Einfache Beispielrechnung zur Kühlerdimensionierung - Thermalforce

Einfache Beispielrechnung zur Dimensionierung einer Kühlung von
Thermogeneratoren/TEG.
Beispiel: 80 Watt Wärme sollen auf der Kaltseite eines TEG abgeführt werden und die
Kaltseitentemperatur des Thermogenerators soll nicht mehr als 25°C über
Raumtemperatur liegen.
Bevor ein Kühlkörper gewählt wird, sollte berechnet werden, welchen Wärmewiderstand
er haben muss, um die gewünschte Kaltseitentemperatur des TEG nicht zu überschreiten.
Also haben wir im Folgenden eine vereinfachte Kühlerdimensionierung vorgenommen:
1. mit Heatpipes
2. mit einfachem passiven Kühlkörper
3. mit Lüfter auf dem Kühlkörper.
Der Widerstand von der Oberfläche des Thermogenerators zum Kopplerblock (Passung)
und vom Kopplerblock auf die Heatpipe usw. ist analog zur Elektrotechnik eine
Reihenschaltung von Widerständen. Hierbei werden die einzelnen Widerstände zum
Gesamtwiderstand addiert.
Die Heatpipe soll mit Kopplerelementen aus Kupfer an beiden Enden montiert werden.
Die beiden Kupferpassungen mit Übergang zur Heatpipe haben einen Wärmewiderstand
von je 0,05K/W.
Der Wärmewiderstand einer guten 8 mm Heatpipe beträgt etwa 0,1K/W.
Das heißt, die Summe der Wärmewiderstände beträgt: 0,05 K/W +0,1 K/W+0,05 K/W=
0,20 K/W Gesamtwiderstand des Übergangs vom Kopplerelement auf die Heatpipe.
d.h. die Kaltseite des Thermogenerators erwärmt sich um ΔT = 80 Watt x 0,20 K/W = 16
°C beim Durchgang des Wärmestroms.
Um die Forderung einzuhalten, max. 25K Erwärmung über Raumtemperatur zuzulassen,
darf der Gesamtwiderstand jetzt mit dem Widerstand des an den Enden der Heatpipe
angebrachten Kühlkörpers betragen:
Rges= 25K/80Watt= 0,31K/W
davon sind verbraucht 0,20K/W, verbleiben also 0,11K/W für den Kühlkörper.
Jeder Kühlkörper, der einen Wärmewiderstand gleich oder kleiner 0,11K/W hat, kühlt den
TEG auf max.25°C über Raumtemperatur.
Ein solcher passiver Kühlkörper mit einem Rth von 0,11 hätte die Maße: 1000 mm Höhe,
500 mm Breite und 40 mm Dicke und würde über 20kg wiegen.
Das ist natürlich nicht praktikabel. Also müssen wir neu rechnen.
Aus der Formel: Rth=L/ x A
ist zu ersehen, dass bei Vergrößerung der Durchgangsfläche A für den Wärmestrom der
Widerstand kleiner wird. Dies könnte dadurch erreicht werden, dass anstelle von nur
einer, 4 Heatpipes mit 4 Wärmeübergängen parallel betrieben werden.
Bei Reihenschaltung werden die Wärmewiderstände addiert, bei Parallelschaltung werden
die Wärmeleitwerte addiert. Der Wärmeleitwert ist der Kehrwert vom Wärmewiderstand.
Wärmeleitwert=1/Rth
Für die 2 Passungen (Kopplerblöcke) mit Heatpipe gilt :
Wärmeleitwert= Kehrwert vom Wärmewiderstand= 1/0,2 K/W = 5 W/K
Wärmeleitwert für 4 Heatpipes mit Passungen =5+5+5+5=20W/K
Um zum Wärmewiderstand zurückzukommen wird wieder der Kehrwert gebildet, also
1/20 W/K = 0,05 K/W

Jetzt verbleiben für den Kühlkörper :
0,31 K/W - 0,05K/W = 0,26 K/W.
Wir müssen also nur noch einen Kühlkörper mit einem Rth von 0,26 K/W besorgen.
Dies entspricht etwa einem Kühlkörper mit den Maßen 400 mm x 400 mm x 40 mm.
Nehmen wir Beispielsweise den Kühlkörper SK 130 von Fischerelektronik mit 40 mm
Höhe, 420 mm Breite und 200 mm Länge.
Der SK 130 hat laut Fischerelektronik bei 200 mm Länge einen Wärmewiderstand von
Rth 0,4 K/W.
Umgerechnet (Kehrwert) ist dies ein Wärmeleitwert von 1/0,4=2,5 W/K.
Wenn wir davon zum Beispiel 2 Stück parallel betreiben, also 2 x 2,5 W/K sind das 5,0
W/K = Rth 0,2 K/W.
Nun sollten wir jedoch einen Sicherheitszuschlag einberechnen, warum?
Leider sind die Verfahren zur Ermittlung des Wärmewiderstands von Hersteller zur
Hersteller unterschiedlich und es gibt hierfür keine genormte Methode.
Meist wird der thermische Widerstand bei einer Kühlkörpertemperatur von 80°C ermittelt
und in den Datenblättern angegeben.
Dies ist für unsere Anwendung jedoch zu hoch, da wir den Kühlkörper ja mit max. 25 °C
über Raumtemperatur betreiben wollen, wäre der tatsächliche Wärmewiderstand höher.
Also rechnen wir den Wert um auf eine mittlere Temperatur von 40 °C.
Um den Wert z. B. auf 40 °C umzurechnen gilt:
Rth = 1/vierte Wurzel aus ΔT
Für 80°C setzen wir den Wert=1, dann ist der Wert bei 40°C =0,5
also
1/vierte Wurzel aus 0,5= 1/0,5 hoch 0,25 =1,189, aufgerundet: 1,2.
Der oben errechnete Wärmeleitwert von 5,0 W/K ergibt (wieder der Kehrwert, also 1/5,0)
einen Wärmewiderstand von Rth von 0,2 K/W; mit Sicherheitszuschlag (mal 1,2) sind
das 0,24 K/W.
Um den TEG mit 4 Heatpipes auf maximal 25 °C über Raumtemperatur zu kühlen war
nach unserer obigen Rechnung ein Kühlkörper mit einem Rth von kleiner 0,26 K/W
erforderlich. Passt.
Zwei Kühlkörper mit diesen Abmaßen sind aber immer noch recht groß. Eine passive
Kühlung bedarf, wie leicht ersichtlich ist, großer Flächen.
Besser ist eine Zwangskühlung mit Hilfe eines Lüfters.
Durch den Einsatz eines Lüfters lässt sich der Wärmewiderstand eines Kühlkörpers um
etwa den Faktor 4 verbessern, bzw. der Kühlkörper lässt sich in der Größe ungefähr um
den Faktor 7 bis 8 reduzieren. Dies sind jedoch nur Richtwerte für den ersten Entwurf,
eine Prüfung durch Messung ist unbedingt erforderlich. Der Effekt beruht darauf, dass
mittels eines Lüfters wesentlich mehr Luft wesentlich schneller am Kühlkörper
vorbeiströmen, und dabei mehr Wärme bei gleicher Temperaturerhöhung aufnehmen
kann.
Luft hat eine Wärmekapazität von ungefähr 1kJ/kg/K, was bedeutet, dass für die
Erwärmung von 1kg Luft um 1K eine Energiemenge von 1kJ = 1000Ws erforderlich ist.
D.h. für den kontinuierlichen Abtransport von 100W Wärme werden mindestens 100g
Luft pro Sekunde benötigt, wenn man diese nur um 1K erwärmen will. Um also 100W
von einem Kühlkörper abzuführen, der sich zum Beispiel um 8K erwärmen darf, sind
100W / 8K = 12,5g Luft pro Sekunde erforderlich. Ein Gramm Luft hat ein Volumen von
etwa 0,77l, d.h. bei 12,5 g muss der Lüfter 9,6 l/s bzw. 34,5 m 3 /h bewegen, die dann
auch durch den gesamten Kühlkörper geblasen werden müssen.

Bei der Verwendung von Wasser statt Luft als Kühlmedium reduziert sich das
Durchflußvolumen in etwa um den Faktor 4,2, da die Wärmekapazität von Wasser bei ca.
4,182 kJ/kg/K liegt. Da Wasser aber auch eine deutlich höhere Dichte als Luft besitzt
(Wasser = 1g/cm³; Luft = 1,3mg/cm³) kommt noch der Faktor von ~770 dazu, woraus
sich ein Gesamtfaktor für das Durchflußvolumen von ~3230 ergibt. D.h. die
Durchflußmenge in unserem oben genannten Beispiel (100W) sinkt auf ca. 2,9 ml/s bzw.
10,7 l/h.
Noch ein Wort zur Wärmeleitpaste, die an allen thermischen Übergangsstellen verwendet
werden sollte:
Ihre Aufgabe ist es, die Luft zwischen den Oberflächen zu verdrängen, welche sich in den
mikroskopischen Unebenheiten befindet und den Wärmewiderstand deutlich erhöht.
Dabei sollte die Schicht sehr dünn (optimal kleiner als 25 Mikrometer) sein, denn die
Wärmeleitpaste (4-10 W/mK) ist im Vergleich zu Aluminium (221 W/mK) oder
Kupfer(370 W/mK) ein schlechter Wärmeleiter, allerdings deutlich besser als Luft (0,026
W/mK).
Die Kontaktfläche einer Heatpipe beträgt beispielsweise etwa 1cm 2 . Wird ein Kühlkörper
ohne Wärmeleitpaste aufgeschraubt und entsteht dabei ein angenommener Luftspalt von
10µm, hat dieser einen Wärmewiderstand von ca. 4K/W! Mit Wärmeleitpaste sind es rein
rechnerisch nur 1/150tel, also etwa 0,026 K/W. Real muss man jedoch eher mit 0,5-
1K/W rechnen, da Lufteinschlüsse auch beim Auftragen von Wärmeleitpaste entstehen.
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