Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Gruppen Gruppen und Gruppenhomomorphismen
Noch mehr Beispiele von Gruppen
(ix) Für jeden Körper K sind durch (K, +) und (K \ {0}, ∙) kommutative
Gruppen gegeben.
(x) Die Kreislinie S 1 := {z ∈ C||z| = 1} ist mit der Multiplikation
komplexer Zahlen eine kommutative Gruppe. (Diese Gruppe spielt
eine zentrale Rolle als Eichgruppe in der Elektrodynamik.)
(xi) Das kartesische Produkt G1 × G2 von Gruppen G1, G2 ist mit der
komponentenweisen Verknüpfung wieder eine Gruppe. D.h.
(g1, g2) ∙ (h1, h2) := (g1 ∙ h1, g2 ∙ h2) definiert eine Gruppenstruktur auf
G1 × G2.
G1 × G2 ist genau dann kommutativ, wenn G1 und G2 kommutativ
sind.
Inverse von Produkten
In jeder Gruppe gilt (gh) −1 = h −1 g −1 . Dies folgt aus der Eindeutigkeit der
Inversen: (gh)(h −1 g −1 ) = g(hh −1 )g −1 = gg −1 = e.
Wenn ich nämlich morgens erst Strümpfe, dann Schuhe anziehe, so
ziehe ich abends erst die Schuhe aus, dann die Strümpfe!
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