307 KB - Universität Bremen
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Kanalcodierung I Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT Dabei beschreibt der Vektor a den Start im Trellisdiagramm vom Nullzustand in alle übrigen Zustände mit den Parametern W , D und L. Da die Selbstschleife des Nullzustands entsprechend Bild 4.11 aufgetrennt wurde, existiert nur ein Übergang zum Zustand S10 mit den Parametern WD 2 L und a hat die Form a= 0 W D 2 L 0 . (4.24) Die Matrix S stellt die Übergänge zwischen den Zuständen S01 bis S11 (ohne Nullzustand) dar und b gibt die Übergänge von allen Zuständen in den Nullzustand an. Für den oben betrachteten Code gilt: ⎡ 0 S = ⎣DL ⎤ W L 0 0 WDL⎦ alter Zustand S01 alter Zustand S10 DL 0 ⎡ D WDL alter Zustand S11 b = ⎣ 2 ⎤ L 0 0 ⎦ Zustand S01 Zustand S10 Zustand S11 (4.25) (4.26) Vom Zustand 10 sind die Zustände 01 und 11 zu erreichen, wodurch sich die Einträge in der 2. Zeile von S erklären lassen. Für jeden Übergang im Trellisdiagramm ist mit S zu multiplizieren, so dass für eine Sequenz der Länge L der Exponent von S genau p = L−2 beträgt. Der Vektor b schließt das Trellis letztendlich im Nullzustand ab, da dieser nur über den Zustand S01 zu erreichen ist, enthält b nur in der ersten Spalte einen von Null verschiedenen Eintrag. Wir wollen nun für das obige Beispiel alle Sequenzen bis zur Länge ℓ ≤ 5 bestimmen, die im Nullzustand beginnen und enden. Wir erhalten Tℓ=3(W,D,L) = aSb= 0 WD2L 0 ⎡ ⎤⎡ 0 W L 0 D ⎣DL 0 W DL⎦⎣ DL 0 W DL 2 ⎤ L 0 ⎦ 0 = WD3L2 0 W 2D3L2 ⎡ D ⎣ 2 ⎤ L 0 ⎦ 0 = WD 5 L 3 Tℓ=4(W,D,L) = aS 2 b= W D3L2 0 W 2D3L2 ⎡ 0 ⎣DL ⎤⎡ W L 0 D 0 WDL⎦⎣ DL 0 WDL 2 ⎤ L 0 ⎦ = 0 W 2D4L3 W 2D3L3 W 3D4L3 ⎡ D ⎣ 2 ⎤ L 0 ⎦ 0 = W 2 D 6 L 4 Tℓ=5(W,D,L) = aS 3 b= W 2D4L3 W 2D3L3 W 3D4L3 ⎡ ⎤⎡ 0 WL 0 D ⎣DL 0 W DL⎦⎣ DL 0 W DL 2 ⎤ L 0 ⎦ 0 = W 2D4L4 +W 3D5L4 W 3D4L4 W 3D4L4 +W 4D5L4 ⎡ D ⎣ 2 ⎤ L 0 ⎦ 0 = W 2 D 6 L 5 +W 3 D 7 L 5 ⇒ Tℓ≤5(W,D,L) = WD 5 L 3 +W 2 D 6 L 4 +W 2 D 6 L 5 +W 3 D 7 L 5 Wichtige Parameter zur Beschreibung der Distanzeigenschaften: 4.5. DISTANZEIGENSCHAFTEN VON FALTUNGSCODES 98
log 10 (ad)→ Kanalcodierung I Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben • Anzahl der Sequenzen mit bestimmten Hamming-Gewicht d: ad = ∑∑ Tw,d,ℓ w ℓ Universität Bremen Fachbereich 1, ANT • Anzahl der ’Informationsbit gleich Eins’ (w=1) für alle Sequenzen mit Hamming-Gewicht d ∂T(W,D,L=1) ∂W ·Tw,d,ℓ · D W=1 d = ∑cd· D d d =⇒ cd = ∑∑ w·Tw,d,ℓ w ℓ = ∑ d ∑∑ w ℓ Beispiel: Codes mit Rc = 1/2, Lc = 3 NSC-Code: G1(D)=1+D+D 2 , G2(D)=1+D 2 5 4 3 2 1 0 0 RSC-Code: G1(D)=1, G2(D)= 1+D2 1+D+D 2 (4.27) (4.28) • Für diesen speziellen NSC-Code existieren für jedes Eingangsgewicht w nur Sequenzen mit einem einzigen bestimmten Ausgangsgewicht d(w) (diese Eigenschaft ist nicht zu verallgemeinern) • Kleinste Distanz dmin = d f = 5 wird bei NSC-Code für w=1 erreicht • Anzahl der Pfade mit größeren Distanzen nimmt exponentiell zu • Bei RSC-Code erst ab w≥2 Ausgangssequenzen mit endlichem Gewicht (d f = 5 für w=2) • Besonderheit: endliche Gewichte der Ausgangssequenzen nur für gerade Eingangsgewichte 4 8 w 12 Nicht−rekursiver Code 16 0 4 8 d 12 16 log 10 (ad)→ 20 5 4 3 2 1 0 0 4 8 12 16 Rekursiver Code Bild 4.13: Distanzspektren für nicht-rekursiven und rekursiven Faltungscode 4.6 Abschätzung der Fehlerwahrscheinlichkeit Aus Kapitel 3 ist schon von den Blockcodes bekannt, dass ein Fehler auftritt, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit für die korrekte Codesequenz x kleiner als für eine andere Folge a= x ist (P(y|x)
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log 10 (ad)→<br />
Kanalcodierung I<br />
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben<br />
• Anzahl der Sequenzen mit bestimmten Hamming-Gewicht d:<br />
ad = ∑∑ Tw,d,ℓ<br />
w ℓ<br />
<strong>Universität</strong> <strong>Bremen</strong><br />
Fachbereich 1, ANT<br />
• Anzahl der ’Informationsbit gleich Eins’ (w=1) für alle Sequenzen mit Hamming-Gewicht d<br />
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∂T(W,D,L=1) <br />
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∂W ·Tw,d,ℓ · D<br />
W=1<br />
d = ∑cd· D<br />
d<br />
d<br />
=⇒ cd = ∑∑ w·Tw,d,ℓ<br />
w ℓ<br />
= ∑ d<br />
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∑∑ w ℓ<br />
Beispiel: Codes mit Rc = 1/2, Lc = 3<br />
NSC-Code: G1(D)=1+D+D 2 , G2(D)=1+D 2<br />
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0<br />
RSC-Code: G1(D)=1, G2(D)= 1+D2<br />
1+D+D 2<br />
(4.27)<br />
(4.28)<br />
• Für diesen speziellen NSC-Code existieren für jedes Eingangsgewicht w nur Sequenzen mit einem einzigen<br />
bestimmten Ausgangsgewicht d(w) (diese Eigenschaft ist nicht zu verallgemeinern)<br />
• Kleinste Distanz dmin = d f = 5 wird bei NSC-Code für w=1 erreicht<br />
• Anzahl der Pfade mit größeren Distanzen nimmt exponentiell zu<br />
• Bei RSC-Code erst ab w≥2 Ausgangssequenzen mit endlichem Gewicht (d f = 5 für w=2)<br />
• Besonderheit: endliche Gewichte der Ausgangssequenzen nur für gerade Eingangsgewichte<br />
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w<br />
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Nicht−rekursiver Code<br />
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Rekursiver Code<br />
Bild 4.13: Distanzspektren für nicht-rekursiven und rekursiven Faltungscode<br />
4.6 Abschätzung der Fehlerwahrscheinlichkeit<br />
Aus Kapitel 3 ist schon von den Blockcodes bekannt, dass ein Fehler auftritt, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit<br />
für die korrekte Codesequenz x kleiner als für eine andere Folge a= x ist (P(y|x)
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