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Kanalcodierung I Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben 4.2.2 Katastrophale Codes Universität Bremen Fachbereich 1, ANT • Katastrophale Codes können unendlich lange Sequenz mit endlichem Gewicht erzeugen, die nicht auf den Nullpfad zurückkehrt → Katastrophale Codes erzeugen bei endlich vielen Übertragungsfehlern u.U. unendlich viele Fehler nach der Decodierung → Katastrophale Codes sind nicht zur Übertragung geeignet und daher zu vermeiden • Merkmale katastrophaler Codes: – Alle Generatorpolynome besitzen gemeinsamen Faktor – Im Zustandsdiagramm existiert geschlossene Schleife mit Gewicht Null (außer Nullzustand) – Alle Addierer haben gerade Anzahl von Verbindungen −→ Selbstschleife im Zustand 1··· 1 hat Gewicht Null Beispiel für katastrophalen Code: g1 = 5, g2 = 3 u( l) g 10=1 g 11=0 g 12=1 D D g20=1 g21=1 g22=0 1/11 1 0 1/10 0/00 0 0 1/01 0/01 1 1 1/00 0/10 0 1 0/11 Bild 4.6: Schieberegisterstruktur und Zustandsdiagramm für katastrophalen Faltungscode 4.2.3 Truncated Convolutional Codes Die Decodierung von Faltungscodes erfordert die Betrachtung der gesamten Sequenz bzw. eines ausreichend langen Ausschnitts (s. Viterbi-Algorithmus). Dabei sind in der Praxis verständlicherweise nur Sequenzen mit endlicher Länge (N Codeworte) von Bedeutung. Bei einem willkürlichen Ende der Informationsfolge u kann das Trellisdiagramm in jedem beliebigen Zustand enden, d.h. der Endzustand ist dem Decodierer unbekannt. Dies wirkt sich auf die Leistungsfähigkeit der Decodierung aus, da sich die letzten Bit in u nur sehr unsicher schätzen lassen. Bei der Betrachtung endlicher Sequenzen sind Faltungscodes auch als Blockcode interpretierbar und lassen sich dementsprechend durch eine Generatormatrix beschreiben: ⎡ ⎤ ⎢ G= ⎢ ⎣ G0 G1 ··· Gm G0 G1 ··· Gm . .. . .. . .. G0 G1 ··· Gm . .. . .. . G0 G1 G0 ⎥ ⎦ mit Gi =[g1,i g2,i ... gn,i] . 4.2. CHARAKTERISIERUNG VON FALTUNGSCODES 88
Kanalcodierung I Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben 4.2.4 Terminierte Faltungscodes Universität Bremen Fachbereich 1, ANT Durch das Anhängen von sogenannten Tailbit kann der Codierer am Ende der Informationsfolge wieder in einen bekannten Endzustand (in der Regel der Nullzustand) überführt werden. Damit lassen sich auch die letzten Bit zuverlässig schätzen. Die Anzahl der Tailbit entspricht exakt dem Gedächtnis des Codierers, die Wertigkeit der Tailbit hängt dagegen von dessen Struktur ab. Hier gilt • NSC-Codes: Anhängen von m Nullen • RSC-Codes: m Tailbit hängen vom letzten Zustand vor dem Anhängen der Tailbit ab (in Tabelle ablegen) Das Anhängen von Tailbit reduziert allerdings die Coderate, d.h. für eine Sequenz u mit N Informationsbit gilt bei einem 1/n-ratigen Faltungscode R Tail c = N N = Rc· . (4.11) n·(N+ m) N+ m Je größer N im Vergleich zur Einflusslänge bzw. dem Gedächtnis des Codierers ist, desto weniger fallen die angehängten Tailbit bzgl. der Coderate ins Gewicht. Die Beschreibung mittels Generatormatrix lautet nun: ⎡ ⎤ ⎢ G= ⎢ ⎣ G0 G1 ··· Gm G0 G1 ··· . .. 4.2.5 Tailbiting convolutional codes . .. . .. ··· G0 G1 ··· Gm ⎥ ⎦ mit Gi =[g1,i g2,i ... gn,i] (4.12) Sollen Datenpakete mit sehr niedriger Länge übertragen werden, wie es beispielsweise für moderne paketorientierte Übertragungsprotokolle vorgesehen ist, so führt das Anhängen von Tailbit allerdings doch zu einem merklichen Verlust der zur Verfügung stehenden Datenrate. Hier bieten sich die Tailbiting Convolutional Codes an, bei denen der Endzustand des Codierers mit dem Startzustand identisch ist. Daher sind keine Tailbits erforderlich. Für nicht-rekursive Codes kann der gesamte Informationsblock codiert und der Endzustand des Codierers bestimmt werden. Dann wird der Endzustand als Anfangszustand gewählt und erneut codiert. Man erhält einen quasi-zyklischen Faltungscode. Die Generatormatrix lautet ⎡ ⎤ ⎢ G= ⎢ ⎣ . G0 G1 ··· Gm Gm G0 G1 ··· Gm ⎥ . .. . .. . .. ⎥ G0 G1 ··· Gm ⎥ . . .. . .. ⎥ . ⎥ . .. ⎥ G0 G1⎦ G1 ··· Gm G0 4.3 Optimale Decodierung mit Viterbi-Algorithmus Wir wollen zunächst einige Vereinbarungen bzgl. der Nomenklatur treffen. Die Informationssequenz u besteht aus k Informationsbit und wird durch den Faltungscodierer in die codierte Sequenz x=(x1(0) ··· xn(0) ··· x1(N− 1) ··· xn(N− 1) ) x(0) x(N− 1) 4.3. OPTIMALE DECODIERUNG MIT VITERBI-ALGORITHMUS 89
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