Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Beispiele von Gruppen
Gruppen Gruppen und Gruppenhomomorphismen
(i) Die Bijektionen ϕ : X → X einer Menge X in sich bilden eine Gruppe,
die mit Bij(X ) bezeichnet wird. Die Vernüpfung ist die Verkettung,
das neutrale Element ist die identische Abbildung IdX und das Inverse
einer Bijektion ist ihre Umkehrabbildung.
(ii) Im Fall einer endlichen Menge X nennt man die Bijektionen
σ ∈ Bij(X ) auch Permutationen von X . Die Permutationsgruppe
Bij(X ) ist dann eine endliche Gruppe mit n! Elementen, wobei
n = card(X ) die Anzahl der Elemente von X ist.
(iii) Unter der n-ten symmetrischen Gruppe versteht man die
Permutationsgruppe Sn := Bij({1, 2, . . . , n}).
(iv) Symmetrien von Objekten werden oft durch Gruppen beschrieben.
(v) Sei V ein Vektorraum. Die Isomorphismen V → V heißen auch
Automorphismen des Vektorraums V und bilden die sogenannte
Automorphismengruppe Aut(V ) von V .
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