Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...

Rang und Dimension
Satz (Dimensionsformel)
Lineare Abbildungen Rang einer linearen Abbildung
Seien V , W Vektorräume, dim V endlich und F ∈ L(V , W ). Dann gilt
rg(F ) + dim ker(F ) = dim V .
Beweis.
Das Bild jeder Basis von V unter F ist ein Erzeugendensystem des Bildes
F (V ). Also ist dim F (V ) ≤ dim V .
Sei (u1, . . . , uk) eine Basis von ker(F ), (w1, . . . , wr ) eine Basis des Bildes
F (V ). Wähle Urbilder v1, . . . , vr ∈ V , so dass F (vi) = wi.
Behauptung:
(u1, . . . , uk, v1, . . . , vr ) ist eine Basis von V .
Aus der Behauptung folgt die Aussage des Satzes: dim V = k + r. �
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