Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Direkte Summe von Unterräumen
Satz
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann gilt:
a) Jeder Unterraum W ⊂ V besitzt ein Komplement.
b) W , W ′ ⊂ V seien Unterräume. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
(i) V = W ⊕ W ′ ,
(ii) W ′ ∩ W = {0} und dim W + dim W ′ = dim V ,
(iii) V = W + W ′ und dim W + dim W ′ = dim V .
Beweis.
a) Sei (w1, . . . , wk) eine beliebige Basis des Unterraums W . Nach dem
Austauschsatz von Steinitz können wir diese zu einer Basis
(w1, . . . , wk, w ′ 1 , . . . , w ′
l ) von V ergänzen.
W ′ := span{w ′ 1 , . . . , w ′
l } ist dann ein Komplement zu W .
b) Die Äquivalenz der Eigenschaften (i)-(iii) folgt aus der
Dimensionsformel
dim(W + W ′ ) = dim W + dim W ′ − dim W ∩ W ′
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