Bonus--Malus Systeme und Markov--Ketten - Fachrichtung Mathematik

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik
BONUS–MALUS SYSTEME UND
MARKOV–KETTEN
Klaus D. Schmidt
Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN, 24.11.2011

Übersicht
Prolog: Internet–Portale
Bonus–Malus Systeme: Ein Beispiel
Invarianz und Ergodizität
Markov–Ketten
Bonus–Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix
Kalkulation der Grundprämie
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand
Probleme
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Markov–Ketten
Bonus–Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix
Kalkulation der Grundprämie
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand
Probleme
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Prolog: Internet–Portale
Internet–Portale liefern im allgemeinen
einen Vergleich von Prämien für das nächste Jahr,
aber
keinen Vergleich von Prämien für spätere Jahre und
keinen Vergleich von Versicherungsleistungen.
Die Prämien für spätere Jahre hängen von den zukünftigen Schadenzahlen und
damit von dem verwendeten Bonus–Malus System ab.
Bei Verwendung eines Bonus–Malus Systems
verringert sich die Prämie für das Folgejahr bei einem schadenfreien
aktuellen Jahr und
erhöht sich die Prämie für das Folgejahr in Abhängigkeit von der Anzahl
der Schäden im aktuellen Jahr.
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Markov–Ketten
Bonus–Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix
Kalkulation der Grundprämie
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand
Probleme
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Beispiel (1)
Wir betrachten ein Bonus–Malus System mit vier Klassen i 1, 2, 3, 4 und
den zugehörigen Prämienniveaus hi bezüglich einer Grundprämie :
Klasse i Prämienniveau hi
1 125%
2 100%
3 80%
4 64%
Interpretation der Klassen des Bonus–Malus Systems:
Klasse 1: Malus Klasse
Klasse 2: Einstiegsklasse
Klassen 3 und 4: Bonus Klassen
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Beispiel (2)
Für das Bonus–Malus System sollen die folgenden Einstufungs– und
Übergangsregeln gelten:
Jeder neue Versicherungsnehmer wird in die Einstiegsklasse 2
eingestuft.
Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im
folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in Klasse 4).
Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im
folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in Klasse 1).
Meldet der Versicherungsnehmer mindestens zwei Schäden, so wird er
im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in Klasse 1) eingestuft.
Möglicher Verlauf eines Versicherungsvertrages:
Jahr 0 1 2 3 4 5
Klasse 2 3 1 2 3 4
Schäden 0 2 0 0 0 . . .
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Beispiel (3)
Mögliche Übergänge:
neue alte Klasse
Klasse 1 2 3 4
1
2
3
4
Die Übergangswahrscheinlichkeiten von einer alten zu einer neuen Klasse
werden durch eine Übergangsmatrix
Q
0
B
@
0, 3
0, 7
0
0, 3
0
0, 7
0, 1
0, 2
0
0
0, 1
0, 2
1
C
A
0 0 0, 7 0, 7
beschrieben (deren Koordinaten noch zu begründen sind).
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Beispiel (4)
Die Einstufungsregel wird durch eine Anfangsverteilung q
q
dargestellt (Einstufung eines neuen Versicherungsnehmers in die
Einstiegsklasse 2).
0
B
@
Die Koordinaten der Übergangsmatrix Q qi,j i,j1,2,3,4 und der
Anfangsverteilung q qi i1,2,3,4 werden wie folgt interpretiert:
qi ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neuer Versicherungsnehmer
sich bei Beginn des Vertrages in der Klasse i befindet.
qi,j ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherungsnehmer nach
Ablauf eines Versicherungsjahres von Klasse j nach Klasse i wechselt.
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0
1
0
0
1
C
A

Beispiel (5)
Im Jahr k 0, 1, 2, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die Klassen
1, 2, 3, 4 durch den Vektor
q k
Q k q
Es gilt 1qk P4 i1 qk
i
1.
Dabei bezeichnet
der Vektor 1 die Summe der Einheitsvektoren ei und
die Matrix Q k die k–te Potenz der Matrix Q mit Q 0 I,
wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet
(deren Spaltenvektoren die Einheitsvektoren sind).
Interpretation der Koordinaten von q k analog zu der der Koordinaten von
q 0 q
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Beispiel (6)
Desweiteren ist die Prämienstruktur des Bonus–Malus Systems durch den
Vektor
h
0
B
@
1, 25
1, 00
0, 80
0, 64
1
C
A
gegeben.
Daraus ergibt sich für das erwartete Prämienniveau im Jahr k 0, 1, 2,
und damit
h q k
4X
i1
hiq k
i
h q k h Q k q
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Beispiel (7)
k
q
0 1 2 4
k
0
B
@
0
1
0
1
C
A
0
B
@
0, 3
0
0, 7
1
C
A
0
B
@
0, 16
0, 35
0
1
C
A
0
B
@
0, 129
0, 210
0, 181
1
C
A
0 0
0, 49 0, 480
h q k 1 0, 9350 0, 8636 0, 8230
k
q
8 16
k
0
B
@
0, 106
0, 171
0, 219
1
C
A
0
B
@
0, 103
0, 167
0, 219
1
C
A
0
B
@
0, 103
0, 167
0, 219
1
C
A
0, 504 0, 511
0, 511
h q k 0, 8013 0, 7979 0, 7979
Das erwartete Prämienniveau stabilisiert sich bei 79, 79.
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Beispiel (8)
Fragen:
Unter welchen Bedingungen stabilisieren sich für jede Anfangsverteilung
q die Wahrscheinlichkeitsverteilungen q k für k ?
Unter welchen Bedingungen stabilisieren sich für jede Anfangsverteilung
q die erwarteten Prämien h q k für k ?
Wegen
q k Q k q
betreffen diese Fragen die Struktur der Übergangsmatrix Q.
Wie ist die Übergangsmatrix zu bestimmen?
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Invarianz und Ergodizität
Markov–Ketten
Bonus–Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix
Kalkulation der Grundprämie
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand
Probleme
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Stochastische Vektoren und Matrizen
Ein Vektor q m heißt stochastischer Vektor, wenn 0 q und 1 q 1 gilt.
Eine Matrix Q m¢m heißt stochastische Matrix, wenn für alle j 1, , m
der j–te Spaltenvektor Qej von Q ein stochastischer Vektor ist.
Lemma. Sei Q m¢m eine stochastische Matrix und sei q m ein
stochastischer Vektor. Dann gilt:
1 Q 1 .
Qq ist ein stochastischer Vektor.
Für alle k ist Q k eine stochastische Matrix.
Für alle k ist Q k q ein stochastischer Vektor.
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Invarianz (1)
Sei Q eine stochastische Matrix.
Ein stochastischer Vektor q heißt invariant unter Q, wenn
gilt.
Qq q
Lemma. Sei q ein stochastischer Vektor, für den die Folge Q k qk 0
konvergent ist. Dann ist der stochastische Vektor
invariant unter Q.
q lim
k Qk q
Problem: Finde Bedingungen an Q, die die Existenz eines invarianten
stochastischen Vektors gewährleisten.
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Invarianz (2)
Der stochastische Vektor
q 1
671
0
B
@
69
112
147
343
1
C
A
ist invariant unter der stochastischen Matrix
Q
0
B
@
0
B
@
0, 103
0, 167
0, 219
0, 511
0, 3 0, 3 0, 1 0
0, 7 0 0, 2 0, 1
0 0, 7 0 0, 2
0 0 0, 7 0, 7
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1
C
A
1
C
A

Ergodizität (1)
Eine stochastische Matrix Q heißt
schwach ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit
lim
k Qk ej q
für alle j 1, , m.
(stark) ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit
und
für alle i, j 1, , m.
lim
k Qk ej q
qi e i q 0
Die Einheitsmatrix ist nicht schwach ergodisch.
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Ergodizität (2)
Lemma. Sei Q schwach ergodisch. Dann gibt es genau einen
(unter Q invarianten) stochastischen Vektor q derart,
dass für jeden stochastischen Vektor q
und
gilt.
lim
k Qkq q
n
1 X1
lim Q
n n
k0
k q q
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Ergodizität (3)
Satz. Sei Q eine stochastische Matrix. Dann sind äquivalent:
Q ist stark ergodisch.
Es gibt ein k mit e i Qk ej 0 für alle i, j 1, , m.
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Ergodizität (4)
Folgerung. Sei Q eine stochastische Matrix mit
Dann ist Q stark ergodisch.
Beispiel. Die stochastische Matrix
ist stark ergodisch.
q1,1 0
qi,i1 0 für i 1, , m 1
qi,i 1 0 für i 2, , m
Q
0
B
@
0, 3 0, 3 0, 1 0
0, 7 0 0, 2 0, 1
0 0, 7 0 0, 2
0 0 0, 7 0, 7
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1
C
A

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Markov–Ketten
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Kalkulation der Grundprämie
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand
Probleme
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Markov–Ketten (1)
Sei M 1, , m eine endliche Menge und sei Ykk 0 eine Folge von
Zufallsvariablen mit Werten in M. Wir bezeichnen M als Zustandsraum der
Folge Ykk 0 .
Die Verteilung von Yk ist durch die Wahrscheinlichkeiten
q k
i
PYk i
mit i M und damit durch den stochastischen Vektor
q k
0
B
@
q k
1
.
q k
m
bestimmt.
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1
C
A

Markov–Ketten (2)
Die Folge Ykk 0 heißt (homogene) Markov–Kette, wenn es
eine stochastische Matrix Q m¢m und
einen stochastischen Vektor q m
gibt derart, dass für alle n 0 und i0, i1, , in M
P
" n\
k0
Yk ik
#
nY
k1
gilt. In diesem Fall gilt q 0 q und wir nennen
Q die Übergangsmatrix und
q die Anfangsverteilung
der Markov–Kette Ykk 0 .
qi k ,i k 1
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!
qi 0

Markov–Ketten (3)
Lemma. Sei Ykk 0 eine Markov–Kette mit Übergangsmatrix Q und
Anfangsverteilung q.
Für alle k 0 gilt
q k Q k q
Insbesondere gilt q 0 q.
Für alle k 0 und i, j M gilt
PYk1 iYk j qi,j
Für alle n 0 und i0, i1, , in, in1 M gilt
"
˛ n\
#
˛
P Yn1 in1 ˛ Yk ik PYn1 in1Yn in
˛
k0
(Markov–Eigenschaft).
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Konstruktion (1)
Zur Konstruktion eines Bonus–Malus Systems auf der Grundlage von
Schadenzahlen für einen homogenen Bestand betrachten wir
eine Folge von Zufallsvariablen Nkk 0 mit Werten in 0,
einen Zustandsraum M 1, , m mit m 2,
eine Abbildung M ¢ 0 M und
eine Abbildung h M 0, .
Wir interpretieren
Nk als die zufällige Anzahl der Schäden im Jahr k,
M als die Menge der möglichen Bonus–Malus Klassen und
hM als die Menge der möglichen Prämienniveaus
und bezeichnen als Übergangsfunktion.
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Konstruktion (2)
Wir betrachten ferner eine Zufallsvariable Y0 mit Werten in M und setzen für
k
Yk Yk 1, Nk 1
Dann nimmt auch Yk mit k nur Werte in M an.
Wir interpretieren
Y0 als die zufällige Einstiegsklasse im Jahr 0,
Yk mit k als die zufällige Bonus–Malus Klasse im Jahr k
(die durch die Bonus–Malus Klasse Yk 1 und die der Anzahl der Schäden
Nk 1 im Vorjahr bestimmt ist), und
hYk als das zufällige Prämienniveau im Jahr k
(das durch die neue Bonus–Malus Klasse Yk bestimmt ist).
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Verteilung der Schadenzahlen
Wir nehmen an, dass die Folge Nkk 0
unabhängig und identisch verteilt und
ist.
unabhängig von Y0
Für r 0 setzen wir
Wir setzen ferner
ENk
pr PNk r
X
r PNk r
r0
X
r pr
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r0

Notation
Der Vektor q mit
qi PY0 i
ist ein stochastischer Vektor (Anfangsverteilung).
Für alle r 0 ist die Matrix Qr mit
q r
j
1 falls j, r i
i,j
0 sonst
eine stochastische Matrix (Übergangsmatrix für den Fall von r Schäden).
Wegen P r0 1 ist auch die Matrix
Q
X
pr Q r
r0
eine stochastische Matrix (Übergangsmatrix).
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Ergebnis
Satz. Die Folge Ykk 0 ist eine Markov–Kette mit Übergangsmatrix Q und
Anfangsverteilung q.
Aufgrund des Satzes ist für alle k 0 der Vektor
ein stochastischer Vektor mit q k
i
q k
Q k q
PYk i für alle i M.
Die Anfangsverteilung q und die Übergangsmatrix Q des Bonus–Malus
Systems ist damit aus den Eigenschaften des stochastischen Prozesses
Nkk 0 abgeleitet.
Im Hinblick auf die Konvergenz der erwarteten jährlichen Prämienniveaus
bleibt die Ergodizität der Übergangsmatrix Q zu prüfen. Diese ist durch die
Übergangsregel bestimmt.
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Beispiel (9)
Wir betrachten ein Bonus–Malus System mit vier Klassen.
Der Wechsel der Klasse nach Ablauf eines Versicherungsjahres sei durch die
folgenden Ein– und Umstufungsregeln bestimmt:
Jeder Versicherungsnehmer wird zunächst in die Einstiegsklasse 2
eingestuft.
Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im
folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in der höchsten
Klasse 4).
Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im
folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in der
niedrigsten Klasse 1).
Meldet der Versicherungsnehmer zwei (oder mehr) Schäden, so wird er
im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in die Klasse 1)
eingestuft.
Wir wählen also M 1, 2, 3, 4.
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Beispiel (10)
Des weiteren sei die Verteilung der Anzahl der Schäden Nk im
Versicherungsjahr k 0 durch
gegeben. Dann gilt ENk 0, 4.
r pr
0 0,7
1 0,2
2 0,1
Aufgrund der Einstufungsregel für das Versicherungsjahr 0 setzen wir
q2 PY0 2 1
und erhalten damit die Anfangsverteilung
q
0
B
@
0
1
0
1
C
A
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0
Bonus–Malus Systeme und Markov–Ketten Folie 40 von 61

Beispiel (11)
Aufgrund der Umstufungsregel definieren wir die Übergangsfunktion
M ¢ 0 M durch
mit j M und erhalten zunächst
j, 0 minj 1, 4
j, 1 maxj 1, 1
j, 2 maxj 2, 1
Q 0
Q 1
0
B
@
0
B
@
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
TU Dresden, 24.11.2011 Bonus–Malus Systeme und Markov–Ketten Folie 41 von 61
1
C
A
1
C
A

Beispiel (12)
Q 2
und sodann die Übergangsmatrix
0
B
@
1 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1
C
A
Q p0Q 0 p1Q 1 p2Q 2
der Markov–Kette Ykk 0 .
0
B
@
0, 3 0, 3 0, 1 0
0, 7 0 0, 2 0, 1
0 0, 7 0 0, 2
0 0 0, 7 0, 7
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1
C
A

Beispiel (13)
Darstellung der Daten im Standardtableau:
Schadenzahl Klasse i Wahrscheinlichkeit
r 1 2 3 4 pr
0 2 3 4 4 0,7
1 1 1 2 3 0,2
2 1 1 1 2 0,1
qi 0 1 0 0
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Kollektives Modell
Wir verfeinern nun unsere Annahmen an die Folge der Schadenzahlen
Nkk 0 und beziehen die Schadenhöhen mit ein:
Wir nehmen an,
dass für jedes Jahr k 0 ein kollektives Modell
Nk, Xk,ss
vorliegt, also die Folge der Schadenhöhen Xk,ss unabhängig und
identisch verteilt und unabhängig von Nk ist,
dass die kollektiven Modelle voneinander unabhängig sind,
dass die Folge Nkk 0 identisch verteilt und unabhängig von Y0 ist, und
dass die Familie Xk,sk 0, s identisch verteilt ist.
Wir setzen EN und EX .
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Erwarteter Gesamtschaden
Der Gesamtschaden in Jahr k 0 ist definiert als
Sk
N Xk
Xk,s
s1
Für den erwarteten Gesamtschaden gilt dann
ESk EN EX
Wir können daher zur Vereinfachung annehmen, dass die erwarteten
Schadenhöhen alle gleich 1 sind 1, und erhalten
ESk
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Erwartete Prämie (1)
Wir bezeichnen die noch zu bestimmende Grundprämie pro Jahr mit
Aufgrund des zufälligen Prämienniveaus
ist auch die Prämie
hYk
Zk hYk
im Versicherungsjahr k 0 zufällig. Für die erwartete Prämie gilt
EZk E hYk EhYk
mX
hi PYk i
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i1

Erwartete Prämie (2)
Mit
h
ergibt sich aus der letzten Gleichung
EZk
0
B
@
h1
.
hm
1
C
A
mX
hi PYk i h q k h Q k q
i1
Problem: Bestimme die Grundprämie in Abhängigkeit von der Laufzeit des
Versicherungsvertrages.
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Äquivalenzprinzip für ein einzelnes Jahr
Das Äquivalenzprinzip für Jahr k 0 besteht in der Forderung
Für die Grundprämie gilt daher
und damit
EZk ESk
h Q k q
h Q k q 1
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Äquivalenzprinzip für mehrere Jahre (1)
Das Äquivalenzprinzip auf der Basis der ersten n Jahre besteht in der
Forderung
n X1
EZk
k0
n X1
ESk
Für die Grundprämie n auf der Basis der ersten n Jahre gilt daher
und damit
n
n X1
h Q k q
k0
k0
n X1
n h Q k q n
k0
n n
1 X1
h
n
k0
Q k ! 1
q
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Äquivalenzprinzip für mehrere Jahre (2)
Spezialfälle:
Ist q invariant unter Q, so gilt Q k q q und damit
n
h q
für alle n 0.
Ist Q schwach ergodisch und q invariant unter Q, so gilt
lim
n n
Daher kann in diesem Fall für einen hinreichend langen
Planungshorizont n 0 die Grundprämie n näherungsweise durch
/ h q bestimmt werden.
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h q

Beispiel (14)
Mit q q gilt
k
q
0 1 2 4
k
0
B
@
0
1
0
1
C
A
0
B
@
0, 3
0
0, 7
1
C
A
0
B
@
0, 16
0, 35
0
1
C
A
0
B
@
0, 129
0, 210
0, 181
1
C
A
0 0
0, 49 0, 480
h q k 1 0, 9350 0, 8636 0, 8230
k
q
8 16
k
0
B
@
0, 106
0, 171
0, 219
1
C
A
0
B
@
0, 103
0, 167
0, 219
1
C
A
0
B
@
0, 103
0, 167
0, 219
1
C
A
0, 504 0, 511
0, 511
h q k 0, 8013 0, 7979 0, 7979
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Beispiel (15)
Außerdem gilt
0, 4
Für die Grundprämien n und die asymptotische Grundprämie
ergibt sich daraus
lim
n n / h q
n 1 2 3 5
n 0, 4000 0, 4134 0, 4288 0, 4477
n 9 17 . . .
n 0, 4679 0, 4825 0, 5013
Die Approximation ist nicht besonders gut.
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Übersicht
Prolog: Internet–Portale
Bonus–Malus Systeme: Ein Beispiel
Invarianz und Ergodizität
Markov–Ketten
Bonus–Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix
Kalkulation der Grundprämie
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand
Probleme
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Beispiel (14)
Wir wenden das bisher betrachtete Bonus–Malus System auf einen Bestand
mit zwei Arten von Risiken an, die sich in der Schadenneigung unterscheiden.
Der Bestand ist also inhomogen.
Für die Risiken vom Typ A bzw. B sei die Verteilung der Anzahl der Schäden Nk
im Versicherungsjahr k 0 durch
r pr
0 0,7
1 0,2
2 0,1
bzw.
r pr
0 0,5
1 0,3
2 0,2
gegeben. Die erwartete Anzahl der Schäden ist dann
0, 4 bzw. 0, 7
Daher besitzen die Risiken vom Typ A eine geringere Schadenneigung als die
Risiken vom Typ B.
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Beispiel (15)
Die unterschiedlichen Verteilungen der Anzahl der Schäden führen auf
unterschiedliche Standardtableaus
r 1 2 3 4 pr
0 2 3 4 4 0,7
1 1 1 2 3 0,2
2 1 1 1 2 0,1
qi 0 1 0 0
bzw.
und damit auf unterschiedliche Übergangsmatrizen
0
B
@
0, 3 0, 3 0, 1 0
0, 7 0 0, 2 0, 1
0 0, 7 0 0, 2
0 0 0, 7 0, 7
1
C
A bzw.
r 1 2 3 4 pr
0 2 3 4 4 0,5
1 1 1 2 3 0,3
2 1 1 1 2 0,2
qi 0 1 0 0
0
B
@
0, 5 0, 5 0, 2 0
0, 5 0 0, 3 0, 2
0 0, 5 0 0, 3
0 0 0, 5 0, 5
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1
C
A

Beispiel (15)
mit unterschiedlichen invarianten stochastischen Vektoren
0
B
@
0, 103
0, 167
0, 219
0, 511
1
C
A bzw.
0
B
@
0, 3462
0, 2692
0, 1923
0, 1923
und unterschiedlichen asymptotischen Prämienniveaus
Daher ergeben sich mit
0, 7979 bzw. 0, 9788
0, 5013 bzw. 0, 7251
auch unterschiedliche asymptotische Grundprämien für die Risiken vom Typ A
bzw. B.
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1
C
A

Beispiel (16)
Von einem Risiko ist im allgemeinen nicht bekannt, ob es ein Risiko vom Typ A
oder ein Risiko vom Typ B ist.
Daher muss eine einheitliche Grundprämie für alle Risiken des Bestandes
bestimmt werden. Dies geschieht natürlicherweise durch die Wahl der
Grundprämie
A A B B
wobei
A bzw. B
mit A, B 0, 1 und A B 1 den Anteil und
A bzw. B
die Grundprämie der Risiken vom Typ A bzw. B bezeichnet.
Auch die Anteile der Risiken vom Typ A bzw. B sind im allgemeinen nicht
bekannt und müssen geschätzt werden.
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Übersicht
Prolog: Internet–Portale
Bonus–Malus Systeme: Ein Beispiel
Invarianz und Ergodizität
Markov–Ketten
Bonus–Malus Systeme: Anfangsverteilung und Übergangsmatrix
Kalkulation der Grundprämie
Anwendung auf einen inhomogenen Bestand
Probleme
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Probleme
Die Konstruktion eines Bonus–Malus Systems wirft zahlreiche Probleme auf:
Wahl der Anzahl der Klassen.
Wahl der Übergangsregel.
Wahl der Prämienniveaus der einzelnen Klassen.
Wahl des Planungshorizontes.
Darüber hinaus ergeben sich Probleme der Statistik:
Überprüfung der Unabhängigkeitsannahmen.
Schätzung der Verteilung der Schadenzahlen.
Schätzung der Verteilung der Schadenhöhen.
Schätzung der Anteile der unterschiedlichen Arten von Risiken in einem
inhomogenen Bestand.
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
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