Konzeption und Evaluation eines Kinematik/Dynamik-Lehrgangs zur ...

90 5 Entwicklung eines Gesamtkonzeptes zur Kinematik und Dynamik
den im Folgenden kurz als Zeitmarken bezeichnet.
Hier wird deutlich, dass „Ort“ einen Punkt im Bezugssystem
meint, während „Weglänge“ für die
Länge der Bahnkurve steht.
Die Änderung des Ortes in einem Zeitintervall ∆t
kann nun mit einem zusätzlichen Ortsänderungsvektor
x �
∆ visualisiert werden, der die Bewegungsrichtung
angibt und auch als „Verschiebungsvektor“
bezeichnet werden könnte (siehe
Abb. 5.2). Da die Schüler der elften Jahrgangsstufe
mit der Vektoraddition bereits vertraut sind,
� � �
erkennen sie auch, dass xalt
+ ∆x
= xneu
oder
� �
x = x
�
− x
∆ neu alt gilt. Die Länge dieses Vektors hängt
aber nicht nur von der Schnelligkeit, sondern auch
vom gewählten Zeitintervall ∆t ab. Dividiert man
den Ortsänderungsvektor durch das Zeitintervall, erhält man einen Vektor, dessen Länge die durchschnittliche
Schnelligkeit in diesem Intervall und dessen Richtung die Bewegungsrichtung angibt.
� �
Das ist der Vektor der Durchschnittsgeschwindigkeit v = ∆x
/ ∆t
in dem Intervall ∆t. Einen Vektor
für die Momentangeschwindigkeit erhält man näherungsweise für kleine ∆t. Bei einer eindimensionalen
Bewegung kann der Geschwindigkeitsvektor nur zwei Richtungen haben, da er nur in positive
oder negative Richtung des Koordinatensystems zeigen kann. Dies kann nun mit einem Vorzeichen
vor dem Zahlenwert deutlich gemacht werden.
Auf die Besonderheiten der Durchschnittsgeschwindigkeit soll dabei nicht eingegangen werden.
Nur für Lehrer wurden Hintergrundinformationen bereitgestellt, da hier Schwierigkeiten für große
∆t auftauchten. 5 Abb. 5.2: Entstehung des Ortsänderungsvektors
(∆t = 0,25 s)
Diese Schwierigkeiten können umgangen werden, wenn nur „kleine“ Zeitintervalle
ist und um stets den Vektorcharakter der Größen zu verdeutlichen, wird immer ein Pfeil auf die Größen gesetzt. Diese
Schreibweise wird in dieser Arbeit durchgängig beibehalten.
� �
� ∆x
dx
v : = lim = = ��
und über die momentane
∆t→0 ∆t
dt
� �
� ∆x
dx
Schnelligkeit (= Tempo) v : = lim = = x��
. Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall ∆t ist sinnvoll-
∆t→0 ∆t
dt
�
v dt ⎛ v dt ⎞
�
� ∫
x
⎛ ∆x⎞
∆x
erweise als vmittel
= = ⎜∫
⎟ 1
1
: ⋅ = ⋅ =
t v dt t
⎜
y ⎟
zu definieren. Das hat Konsequenzen: Ein Auto,
∆ ⎜ ⎟
y ∆ ⎝∆
⎠ ∆t
∆t
⎝∫
⎠
das mit konstanter Schnelligkeit von 10 m/s einmal im Kreis herum fährt, hat für die Umlaufdauer die Durchschnittsgeschwindigkeit
Null. Ein Auto, das eindimensional 1 min mit v = 30 m/s und dann 1 min mit v = -30 m/s fährt, hat
die Durchschnittsgeschwindigkeit Null. Das ist so sinnvoll; schließlich ist es insgesamt ja nicht weiter gekommen. Für
� �
die Ortsänderung gilt damit ∆x
= vmittel
⋅∆t
. Man muss also die Durchschnittsgeschwindigkeit von der Durch-
∫ v dt
schnittsschnelligkeit (= Durchschnittstempo) im Zeitintervall ∆t unterscheiden: v =
mittel ∆t
�
�
: . Das Auto, das mit
konstanter Schnelligkeit von 10 m/s einmal im Kreis herum fährt, hat auch als Durchschnittsschnelligkeit während
eines Umlaufs 10 m/s. Ein Auto, das eindimensional 1 min mit v = 30 m/s und dann 1 min mit v = -30 m/s fährt, hat
5 Einigkeit besteht über die Definition der Momentangeschwindigkeit x