Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems
Beweis. Die Spalten von A sind gegeben durch die Bilder Aei der
kanonischen Basis. Der Beweis beruht nun darauf, dass wir jede Zeilen von
A als ein Element des Dualraums (K n ) ∗ = L(K n , K) interpretieren.
Für i = 1, . . . m definieren wir αi ∈ L(K n , K) mittels
αi(ej) := aij, d.h. Ax =
⎛
⎜
⎝
α1(x)
.
αm(x)
Die aij sind also die Komponenten der Linearform αi in der kanonischen
dualen Basis von (K n ) ∗ . Sei V ∗ := span {α1, . . . , αm} ⊂ (K n ) ∗ der durch
die Zeilen von A aufgespannte Unterraum. Mittels des Gaußschen
Algorithmus erhält man die Matrix B in Zeilenstufenform, die eine Basis
(β1, . . . , βk) von V ∗ liefert. Also haben beide linearen homogenen
Gleichungssysteme Ax = 0 und Bx = 0 denselben Lösungsraum
{x ∈ K n | L(x) = 0 ∀ L ∈ V ∗ }
⎞
⎟
⎠ .
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