwach ergodisch <strong>und</strong> q invariant unter Q, so gilt<br />
lim<br />
n n <br />
Daher kann in diesem Fall für einen hinreichend langen<br />
Planungshorizont n 0 die Gr<strong>und</strong>prämie n näherungsweise durch<br />
/ h q bestimmt werden.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 51 von 61<br />
<br />
h q
Beispiel (14)<br />
Mit q q gilt<br />
k<br />
q<br />
0 1 2 4<br />
k<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 3<br />
0<br />
0, 7<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 16<br />
0, 35<br />
0<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 129<br />
0, 210<br />
0, 181<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0 0<br />
0, 49 0, 480<br />
h q k 1 0, 9350 0, 8636 0, 8230<br />
k<br />
q<br />
8 16 <br />
k<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 106<br />
0, 171<br />
0, 219<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 103<br />
0, 167<br />
0, 219<br />
1<br />
C<br />
A <br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 103<br />
0, 167<br />
0, 219<br />
1<br />
C<br />
A<br />
0, 504 0, 511<br />
0, 511<br />
h q k 0, 8013 0, 7979 0, 7979<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 52 von 61
Beispiel (15)<br />
Außerdem gilt<br />
0, 4<br />
Für die Gr<strong>und</strong>prämien n <strong>und</strong> die asymptotische Gr<strong>und</strong>prämie<br />
ergibt sich daraus<br />
<br />
lim<br />
n n / h q<br />
n 1 2 3 5<br />
n 0, 4000 0, 4134 0, 4288 0, 4477<br />
n 9 17 . . . <br />
n 0, 4679 0, 4825 0, 5013<br />
Die Approximation ist nicht besonders gut.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 53 von 61
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 54 von 61
Beispiel (14)<br />
Wir wenden das bisher betrachtete <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> System auf einen Bestand<br />
mit zwei Arten von Risiken an, die sich in der Schadenneigung unterscheiden.<br />
Der Bestand ist also inhomogen.<br />
Für die Risiken vom Typ A bzw. B sei die Verteilung der Anzahl der Schäden Nk<br />
im Versicherungsjahr k 0 durch<br />
r pr<br />
0 0,7<br />
1 0,2<br />
2 0,1<br />
bzw.<br />
r pr<br />
0 0,5<br />
1 0,3<br />
2 0,2<br />
gegeben. Die erwartete Anzahl der Schäden ist dann<br />
0, 4 bzw. 0, 7<br />
Daher besitzen die Risiken vom Typ A eine geringere Schadenneigung als die<br />
Risiken vom Typ B.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 55 von 61
Beispiel (15)<br />
Die unterschiedlichen Verteilungen der Anzahl der Schäden führen auf<br />
unterschiedliche Standardtableaus<br />
r 1 2 3 4 pr<br />
0 2 3 4 4 0,7<br />
1 1 1 2 3 0,2<br />
2 1 1 1 2 0,1<br />
qi 0 1 0 0<br />
bzw.<br />
<strong>und</strong> damit auf unterschiedliche Übergangsmatrizen<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 3 0, 3 0, 1 0<br />
0, 7 0 0, 2 0, 1<br />
0 0, 7 0 0, 2<br />
0 0 0, 7 0, 7<br />
1<br />
C<br />
A bzw.<br />
r 1 2 3 4 pr<br />
0 2 3 4 4 0,5<br />
1 1 1 2 3 0,3<br />
2 1 1 1 2 0,2<br />
qi 0 1 0 0<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 5 0, 5 0, 2 0<br />
0, 5 0 0, 3 0, 2<br />
0 0, 5 0 0, 3<br />
0 0 0, 5 0, 5<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 56 von 61<br />
1<br />
C<br />
A
Beispiel (15)<br />
mit unterschiedlichen invarianten stochastischen Vektoren<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 103<br />
0, 167<br />
0, 219<br />
0, 511<br />
1<br />
C<br />
A bzw.<br />
0<br />
B<br />
@<br />
0, 3462<br />
0, 2692<br />
0, 1923<br />
0, 1923<br />
<strong>und</strong> unterschiedlichen asymptotischen Prämienniveaus<br />
Daher ergeben sich mit<br />
0, 7979 bzw. 0, 9788<br />
0, 5013 bzw. 0, 7251<br />
auch unterschiedliche asymptotische Gr<strong>und</strong>prämien für die Risiken vom Typ A<br />
bzw. B.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 57 von 61<br />
1<br />
C<br />
A
Beispiel (16)<br />
Von einem Risiko ist im allgemeinen nicht bekannt, ob es ein Risiko vom Typ A<br />
oder ein Risiko vom Typ B ist.<br />
Daher muss eine einheitliche Gr<strong>und</strong>prämie für alle Risiken des Bestandes<br />
bestimmt werden. Dies geschieht natürlicherweise durch die Wahl der<br />
Gr<strong>und</strong>prämie<br />
A A B B<br />
wobei<br />
A bzw. B<br />
mit A, B 0, 1 <strong>und</strong> A B 1 den Anteil <strong>und</strong><br />
A bzw. B<br />
die Gr<strong>und</strong>prämie der Risiken vom Typ A bzw. B bezeichnet.<br />
Auch die Anteile der Risiken vom Typ A bzw. B sind im allgemeinen nicht<br />
bekannt <strong>und</strong> müssen geschätzt werden.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 58 von 61
Übersicht<br />
Prolog: Internet–Portale<br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Ein Beispiel<br />
Invarianz <strong>und</strong> Ergodizität<br />
<strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong><br />
<strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong>: Anfangsverteilung <strong>und</strong> Übergangsmatrix<br />
Kalkulation der Gr<strong>und</strong>prämie<br />
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand<br />
Probleme<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 59 von 61
Probleme<br />
Die Konstruktion eines <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> Systems wirft zahlreiche Probleme auf:<br />
Wahl der Anzahl der Klassen.<br />
Wahl der Übergangsregel.<br />
Wahl der Prämienniveaus der einzelnen Klassen.<br />
Wahl des Planungshorizontes.<br />
Darüber hinaus ergeben sich Probleme der Statistik:<br />
Überprüfung der Unabhängigkeitsannahmen.<br />
Schätzung der Verteilung der Schadenzahlen.<br />
Schätzung der Verteilung der Schadenhöhen.<br />
Schätzung der Anteile der unterschiedlichen Arten von Risiken in einem<br />
inhomogenen Bestand.<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 60 von 61
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!<br />
TU Dresden, 24.11.2011 <strong>Bonus</strong>–<strong>Malus</strong> <strong>Systeme</strong> <strong>und</strong> <strong>Markov</strong>–<strong>Ketten</strong> Folie 61 von 61