Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Lineare Abbildungen Direkte Summe von Unterräumen Äußere direkte Summe von Unterräumen Definition Seien U, V Vektorräume über einem Körper K. Wir versehen das kartesische Produkt U × V mit der Struktur eines K-Vektorraums durch λ(u, v) := (λu, λv) und (u, v) + (u ′ , v ′ ) := (u + u ′ , v + v ′ ) . Dieser Vektorraum heißt die (äußere) direkte Summe von U und V . Für die Unterräume U × {0} = {(u, 0) ∈ U × V |u ∈ U} ⊂ U ⊕ V {0} × V = {(0, v) ∈ U × V |v ∈ V } ⊂ U ⊕ V gilt dann (U × {0}) ∩ ({0} × V ) = {0} und U ⊕ V = {u + v|u ∈ U × {0}, v ∈ {0} × V } Es ist dim(U ⊕ V ) = dim U + dim V : Ist (u1, . . . , um) eine Basis von U und (v1, . . . , vn) eine Basis von V , so ist ((ui, 0), (0, vj)) mit i = 1, . . . m, j = 1, . . . n eine Basis von U ⊕ V . 75 / 145
Innere Summe von Unterräumen Definition Lineare Abbildungen Direkte Summe von Unterräumen W , W ′ seien Unterräume eines Vektorraums V . Die (innere) Summe W + W ′ := {w + w ′ |w ∈ W , w ′ ∈ W ′ } ⊂ V ist der kleinste Unterraum von V , der W und W ′ enthält. Satz Falls die Unterräume W und W ′ endlich dimensional sind, gilt folgende Dimensionsformel dim(W + W ′ ) = dim W + dim W ′ − dim(W ∩ W ′ ). 76 / 145
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Innere Summe von Unterräumen<br />
Definition<br />
Lineare Abbildungen Direkte Summe von Unterräumen<br />
W , W ′ seien Unterräume eines Vektorraums V .<br />
Die (innere) Summe<br />
W + W ′ := {w + w ′ |w ∈ W , w ′ ∈ W ′ } ⊂ V<br />
ist <strong>der</strong> kleinste Unterraum von V , <strong>der</strong> W und W ′ enthält.<br />
Satz<br />
Falls die Unterräume W und W ′ endlich dimensional sind, gilt folgende<br />
Dimensionsformel<br />
dim(W + W ′ ) = dim W + dim W ′ − dim(W ∩ W ′ ).<br />
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