Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Gruppen Die symmetrische Gruppe Satz Die symmetrische Gruppe Sn, n ∈ N, ist nur für n ≤ 2 kommutativ. Beweis. Es ist klar, dass S1 und S2 kommutativ sind. S3 ist nicht kommutativ, denn z.B. ist τ12 ◦ τ13 �= τ13 ◦ τ12. Letzteres folgt bereits aus: Die Abbildung σ ↦→ τ12 ◦ τ13(1) = τ12(3) = 3 τ13 ◦ τ12(1) = τ13(2) = 2 � 1 2 3 4 ∙ ∙ ∙ n σ(1) σ(2) σ(3) 4 ∙ ∙ ∙ n ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus S3 → Sn (n ≥ 3). Das Bild ist eine nicht kommutative Untergruppe von Sn. Daher ist auch Sn für n ≥ 3 nicht kommutativ. � � 91 / 145
Satz Gruppen Die symmetrische Gruppe Für alle σ ∈ Sn (n ≥ 2) gibt es Transpositionen τ1, . . . τk ∈ Sn, so dass σ = τ1 ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ τk. Die Darstellung von σ als Produkt ist nicht eindeutig. Beweis. Für jede Transposition τ gilt τ −1 = τ und somit Id = τ ◦ τ. Sei daher von nun an Id �= σ ∈ Sn. Dann existiert ein 1 ≤ i1 ≤ n mit σ(i) = i für alle 1 ≤ i ≤ i1 − 1 und σ(i1) > i1. Wir setzen τ1 := τ i1σ(i1) und σ1 := τ1 ◦ σ. Dann gilt σ1(i) = i für alle 1 ≤ i ≤ i1. Falls σ1 �= Id, so gibt es wieder ein i2, i1 < i2 ≤ n, so dass σ1(i) = i für alle 1 ≤ i ≤ i2 − 1 und σ1(i2) > i2. Wir setzen τ2 := τ i2σ(i+2) und σ2 := τ2 ◦ σ1. Durch Fortsetzen dieses Iterationsverfahren erhalten wir nach endlich vielen (genauer: nach k ≤ n − 1) Schritten σk = τk ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ τ1 ◦ σ = Id und somit σ = τ1 ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ τk. � 92 / 145
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Gruppen Die symmetrische Gruppe<br />
Satz<br />
Die symmetrische Gruppe Sn, n ∈ N, ist nur <strong>für</strong> n ≤ 2 kommutativ.<br />
Beweis.<br />
Es ist klar, dass S1 und S2 kommutativ sind. S3 ist nicht kommutativ,<br />
denn z.B. ist τ12 ◦ τ13 �= τ13 ◦ τ12. Letzteres folgt bereits aus:<br />
Die Abbildung<br />
σ ↦→<br />
τ12 ◦ τ13(1) = τ12(3) = 3<br />
τ13 ◦ τ12(1) = τ13(2) = 2<br />
� 1 2 3 4 ∙ ∙ ∙ n<br />
σ(1) σ(2) σ(3) 4 ∙ ∙ ∙ n<br />
ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus S3 → Sn (n ≥ 3). Das Bild ist<br />
eine nicht kommutative Untergruppe von Sn. Daher ist auch Sn <strong>für</strong> n ≥ 3<br />
nicht kommutativ. �<br />
�<br />
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