Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems
Satz
Wir betrachten ein inhomogenes lineares Gleichungssytem
Ax = b, mit A ∈ Mat(m, n, K). (2)
Es bezeichne U ′ die Lösungsmenge von (2).
Falls U ′ �= ∅, so ist U ′ von der Form
U ′ = x0 + U = {x0 + u|u ∈ U},
wobei x0 ∈ U ′ eine (spezielle) Lösung von (2) ist und U ⊂ K n der
Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems Ax = 0 ist, d.h.
U = ker(A).
Beweis. Wir nehmen an, dass U ′ �= ∅ gilt und wählen x0 ∈ U ′ .
Für u ∈ U finde A(x0 + u) = Ax0 + Au = b + 0 = 0. Also x0 + U ⊂ U ′ .
Sei v ∈ U ′ eine Lösung von (2). Dann gilt
A(v − x0) = Av − Ax0 = b − b = 0, also v ∈ x0 + U und somit
U ′ ⊂ x0 + U. �
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