Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz
Gruppen Die symmetrische Gruppe
Für alle σ ∈ Sn (n ≥ 2) gibt es Transpositionen τ1, . . . τk ∈ Sn, so dass
σ = τ1 ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ τk. Die Darstellung von σ als Produkt ist nicht eindeutig.
Beweis.
Für jede Transposition τ gilt τ −1 = τ und somit Id = τ ◦ τ.
Sei daher von nun an Id �= σ ∈ Sn. Dann existiert ein 1 ≤ i1 ≤ n mit
σ(i) = i für alle 1 ≤ i ≤ i1 − 1 und
σ(i1) > i1.
Wir setzen τ1 := τ i1σ(i1) und σ1 := τ1 ◦ σ. Dann gilt σ1(i) = i für alle
1 ≤ i ≤ i1.
Falls σ1 �= Id, so gibt es wieder ein i2, i1 < i2 ≤ n, so dass σ1(i) = i für
alle 1 ≤ i ≤ i2 − 1 und σ1(i2) > i2. Wir setzen τ2 := τ i2σ(i+2) und
σ2 := τ2 ◦ σ1.
Durch Fortsetzen dieses Iterationsverfahren erhalten wir nach endlich
vielen (genauer: nach k ≤ n − 1) Schritten σk = τk ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ τ1 ◦ σ = Id und
somit σ = τ1 ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ τk. �
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