Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Lineare Gleichungsysteme Definition Ein System von Gleichungen der Form Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems a11x1 + a12x2 + ∙ ∙ ∙ + a1nxn = b1 am1x1 + am2x2 + ∙ ∙ ∙ + amnxn = bm wobei aij, bj ∈ K gegeben und x1, x2, . . . , xn ∈ K gesucht sind, bezeichnet man als lineares Gleichungssystem. Ein solches lässt sich in der Form Ax = b schreiben, mit b = A = (aij) ∈ Mat(m, n, K) gegeben und x ∈ K n gesucht. . ⎛ ⎞ b1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ . ⎟ ⎠ bm ∈Km und m ist die Anzahl der Gleichungen und n die Anzahl der Unbekannten. Das System heißt homogen, falls b = 0 und inhomogen falls b �= 0. 67 / 145
Satz Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems (i) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssytems Ax = 0, A ∈ Mat(m, n, K), ist genau der Kern der zu A gehörenden linearen Abbildung, also insbesondere ein Unterraum U ⊂ K n . (ii) Die Dimension von U beträgt n − r, wobei r = rg(A). Beweis. (i) folgt aus der Definition und (ii) aus der Dimensionsformel. � Satz Sei A ∈ Mat(m, n, K) eine Matrix und B die aus A mittels Gaußschem Algorithmus hervorgegangene Matrix in Zeilenstufenform. Dann haben die linearen homogenen Gleichungssysteme Ax = 0 und Bx = 0 denselben Lösungsraum. 68 / 145
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Lineare Gleichungsysteme<br />
Definition<br />
Ein System von Gleichungen <strong>der</strong> Form<br />
Lineare Abbildungen Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems<br />
a11x1 + a12x2 + ∙ ∙ ∙ + a1nxn = b1<br />
am1x1 + am2x2 + ∙ ∙ ∙ + amnxn = bm<br />
wobei aij, bj ∈ K gegeben und x1, x2, . . . , xn ∈ K gesucht sind, bezeichnet<br />
man als lineares Gleichungssystem.<br />
Ein solches lässt sich in <strong>der</strong> Form Ax = b schreiben, mit b =<br />
A = (aij) ∈ Mat(m, n, K) gegeben und x ∈ K n gesucht.<br />
.<br />
⎛ ⎞<br />
b1<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎝ . ⎟<br />
⎠<br />
bm<br />
∈Km und<br />
m ist die Anzahl <strong>der</strong> Gleichungen und n die Anzahl <strong>der</strong> Unbekannten.<br />
Das System heißt homogen, falls b = 0 und inhomogen falls b �= 0.<br />
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