Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Folgerung
Lineare Abbildungen Rang einer linearen Abbildung
Seien V , W Vektorräume, dim V < ∞ und F ∈ L(V , W ). Dann gilt:
(i) F ist genau dann surjektiv, wenn rg(F ) = dim W ,
(ii) F ist genau dann injektiv, wenn rg(F ) = dim V ,
(iii) F ist genau dann bijektiv, wenn rg(F ) = dim V = dim W .
Beweis.
(i) F surjektiv ⇐⇒ F (V ) = W ⇐⇒ dim F (V ) = dim W .
(ii) F injektiv ⇐⇒ ker(F ) = {0} (Dim.formel)
⇐⇒ rg(F ) = dim V .
(iii) folgt aus (i-ii). �
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