Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Direkte Summe von Unterräumen
Äußere direkte Summe von Unterräumen
Definition
Seien U, V Vektorräume über einem Körper K. Wir versehen das
kartesische Produkt U × V mit der Struktur eines K-Vektorraums durch
λ(u, v) := (λu, λv) und (u, v) + (u ′ , v ′ ) := (u + u ′ , v + v ′ ) .
Dieser Vektorraum heißt die (äußere) direkte Summe von U und V .
Für die Unterräume
U × {0} = {(u, 0) ∈ U × V |u ∈ U} ⊂ U ⊕ V
{0} × V = {(0, v) ∈ U × V |v ∈ V } ⊂ U ⊕ V
gilt dann (U × {0}) ∩ ({0} × V ) = {0} und
U ⊕ V = {u + v|u ∈ U × {0}, v ∈ {0} × V }
Es ist dim(U ⊕ V ) = dim U + dim V : Ist (u1, . . . , um) eine Basis von
U und (v1, . . . , vn) eine Basis von V , so ist ((ui, 0), (0, vj)) mit
i = 1, . . . m, j = 1, . . . n eine Basis von U ⊕ V .
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