Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Satz
Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems
(i) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssytems
Ax = 0, A ∈ Mat(m, n, K), ist genau der Kern der zu A gehörenden
linearen Abbildung, also insbesondere ein Unterraum U ⊂ K n .
(ii) Die Dimension von U beträgt n − r, wobei r = rg(A).
Beweis. (i) folgt aus der Definition und (ii) aus der Dimensionsformel. �
Satz
Sei A ∈ Mat(m, n, K) eine Matrix und B die aus A mittels Gaußschem
Algorithmus hervorgegangene Matrix in Zeilenstufenform.
Dann haben die linearen homogenen Gleichungssysteme Ax = 0 und
Bx = 0 denselben Lösungsraum.
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