Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Folgerung
Lineare Abbildungen Rang einer linearen Abbildung
Seien V , W Vektorräume mit dim V = dim W < ∞.
Dann gilt: Eine lineare Abbildung F : V → W ist genau dann ein
Isomorphismus, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt
ist:
(i) F ist injektiv,
(ii) F ist surjektiv,
(iii) F ist bijektiv.
Beweis. Wegen der Dimensionsformel gilt
dim(V ) = rg(F ) + dim(ker(F )) = dim(W ).
Daraus folgen die Äquivalenzen. �
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