Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Gruppen Die symmetrische Gruppe
Beispiel
Ein Zykel (i1, ..., ir ) der Länge r ist ein r-Tupel von paarweise
verschiedenen Zahlen aus {1, . . . , n} und wird aufgefasst als zyklische
Permutation i1 ↦→ i2 ↦→ ... ↦→ ir ↦→ i1. Die Kommata lässt man in der
Notation oft weg.
Die Permutation
ζ := (1 2 . . . n) := (1, 2, . . . , n) =
ist gleich τ12 ◦ τ23 ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ τn−1n.
Also ist ε(ζ) = (−1) n−1 .
ζ erzeugt eine n-elementige Untergruppe
� 1 2 ∙ ∙ ∙ n − 1 n
2 3 ∙ ∙ ∙ n 1
〈ζ〉 := {ζ, ζ 2 , . . . , ζ n = Id} ⊂ Sn.
Die ζ k , k = 1, 2, . . . , n − 1, sind zyklische Permutationen der Länge n.
Für n = 3 ist diese Untergruppe gerade die Untergruppe der geraden
Permutationen in S3.
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