Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems
Zahlenbeispiel: Wir wollen das inhomogene lineare Gleichungssystem
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
4x1 + 5x2 + 6x3 = 3
7x1 + 8x2 + 9x3 = 6
⎛ ⎞ ⎛
1 2 3
lösen. D.h. Ax = b mit A = ⎝ 4 5 6 ⎠ und b = ⎝
7 8 9
0
3
⎞
⎠. Erweiterte Matrix
⎛
1
(A|b) = ⎝ 4
2
5
3
6
0
3
⎞ ⎛
1 2
⎠ → ⎝ 0 −3
3
−6
6
⎞ ⎛
0 1
3 ⎠ → ⎝ 0
2
−3
3
−6
⎞
0
3 ⎠
⎛
1
→ ⎝ 0
7 8 9 6
⎞
2 3 0
1 2 −1 ⎠ = (B|c).
0 −6 −12 6 0 0 0 0
0 0 0 0
Da c3 = 0, ist Ax = b lösbar. Das zugehörige Gleichungssystem ist:
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
x2 + 2x3 = −1.
D.h. x2 = −2x3 − 1, x1 = −2x2 − 3x3 = −2(−2x3 − 1) − 3x3 = x3 + 2. Die
allgemeine Lösung ist also x1 = λ + 2, x2 = −2λ − 1, x3 = λ ∈ K beliebig.
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