Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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2) Funktionenräume Vektorräume Definition und Beispiele Sei X eine Menge und Abb(X , K) die Menge der Funktionen f : X → K. Abb(X , K) ist mit der punktweise definierten Addition und skalaren Multiplikation (f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λf (x) (f , g ∈ Abb(X , K), λ ∈ K, x ∈ X ) ein Vektorraum über K. Übungsaufgabe Sei V ein Vektorraum über K. Für alle v ∈ V , λ ∈ K gilt (i) λv = 0 ⇐⇒ λ = 0 oder v = 0, (ii) −v = (−1) ∙ v. 5 / 145
Definition Vektorräume Unterräume Ein Unterraum (genauer: ein Untervektorraum) eines Vektorraumes V ist eine nicht leere Teilmenge U ⊂ V , so dass (i) v + w ∈ U für alle v, w ∈ U und (ii) λv ∈ U für alle λ ∈ K, v ∈ U. Bemerkung Wegen (i) und (ii) induzieren die Addition und die skalare Multiplikation in V eine Addition + : U × U → U und eine skalare Multiplikation ∙ : K × U → U, die U zu einem Vektorraum machen, denn wegen −u = (−1)u liegt auch das additive Inverse von u ∈ U in U. 6 / 145
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2) Funktionenräume<br />
Vektorräume Definition und Beispiele<br />
Sei X eine Menge und Abb(X , K) die Menge <strong>der</strong> Funktionen<br />
f : X → K.<br />
Abb(X , K) ist mit <strong>der</strong> punktweise definierten Addition und skalaren<br />
Multiplikation<br />
(f + g)(x) = f (x) + g(x)<br />
(λf )(x) = λf (x) (f , g ∈ Abb(X , K), λ ∈ K, x ∈ X )<br />
ein Vektorraum über K.<br />
Übungsaufgabe<br />
Sei V ein Vektorraum über K. Für alle v ∈ V , λ ∈ K gilt<br />
(i) λv = 0 ⇐⇒ λ = 0 o<strong>der</strong> v = 0,<br />
(ii) −v = (−1) ∙ v.<br />
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