Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz
Lineare Abbildungen Direkte Summe von Unterräumen
W , W ′ seien Unterräume eines Vektorraums V . Es gilt:
V = W ⊕ W ′ ⇐⇒ Jeder Vektor v ∈ V hat eine eindeutige Darstellung
Beweis.
v = w + w ′ , w ∈ W , w ′ ∈ W ′ . (4)
‘⇒’ Aus V = W + W ′ folgt, dass jeder Vektor v ∈ V eine Darstellung der
Form (4) hat. Sei v = w1 + w ′ 1 eine weitere solche Darstellung.
Es folgt 0 = v − v = (w − w1) + (w ′ − w ′ 1 ) und daraus
W ∋ w − w1 = −(w ′ − w ′ 1 ) ∈ W ′ .
Wegen W ∩ W ′ = {0} folgt nun w − w1 = w ′ − w ′ 1 = 0 und somit
die Eindeutigkeit der Darstellung (4).
‘⇐’ Wenn umgekehrt jeder Vektor v ∈ V eine eindeutige Darstellung (4)
hat, so gilt V = W + W ′ und aus 0 = w + (−w) mit w ∈ W ∩ W ′ ,
folgt wg. der Eindeutigkeit von (4) w = 0, d.h. W ∩ W ′ = {0}.
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