Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Beweis. Die Spalten von A sind gegeben durch die Bilder Aei der kanonischen Basis. Der Beweis beruht nun darauf, dass wir jede Zeilen von A als ein Element des Dualraums (K n ) ∗ = L(K n , K) interpretieren. Für i = 1, . . . m definieren wir αi ∈ L(K n , K) mittels αi(ej) := aij, d.h. Ax = ⎛ ⎜ ⎝ α1(x) . αm(x) Die aij sind also die Komponenten der Linearform αi in der kanonischen dualen Basis von (K n ) ∗ . Sei V ∗ := span {α1, . . . , αm} ⊂ (K n ) ∗ der durch die Zeilen von A aufgespannte Unterraum. Mittels des Gaußschen Algorithmus erhält man die Matrix B in Zeilenstufenform, die eine Basis (β1, . . . , βk) von V ∗ liefert. Also haben beide linearen homogenen Gleichungssysteme Ax = 0 und Bx = 0 denselben Lösungsraum {x ∈ K n | L(x) = 0 ∀ L ∈ V ∗ } ⎞ ⎟ ⎠ . � 69 / 145
Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Lösen von homogenen linearen Gleichungssystemen mittels Gauß-Algorithmus Wir wollen das Gleichungssystem Ax = 0 lösen. Dazu bringen wir A auf Zeilenstufenform und erhalten B vom Zeilenrang k. D.h. wir erhalten ein Gleichungssystem der Form xj1 xji + + xjk + n� l=j1+1 n� l=ji +1 n� l=jk +1 b1lxl = 0 bilxl . = 0 bklxl . = 0 Dieses löst man, indem man die Unbekannten xj mit j �∈ {j1, . . . , jk} frei wählt und die Lösungen xj1 , . . . , xjk bestimmt. D.h. der Raum der Lösungen ist (n − k)-dimensional. Damit gilt auch k = Zeilenrang(A) = Spaltenrang(B) = Spaltenrang(A). 70 / 145
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Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems<br />
Lösen von homogenen linearen Gleichungssystemen mittels Gauß-Algorithmus<br />
Wir wollen das Gleichungssystem Ax = 0 lösen. Dazu bringen wir A<br />
auf Zeilenstufenform und erhalten B vom Zeilenrang k.<br />
D.h. wir erhalten ein Gleichungssystem <strong>der</strong> Form<br />
xj1<br />
xji<br />
+<br />
+<br />
xjk +<br />
n�<br />
l=j1+1<br />
n�<br />
l=ji +1<br />
n�<br />
l=jk +1<br />
b1lxl = 0<br />
bilxl<br />
.<br />
= 0<br />
bklxl<br />
.<br />
= 0<br />
Dieses löst man, indem man die Unbekannten xj mit j �∈ {j1, . . . , jk}<br />
frei wählt und die Lösungen xj1 , . . . , xjk bestimmt.<br />
D.h. <strong>der</strong> Raum <strong>der</strong> Lösungen ist (n − k)-dimensional. Damit gilt auch<br />
k = Zeilenrang(A) = Spaltenrang(B) = Spaltenrang(A).<br />
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