Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie ...
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Satz Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Seien V , V ′ , V ′′ endlich-dimensionale Vektorräume mit Basen B, B ′ , B ′′ und F ∈ L(V , V ′ ), G ∈ L(V ′ , V ′′ ). Dann gilt G ◦ F ∈ L(V , V ′′ ) und MB′′ B (G ◦ F ) = MB′′ B ′ (G)M B′ B (F ). Beweis. Die Linearität von G ◦ F folgt, wie gesehen, aus der von F und G. Die darstellende Matrix MB′′ B (G ◦ F ) ergibt sich aus φ −1 B ′′ ◦ (G ◦ F ) ◦ φB = (φ −1 B ′′ ◦ G ◦ φB ′) ◦ (φ−1 B ′ ◦ F ◦ φB). � 59 / 145
Endomorphismen Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Definition Sei V ein Vektorraum. Lineare Abbildungen von V nach V heißen auch Endomorphismen von V , End(V ) := L(V , V ). Den Vektorraum der quadratischen (n×n)-Matrizen bezeichnet man mit Mat(n, K):=Mat(n, n, K). Für die darstellende Matrix eines Endomorphismus F ∈ End(V ) bzgl. einer Basis B von V schreibt man MB(F ) := MB B (F ). Beispiel Sei F ∈ End(R2 � 0 ) gegeben durch 1 � 1 ∈ Mat(2, R). Betrachte die 0 Basis B = (b1, b2) := (e1 + e2, e1 − e2). Es gilt F (b1) = e2 + e1 = b1 und F (b2) = e2 − e1 = −b2. � 1 Die darstellende Matrix bzgl. der Basis B = (b1, b2) ist daher 0 � 0 . −1 60 / 145
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Endomorphismen<br />
Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen<br />
Definition<br />
Sei V ein Vektorraum. Lineare Abbildungen von V nach V heißen auch<br />
Endomorphismen von V , End(V ) := L(V , V ).<br />
Den Vektorraum <strong>der</strong> quadratischen (n×n)-Matrizen bezeichnet man mit<br />
Mat(n, K):=Mat(n, n, K).<br />
Für die darstellende Matrix eines Endomorphismus F ∈ End(V ) bzgl. einer<br />
Basis B von V schreibt man MB(F ) := MB B (F ).<br />
Beispiel<br />
Sei F ∈ End(R2 �<br />
0<br />
) gegeben durch<br />
1<br />
�<br />
1<br />
∈ Mat(2, R). Betrachte die<br />
0<br />
Basis B = (b1, b2) := (e1 + e2, e1 − e2). Es gilt<br />
F (b1) = e2 + e1 = b1 und F (b2) = e2 − e1 = −b2.<br />
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1<br />
Die darstellende Matrix bzgl. <strong>der</strong> Basis B = (b1, b2) ist daher<br />
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