Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Beweis der Behauptung.
Lineare Abbildungen Rang einer linearen Abbildung
1) Wir zeigen zuerst, dass (u1, . . . , uk, v1, . . . , vr ) linear unabhängig ist.
Aus 0 = �k i=1 λiui + �r j=1 μjvj folgt
0 = F (
k�
λiui +
i=1
r�
j=1
μjvj) ui ∈Ker(F )
=
r�
j=1
μjwj
und somit μ1 = . . . = μr = 0, da die Familie (wj) linear unabhängig
ist.
Also 0 = �k i=1 λiui, woraus λ1 = ∙ ∙ ∙ = λk = 0 folgt, wegen der
linearen Unabhängigkeit von (ui) als Basis von ker F .
2) Nun zeigen wir, dass span{u1, . . . , uk, v1, . . . , vr } = V .
Sei v ∈ V . Wir schreiben F (v) = � r
j=1 μjwj.
Dann gilt v − � r
j=1 μjvj ∈ ker(F ) =span{u1, . . . , uk}
und somit v ∈ span{u1, . . . , uk, v1, . . . , vr }. �
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