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Kanalcodierung I Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT Decodierung punktierter Codes: Vor der Decodierung sind zunächst Platzhalter für die punktierten Bit einzufügen (z.B. Nullen bei einer antipodalen Übertragung). Da sich die Distanzeigenschaften des Codes durch die Punktierung verschlechtern, muss die Entscheidungstiefe entsprechend verlängert werden, um weiterhin sichere Entscheidung zu ermöglichen. 4.5 Distanzeigenschaften von Faltungscodes Von den Blockcodes ist schon bekannt, dass die Distanzeigenschaften die Leistungsfähigkeit eines Codes, d.h. seine Fähigkeit, Fehler zu erkennen oder zu korrigieren, bestimmen. Dies gilt in gleichem Maße für Faltungscodes: Bei ihnen ist allerdings nicht die Distanz zwischen einzelnen Codeworten, sondern die Distanz zwischen ganzen Codeesequenzen entscheidend. Als Äquivalent zur Mindestdistanz der Blockcodes wird hier die freie Distanz d f benutzt, welche die minimale Hamming-Distanz zwischen zwei Sequenzen (siehe Trellisdiagramm in Bild 4.12) angibt. Die freie Distanz bestimmt die asymptotische (Eb/N0 → ∞) Leistungsfähigkeit des Faltungscodes. Für mittlere und kleine Signal-Rausch-Abstände wirken sich die übrigen Distanzen ebenfalls aus, so dass hier das gesamte Distanzspektrum zu betrachten ist. Distanzspektrum • Faltungscodes sind linear −→ Vergleich aller Sequenzen mit dem Nullpfad ausreichend (anstatt alle Sequenzen untereinander zu vergleichen) → Hamming-Gewicht aller Sequenzen muss bestimmt werden • Zur Bestimmung des Distanzspektrums modifiziertes Zustandsdiagramm: – Auftrennen der Selbstschleife im Nullzustand – Nullzustand als Startzustand Sa und Endzustand Se anordnen – An Pfaden (Zustandsübergänge) stehen Platzhalter für: ∗ Sequenzlänge: L ∗ Gewicht der uncodierten Eingangssequenz: W ∗ Gewicht der codierten Ausgangssequenz: D – Bestimmen aller Übergangsmöglichkeiten zwischen Start- und Endzustand Beispiel: Faltungscode mit Rc = 1/2, Lc = 3, g1 = 78, g2 = 58 WD 0 0 1 0 2L S a WDL WDL 1 1 WL DL DL 0 1 D 2 L Bild 4.11: Modifiziertes Zustandsdiagramm zur Bestimmung des Distanzspektrums 4.5. DISTANZEIGENSCHAFTEN VON FALTUNGSCODES 96 0 0 S e
Kanalcodierung I Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Lineares Gleichungssystem: Lösung: Reihenentwicklung: Interpretation: Se Sa S10 = WD 2 L·Sa+WL·S01 S01 = DL·S10+ DL·S11 S11 = WDL·S11+WDL·S10 = Se = D 2 L·S01 WD5L3 =: T(W,D,L) 1−WDL−WDL 2 T(W,D,L) = W D 5 L 3 + W 2 D 6 L 4 +W 2 D 6 L 5 + W 3 D 7 L 5 + 2W 3 D 7 L 6 +W 3 D 7 L 7 +... = ∑∑∑ w d ℓ Tw,d,ℓ·W w · D d · L ℓ Universität Bremen Fachbereich 1, ANT • 1 Sequenz der Länge ℓ=3 (Codeworte) mit Eingangsgewicht w=1 und Ausgangsgewicht d = 5 (4.22) • 2 Sequenzen mit Eingangsgewicht w=2 und Ausgangsgewicht d = 6 und den Längen ℓ=4 bzw. ℓ=5 • Je 1 Sequenz mit Eingangsgewicht w=3 und Ausgangsgewicht d = 7 und den Längen ℓ=5 bzw. ℓ=7 und 2 Sequenzen der Länge ℓ=6 mit Eingangsgewicht w=3 und Ausgangsgewicht d = 7 • Bild 4.12 zeigt für den im Beispiel betrachteten Faltungscode das Trellisdiagramm mit allen Sequenzen bis zum Gewicht d = 6 00 10 01 11 0/00 1/11 1/01 w=1, d=5, l=3 w=2, d=6, l=4 w=2, d=6, l=5 0/10 1/00 0/10 0/01 0/11 0/11 0/11 l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 Bild 4.12: Ausschnitt des Trellisdiagramms für Faltungscode aus Bild 4.2 zur Veranschaulichung der freien Distanz Die oben beschriebene Vorgehensweise kann mathematisch recht anschaulich mit Hilfe von Matrizen dargestellt werden. Es gilt ∞ T(W,D,L)= ∑ aS p=0 p b. (4.23) 4.5. DISTANZEIGENSCHAFTEN VON FALTUNGSCODES 97
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Kanalcodierung I<br />
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben<br />
<strong>Universität</strong> <strong>Bremen</strong><br />
Fachbereich 1, ANT<br />
Decodierung punktierter Codes:<br />
Vor der Decodierung sind zunächst Platzhalter für die punktierten Bit einzufügen (z.B. Nullen bei einer antipodalen<br />
Übertragung). Da sich die Distanzeigenschaften des Codes durch die Punktierung verschlechtern, muss<br />
die Entscheidungstiefe entsprechend verlängert werden, um weiterhin sichere Entscheidung zu ermöglichen.<br />
4.5 Distanzeigenschaften von Faltungscodes<br />
Von den Blockcodes ist schon bekannt, dass die Distanzeigenschaften die Leistungsfähigkeit eines Codes,<br />
d.h. seine Fähigkeit, Fehler zu erkennen oder zu korrigieren, bestimmen. Dies gilt in gleichem Maße für Faltungscodes:<br />
Bei ihnen ist allerdings nicht die Distanz zwischen einzelnen Codeworten, sondern die Distanz<br />
zwischen ganzen Codeesequenzen entscheidend. Als Äquivalent zur Mindestdistanz der Blockcodes wird hier<br />
die freie Distanz d f benutzt, welche die minimale Hamming-Distanz zwischen zwei Sequenzen (siehe Trellisdiagramm<br />
in Bild 4.12) angibt.<br />
Die freie Distanz bestimmt die asymptotische (Eb/N0 → ∞) Leistungsfähigkeit des Faltungscodes. Für mittlere<br />
und kleine Signal-Rausch-Abstände wirken sich die übrigen Distanzen ebenfalls aus, so dass hier das gesamte<br />
Distanzspektrum zu betrachten ist.<br />
Distanzspektrum<br />
• Faltungscodes sind linear −→ Vergleich aller Sequenzen mit dem Nullpfad ausreichend<br />
(anstatt alle Sequenzen untereinander zu vergleichen)<br />
→ Hamming-Gewicht aller Sequenzen muss bestimmt werden<br />
• Zur Bestimmung des Distanzspektrums modifiziertes Zustandsdiagramm:<br />
– Auftrennen der Selbstschleife im Nullzustand<br />
– Nullzustand als Startzustand Sa und Endzustand Se anordnen<br />
– An Pfaden (Zustandsübergänge) stehen Platzhalter für:<br />
∗ Sequenzlänge: L<br />
∗ Gewicht der uncodierten Eingangssequenz: W<br />
∗ Gewicht der codierten Ausgangssequenz: D<br />
– Bestimmen aller Übergangsmöglichkeiten zwischen Start- und Endzustand<br />
Beispiel: Faltungscode mit Rc = 1/2, Lc = 3, g1 = 78, g2 = 58<br />
WD<br />
0 0 1 0<br />
2L S a<br />
WDL<br />
WDL<br />
1 1<br />
WL<br />
DL<br />
DL<br />
0 1<br />
D 2 L<br />
Bild 4.11: Modifiziertes Zustandsdiagramm zur Bestimmung des Distanzspektrums<br />
4.5. DISTANZEIGENSCHAFTEN VON FALTUNGSCODES 96<br />
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