Maturaarbeiten in Mathematik I. Arithmetik - Kantonsschule Trogen
Maturaarbeiten in Mathematik I. Arithmetik - Kantonsschule Trogen
Maturaarbeiten in Mathematik I. Arithmetik - Kantonsschule Trogen
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<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong> – <strong>Mathematik</strong> (www.kst.ch/mathematik)<br />
Themenvorschläge für<br />
<strong>Maturaarbeiten</strong> <strong>in</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Die folgende Liste ist e<strong>in</strong>e unausgearbeitete Sammlung von Ideen. Für e<strong>in</strong>e praktische<br />
Arbeit müssten die Themen noch überarbeitet und oft auch noch präzisiert und<br />
e<strong>in</strong>geschränkt werden. Lass dich eventuell von de<strong>in</strong>er <strong>Mathematik</strong>-Lehrkraft oder der<br />
gewünschten Betreuerperson beraten!<br />
Beachte, dass e<strong>in</strong>zelne dieser Themen vielleicht <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em früheren Jahr schon als<br />
<strong>Maturaarbeiten</strong> bearbeitet worden s<strong>in</strong>d.<br />
Besonders freuen wir uns auch, wenn du selbst e<strong>in</strong> eigenes Thema f<strong>in</strong>dest, welches <strong>in</strong><br />
dieser Liste noch fehlt. Lass dich von dieser Liste zu weiteren Ideen <strong>in</strong>spirieren!<br />
I. <strong>Arithmetik</strong><br />
Thema I.1: Der Aufbau der Zahlen: N, Z, Q, R, C<br />
Parallel zur geistigen Entwicklung der Menschheit haben sich auch die benutzten Zahlmengen<br />
verändert. Was waren die Gründe, neue Zahlen e<strong>in</strong>zuführen? Was waren die<br />
Schwierigkeiten? Ist die Entwicklung abgeschlossen?<br />
Thema I.2: Das Pascal'sche Dreieck<br />
Jede und jeder hat das Pascal'sche Dreieck im Zusammenhang mit den B<strong>in</strong>ompotenzen<br />
e<strong>in</strong>mal kennengelernt. Aber es steckt noch viel mehr dah<strong>in</strong>ter...<br />
Thema I.3: Zahlensysteme <strong>in</strong> verschiedenen Kulturen<br />
Wieso hat sich bei uns das Zehnersystem durchgesetzt? Wie müssten wir "denken", wenn<br />
unser Zahlsystem nicht die Basis 10 hätte? Wie würden wir die Zahlen dann schreiben,<br />
wie g<strong>in</strong>gen die Algorithmen für die Grundrechenoperationen? Wie könnten die<br />
Teilbarkeitsregeln <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em solchen System lauten?<br />
Thema I.4: Primzahlen<br />
Primzahlen s<strong>in</strong>d die Atome, aus denen die natürlichen Zahlen aufgebaut s<strong>in</strong>d. Wie kann<br />
man jene wieder effizient zerlegen? Was weiss man über Primzahlen und was noch nicht?<br />
Thema I.5: Jost Bürgi<br />
Der Lichtensteiger Uhrbauer hatte unter anderem die Logarithmentafeln erfunden.<br />
Beschreibe das Leben und das Werk von Bürgi. Warum war Bürgi für die Astronomen<br />
se<strong>in</strong>er Zeit von derartiger Bedeutung?<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong>, Fachschaft <strong>Mathematik</strong> 2/9<br />
Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
II. Analysis<br />
Thema II.1: Newton und Leibniz als Erf<strong>in</strong>der der Differentialrechnung<br />
Es ist oft lehrreich, sich e<strong>in</strong>em Thema über die Geschichte oder über Personen zu nähern.<br />
Erst da wird e<strong>in</strong>em bewusst, dass <strong>Mathematik</strong> nicht e<strong>in</strong>fach "immer schon da" war, sondern<br />
über oft verwickelte Pfade langsam erschlossen wurde und wird.<br />
Thema II.2: Fraktale<br />
Fraktale s<strong>in</strong>d Objekte, mit denen sich die <strong>Mathematik</strong> erst seit wenigen Jahren befasst.<br />
Was ist denn das? Was soll e<strong>in</strong> Objekt se<strong>in</strong> mit Dimension 2.5? Da eröffnen sich ganz<br />
neue Horizonte.<br />
Thema II.3: Das Unendliche <strong>in</strong> der <strong>Mathematik</strong><br />
Die Idee des Unendlichen liegt dem ganzen mathematischen Streben zugrunde, sie ist die<br />
eigentliche Triebfeder. Was ist das Unendliche? Oder konkreter, wie rechnet man damit?<br />
Thema II.4: Die Zahl e : Herkunft, Def<strong>in</strong>ition und Anwendungen<br />
Die Zahl e ist neben die wichtigste Konstante <strong>in</strong> der <strong>Mathematik</strong>. Sich dieser Zahl<br />
e<strong>in</strong>mal an die Fersen zu heften und zu sehen, woher sie kommt und wo sie überall ihr<br />
Unwesen treibt, kann die Sicht auf Bekanntes verändern.<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong>, Fachschaft <strong>Mathematik</strong> 3/9<br />
Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
III. Geometrie<br />
Thema III.1: Platonische und Archimedische Körper<br />
Welche gibt es? Wie werden sie hergestellt? Wie berechnet?<br />
Thema III.2: Berechnung e<strong>in</strong>es (ebenen) Dreiecks aus drei beliebigen "Stücken".<br />
Die E<strong>in</strong>gabe soll aus drei Stücken bestehen. Vermutlich ist dies bereits e<strong>in</strong> grosser Teil<br />
der Arbeit. Wie soll diese Wahl vorgenommen werden können?<br />
- Liste zum Anklicken der Stücktypen<br />
- Menü/Menüs<br />
- oder weitere Ideen<br />
Die Ausgabe ist jeweils die Angabe sämtlicher anderen "Grössen" des Dreiecks.<br />
Thema III.3: Nicht-euklidische Geometrie<br />
Was ist das überhaupt? Wodurch unterscheidet sie sich von unserer normalen<br />
euklidischen Geometrie? Wie passt die Relativitätstheorie <strong>in</strong> diesen Zusammenhang?<br />
Thema III.4: Die Zahl π<br />
Die historische Bedeutung kann beleuchtet werden und die Probleme, die bei der Jagd<br />
nach möglichst vielen Dezimalstellen auftauchen.<br />
Thema III.5: Parabeln<br />
Parabeln können auf mannigfache Weise gezeichnet werden und sie f<strong>in</strong>den <strong>in</strong> der Technik<br />
<strong>in</strong> den verschiedensten Gebieten Anwendung.<br />
Thema III.6: Kegelschnitte<br />
Dieses schon von den Griechen erarbeitete Thema lässt sich von verschiedensten Seiten<br />
angehen, z.B. re<strong>in</strong> rechnerisch mit den Methoden der "l<strong>in</strong>earen Algebra".<br />
Thema III.7: Illusion mit Perspektive<br />
Sicher kennst du von barocken Kirchen oder vom Theater Gebäude und Gebäudeteile wie<br />
Kuppeln, Balkone, Fenster mit ganzen Landschaften, die nur gemalt s<strong>in</strong>d und doch<br />
täuschend echt wirken. Bemale e<strong>in</strong> Modell, e<strong>in</strong>e Wand, e<strong>in</strong>e Zimmer-Ecke so, dass e<strong>in</strong>e<br />
räumliche Illusion entsteht. Exakte geometrische Konstruktion verb<strong>in</strong>det sich mit<br />
künstlerischen Ausdrucksmöglichkeiten.<br />
Thema III.8: Spiegelungen an gewölbten Spiegeln<br />
Wie muss man e<strong>in</strong>e Fotografie verzerren, damit sie <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em zyl<strong>in</strong>drischen Spiegel<br />
betrachtet wieder unverzerrt ersche<strong>in</strong>t? Vielleicht ist de<strong>in</strong> Spiegel anders gekrümmt.<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong>, Fachschaft <strong>Mathematik</strong> 4/9<br />
Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
Thema III.9: Landkarten<br />
Die Erdkugel auf e<strong>in</strong>e Landkarte br<strong>in</strong>gen ist gar nicht so leicht. Vielleicht <strong>in</strong>teressieren dich<br />
die verschiedenen Projektionsarten und du suchst historische Beispiele dazu. Vielleicht<br />
willst du selber e<strong>in</strong>e eigene ungewöhnliche Landkarte erstellen …<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
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Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
IV. Programmieren<br />
Thema IV.1: Automatisierte Kurvendiskussion<br />
Die modernen Taschenrechner warten mit e<strong>in</strong>em CAS (Computer Algebra System) auf,<br />
das z.B. formal ableiten kann. Wie geht das denn? Problem: Verwandlung e<strong>in</strong>es<br />
E<strong>in</strong>gabestr<strong>in</strong>gs <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en mathematisch verwertbaren Funktionsbaum.<br />
Thema IV.2: Rechnen mit beliebiger Genauigkeit<br />
Wie kann man e<strong>in</strong>en Computer, der <strong>in</strong>tern mit z.B. 12 Stellen arbeitet, dazu br<strong>in</strong>gen, e<strong>in</strong><br />
Resultat auf 100 Stellen genau zu berechnen?<br />
Thema IV.3: Simulationen<br />
Um Geld und Zeit zu sparen, werden reale Vorgänge vermehrt auf dem Computer<br />
simuliert. Man könnte sich ja e<strong>in</strong> Beispiel e<strong>in</strong>mal etwas genauer ansehen (Simulation<br />
e<strong>in</strong>es primitiven Computers, Jäger-Beute-Gleichgewicht, usw.).<br />
Thema IV.4: Chiffrieren<br />
Die elektronische Unterschrift ist zur Zeit e<strong>in</strong> aktuelles Thema <strong>in</strong> den Medien. Dabei geht<br />
es <strong>in</strong> erster L<strong>in</strong>ie um die Sicherheit der Datenübertragung. Chiffrierverfahren s<strong>in</strong>d nötig,<br />
um diese Sicherheit zu gewährleisten. Aber wie wird das gemacht?<br />
Thema IV.5: Spiel<br />
Vielleicht reizt es Dich, e<strong>in</strong> anspruchsvolles Spiel mit ansprechender Benutzeroberfläche<br />
zu programmieren. So sollte es z.B. möglich se<strong>in</strong>, gegen den Computer zu spielen.<br />
Achtung: Gibt viel Arbeit!<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong>, Fachschaft <strong>Mathematik</strong> 6/9<br />
Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
Thema IV.6: Khun Pan<br />
Sehr anspruchsvoll: Programmiere das Spiel KhunPan. Denkbar als <strong>in</strong>teraktives<br />
Computerspiel; ebenso denkbar, dass de<strong>in</strong> Programm selbst e<strong>in</strong>e oder sogar die kürzeste<br />
Lösung selbst sucht …<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong>, Fachschaft <strong>Mathematik</strong> 7/9<br />
Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
V. Anwendungen<br />
Thema V.1: Statistiken – kritisch untersucht<br />
Die Tagespresse ist "voll" von sogenannt wissenschaftlichen Ergebnissen, welche auf<br />
Statistiken beruhen. Dabei geht es (z.B.) oft um das Verhalten verschiedener<br />
Personengruppen.<br />
Beispiele solcher Statistiken:<br />
Wie oft putzen sich die Franzosen pro Tag die Zähne?<br />
Wie viel Sex haben die Italiener?<br />
Ist es gesund, jeden Tag e<strong>in</strong> Glas We<strong>in</strong> zu tr<strong>in</strong>ken?<br />
S<strong>in</strong>d Schweizer Lehrpersonen freundlicher?<br />
Die <strong>in</strong> der Presse dargebotenen Ergebnisse solcher statistischen Untersuchungen s<strong>in</strong>d oft<br />
lächerlich und unglaubwürdig.<br />
Sammle solche "Statistiken". Untersuche sie kritisch. Wie s<strong>in</strong>d die Ergebnisse zustande<br />
gekommen? Welche Fehler haben die Untersuchenden dabei gemacht? (Mö)<br />
Thema V.2: Auf welchen Kurven fährt e<strong>in</strong> Fahrzeug?<br />
Beispiel: Welchem Autofahrer ist es noch nie passiert, beim Parkieren so nahe an e<strong>in</strong><br />
H<strong>in</strong>dernis gefahren zu se<strong>in</strong>, dass er beim Wegfahren grösste (geometrische)<br />
Schwierigkeiten bekommt?<br />
Welches s<strong>in</strong>d die geometrischen Unterschiede zwischen Vorwärts- und<br />
Rückwärtsparkieren? Auf welchen Kurven bewegen sich dabei die Räder? Wie sieht es<br />
aus bei e<strong>in</strong>em Fahrzeug mit Anhänger? Wie verhält sich die H<strong>in</strong>terachse e<strong>in</strong>es Busses<br />
oder der Anhänger e<strong>in</strong>es Lastwagens <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er engen Kurve? …<br />
Dieses Thema eignet sich <strong>in</strong> erster L<strong>in</strong>ie für Personen, die das mathematische<br />
Schwerpunktfach besuchen, kann jedoch auch von anderen <strong>in</strong>teressierten bearbeitet<br />
werden. Gründliche E<strong>in</strong>arbeit <strong>in</strong> verschiedene Gebiete der Analysis ist vermutlich<br />
erforderlich. (Mö)<br />
Thema V.3: Krümmung von Eisenbahnschienen<br />
Wie stark s<strong>in</strong>d je die l<strong>in</strong>ken und rechten Schienen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Kurve gekrümmt? Wie bei der<br />
Änderung der Steigung? Wie muss das Trassee geneigt se<strong>in</strong>, wenn e<strong>in</strong> Zug e<strong>in</strong>e Kurve<br />
mit hoher Geschw<strong>in</strong>digkeit passiert?<br />
Thema V.4: Sonnenuhr<br />
Berechne oder konstruiere e<strong>in</strong>e eigene Sonnenuhr und baue sie. Es gibt ganz<br />
verschiedene Möglichkeiten. Vielleicht willst du sie auch künstlerisch gestalten.<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong>, Fachschaft <strong>Mathematik</strong> 8/9<br />
Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
VI. Vermischtes<br />
Thema VI.1: Magische Quadrate<br />
In vielen Rätselecken tauchen hie und da magische Quadrate auf. Es macht Spass, sie zu<br />
lösen, aber es würde noch mehr Spass machen, die Überlegungen dah<strong>in</strong>ter zu verstehen<br />
und sie selber zu erstellen.<br />
Thema VI.2: Mathematische Paradoxien<br />
Mathematische Paradoxien s<strong>in</strong>d widersprüchliche respektive unentscheidbare Sätze. Die<br />
gibt es sogar <strong>in</strong> der ach so logischen und perfekten <strong>Mathematik</strong>. Spüre sie auf und<br />
präsentiere sie so, dass auch e<strong>in</strong> Drittklässler den H<strong>in</strong>tergrund versteht.<br />
Thema VI.3: Pythagoras und die Pythagoräer<br />
Den wenigsten ist bekannt, dass Pythagoras nicht nur <strong>Mathematik</strong>er und Philosoph<br />
(damals sowieso dasselbe) sondern auch Gründer e<strong>in</strong>er spirituellen Bruderschaft war.<br />
Was war das besondere an deren Glaubensbekenntnis? Was war ihr Beitrag zur<br />
<strong>Mathematik</strong>? Was ist aus ihr geworden?<br />
Thema VI.4: Religion und <strong>Mathematik</strong> bei Georg Cantor<br />
Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre und tiefgläubiger Christ, sah die <strong>Mathematik</strong><br />
als Stufe auf dem Weg zur Erkenntnis Gottes. Was ist so Besonderes an der<br />
Mengenlehre, und was ist so Besonderes an Georg Cantor?<br />
Thema VI.5: Wird Brechts "Leben des Galilei" dem Naturwissenschaftler<br />
gerecht?<br />
E<strong>in</strong>e Ause<strong>in</strong>andersetzung mit e<strong>in</strong>em literarischen Text e<strong>in</strong>erseits und e<strong>in</strong>er Biografie<br />
andererseits.<br />
Thema VI.6: <strong>Mathematik</strong> und Musik<br />
Da gibt es Tausende von Berührungspunkte. F<strong>in</strong>de solche, die Dir besonders wichtig<br />
ersche<strong>in</strong>en und präsentiere sie so, dass sie auch andere verstehen und wichtig f<strong>in</strong>den.<br />
Thema VI.7: Sudoku<br />
Untersuche diese Rätsel. Es gibt viele Fragen. Kannst du selber solche Rätsel<br />
generieren? Wie viele Zahlen muss man vorgeben, damit sie e<strong>in</strong>deutig lösbar s<strong>in</strong>d?<br />
Thema VI.8: Fibonacci-Zahlen<br />
Diese s<strong>in</strong>d benannt nach Leonarrdo da Pisa (1170-1240), bekannt unter dem Namen<br />
Fibonacci. Sie treten an verschiedenen Stellen <strong>in</strong> der natur, bei diversen mathematischen<br />
Objekten und <strong>in</strong> der Architektur auf.<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005
<strong>Kantonsschule</strong> <strong>Trogen</strong>, Fachschaft <strong>Mathematik</strong> 9/9<br />
Maturaarbeit <strong>Mathematik</strong> – Denkbare Themen<br />
Berschreibe diese Zahlen, deren Bildungsvorschrift und ihre Eigenschaften. Beschreibe<br />
auch e<strong>in</strong>ige Anwendungsgebiete.<br />
Letzte Aktualisierung: 14.11.2005