Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Direkte Summe von Unterräumen
Beweis der Dimensionsformel für die Summe.
Wir betrachten die lineare Abbildung F : W ⊕ W ′ → W + W ′ ,
(w, w ′ ) ↦→ F (w, w ′ ) := w − w ′ .
Offenbar ist F surjektiv: F (W ⊕ W ′ ) = W + W ′ und daher
rg(F ) = dim(W + W ′ ). Ferner ist
ker(F ) = {(w, w)|w ∈ W ∩ W ′ } ∼ = W ∩ W ′ .
Es ist dim(W ⊕ W ′ ) = dim W + dim W ′ .
Daher folgt aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen
rg(F ) = dim(W + W ′ ) = dim(W ⊕ W ′ ) − dim ker(F )
= dim(W ⊕ W ′ ) − dim(W ∩ W ′ )
= dim W + dim W ′ − dim(W ∩ W ′ ).
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